Задачи взяты из книги: динамике (синергетике). – М.: МГУ, 2000.

Задачи взяты из книги:
Б.М. Павлов, М.Д. Новиков. Автоматизированный практикум по нелинейной
динамике (синергетике). – М.: МГУ, 2000.
5.«Aponin»
Модель системы из трёх биологических популяций, взаимодействующих по
принципу «хищник - две жертвы», имеет вид:
Y1 '  Y1 * ( A1  Y1  6 * Y2  4 * Y3 ) ,
Y2 '  Y2 * ( A2  Y2  Y1  10 * Y3 ) ,
Y3 '  Y3 * (1  0.25 * Y1  4 * Y2  Y3 ) ,
где Yi - численности популяций: Y1 и Y2 - конкурирующих видов жертв, a Y3 хищника. Биологический смысл имеют лишь положительные значения
параметров A1 и A2 и неотрицательные значения численностей, значение Yi (t )  0
при t  t * означает вымирание i-ой популяции с некоторого момента t * .
1)Проверьте, что кроме тривиального состояния равновесия (0, 0, 0)
система имеет ещё 6 состояний равновесия, зависящих от параметров A1 и A2 , а
именно: O1 - равновесие, соответствующее стационарному существованию
жертвы Y1 в отсутствии конкурента Y2 и хищника Y3 ; O2 - то же самое для
жертвы Y2 ; O3 - равновесие, соответствующее сосуществованию Y1 с Y3 при
Y2  0, O4 - то же самое для Y1 и Y3 при Y1  0; O5 - равновесие, соответствующее
сосуществованию двух конкурирующих видов жертвы в отсутствие хищника
(Y3  0); O6 - равновесие, соответствующее существованию всех трёх видов.
Найдите аналитически эти равновесия.
2)Изучите интересное динамическое поведение модели при A1  2.4 и
вариации A2  [1.75, 1,76] , интегрируя от начального условия Y (0)  (0.1, 0.1, 0.1) ;
рекомендуемый шаг интегрирования h  0.05 . Каков сценарий перехода к хаосу?
3)Что наблюдается при тех же условиях при A1  2.3 è 2.5 ?
4)Постройте и объясните бифуркационную диаграмму №3 для A1  2.4 и
вариации A2 от 1.751 до 1.756.
Источник: Е.А. Апонин, Ю.М. Апонин, А.Д. Базыкин. Анализ сложного
динамического поведения в модели хищник - две жертвы. В кн. «Проблемы
экологического мониторинга и моделирование экосистем». Том. V. Ленинград,
Гидрометеогодат, 1982, ее. 163-180.
16.«VLM-88»
Модель описывает взаимодействие трёх видов - жертвы и двух хищников:
2
Y1 '  Y1 * (1  Y2  ( A1  A2 * Y3 ) * Y1 ), Y2 '  Y2 * (Y1  1), Y3 '  Y3 * ( A3  A2 * Y1 ) .
Переменная Y1 - численность жертвы, переменные Y2 и Y3 - численности
хищников, A1 , A2 и A3 - параметры. Это модифицированная модель ЛоткиВольтерры. В ней предполагается (в отличие от классической модели), что
скорость роста численности жертвы увеличивается при увеличении самой этой
численности, т.е. вместо конкуренции имеет место «взаимопомощь», что делает
возможным самовозбуждение системы. Параметры A1 , A2 и A3 и переменные Y1 ,
Y2 и Y3 по биологическому смыслу не могут быть меньше нуля.
Авторы модели обнаружили интересное динамическое поведение решений,
в том числе хаотическое (последнее отсутствует у классической модели).
1) Найдите два нетривиальных состояния равновесия (кроме (0,0,0), которое
является неустойчивым узлом). Проверьте, что нетривиальные состояния
равновесия устойчивы при 0  A3  A2 ; при A3  A2  0 , одно из них колебательно
неустойчиво, а другое - апериодически неустойчиво.
