Программа Эко-3 - Высшая школа экономики

1
I. Пояснительная записка
Курс "Эконометрика-3" предназначен для студентов первого года
обучения магистратуры по направлению «Экономика».
Материал учебной дисциплины предназначен для использования в
практической деятельности, связанной с анализом реальных экономических
явлений и процессов в таких областях как, например, прикладная микро- и
макроэкономика, маркетинг и других. Полученные в данном курсе знания и
навыки необходимы при изучении спецкурсов по теории случайных процессов,
статистическому прогнозированию, применению методов теории вероятностей в
финансовой математике, принятию решений в условиях неопределенности и т.п.
Требования к студентам: курс "Эконометрика-3" рассчитан на студентов,
прослушавших первую часть магистерского курса «Введение в математические
методы экономического анализа», а также базовый вузовский курс математики
(включающий разделы математического анализа, линейной алгебры, методов
оптимальных решений, экономической статистики, теории вероятностей,
математической статистики).
Аннотация: учебный процесс состоит из посещения студентами лекций и
семинарских занятий, освоения методов анализа данных на основе практических
задач, выполняемые на компьютерах и защиты выполненных самостоятельных
исследований.
Курс состоит из пяти частей.
Часть 1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКОНОМИЧЕСКИХ ДАННЫХ.
Данная часть курса ставит целью дать навык работы в различных пакетах обработки
данных (Statistica, SPSS, Eviews, Stata), включая бутстрапирование, а также научить
методам многомерного статистического анализа: факторный, кластерный,
дискриминационный анализ. В качестве статистической базы для практических
занятий будут использоваться статистические базы данных национальных и
международных экономических институтов, таких как - Госкомстат, ЦБР, IMF,
WorldBank и другие.
Часть 2. ЭКОНОМЕТРИКА (ЗАКРЕПЛЕНИЕ БАЗОВОГО УРОВНЯ). Будет
проведено несколько семинаров по закреплению базовой эконометрики, на которых
будут обсуждаться методы от МНК-оценивания с обоснованием и тестированием
спецификации эконометрических моделей до простейших нелинейных моделей
(преобразрвания
Бокса-Кокса,
метод
максимального
правдоподобия,
инструментальные переменные). Практические занятия будут содержать примеры из
реальных исследований, а для закрепления навыков студентам будут предложены
темы самостоятельных исследований.
Часть 3. ЭКОНОМЕТРИКА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ. В этой части слушателям будет
предложен набор эконометрических методов работы с временными рядами от
простейших моделей распределенного лага и ARMA моделей до моделей GARCH и
коинтеграции временных рядов. Отдельное внимание будет уделено методам
диагностирования шоков и их последствий. Статистической базой практических
занятий будут макроэкономические и финансовые данные
Часть
4.
ЭКОНОМЕТРИКА
ПАНЕЛЬНЫХ
ДАННЫХ
И
МОДЕЛИ
МНОЖЕСТВЕННОГО ВЫБОРА. Данный раздел посвящен методам обработки
данных, имеющих смешанную пространственно-временную структуру (панели), а
также данным с дискретно-распределенной зависимой переменной. Будут
рассмотрены модели множественного выбора, включая модели Тобина и Хекмана
для усеченных и цензурированных данных. А для панельных данных одно- и
двунаправленные модели сложносоставной ошибки (one-way и two-way ECM) c
2
Within- и Between-оцениванием и проверка гипотез о природе индивидуального или
временного эффекта (модели со случайным и с фиксированным эффектом). В
качестве статистической базы для практических занятий будут использоваться базы
микроэкономических данных типа RLMS
Часть 5. СИСТЕМЫ РЕГРЕССИОННЫХ УРАВНЕНИЙ. Последняя часть
курса знакомит слушателей с методами оценивания систем уравнений разных типов
- от внешне не связанных уравнений (SUR-системы) до векторных авторегрессий
(VAR –модели). Рассматриваются вопросы индентифицируемости систем, а так же
двух-, и трех- шаговые методы наименьших квадратов (2SLS и 3SLS).
