ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 20 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 20
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА МЕТОДОМ ИЗГИБА
Приборы и принадлежности: лабораторная установка ФМ-19, микрометр.
Цель работы: изучение упругих деформаций различных материалов, определение модуля Юнга по
деформации изгиба.
Краткая теория
Напряжением (механическим) называют векторную величину, равную отношению силы упругости,
действующей на данной площадке внутри тела, к ее площади.
Модулями упругости называются величины, характеризующие упругие свойства материалов. В зависимости от типа деформации различают:
1. Модуль продольной упругости (модуль Юнга) Е – в случае деформации растяжения.
2. Модуль сдвига G – в случае деформации сдвига.
3. Модуль кручения D – в случае деформации кручения.
Для первых двух типов деформации (в случае малых деформаций) зависимость между упругим напряжением и соответствующей деформацией определяется простой формулой: напряжение равно произведению деформации на соответствующий модуль упругости (закон Гука). Так, закон Гука для деформации растяжения (сжатия) (рис. 20.1) имеет вид
  E ,
(20.1)
где  − нормальное напряжение, равное отношению растягивающей образец силы к площади его поперечF
ного сечения   ; Е − модуль Юнга;  − относительное удлинение, равное отношению абсолютного
S
l
удлинения к первоначальной длине образца   .
l0
Рис. 20.1
Модуль продольной упругости (модуль Юнга) Е характеризует способность материалов сопротивляться деформации растяжения. Модуль сдвига G характеризует способность материалов сопротивляться деформации сдвига. Отличие модуля кручения D от модулей Юнга и сдвига состоит в том, что он зависит не
только от свойств материала, но и от геометрических размеров тела.
В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб,
кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения или сжатия и
сдвига.
Деформация изгиба сводится к растяжениям и сжатиям в различных частях тела. Если прямой упругий
стержень обоими концами свободно положить на твердые опоры и нагрузить в середине грузом весом P,
то середина стержня опустится, т.е. стержень согнется (рис. 20.2). Верхние слои стержня при изгибе будут
сжиматься, нижние – растягиваться, а некоторый средний слой, который называют нейтральным слоем,
сохранит длину и только претерпит искривление. Перемещение d, которое получает середина стержня,
называется стрелой прогиба. Стрела прогиба тем больше, чем больше нагрузка, и, кроме того, она должна
зависеть от формы и размеров стержня и от его модуля упругости (модуля Юнга).
Найдем связь между стрелой прогиба и характеристиками упругого стержня. В данной работе используется пластина прямоугольного сечения размерами l (длина), h (высота), b (ширина), которая устанавливается на две неподвижные призмы с расстоянием L между острыми верхними гранями. Под воздействием
внешней силы пластина искривляется, и ее форма может быть описана функцией y(x) (см. рис. 20.3). Возникающие в пластине силы упругости пропорциональны кривизне пластины, т.е. второй производной
y (x) . Условие равновесия имеет вид:
EIy ( x)  M ( x),
(20.2)
1
где E – модуль Юнга; I 
ющий момент.
P
bh 3
− коэффициент, определяемый геометрией пластины; M ( x)  x − изгиба2
12
P
d
Рис. 20.2 Деформация изгиба
y
P
P/2
P/2
d
x
y(x)
L
Рис. 20.3 Изгиб пластины под нагрузкой
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение для формы пластины: y ( x) 
руя которое, находим:
P
x, интегри2 EI
P 3 PL2
(20.3)
x 
x,
12 EI
16 EI
где L – расстояние между призмами. Стрела прогиба d по модулю равна смещению середины пластины:
PL3
d   y( L / 2) 
, откуда окончательно модуль Юнга:
4 Eh3b
PL3
E
.
(20.4)
4dbh 3
y ( x) 
Описание лабораторной установки
Для определения модуля Юнга методом изгиба предназначена экспериментальная установка ФМ-19
(рис. 20.4). Установка позволяет также определять модуль сдвига с помощью пружинного маятника (лабораторная работа № 21). Установка состоит из основания 1, на котором закреплена вертикальная стойка 2.
На ней неподвижно крепятся нижний 3, средний 4 и верхний 5 кронштейны. На верхнем кронштейне 5 закреплены часовой индикатор 6 и две призматические опоры 7 для установки исследуемого образца 8 (пластины). Положение часового индикатора 6 относительно верхнего кронштейна 5 фиксируется винтом 14.
