Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®

Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
Содержание
ВВЕДЕНИЕ 4
1.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ
ДЛЯ
ЦЕЛЕЙ
ГЛОБАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 17 1.1.Введение 17 1.2.Методики оценки качества
глобальных моделей при их реконструкции по различным участкам временного ряда 18
1.3.Примеры использования переходных процессов для улучшения качества глобальных
моделей 20
1.3.1. Расширение области хорошей аппроксимации объекта моделью за счет
использования переходного процесса (реконструкция уравнений неавтономного осциллятора
Тода) 21
1.3.2. Потеря информации о структуре объекта при установлении движения
(реконструкция дискретной многомодовой системы) 23
1.3.3. Улучшение качества аппроксимации при наличии «лишних» базисных
функций (реконструкциая автономного осциллятора В ан-дер-Поля - Тода) 3 0
1 .^Использование переходного процесса для оптимизации набора базисных
функций 31
2. МОДИФИКАЦИЯ ПРОЦЕДУРЫ ВЫБОРА ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
38 2.1.Введение 38 2.2.Процедура тестирования набора переменных на возможность
построения глобальной динамической модели 40 2.3.Модификация процедуры,
возможность использования для тестирования на нелинейность 45
2.4.Примеры приложения процедуры тестирования 52
Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
3. ОПТИМИЗАЦИЯ НАБОРА БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ 62
3.1.Введение 62 3.2.Оценка чувствительности значений коэффициентов перед
базисными функциями к изменениям распределения тренировочных точек в фазовом
пространстве 64
3.3 .Методика выбора базисных функций 71 3.4.Соотношение предложенного и
ранее известного метода оптимизации 73
3.5.Тестовые примеры 75
4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕКОНСТРУКЦИИ МОДЕЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКОЙ
СТАЦИОНАРНОСТИ ВРЕМЕННОГО РЯДА 81
4.1.Введение 81
4.2.Методы
анализа
динамической
нестационарности при скачкообразном изменении
нестационарности
84
параметров объекта: тестовые примеры 85
4.4.Использование простых моделей для описания сложных систем 94
4.4.1. Общие положения 94
4.3.Анализ
Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
4.4.2. Статистические оценки, к которым приводит построение динамических
моделей 97
4.4.3. Быстрый метод обнаружения изменений многомерных распределений по
скалярному временному ряду с помощью «плохих» моделей 99
4.5.Приложение к анализу внутричерепной ЭЭГ человека во время
эпилептического
припадка
АВТОНОМНЫХ КОЛЕБАНИЙ
103
ПРИЛОЖЕНИЕ.
АНТЕННОГО ЖГУ ТИКА МОСКИТОВ 120
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 128
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 130
МОДЕЛИРОВАНИЕ
Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
ВВЕДЕНИЕ
Возможности современной вычислительной техники позволили развить новые
подходы к созданию эмпирических динамических моделей колебательных явлений. Если
раньше речь шла в основном об аппроксимации наблюдаемых в эксперименте простых
зависимостей, то сейчас - о получении модельных дифференциальных или разностных
уравнений, описывающих сложные или даже хаотические движения. Повсеместное
использование в современной измерительной технике аналого-цифровых преобразователей и
становление концепции динамического хаоса привели к тому, что, начиная с 80-х годов
особое внимание стало уделяться реконструкции1 уравнений по хаотическим временным
рядам [1-7] -дискретной последовательностям чисел, полученным стробированием
наблюдаемых величин. Временные ряды могут быть векторными или скалярными; последнее
еще более осложняет задачу. С помощью реконструкции решаются задачи прогнозирования
дальнейшего поведения [1] и бифуркаций [8], классификации систем [9,10], скрытой
передачи информации [11]. В диссертации проблема построения моделей по временному
ряду рассматривается на примерах эталонных для радиофизики динамических систем, а
также для некоторых сложных биологических сигналов, однако она актуальна и во многих
других областях исследований. В частности для задач астрофизики [12], лазерной физики
[13], метеорологии [14,15], сейсмографии [16] финансов [17,18] и т.д.