Учебная задача дисциплины: в результате изучения курса «Эконометрика2» студент должен:
- знать содержание дисциплины “Эконометрика” и иметь глубокие знания о
возможностях применения эконометрических методов в различных областях
экономики;
- уметь формулировать сложные микро- и макроэкономические модели,
владеть методами оценивания, верификации моделей; уметь проверять
предпосылки различных регрессионных моделей, знать последствия нарушений
соответствующих предпосылок;
- уметь разрабатывать новые эконометрические тесты, доказывать
простейшие утверждения относительно распределений выборочных статистик;
- иметь практические навыки работы с эконометрическим пакетом EViews,
статистическим пакетом STATISTICA и другими подобными системами.
II. Тематический план
Наименование разделов и тем
Часть 1. Статистический анализ
данных, дополнительные главы
Тема 1.1. Бутстрап
Тема 1.2. Робастные методы
оценивания
Всего по части 1
Часть 2. Линейная регрессия
Тема 2.1. Понятия линейной алгебры
и математической статистики, необходимые для доказательств в курсе
эконометрики
Тема 2.2. Классическая модель
линейной регрессии
Всего по части 2
Часть 3. Временные ряды
Тема 3.1. Временные ряды и
случайные процессы
Тема 3.2. Стационарные временные
ряды
Аудиторные часы
Лек Семи Всеции нары го
Самосто
ятельная
работа
Всего
Часов
2
2
4
4
8
2
2
4
4
8
4
4
8
8
16
2
2
4
4
8
2
2
4
4
8
4
4
8
8
16
2
2
4
4
8
1
1
2
4
6
3
Всего по части 3
Часть 4. Панельные данные. Модели
с дискретной зависимой переменной
Раздел 4.1. Панельные данные
Тема 4.1.0. Введение.
Тема 4.1.1. Модель однонаправленной
ошибки со специфическим индивидуальгым эффектом
Всего по части 4
Часть 5. Системы регрессионных
уравнениий
Тема 5.1. Системы одновременных
уравнений
Тема 5.2. Системы одновременных
уравнений в матричной форме.
Проблема идентифицируемости
Всего по теме 5
Всего
3
3
6
8
14
0,5
0.5
1
4
5
2
2
4
4
8
2.5
2.5
5
8
13
2
2
4
4
8
0.5
0.5
1
4
5
2.5
2.5
5
8
13
16
16
32
40
72
III. Формы контроля знаний студентов и структура итоговой
оценки
Предусмотрены домашние задания, тесты во время семинарских занятий,
написание контрольных и практических работ, а также – выполнение
индивидуального эконометрического проекта.
Промежуточные формы контроля – оценки за контрольные и
практические работы в конце каждой части курса. Итоговая форма контроля –
защита индивидуального проекта по окончании курса, оценка выставляется по
10 бальной системе.
– текущий контроль осуществляется путем проверки домашних заданий и
проведения тестов на семинарских занятиях.
– промежуточный контроль – в виде контрольных и практических работ в
каждой части курса
– итоговый контроль – в форме устной защиты индивидуального
эконометрического проекта по окончании курса
Накопительная оценка   за курс формируется из оценок контрольные
работы ( K i ) и оценок за практические работы (  i ) следующим образом:
  0.14K1  1   0.20K 2   2   0.16K 3   3   0.16K 4   4   0.14K 5   5  .
Итоговая оценка за курс O формируется на основе накопленной оценки
  и оценки I  , полученной в результате защиты индивидуального проекта
перед комиссией:
O  0.8   0.2 I .
IV. Литература
4
Базовый учебник
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный
курс. М.: ДЕЛО, 2005.
Основная литература
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный
курс. М.: ДЕЛО, 2005.
Айвазян С.А., Мхитарян В.С.. Прикладная статистика и основы
эконометрики, М.: Юнити, 1998.
Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2003.
Дополнительная литература
Анатольев С. Эконометрика для продолжающих, М.: РЭШ 2002
(электронное издание).
Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И.. Многомерные статистические методы, М.: ФиС. 2000.
Канторович Г.Г. Анализ временных рядов.// Экономический журнал ВШЭ,
№2, 2002.
Канторович Г.Г. Анализ временных рядов.// Экономический журнал ВШЭ,
№4, 2002.
Канторович Г.Г. Анализ временных рядов.// Экономический журнал ВШЭ,
№4, 2002, №1, 2003.
Носко В.П. Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных
рядов. — М., 2002. Электронное издание.
Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в
теорию и приложения. М.: «Мир». 2003.
Тюрин Ю.Н., Макаров А.А.. Анализ данных на компьютере, 3 изд. М.:
Инфра-М, 2003.