Положение круговой шкалы часового индикатора относительно корпуса часового индикатора 6 фиксиру2
ется винтом 15. На пластину 8 устанавливается устройство нагружения образца, представляющее собой
скобу 9 с призматической опорой 10, внизу скобы 9 подвешивается наборный груз 11.
На среднем кронштейне 4 установлен узел крепления вертикально подвешиваемых сменных пружин (в
данной работе не используется). На нижнем кронштейне 3 закреплен фотоэлектрический датчик 12 (в данной работе не используется), который подключается к блоку электронному 13 (в данной работе не используется).
5
7
9
10
8
7
14
2
6
4
15
3
11
1
13
12
8
Рис. 20.4
Порядок выполнения работы
1. Установите одну из исследуемых пластин 8 на призматические опоры 7. Установите часовой индикатор 6 таким образом, чтобы его наконечник коснулся пластины 8 (для этого нужно повернуть против часовой стрелки винт 14 на верхнем кронштейне 5, сдвинуть часовой индикатор 6 вверх или вниз до положения, в котором его наконечник касается пластины 8, и зафиксировать часовой индикатор в этом положении, завернув обратно винт 14).
2. Проверьте настройку на ноль часового индикатора 6. Если при отсутствии нагрузки большая стрелка
часового индикатора не показывает ноль, то поверните против часовой стрелки винт 15 на часовом индикаторе, затем поверните круговую шкалу часового индикатора до совпадения большой стрелки с нулем
круговой шкалы, и зафиксируйте это положение круговой шкалы, завернув обратно винт 15.
3. Подвесьте на скобу 9 груз 11 массой m и установите скобу 9 на пластину 8 так, чтобы призматическая опора 10 была посередине пластины 8. Занесите в табл. 20.1 показание d часового индикатора 6 (значение стрелы прогиба). Для повышения точности повторите измерения 5 раз при одной и той же массе
груза. Результаты измерений занесите в табл. 20.1.
Таблица 20.1
m, г 
d, мм
h,
мм
b,
мм
1.
2.
3.
4.
5.
h  ... b  ...
d , мм
E, Па
3
4. Повторите задание п. 3, увеличив массу груза 11. Всего проведите измерения для трех значений m.
Результаты измерений занесите в табл. 20.1.
5. Измерьте микрометром размеры поперечного сечения пластины (высоту h и ширину b). Каждый размер измерьте по 5 раз в разных местах пластины. Результаты измерений занесите в табл. 20.1. Подойдите к
преподавателю на проверку.
6. Для каждой массы груза вычислите среднее значение d показаний часового индикатора (среднее
значение стрелы прогиба).
7. Рассчитайте средние значения высоты h и ширины b пластины.
8. Для одного из значений массы груза вычислите модуль Юнга исследуемого вещества по формуле
(20.4), взяв в которой расстояние между призмами L=0,114 м. Подойдите к преподавателю на проверку.
9. При оформлении отчета вычислите модуль Юнга исследуемого вещества по формуле (20.4) для каждой массы груза, затем найдите среднее значение модуля Юнга.
10. Рассчитайте относительную погрешность определения модуля Юнга при одном из значений массы
груза:
E
 P 
 L   d   b 
 h 
 
  9
 
     9  ,
E
 P 
 L   d   b 
 h 
3
2
где P  gm, g=9,8 м/с , m  0,5 10 кг, P=mg; L=0,5 мм, L =114 мм; d, b, h – находятся как погрешности прямых измерений (по методу Стьюдента).
2
2
2
2
2
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Что называется напряжением? Напишите формулу для модуля нормального напряжения.
Перечислите модули упругости.
Что характеризует модуль Юнга материала?
Напишите закон Гука для деформации растяжения (сжатия).
Перечислите виды деформаций.
Что называется изгибом?
Что такое нейтральный слой?
Что называется стрелой прогиба?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Высш. школа, 2007, § 21, с. 42-45.
2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Высш. школа, 2000, § 1.1, п. 1, с. 8; § 29.3, п. 2, с. 391; § 29.1,
п. 3, с. 386.
3. Савельев И.В. Курс общей физики: в 4 т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: учебное пособие / И.В. Савельев; под общ. ред. В.И. Савельева. – М.: КНОРУС, 2009. § 2.9, с. 73-77.
Составил преп. Харитонов Д.В.
20.06.2013
4