Пик интереса в задаче глобальной реконструкции уравнений по временному ряду
приходится на девяностые годы, после чего появились и
1 Здесь используется общепринятый термин "реконструкция" (восстановление),
хотя он полностью адекватен лишь ситуации, когда временной ряд получен путем
численного решения уравнений. В приложении к реальным объектам и явлениям, для
которых нет единственной или "истинной" математической модели, уместнее было бы
говорить о "конструировании", а не о "реконструкции".
2 Термин «глобальная» означает, что модельные уравнения, записанные в
замкнутой форме, описывают поведение объекта во всем фазовом пространстве (глобально).
обобщающие материал работы [19-22]. Однако практическое применение
разработанных методик выявило ряд принципиальных трудностей, возрастающих вместе с
размерностью и степенью нелинейности моделируемых процессов. Это послужило причиной
некоторого разочарования в возможностях культивируемых тогда универсальных подходов к
Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
глобальной реконструкции и продемонстрировало необходимость разработки направленных
методик и приемов (технологий), учитывающих специфику достаточно узких классов
моделируемых объектов. На разработку элементов таких технологий и направлена данная
диссертационная работа. Суть проблем и необходимость постановки решаемых в работе
задач поясним при описании процедуры реконструкции модели по временному ряду. При
всем разнообразии подходов и практических ситуаций в ней можно выделить следующие
основные этапы:
1-й этап: выбор типа модельных уравнений, например, разностные
*M=n*i) (1)
или дифференциальные
^ - (2)
2-й этап: формирование ряда векторов состояния {х,}, где
х,. = (xn,...,xiD), по ряду наблюдаемой величины {v,}j!j, которая скалярна,
продеформирована измерительными приборами и искажена шумами. То есть
выбрать количество D и способ получения динамических переменных. Наиболее часто
употребляются методы временных задержек и последовательного дифференцирования,
последовательного интегрирования [23], взвешенного суммирования [24], но в принципе,
наблюдаемые и переменные могут быть связаны любым другим мыслимым способом,
предугадать который без информации о принципах функционирования объекта весьма
сложно. Неудачный выбор переменных затрудняет аппроксимацию неизвестных
зависимостей F в модельных уравнениях выбранного вида (1-2) или вовсе делает их
неоднозначными, а следовательно,
непригодными для динамического моделирования. Проблема оптимизации выбора
переменных уже привлекала к себе внимание [25-27], но известные численные процедуры
нуждаются в модернизации.
Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
3-й этап: выбор вида аппроксимирующих функций F. В отсутствии априорной
информации или иных соображений о виде функции F для ее представления используются
различные универсальные формы. Обычно ее выбирают в виде универсальной линейной
комбинации некоторых базисных
причем вид fk может оказать решающее влияние на результат моделирования. Часто
F берут в виде полинома, однако их использование (как и других универсальных
аппроксиматоров) ведет к очень громоздким выражениям с большим числом лишних
слагаемых, что является одной из причин неудач реконструкции в случае моделирования
сложных систем. Удалив лишние базисные функции можно, сделав модель более
компактной, существенно расширить область, в которой она работоспособна. Для этой цели
известно несколько процедур, например, критерий Стьюдента или специальные процедуры
[28,29]. Но их применимость ограничена3, а расширение возможностей требует новых
решений.
На этапах 1-3 фиксируется структура модели.
4-й этап: выбор тренировочного участка во временном ряде переменных, по
которому затем оцениваются параметры модели (обычно методом наименьших квадратов).
Задача выбора тренировочного ряда становится нетривиальной и требует решения в первую
очередь при наличии в ряде нестационарности, а это типично, особенно для живых систем.
Так неизвестно и требует изучения, следует ли включать в тренировочный ряд
3 Применимость этих методик обоснована, если неточности аппроксимации связаны
только с присутствием шума. На практике типичны ситуации, когда источником ошибок
кроме шума служит невозможность точного представления функций, стоящих в объекте,
через выбранные базисные.