Baltagi B. Econometric analysis of Panel Data, 1986,
Charemza W.W., Deadman D.F. New Directions in Econometric Practice. 2nd
ed. Edward Elgar, 1997.
Cochrane J.H. Time Series for Macroeconomics and Finance, University of
Chicago, 1997 (электронное издание).
Mills T. Econometric Modelling of Financial Time Series. — Cambridge Univ.
Press, 1993.
V. Содержание программы.
Тема 0. Введение
Особенности анализа данных с различной структурой. Многообразие
статистического и эконометрического инструментария. Специализированные
статистические и эконометрические пакеты. Схема эконометрического
исследования.
Часть 1. Статистический анализ данных, дополнительные главы
Тема 1.1 Бутстрап
Истинное распределение и бутстраповское. Алгоритм бутстрапирования.
5
Бутстраповские статистики и доверительные интервалы для них. Проверка
гипотез при помощи бутстрапа. Корректировка смещения.
Методы построения псевдовыборок: методы для пространственных
данных, методы для временных рядов.
Основная литература:
С. Анатольев. Эконометрика для продолжающих, М.: РЭШ 2002
(электронное издание), глава 2.
Тема 1.2. Робастные методы оценивания
Смешение распределений. Распределение с «тяжелыми хвостами».
Оценки Хубера. Оценки Винзора. Критерии засорения Смирнова-Граббса,
Граббса, Титьена-Мурра.
Основная литература:
А.М. Дубров, В.С. Мхитарян, Л.И.Трошин. Многомерные статистические
методы, М.: ФиС, 2000, глава 9.
Тема 1.3. Критерии согласия и однородности
Критерии согласия Пирсона, Колмогорова-Смирнова, Фишера. Критерии
однородности Смирнова, Манна-Уитни, Уилкоксона. Критерии знаков, знаковых
ранговых сумм Уилкоксона, восходящих и нисходящих серий, критерий Аббе.
Основная литература:
С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. Прикладная статистика и основы
эконометрики, М.: Юнити, 1998, главы 8, 16.
Дополнительная литература:
Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров. Анализ данных на компьютере, 3 изд. М.:
Инфра-М, 2003, главы 3, 10.
Тема 1.4. Однофакторный анализ
Дисперсионный анализ (ANOVA).
Непараметрические критерии: Краскера-Уоллиса, Джонхиера.
Оценивание эффектов обработки: оценки сдвига, контраста. Эффекты
обработки в нормальной совокупности, метод Шеффе множественных
сравнений.
Основная литература:
Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров. Анализ данных на компьютере, 3 изд. М.:
Инфра-М, 2003, глава 6.
Тема 1.5. Двухфакторный анализ
Дисперсионный анализ (ANСOVA). Непараметрические критерии:
Фридмана, Пейджа.
Основная литература:
Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров. Анализ данных на компьютере, 3 изд. М.:
Инфра-М, 2003, глава 7.
Тема 1.6. Многомерная классификация
Классификация с обучающими выборками. Дискриминантный анализ,
случай нормальных классов. Расщепление смеси распределений.
Классификация без обучения. Кластерный анализ:
иерархические,
параллельные и последовательные процедуры.
Иерархические деревья.
6
Основная литература:
С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. Прикладная статистика и основы
эконометрики, М.: Юнити, 1998, глава 12
Дополнительная литература:
А.М. Дубров, В.С. Мхитарян,Л.И.Трошин. Многомерные статистические
методы, М.: ФиС, 2000, глава 7.
Тема 1.7. Методы снижения размерности
Кластерный анализ для признаков.
Метод главных компонент: разложение дисперсии, методы вычисления
главных компонент. Интерпретация и свойства главных компонент.
Факторный анализ: пространство факторов, метод главных факторов,
оценка и интерпретация факторов.
Литература:
Основная литература:
С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. Прикладная статистика и основы
эконометрики, М.: Юнити, 1998, глава 13
Дополнительная литература:
А.М. Дубров, В.С. Мхитарян,Л.И.Трошин. Многомерные статистические
методы, М.: ФиС, 2000, главы 5, 6.
Часть 2. Линейная регрессия
Тема 2.1. Понятия линейной алгебры и математической статистики,
необходимые для доказательств в курсе эконометрики
Симметричные матрицы, положительно определенные матрицы,
ортогональные преобразования, идемпотентные операторы.