2) Идентифицируйте асимптотические режимы при Y (0)  (1, 0.5, 0.5) ,
h  0.01, t ÊÎÍ .  2000 для следующих наборов значений параметров:
1.0
0.5
1.0
1.0
1.0
A1
0.5
1.0
0.5
1.0
1.0
A2
0.5
1.5
1.1
1.1
1.05
A3
Источник: Samaradzija N., Greller L.D. Explosive route to Chaos through a fractal
torus in a generalized Lotka-Volterra model. //Bull, of Mathemat. Biology, 1988, v.50,
№5, pp. 465-491.
10. «Vallis»
В 1986 г. Дж. Валлис предложил простую модель для объяснения
необычного природного явления «Южные колебания Элъ-Ниньо»,
возникающего около экватора в восточной части Тихого океана из-за сильного
нагрева водной массы и действия пассатных ветров. Время от времени
наблюдаются заметные аномалии в распределении температур в западной и
восточной частях приэкваториальной области океана, что оказывает сильное
влияние на глобальный климат Земли.
Если не учитывать влияние пассатов, то данное явление можно описать
следующей системой уравнений:
Y1 '  A1 * Y2  A2 * Y1 , Y2 '  Y1 * Y3  Y2 , Y3 '  1  Y1 * Y2  Y3 ,
где Y1 - скорость движения воды на поверхности океана, Tw и Te - температура
воды на западном и восточном крае океана, соответственно, Y2  (Tw  Te ) / 2,
Y3  (Tw  Te ) / 2, A1 и A2 - параметры.
Эта модель по структуре уравнений похожа на известную и хорошо
изученную математиками модель Э. Лоренца, описывающую явление тепловой
конвекции [1], но содержит на один линейный член больше. Можно ожидать
сходства в поведении данной модели и модели Лоренца.
1) Проверьте, что, кроме очевидного состояния равновесия Y  (0, 0, 1)
существует ещё пара состояний равновесия: Y  ( A1 (1  A2 / A1 ) / A2 ,
 A2 (1  A2 / A1 ) / A1 , A2 / A1 ) .
2) Проверьте, что при A1  102 и A2  3 существует хаотический режим.
3) Определите области периодического и хаотического поведения ММ
при A2  3 , варьируя A1 в следующих диапазонах: а) [190, 310]; б) [50, 62]. Для
этого постройте две БД-3 для Y1 (t ) на интервале t  [200, 400] . Каков сценарий
перехода к хаосу?
Рекомендуется: h  0.02, Y (0)  (1, 0, 1) .
Источник: Vallis J.K. Conceptual models of El Nino / Southern oscillations // J.
Geophys. Res. 1988, v.93, pp.13979-13991.
11. «El Nino»
Нелинейное взаимодействие атмосферы, воды и пассатных ветров в
экваториальной области Тихого океана можно описать трёхмерной
неавтономной системой уравнений (сравните с моделью «Vallis»),
предложенной Дж. Валлисом в 1986 г.
Y1 '  A1 * (Y2  Y3 )  A2 * (Y1  f (t )), Y2 '  Y1 * Y3  Y2  A5 , Y3 '  Y1 * Y2  Y3  A5 , где Y1 скорость поверхностного течения в океане, Y2 и Y3 - температура поверхности
воды, соответственно, на западной и восточной окраинах водного бассейна,
f (t )  A3  A4 * sin( 2 * t ) - функция, описывающая влияние пассатных ветров
(внешнее воздействие), A1 ,  , A5 - параметры системы.
1) Проверьте, что имеются следующие состояния равновесия при f (t )  0 :
Y1   2 * A5  A2 / A1 * A1 / A2 ,
Y3  0.5 * A2 / A1 * (1  Y1 ) ;
Y2  0.5 * A2 / A1 * (1  Y1 ) ,
определите их устойчивость.
. 2) Идентифицируйте динамику автономной системы ( A3  A4  0) при
и
A2  2.5, A5  12
A1  7, 7.5, 9.2, 10, 11. Постройте бифуркационную
диаграмму №3 функции Y1 (t ) для A1  [6, 11] . Каков сценарий перехода к хаосу?
3) Идентифицируйте динамику неавтономной системы при A2  3 ,
A3  A4  0.45, A5  12 и изменении A1 от 7 до 15.