переходные процессы, как их учет повлияет на качество восстанавливаемых
моделей. С другой стороны реконструкция параметров модели по нестационарному ряду
может быть полезной для фиксации факта произошедших в объекте изменений (задача
идеологически близкая прогнозу бифуркаций [8]). Информация о моментах изменения
параметров объекта, выделение квазистационарных участков по хаотическим временным
реализациям и их типологизация (классификация) очень важны, например, для решения
задач нейрофизиологии.
Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
5-й этап: оценка качества модели, после чего она используется или дорабатывается.
В работе рассмотрена возможность приложения разрабатываемых методик к
анализу динамической нестационарности и выделению этапов протекания эпилептического
приступа по записи ЭЭГ. Нестационарность ЭЭГ много анализировалась со статистических
позиций - с точки зрения изменений статистических распределений и спектральных свойств
(см., например, обзор [30]). Этапы протекания эпилептического приступа исследовались, в
частности, с помощью спектрального анализа [31,32]. С динамических позиций этот вопрос
никогда ранее не рассматривался, хотя, как оказалось, это позволяет получить
дополнительную информацию по сравнению с результатами традиционных методик.
Предложенные и исследованные в работе приемы реконструкции колебательных
моделей по наблюдаемым временным рядам отрабатывались на традиционных для
радиофизики нелинейных динамических системах, в том числе при внесении в сигнал
искажений и шума, апробировались на радиотехнических макетах и прилагались для задач
физиологии и медицинской диагностики.
Цель работы
Разработка специальных подходов к выбору структуры уравнений и тренировочных
участков, расширяющих возможности реконструкции
эмпирических динамических колебательных моделей. Приложение разработанного
аппарата к исследованию реальных сигналов, а также к задачам медицинской диагностики.
Основные задачи, решаемые в работе
— разработка метода оптимального для целей
тренировочного участка нестационарного временного ряда;
моделирования
выбора
Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
— модернизация метода тестирования выбранных динамических переменных на
соответствие предполагаемой структуре уравнений;
~ разработка методов оптимизации набора базисных функций в отсутствии
априорной информации о структуре модели;
— исследование возможностей приложения методов реконструкции модельных
отображений для анализа структуры электроэнцефалограммы.
Научная новизна
~ продемонстрирована эффективность использования переходных процессов при
построении моделей по временному ряду, предложен метод оптимизации набора базисных
функций (удаления лишних) для аппроксимации функций в модели, основанный на
использовании свойств переходного процесса;
— модифицирована процедура тестирования набора реконструированных
динамических переменных на возможность динамического описания (существование
однозначной непрерывной зависимости между последовательными векторами переменных);
~ предложен новый метод выбора базисных функций для аппроксимации
неизвестных зависимостей при построении модели по временному ряду;
~ показаны возможности приложения метода реконструкции модели по временному
ряду к анализу динамической нестационарности. Метод приложен к анализу временной
структуры эпилептического припадка на основе анализа стационарности внутричерепной
ЭЭГ.
Достоверность полученных результатов
Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
Достоверность полученных результатов основывается на воспроизводимости всех
численных
экспериментов,
использовании
отработанных
численных
методов,
непротиворечивости с известными в литературе результатами, а также высокой точности
совпадения данных получаемых на тестовых примерах, когда восстановление идет по
временным рядам эталонных динамических систем.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту
1. Включение в тренировочный ряд участков переходных процессов способствует
получению глобальных моделей. При реконструкции модели конкретного установившегося
движения, нацеленного на прогноз, нестационарная часть временного ряда в общем случае
снижает прогностические возможности модели. Учет переходных процессов повышает
эффективность предложенной процедуры опознания и удаления лишних коэффициентов
многокомпонентных моделей по уровню их вариабельности при сдвиге окна реконструкции.
2. Модифицирован метод тестирования способа формирования динамических
переменных модели по ряду наблюдаемой на соответствие заданной структуре глобальной
динамической модели. Выбранный критерий качества переменных4 позволяет определять
еще и наличие нелинейности в аппроксимируемых зависимостях и судить о недостаточности
объема данных во временном ряде.