Свойства статистических оценок (линейность, эффективность, несмещенность,
состоятельность). Центральная предельная теорема, закон больших чисел,
усиленный закон больших чисел, неравенства Чебышева, Маркова, Слуцкого.
Многомерное нормальное распределение. Методы точечных оценок. Оценка
максимального правдоподобия параметров многомерного нормального
распределения. Свойства оценок максимального правдоподобия.
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный
курс. М.: ДЕЛО, 2005. Приложение ЛА; Приложение МС §5, §7; Глава 10, §10.1 –
§10.4.
Дополнительная литература:
Айвазян С.А., Мхитарян В.С.. Прикладная статистика и основы
эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. Главы 4, 7.
Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2003. Chapter
17, §17.1 – §17.4.
Тема 2.2. Классическая модель линейной регрессии
Аксиоматика и свойства условного математического ожидания. Общее
понятие регрессии. Модель множественной линейной регрессии. Метод
наименьших квадратов (МНК). Геометрический смысл построения линейной
регрессии. Теорема Гаусса-Маркова.
Основная литература:
7
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный
курс. М.: ДЕЛО, 2005. Глава 3, §3.1 – §3.2; Приложение МС §2.
Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2003. Chapters
1–4.
Дополнительная литература:
Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в
теорию и приложения. М.: «Мир». 2003. Приложение В.
Тема 2.3. Статистические свойства МНК-оценок (доказательства)
Лемма Фишера (которая понадобится в двух версиях).
Пусть M – симметричная идемпотентная n  n -матрица ранга r,  стандартный n-мерный нормальный вектор. Тогда случайная величина  T M
имеет распределение  2 r  .
Пусть  ~ N m,  - n-мерный нормальный вектор. Тогда случайная
величина   m   1   m  имеет распределение  2 n .
Распределение суммы квадратов ошибок. Независимость оценок
коэффициентов линейной регрессии и оценки дисперсии ошибок.
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный
курс. М.: ДЕЛО, 2005. Глава 3, §3.3; Приложение МС §4.
T
Тема 2.4. Проверка гипотез о свойствах модели
Доказательство, что если верна нулевая гипотеза о равенстве значения i-го
ˆi   0
параметра  i некоторому значению  0 , то t-статистика
имеет
ˆ ˆ
i
распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным числу
наблюдений минус число регрессоров при условии линейной независимости
столбцов их значений. Проверка гипотезы H 0 : i  i 0 .
Доказательство того, что если верна гипотеза о незначимости модели в
целом, то соответствующая статистика имеет распределение Фишера с
соответствующим числом степеней свободы числителя и знаменателя. Проверка
гипотезы H 0 :  2  3  ...   k  0 .
Доказательство соответствующей теоремы для проверки линейной
гипотезы общего вида. Проверка линейного ограничения общего вида.
Рассмотрение частного случай общей линейной гипотезы, когда матрица
ограничений имеет блочно-диагональную структуру, откуда следует
возможность построения теста «короткая регрессия против длинной».
Рассмотрение еще одного частного случая, из которого следует
эквивалентность t-теста F-тесту для частной F-статистики.
Обоснование теста Чоу как частного случая теста «короткая регрессия
против длинной».
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный
курс. М.: ДЕЛО, 2005. Глава 3, §3.5; Приложение МС §4.
Дополнительная литература:
Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2003. Chapter 6.
8
Тема 2.5. Анализ вариации зависимой переменной
Доказательства некоторых простых утверждений, связанные с
дисперсионным анализом уравнения регрессии. Выборочные коэффициент
детерминации и скорректированный коэффициент детерминации. Построение
доверительного интервала для коэффициента детерминации (истинного). Отбор
наиболее существенных объясняющих переменных на основе построения
нижней границы доверительного интервала для истинного значения
скорректированного коэффициента детерминации.
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный
курс. М.: ДЕЛО, 2005. Глава 3, §3.4; Приложение МС §4.
Дополнительная литература:
Айвазян С.А., Мхитарян В.С.. Прикладная статистика и основы
эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. Глава 15, §15.4.2.III.
Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2003. Chapter 3,
§3.5.
Тема 2.6. Различные аспекты множественной регрессии
Фиктивные переменные. Ошибки спецификации (пропущенные
переменные, включение лишних переменных, выбор формы модели) и их
последствия, RESET тест Рамсея. Мультиколлинеарность, ее последствия и
преодоление. Частная корреляция. Алгоритмы спецификации модели.
