МАСТЕР-КЛАСС ПО ТЕМЕ: «Методика обучения решению разноуровневых линейных и квадратных уравнений с модулями.» Понятие абсолютной величины является одним из основных понятий элементарной математики. Осмысленное владение модулем позволяет учащимся воспринимать алгебру и геометрию как единое целое. Поэтому, цель своей работы я вижу в разработке методик преподавания данной темы таким образом, чтобы учащиеся, в наибольшей степени усваивая материал, могли плавно переходить к восприятию более сложных заданий, развивающих творческий потенциал. Существенной характеристикой числа является понятие его абсолютной величины (модуля). Федеральной программой в обязательный курс 6 класса включена тема «Модуль числа». Поурочное планирование предусматривает на изложение данной темы 2 часа, не смотря на то, что данный объект в программе 8 класса встречается довольно часто. Задачи, связанные с абсолютной величиной, часто встречаются на математических олимпиадах. Проверяется умение решать уравнения и неравенства с модулем и на Едином Государственном Экзамене. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса, но и в курсе высшей математики. В теории приближенных вычислений используется понятие абсолютной погрешности. В механике, в геометрии изучаются понятия вектора, одной из характеристик которого служит его длина (модуль вектора), т.е. абсолютная величина. Учебники алгебры средней школы содержат небольшое количество заданий с модулем. Но мы знаем, что подобные задания включаются в краевые диагностические работы. Например. В первой диагностической работе 10 класса задание С1 имело вид В демонстрационном варианте КИМов ЕГЭ по математике 2010 года есть задание С5 с модулем и параметром. Наша задача – научить детей основным приемам решения задач с модулем. Я предлагаю Вашему вниманию свою последовательность изучения модуля в средней школе по учебникам Виленкина Н.Я. и Макарычева Ю.Н. Итак. Понятие модуля вводится в 6 классе. Прежде чем познакомиться с модулем, мои учащиеся знают положительные и отрицательные числа; умеют отмечать эти числа на координатной прямой; умеют находить числа, противоположные данным. Дети решают задания вида: Найти: - число, противоположное 7 -7 - число, противоположное противоположному -7,5 7,5 - - значение выражения – х, если х=2,5 2,5 - - значение выражения –х, если х= -3,7 3,7 - число, противоположное самому себе - число 100 противоположно числу… - ( -100) 0 100= Понятие «модуль» водится как расстояние от начала координат до данной точки (геометрический смысл модуля). Модулем числа a называется расстояние в единичных отрезках от начала координат до точки А(а). Расстояние от точки А(5) до начала отсчета равно 5 единичным отрезкам. Модуль числа 5 равен 5. Пишут |5|=5. Расстояние от точки В(-6) до начала отсчета 0 равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут |-6|=6. Модуль числа 0 равен 0, т.к. точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков. Пишут |0|=0. Модуль числа не может быть отрицательным (расстояние не может быть отрицательным). Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули: | -а | = а. Например, =1.5 , , , , =1.5 Определение модуля как расстояние позволяет сформулировать следующее правило нахождения модуля действительного числа: модуль положительного числа равен самому этому числу, модуль нуля равен 0; модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному, т.е. Это правило является классическим определением модуля действительного числа. Фигурная скобка не является знаком системы условий. Дальше я отрабатываю нахождение значений выражений, содержащие модули: Уделяю внимание заданиям типа: 1) Известно, что |а| =7. Чему равен |-а|? 2) При каких значениях а верно и при каких неверно равенство а+|а|=0. 