3. Предложен новый метод оптимизации реконструируемых многокомпонентных
моделей, основанный на оценке зависимости значений коэффициента перед базисной
функцией от изменения плотности распределения точек тренировочного ряда в фазовом
пространстве. Метод
4
Характерный
вид
зависимости
максимального
разброса
значений
аппроксимируемой величины от размера окрестности точек в восстановленном фазовом
пространстве.
дает лучшие результаты по сравнению с ранее известными методиками, если набор
базисных функций неполон.
Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
4. Расчет расстояний между векторами в пространстве коэффициентов моделей,
построенных по коротким участкам временного ряда, при высокой точности аппроксимации
позволяет обнаруживать и анализировать динамическую нестационарность (изменение
модельного оператора эволюции). При недостаточной для динамического прогноза точности,
реконструированные уравнения могут быть использованы для экспресс-анализа на
статистическую нестационарность.
Научная и практическая значимость результатов
Результаты диссертационной работы развивают методы получения моделей по
временным рядам, имеющие общедисциплинарное значение. Разработанные методики могут
применяться для анализа практически важных сигналов. Динамическая модель,
описывающая поведение объекта, может служить инструментом для контроля его состояния.
Параметры реконструированной по ряду модели после дополнительного анализа могут быть
связаны с не измеряемыми явно свойствами объекта. Отдельной практически важной задачей
является построение моделей со структурой выбранной с учетом априорной информации о
природе моделируемого объекта. В этом случае построение модели может служить основой
для проверки различных гипотез о механизмах его функционирования.
На основе разработанных методик были написаны программы для анализа ЭЭГ,
внедряемые в настоящее время в диагностическую и исследовательскую практику (9-я гор.
больницы города Саратова и Институт высшей нервной деятельности и нейрофизиологии
РАН). С их помощью исследуется возможность контроля эффективности действия
противосудорожных лекарств, и устанавливаются механизмы, лежащие в основе некоторых
видов эпилепсии.
Личный вклад автора
Автором произведено программирование и проведены численные исследования и
эксперименты. Формулировка поставленных задач, выбор методов их решения, а также
интерпретация полученных результатов произведена совместно с научным руководителем и
соавторами.
Апробация работы и публикации
Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
Основные результаты диссертации составили содержание докладов на следующих
конференциях и школах
- VII Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур».
Саратов, Россия, 1-6 октября, 2004.
- XII Научная школа «Нелинейные волны - 2004», конференция молодых ученых.
Нижний Новгород, Россия, 29 февраля - 7 марта, 2004.
- International symposium «Topical problems of nonlinear wave physics»
(Международный симпозиум «Актуальные проблемы физики нелинейных волн»), Nizhny
Novgorod, Russia, September 6-12, 2003.
- The 5th European Congress on Epileptology, Madrid, 2002.
- VI Научная конференция «Нелинейные колебания механических систем». 16-19
сентября, 2002.
- XI Всероссийская научная школа «Нелинейные волны - 2002». Нижний Новгород,
Россия, 2-9 марта, 2002.
- VI Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур».
Саратов, Россия, 2001.
- Научная школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2000».
Саратов, Россия, 16-20 октября, 2000.
Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
- II Международная конференция «Фундаментальные проблемы физики». Саратов,
Россия, 2000.
- The 6th International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications NOLTA2000 (VI Международный симпозиум по нелинейной теории и ее приложениям). Dresden,
Germany, 2000.
- V Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем».
Нижний Новгород, Россия, 1999.
Работы были поддержаны грантами РФФИ (№99-02-17735, № 02-02-17578), части
работы по этим проектам выполнялись как индивидуальные разделы, поддержанные
молодежными грантами РФФИ (№02-02-06502, № 03-02-06860), а также Американским
фондом гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза
(грант № REC-006).
По теме диссертации было опубликовано 17 научных работ, из них 5 статей в
реферируемых научных журналах, 1 статья в коллективной монографии, 11 тезисов и
публикаций в сборниках трудов конференций.