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный
курс. М.: ДЕЛО, 2005. Глава 4.
Дополнительная литература:
Айвазян С.А., Мхитарян В.С.. Прикладная статистика и основы
эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. Глава 15, §15.4, §15.5, §15.11.2.
Тема 2.7. Ослабление предпосылок классической линейной регрессионной
модели
Гетероскедастичность: постановка задачи, тестирование,(визуальный
анализ остатков, тесты Уайта, Глейзера, Голдфельда-Квандта, Бреуша-Пагана и
др.), оценивание модели в условиях гетероскедастичности.
Автокорреляция: постановка задачи, тестирование (визуальный анализ
остатков, тесты Дарбина-Уотсона, Дарбина h, множителей Лагранжа и др.),
оценивание модели в условиях автокорреляции.
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный
курс. М.: ДЕЛО, 2005. Глава 6.
Дополнительная литература:
Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2003. Chapters
11, 12.
Тема 2.8. Обобщения классической модели линейной регрессии
Множественная регрессия со стохастическими регрессорами.
Обобщенный метод наименьших квадратов. Доступный обобщенный метод
наименьших квадратов.
9
Инструментальные переменные. Состоятельность оценок, полученных с
помощью инструментальных переменных. Двухшаговый метод наименьших
квадратов. Тест Хаусмана.
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный
курс. М.: ДЕЛО, 2005. Главы 5, 8.
Дополнительная литература:
Айвазян С.А., Мхитарян В.С.. Прикладная статистика и основы
эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. Глава 15, §15.10.
Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2003. Chapter 5,
§5.4, §5.5; chapter 10.
Тема 2.9. Прогнозирование в регрессионных моделях
Безусловное
прогнозирование.
Условное
прогнозирование.
Прогнозирование при наличии авторегрессии ошибок.
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный
курс. М.: ДЕЛО, 2005. Глава 7.
Дополнительная литература:
Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2003. Chapter 6,
§6.6.
Тема 2.10. Метод максимального правдоподобия в регрессионных моделях
Оценка максимального правдоподобия в линейной модели. Проверка
гипотез в линейной модели. Нелинейные ограничения.
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный
курс. М.: ДЕЛО, 2005. Глава 10, §10.5 – §10.8.
Дополнительная литература:
Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2003. Chapter
17, §17.5, §17.6.
Часть 3. Временные ряды
Тема 3.1. Временные ряды и случайные процессы
Понятие временного ряда. Случайный процесс, порождающий временной
ряд. Пространственные и временные совокупности. Слабая и сильная
стационарность временных рядов. Эргодичность. Характеристики слабо
стационарного временного ряда и их оценка. Основные компоненты временного
ряда: тренд, сезонная, стационарная компоненты. Линейный фильтр, теорема
Уолда. Моделирование стационарных временных рядов с помощью разностных
уравнений. Белый шум.
Основная литература:
Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы
эконометрики.— М.: Юнити, 1998. (Гл.16)
Дополнительная литература:
Mills T. Econometric Modelling of Financial Time Series. — Cambridge Univ.
Press, 1993. (Гл 2)
10
Тема 3.2. Стационарные временные ряды
Модели авторегрессии AR(p). Модели скользящего среднего MA(q).
ARMA(p,q) модели. Взаимосвязь между характеристиками процессов и
параметрами моделей. Уравнения Юла-Уокера. Характеристическое уравнение и
его корни. Оператор лага. Представление ARMA моделей в операторной форме.
Свойство
стационарности
AR
процессов.
Необходимый
критерий
стационарности. Обратимость MA(q) процессов. Автокорреляционная и частная
автокорреляционная функции.
Процедура Бокса-Дженкинса построения модели ARMA. Проверка
гипотез о правильной спецификации ARMA модели. Статистики Бокса-Пирса и
Льюинга-Бокса. Тест множителей Лагранжа для проверки автокорреляции.
Определение порядка моделей: информационные критерии Акаике и Шварца.
Прогнозирование с помощью моделей ARMA(p,q). Оптимальность линейного
прогноза на основе условного мат. ожидания. Построение точечного прогноза.
Дисперсия ошибки прогноза. Асимптотические свойства прогноза и дисперсии
ошибки. Проверка качества модели на основе критериев прогнозирования
(predictive criteria).