3)При каких значениях m верно равенство: Такие задания я включаю в устный счет. Выполняемые регулярно, они помогают детям глубже осознать определение модуля. В 6 классе модуль используется при сравнении и сложении отрицательных чисел. При сложении чисел с разными знаками, при умножении и делении чисел с разными знаками. А сейчас я хочу отвлечься от 6 класса и показать, как на основе геометрического определения модуля можно научить детей решать простейшие уравнения и неравенства. Для этого дети должны уже изучить темы «Числовые неравенства», «Числовые промежутки». Решение уравнений и неравенств с модулем – тема, требующая отдельного рассмотрения и общего подхода, но сейчас я хочу обратить Ваше внимание на особый вид уравнений и неравенств. Назовем их простейшими, не потому, что они простые, а за их особенный вид. Слева – модуль какого-то выражения, названного f(х), а справа – число: положительное, отрицательное или 0. . Все эти задания поддаются общей схеме решения. Если Вы хотите, чтобы дети не просто вызубрили саму схему, а разобрались в самом понятии модуля, чтобы легко решать каждое задание, необходимо отработать понимание того, с чем они имеют дело. Даже если этот подход на первом этапе будет непривычен, скоро дети будут легко справляться с поставленными задачами. Итак, первое уравнение. |f(х)|=5 Геометрический смысл модуля заключается в том, что расстояние от f(х) до 0 должно быть равно 5. А это значит, что на оси мы должны найти точки, расстояние от которых до 0 ровно 5. Таких точек две. Это 5 и -5. Таким образом, чтобы равенство было верным, вместо f(х) под знак модуля мы можем поставить либо 5, либо -5. Записывается это так: либо f(х)=5, либо f(х)= -5. Слово «либо» в математике записывается как знак «совокупности» - или так, или так . Между исходным уравнением и совокупностью обязательно ставится знак равносильности . |f(х)|=5 Этот знак означает, что у левого уравнения и у правой совокупности одно и то же множество решений. Переходим к неравенству |f(х) . На этот раз на оси нам надо найти такие точки, расстояние от которых до 0 больше 3. Посмотрим на точки, которые расположены правее 3 на луче . Ведь их расстояние до 0 больше 3, а это значит, что нас устраивает такое неравенство: f(х) , т.е. вместо подмодульного выражения f(х) мы можем подставить 4, 5, 8 и каждый раз модуль этого числа будет уж точно больше 3. Но этого мало. Есть ещё точки на оси, расстояние от которых до 0 больше 3, это точки, расположенные левее -3, т.е. на луче . Это значит, что неравенство f(х) нас устраивает тоже. Вместо подмодульного выражения можно смело ставить числа -5, 6, -8 и модуль этих чисел тоже будет больше 3. Ну и, конечно, само число 3 или -3 тоже всегда можно подставить под знак модуля. Как и в решении первого уравнения, оба эти неравенства объединяются значком совокупности, а между исходным неравенством и совокупностью ставится знак равносильности. |f(х) Переходим к неравенству |f(х) и делаем точно так же. На оси на этот раз мы должны найти такие значения f(х), расстояние от которых до 0 меньше 7. Они находятся на отрезке . Если дано неравенство строгое, то речь пойдет, конечно, об открытом промежутке. Теперь запишем решение. Учтем, что два неравенства должны выполняться одновременно: f(х) и f(х) -7. «Одновременно» на языке математики означает знак «система». Между исходным неравенством и системой ставим знак равносильности. |f(х) Запись и решении двух последних неравенств отличается, что часто сбивает с толку и приводит к ошибкам. Дети должны уяснить эту разницу. В первом случае нас устраивают два луча, взятых по отдельности, мы их объединяем, |f(х) во втором случае лучи пересекаются и в результате получится обязательно промежуток или отрезок - оба неравенства выполняются одновременно. |f(х) Но вернемся в 6 класс. Дети знакомятся с линейными уравнениями с одной переменной, а значит, вполне доступны для понимания и решения окажутся задания вида: Решите уравнение . Конечно, запись решения не будет содержать специальных символов. х-2=6 или х-2=-6, х=8, х=-4. Ответ: -4;8. В учебнике 6 класса есть задание: Найдите наименьшее целое положительное и наибольшее целое отрицательное решение неравенств а) х=5 б) х= - 5 в) х=4 3 х= - 4 Итак, по окончании 6 класса мои дети знают геометрический смысл модуля, его классическое определение, умеют находить значения числовых выражений с модулями. В учебнике 7 класса задания с использование абсолютной величины встречаются нечасто, в основном, это задания повышенной сложности. Верно ли что для любых чисел a и b Известно, что , верно ли, что х = у ? Известно, что , верно ли, что а Известно, что . Возможно ли, чтобы было а Объясните, почему равенство является тождеством: Мне такие задания позволяют углубить понимание абсолютной величины, а также дают возможность познакомить детей с некоторыми свойствами модуля: Модуль суммы двух чисел не больше суммы модулей этих чисел Модуль разности двух чисел не меньше разности модулей этих чисел