Рекомендуется взять h  0.01, t ÊÎÍ .  500, Y (0)  (0.2, 10, 15) .
Источники:
(1) Vallis G.K. A Chaotic dynamical System? //Science, 1986, v.232, pp. 243245.
(2) Gober M., Herzel H., Graf H.-F. Dimension analisys of El Nino / Southern
oscillations time series // Ann. Geophys., 1992, v. 10, p.729-734.
18. «Simple 3D-model»
Простая трёхмерная система с двумя квадратичными нелинейностями и
одним параметром A  0
Y1 '  1  A * Y2 * Y3 ,
Y2 '  Y1  Y2 , Y3 '  1  Y1 * Y2
моделирует некоторый автоколебательный процесс с диссипацией. Система по
структуре уравнений занимает промежуточное положение между знаменитыми
ЗО-системами Лоренца и Рёсслера и обладает некоторыми динамическими
свойствами этих систем. Надо определить эти свойства.
1) Убедитесь, что при любом значении A  0 система является
диссипативной (фазовые объёмы уменьшаются).
2) Найдите состояния равновесия системы и определите их
устойчивость.
3)
Варьируя параметр A в интервале (0, 15) определите в ходе ВЭ:
а)
области регулярных и хаотических колебаний;
б)
сценарии «входа»/«выхода» по параметру A в хаотическую область;
в)
формы и типы колебаний в следующих интервалах изменения A:
(6.0  6.2), (7.4  7.5), (8.15  8.35) .
4)
Что можно сказать об аттракторах при A  1.95, 1.978, 2, 3, 7, 9, 9.4, 12 ?
Источник: Новиков М.Д., Павлов Б.М. Об одной нелинейной модели со
сложной динамикой. //Вестник МГУ, сер. «Вычислительная математика и
кибернетика», 2000, №2.
Популяционное уравнение
уравнения) имеет вид:
19. «Hutchinson»
Хатчинсона (аналог логистического
Y '  A1 * Y * (1  Y (t  A2 ) / A3 ) ,
где Y - численность одновидовой популяции, A1  0 - коэффициент
экспоненциального ее роста, A3 - емкость среды обитания (определяет
максимально возможную численность вида), A2  0 - возраст производителей.
Смысл модели: уровень лимитирования популяции зависит не только от общей
численности Y(t) в любой момент t, определяемой ёмкостью среды Аз, но и от
количества половозрелых особей в момент t  A2 , где A2  0 .
1)Покажите, что уравнение имеет 2 состояния равновесия: Y *  0,
Y * *  A3 , причем первое неустойчиво при всех A1  0 , а второе - устойчиво при
A1 * A2   / 2 и неустойчиво при A1 * A2   / 2 .
Замечание 1. Данное уравнение при A2  0 (без запаздывания) имеет те же
неподвижные точки Y * и Y * * , причем Y * - всегда неустойчива, a Y * * - всегда
устойчива (проверьте).
2) Идентифицируйте поведение модели для следующих наборов параметров:
а)
б)
в)
A1  1.25, A2  1, A3  10 ;
A1  0.9, A2  1, 2, 3, 4, 5, A3  100 ,
A1  2, A2  1, 2, 3, 3.5, 4, A3  100 ; г) A1  1.6, A2  1, A3  1, 10, 100 . Покажите, что
уравнение имеет разнообразную динамику, в том числе релаксационные
колебания (хаос не обнаружен). Определите амплитуду и период каждого
решения. Рекомендуется: h  0.02, t ÊÎÍ .  500 .
Замечание 2. Данное уравнение изучали также экономисты Фриш и Холм
(1935 г.) в связи с анализом цикличности деловой активности; Райт (1955 г.) изучал
его в связи с распределением простых чисел.
Источник: [18, с. 134].
24. «Ikeda - 2»
Модель систем с запаздывающей обратной связью можно описать
уравнением:
Y '   A1 * Y  A2 *  * (1  sin( Y (t  A3 ))) ,
где A2 – бифуркационный параметр.
1)Какие решения существуют при A3  0 и вариации A1 и A2 в диапазоне
от 0 до 10?