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный
курс: Учебник. — М.: Дело, 2005. (разд.11.4)
Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы
эконометрики.— М.: Юнити, 1998. (Гл.16)
Green W.H. Econometric Analysis. — 4th ed. Prentice Hall International, Inc.
(главы 9, 18)
Дополнительная литература:
Mills T. Econometric Modelling of Financial Time Series. — Cambridge Univ.
Press, 1993. (Гл 2)
Тема 3.3. Оценка ARMA моделей
Оценка AR моделей. Состоятельность и асимптотическая нормальность
МНК оценок коэффициентов авторегрессии. Условия состоятельности. Оценки
авторегрессии при наличии автокорреляции ошибок. Оценка моделей
скользящего среднего методом максимального правдоподобия и поиска на сетке.
Оценка ARMA моделей.
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный
курс: Учебник. — М.: Дело, 2005. (разд.11.2)
Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы
эконометрики.— М.: Юнити, 1998. (Гл.16)
Green W.H. Econometric Analysis. — 4th ed. Prentice Hall International, Inc.
(главы 9, 18)
Дополнительная литература:
Носко В.П. Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных
рядов. — М., 2002. Электронное издание. (гл. 1, разд. 4.1)
11
Канторович Г.Г. Анализ временных рядов.// Экономический журнал ВШЭ,
№2, 2002.
Тема 3.4. Нестационарные временные ряды
Нестационарность в среднем и в дисперсии. Детерминированный и
стохастический тренды. TS и DS ряды. Операции исключения тренда. Процесс
случайного блуждания. Автокорреляционная функция для процесса случайного
блуждания. ARIMA(p,d,q) модели. Прогнозирование для нестационарных
временных рядов и поведение ошибки прогноза. Единичные корни и тесты
Дикки-Фуллера на наличие единичных корней. Обобщенные тесты ДиккиФуллера и Филлипса-Перрона. Случай нескольких единичных корней. Анализ
временных рядов со структурными сдвигами.
Нестационарность в дисперсии. Преобразование Бокса- Кокса.
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный
курс: Учебник. — М.: Дело, 2005. (разд.11.3)
Green W.H. Econometric Analysis. — 4th ed. Prentice Hall International, Inc.
(разд 18.3)
Дополнительная литература:
Носко В.П. Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных
рядов. — М., 2002. Электронное издание. (гл. 5, 6)
Тема 3.5. Моделирование сезонности и адаптивное прогнозирование
Мультипликативная и аддитивная модели отношения к скользящему
среднему. Сезонная авторегрессия (SAR). Использование фиктивных
переменных. Методы Census X11, X12. Экспоненциальное сглаживание. Метод
Хольта-Винтерса.
Основная литература:
Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы
эконометрики.— М.: Юнити, 1998. (Гл.16)
Дополнительная литература:
Канторович Г.Г. Анализ временных рядов.// Экономический журнал ВШЭ,
№4, 2002.
Тема 3.6. Модели с условной гетероскедастичностью
Модели ARCH(m) (Энгл) и GARCH(p,q) (Боллерслев). Свойства ARCH и
GARCH процессов: стационарность, толстые хвосты, существование моментов.
Оценка ARCH и GARCH процессов. Метод максимального правдоподобия и его
асимптотические свойства. Тесты на наличие ARCH- эффектов.
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный
курс: Учебник. — М.: Дело, 2005. (разд.11.5)
Green W.H. Econometric Analysis. — 4th ed. Prentice Hall International, Inc.
(раздел 18.5)
Дополнительная литература:
12
Mills T. Econometric Modelling of Financial Time Series. — Cambridge Univ.
Press, 1993 (гл.4)
Тема 3.7. Модели, включающие несколько переменных
Модели распределенных лагов (ADL). Понятие экзогенности. Слабая,
сильная и супер-экзогенность переменных. Причинность по Грэнджеру (Granger
causality).
Ложная регрессионная зависимость. Свойства оценок МНК при
нестационарных переменных в регрессионном уравнении. Коинтеграция.
Тестирование коинтеграции. Тест Энгла-Гренджера.
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный
курс: Учебник. — М.: Дело, 2005. (разд. 11.1, 11.3)
Green W.H. Econometric Analysis. — 4th ed. Prentice Hall International, Inc.