Структура работы
Во введении обосновывается актуальность и практическая значимость
рассматриваемых в работе проблем, формулируется цель работы, перечисляются основные
задачи, формулируются положения, выносимые на защиту.
В первой главе рассматривается возможность, преимущества и недостатки
использования переходных процессов при проведении глобальной реконструкции
динамических моделей по временным рядам.
Для исследования роли переходных процессов использовались временные ряды,
получаемые путем численного решения уравнений эталонных динамических колебательных
систем (осциллятора Тода под гармоническим внешним воздействием, связанных
Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
квадратичных отображений, осциллятора Ван дер Поля - Тода). Уровень шума при этом
незначителен, определяется лишь погрешностями численного метода и машинного
округления. Все это позволяет уйти от решения сложных проблем связанных с выбором
качественного вида модели и влиянием шума и сосредоточиться на решении поставленной
задачи.
Процедура исследования заключалась в следующем. Фиксировалась некоторая
ширина окна реконструкции (М точек): Хк = {Xj}"}*^, где т -номер начальной точки (при
увеличении т окно сдвигается по временному
ряду в область установившихся движений). Модели восстанавливались при
различных значениях т и сравнивались различным критериям качества (точность
аппроксимации функций, стоящих в объекте, предсказательные возможности модели).
Выделены случаи, влияния учета переходного процесса на качество модели. В
зависимости от цели моделирования (получение глобальной модели или прогноз
установившихся движений) использование переходного процесса может как улучшать, так и
ухудшать качество модели.
Для случая, когда аппроксимирующие функции содержат «лишние» слагаемые,
предложена процедура их выделения и удаления из базиса. Эффективность использования
этой процедуры повышается при моделировании по переходному процессу.
Во второй главе развивается и модернизируется метод выбора способа
формирования динамических переменных по временному ряду, предложенные ранее в
работе [17].
Чтобы
реконструкция
была
возможна
необходимо,
чтобы
между
последовательными восстановленными векторами состояния существовала однозначная и
непрерывная зависимость. Поэтому, решая, какой набор переменных выбрать, необходимо
проверить наличие однозначной непрерывной зависимости между левыми и правыми
частями восстанавливаемых уравнений. Для этого в [17] предлагалось разбить фазовое
пространство из восстановленных переменных на ячейки размером 8 и рассчитав в каждой
из них разброс е аппроксимируемых значений, стоящих в левых частях модельных
Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
уравнений, выбрать из них максимальный. Если зависимость этого максимального разброса
s^^ от 5
идет в 0 при уменьшении S, то можно утверждать, что однозначная и непрерывная
зависимость существует и построение модели возможно.
В данной главе предложено заменить разброс в ячейках на разброс между точками,
лежащими на расстоянии меньше S. Это позволяет
устранить немонотонность зависимостей разброса ?тпак (5), что облегчает их
интерпретацию. Кроме того, после введения такой модификации оказывается возможным
использовать зависимость ^щах(^) Для тестирования исследуемой зависимости на
нелинейность.
Проанализировано влияние конечности и дискретности имеющегося набора
тренировочных точек на результаты тестирования. Выделен признак некорректной работы
процедуры, вследствие нехватки тренировочных точек для разрешения структуры
зависимости на малых масштабах.
В третьей главе предлагается, исследуется и апробируется новый метод
оптимизации набора базисных функций. В его основе лежит предположение о том, что
коэффициенты перед «лишними» базисными функциями будут чувствительны к малым
изменениям распределения тренировочных точек. Эффекта аналогичного изменению этого
распределения можно добиться вводя для каждой точки ее вес. При оценке значений
коэффициентов по методу наименьших квадратов критерий их определения после введения
весов будет выглядеть следующим образом:
N(M
i=l V k=\
Для случая ортогональных базисных функций получена аналитическая оценка
чувствительности коэффициентов к малым изменениям весовой функции р -> р' = р + р. В
Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
случае неортогонального набора достаточно рассчитать эту чувствительность для проекции
базисной функции, ортогональной всем остальным базисным функциям, так как только она в
действительности улучшает качество аппроксимации.