2)Исследуйте эволюцию решения при A1  1, A3  40 и варьировании A2 от
0 до 1. Проверьте, что при некотором значении A2 (1) возникают периодические
колебания с периодом T0  2 * A3 ; с ростом A2 начинается переход к хаосу и при
некотором A2 ( 2) решение становится хаотичным. Найдите приближенно A2 (1) и
( 2)
A2 . Каков сценарий перехода к хаосу? Постройте БД-3. Что будет происходить
с каким-либо хаотическим решением, если а) уменьшать A3 от 40 до 1; б)
увеличивать A1 от 1 до 4? Проведите исследование, например, при А2=0.75.
Рекомендуется: h  0.02, Y (0)  1.
27. «VL-delay»
Модель Лотки-Вольтерры с двумя запаздываниями в виде системы
Y1 '  Y1 (2  2 * Y1 (t  A1 )  Y2 ), Y2 '  Y2 * (2  2 * Y2 (t  A2 )  Y1 ) ,
описывает динамику популяций двух конкурирующих видов Y1 и Y2 с учетом
насыщения; параметры A1 и A2 - запаздывания.
Проверьте следующие теоретические выводы.
1) При
A1  A2  0 существует устойчивое состояние равновесия
Y *  (2 / 3,2 / 3).
2)При увеличении A1 и A2 состояние Y * теряет устойчивость и возникают
периодические колебания Yi (t ) .
3)При дальнейшем возрастании A1 и A2 возникают по крайней мере 2 области
хаотических решений со странным аттрактором; переход к хаосу происходит
путём каскада удвоения периода колебаний.
4) При A1  A2 , изменяющимися в диапазоне от 1 до 1.8, асимптотический вид
решения зависит от начальных условий: может наблюдаться как неподвижная
точка, так и периодика. Рассмотрите случаи: a) Y1 (0)  Y2 (0) , 6) Y1 (0)  Y2 (0) .
Рекомендуется: h=0.01.
26. «Хищник - плодовитая жертва»
Взаимодействие хищника с сильно плодовитой жертвой описывается
системой:
Y1 '  A1 * Y1 * (1  A2 * (1  Y2 )  Y1 (t  A5 )) /(1  A2 ), Y2 '  A3 * (Y1  Y2 (t  A4 )) * Y2 .
В этой системе Y1 и Y2 - плотности популяций жертвы и хищника,
соответственно, A1 - мальтузианский коэффициент линейного роста
численности жертвы (при A1  1 жертва сильно плодовита), A2  0 -
коэффициент давления хищника на жертву (размер ее популяции сокращается в
( A2  1) раз), A3 - коэффициент линейного роста хищника, A4  0 - время, за
которое происходит смена поколений в популяции хищника. При Y2  0 (нет
хищника) получаем уравнение Хатчинсона, у которого существуют
периодические решения, но нет хаоса.
Проверьте следующие утверждения авторов ММ.
1)Существуют периодические решения системы при A1  A1 ÊÐ. При
A1  A1 ÊÐ.  1 решения приобретают хаотический характер, т.е. имеется странный
аттрактор (биологический смысл: нерегулярное изменение плотности хищника изза сильной неустойчивости его пищевой базы, т.е. от плотности жертвы); с
дальнейшим ростом AI странный аттрактор разрушается.
2)Если зафиксировать параметры A1  1, A2 , A4 , A5 и варьировать A3 , то должна
наблюдаться следующая динамика. При малых A3 аттрактором решений является
предельный цикл. С ростом A3 наступают хаотические колебания. С дальнейшим
ростом А 3 хаотические колебания снова переходят в периодические; возможен
также аттрактор - неподвижная точка (0, 0).
В первой серии ВЭ возьмите для определенности A2  A5  A3  1, A4  2 ; A1
изменяйте в диапазоне [1, 10].
Во второй серии ВЭ возьмите A1  3.5, A2  A5  1, A4  2; A3 изменяйте в
диапазоне [0.1, 3.1]. Постройте БД-3 по параметру A3 .
В обеих сериях ВЭ рекомендуется: t ÊÎÍ .  500, h  0.005, Y (0)  (5, 1) .