(гл. 17, раздел 18.4)
Дополнительная литература:
Носко В.П. Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных
рядов. — М., 2002. Электронное издание. (гл. 7, 8)
Charemza W.W., Deadman D.F. New Directions in Econometric Practice. 2nd
ed. Edward Elgar, 1997. (гл. 5, 7)
Часть 4. Панельные данные. Модели с дискретной зависимой переменной
Раздел 4.1. Панельные данные
Тема 4.1.0. Введение
Преимущества и трудности при использовании панельных данных, общий
обзор проблематики анализа панельных данных. Модель составной ошибки
(error component model). Типы моделей с панельными данными.
Основная литература:
Я. Магнус, П. Катышев, А. Пересецкий. Эконометрика. Начальный курс.
М., «Дело» 2006, глава 13.1, 13.2
Дополнительная литература:
Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы, М.:
ИЭПП , 2005, глава 3.1
Анатольев С. Курс лекций Эконометрика-4, РЭШ,1983 (электронное
издание), глава 4.1
Тема 4.1.1. Модель однонаправленной ошибки со специфическим
индивидуальным эффектом
Спецификация модели, детерминированный и случайный специфический
эффект, операторы “Between” и “Within”
Виды оценок: МНК, “Between” и “Within”, оценки ОМНК и доступного
МНК, декомпозиция оценок, сравнительный анализ оценок.
Основная литература:
Я. Магнус, П. Катышев, А. Пересецкий. Эконометрика. Начальный курс.
М., «Дело» 2006, глава 13.3, 13.4
13
Дополнительная литература:
Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы, М.:
ИЭПП , 2005, глава 3.2, 3.3
Анатольев С. Курс лекций Эконометрика-4, РЭШ,1983 (электронное
издание), глава 4.2, 4.4
Baltagi B. Econometric analysis of Panel Data, 1986, ch2
Тема 4.1.2. Тестирование спецификации модели однонаправленной ошибки
со специфическим индивидуальным эффектом
Критика Мундлака спецификации модели сложной ошибки. Тест Вальда
на индивидуальные детерменированные эффекты. Тест Бреуш-Пагана на
случайные индивидуальные эффекты
Тест Хаусмана на выбор между случайным и детерминированным
эффектом, принцип теста, применение к модели сложной ошибки, тест на
наличие индивидуального эффекта, границы применимости теста
Основная литература:
Я. Магнус, П. Катышев, А. Пересецкий. Эконометрика. Начальный курс.
М., «Дело» 2006, глава 13.6
Дополнительная литература:
Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы, М.:
ИЭПП , 2005, глава 3.5
Анатольев С. Курс лекций Эконометрика-4, РЭШ,1983 (электронное
издание), глава 4.5
Baltagi B. Econometric analysis of Panel Data, 1986, ch4
Тема 4.1.3. Оценивание моделей панельных данных в условиях
гетероскедастичности
Источники и способ учета гетероскедастичности ошибок в моделях со
специфическим индивидуальным эффектом, метод оценивания и тестирования
моделей с серийно коррелированными ошибками
Основная литература:
Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы, М.:
ИЭПП , 2005, глава 3.6
Baltagi B. Econometric analysis of Panel Data, 1986, ch5
Тема 4.1.4. Качество подгонки в модели однонаправленной ошибки со
специфическим индивидуальным эффектом
Уточнение понятия коэффицента детереминации.
Модификации коэффицента детерминации
Основная литература:
Я. Магнус, П. Катышев, А. Пересецкий. Эконометрика. Начальный курс.
М., «Дело» 2006, глава 13.5
Дополнительная литература:
Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы, М.:
ИЭПП , 2005, глава 3.4
Тема 4.1.5. Подходы к оцениванию других видов моделей составной ошибки
Модель составной ошибки с динамическим специфическим эффектом.
Модель двунаправленной составной ошибки. Динамическая модель панельных
данных. Специфические эффекты для собственных регрессоров.
14
Оценивание моделей с несбалансированными панелями, псевдопанелей и
панелей с замещением
Основная литература:
Я. Магнус, П. Катышев, А. Пересецкий. Эконометрика. Начальный курс.