Предлагается процедура совершенствования базиса, которая в данном случае
состоит из выбора некоего начального универсального набора с последующим исключением
тех функций, чувствительность которых к малым изменениям весовой функции
тренировочных точек максимальна.
Показана связь новой процедуры оптимизации с ранее известной [18,19]. Процедура
апробируется, и эффективность ее работы сравнивается с эффективностью ранее известной
методики на ряде численных примеров.
В 4-й главе дан краткий обзор методов анализа нестационарности, включая
динамическую (изменение оператора эволюции порождающего ряд объекта). Рассмотрена
возможность применения для анализа динамической нестационарности методики построения
моделей по временному ряду. На простых численных примерах рядов динамических систем
со скачкообразным изменением параметра (логистическое отображение, отображение
косинуса) показано, что точное определение момента произошедших изменений возможно,
только если модель с высокой точностью описывает динамику системы. В противном случае
ее коэффициенты оказываются зависящими от распределения тренировочных точек, и
получаемая картина отражает нестационарность параметров этого распределения (то есть
статистических, а не динамических свойств ряда).
Методика применена для анализа стационарности внутричерепных ЭЭГ во время
эпилептического припадка. С ее помощью удается выделить несколько стадий в его
протекании. Результаты анализа динамической нестационарности припадка с помощью
глобальных моделей сравниваются с более традиционными методами - построением
спектрограмм и вейвлет-спектров, а также результатами анализа стационарности
одномерной функции распределения. Показано, что анализ динамической нестационарности
дает информацию, дополняющую то, что получается с помощью перечисленных, ставших
традиционными, методик.
В приложении представлены результаты моделирования автономных колебаний
антенного жгутика москита, возникающих под воздействием определенного лекарства
(DMSO), по временным рядам скорости его движения, предоставленным специалистами
Материалы предоставлены интернет - проектом www.diplomrus.ru®
Авторское выполнение научных работ любой сложности – грамотно и в срок
университета города Цюриха (Швейцария). Выбор в качестве переменных самой
наблюдаемой величины
позволил получить восстановленную фазовую траекторию, не содержащую
самопересечений. Для такого выбора переменных получена модель в виде осциллятора Ван
дер Поля с нелинейным потенциалом, которая с высокой точностью воспроизводит
динамику объекта.
ГЛАВА 1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ ЦЕЛЕЙ
ГЛОБАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1.1. Введение
Обычно модельные уравнения строятся по временным реализациям установившихся
движений, соответствующих аттрактору в фазовом пространстве объекта. И такой подход
представляется разумным, если необходимо осуществить прогноз поведения объекта после
установления колебаний. Однако в данной главе рассматривается глобальное моделирование
динамики объекта в целом, а не только определенного движения. Построение моделей
направлено на описание поведения во всем фазовом пространстве или значительной его
части. На конкретных примерах показано, что при такой постановке вопроса успех
реконструкции более вероятен при использовании нестационарных рядов — временных
реализаций переходных процессов, когда изображающая точка в фазовом пространстве еще
не достигла аттрактора. Подобные глобальные модели, например, полезны в тех случаях,
когда необходимо осуществить прогноз пути эволюции из произвольного начального
состояния. Возможны и другие приложения, например, модель, построенная по временному
ряду, включающему переходный процесс, успешно применялась для вычисления
ляпуновских показателей [33].
В данной главе сравниваются возможности глобальных моделей, построенных по
различным участкам временного ряда — содержащим и не содержащим переходный
процесс. Исходя из цели работы, в качестве объектов берутся наиболее показательные для
иллюстрации эталонные диссипативные динамические системы (связанные квадратичные
отображения, осциллятор Тода под гармоническим внешним воздействием и автономный
осциллятор Ван-дер-Поля - Тода) и используются уже зарекомендовавшие себя подходы к
реконструкции. Качество реконструкции