М., «Дело» 2006, глава 13.7, 13.9
Дополнительная литература:
Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы, М.:
ИЭПП , 2005, глава 3.7, 3.10, 3.11
Анатольев С. Курс лекций Эконометрика-4, РЭШ,1983 (электронное
издание), глава 4.3, 4.6
Baltagi B. Econometric analysis of Panel Data, 1986, ch3, ch6-ch10
Раздел 4.2 Модели с дискретной зависимой переменной
Тема 4.2.0. Введение
Модели с дискретными переменными и область их применения.
Количественные зависимые переменные, принимающие дискретные значения
неупорядоченные, упорядоченные и последовательные, модели голосования
Основная литература:
Я. Магнус, П. Катышев, А. Пересецкий. Эконометрика. Начальный курс.
М., «Дело» 2006, глава 12.1.
Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2003. Ch 21.121.2.
Дополнительная литература:
Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы, М.:
ИЭПП , 2005, глава 1.1.1
Тема 4.2.1. Модели бинарного выбора
Линейная вероятностная модель, Probit, Logit.
Метод максимального правдоподобия, асимптотика МП оценок. Проверка
гипотез в моделях бинарного выбора.
Прогнозирование и интерпретация в моделях бинарного выбора: оценка
вероятностей и предельных эффектов сосбтвенных регрессоров.
Основная литература:
Я. Магнус, П. Катышев, А. Пересецкий. Эконометрика. Начальный курс.
М., «Дело» 2006, глава 12.1.
Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2003. Ch 21.321.4.2
Дополнительная литература:
Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы, М.:
ИЭПП , 2005, глава 1.1.2, 1.14
Тема 4.2.2. Оценка качества модели бинарного выбора
Неадекванность коэффициента детерминции R2
Другие показатели качества: модификация коэффицента детерминации,
псевдо-R2, LR –статистика,
коэффициент детерминации Мак-Фаддена LRI
(индекс отношения правдоподобий), информационный критерии, таблицы
сопряженности.
Основная литература:
Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2003. Ch 21.4.5.
15
Дополнительная литература:
Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы, М.:
ИЭПП , 2005, глава 1.1.3.
Тема 4.2.3. Модели множественного выбора
Модели последовательного выбора, иерархические деревья. Модель с
ранговой зависимой переменной. Модели сравнения альтернатив, множественная
логистическая регрессия и ее модификации
Основная литература:
Я. Магнус, П. Катышев, А. Пересецкий. Эконометрика. Начальный курс.
М., «Дело» 2006, глава 12.1.
Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2003. Ch 21.721.8.
Дополнительная литература:
Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы, М.:
ИЭПП , 2005, глава 1.1.6.
Тема 4.2.4. Подходы к оцениванию других видов моделей множественного
выбора
Оценивание по сгруппированным данным. Модели дискретного выбора с
панельными данными
Основная литература:
Я. Магнус, П. Катышев, А. Пересецкий. Эконометрика. Начальный курс.
М., «Дело» 2006, глава 13.8.
Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2003. Ch 21.5,
21.9.
Дополнительная литература:
Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы, М.:
ИЭПП , 2005, глава 3.12.
Тема 4.2.5. Модели с цензурированными и усеченными выборками
Урезание и цензурирование. Оценивание параметров нормального
усеченного распределения. Смещенность МНК оценок в урезанных выборках.
Оценивание моделей с цензурированием: модель Тобина, модель Хекмана
Основная литература:
Я. Магнус, П. Катышев, А. Пересецкий. Эконометрика. Начальный курс.
М., «Дело» 2006, глава 12.2.
Green W.H. Econometric analysis. New Jersey: Prentice Hall, 2003. Ch 22.222.4.
Дополнительная литература:
Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы, М.:
ИЭПП , 2005, глава 1.7, 1.8 .
Часть 5. Системы регрессионных уравнений
Тема 5.1. Системы одновременных уравнений
Внешне не связанные уравнения. Системы одновременных уравнений.
Пример оценки кривых спроса и предложения. Структурная и приведенная
формы модели.
16
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный
курс. М.: «ДЕЛО». 2005. Глава 9, §9.1 – §9.2.
Дополнительная литература:
Greene W. H. Econometric analysis, 3rd ed., Prentice Hall inc., 1997. Глава 16.
Тема 5.2. Системы одновременных уравнений в матричной форме.
Проблема идентифицируемости
Ранговое и порядковое условия идентифицируемости. Оценивание систем
одновременных уравнений. Косвенный метод наименьших квадратов.
Двухшаговый метод наименьших квадратов. Трехшаговый метод наименьших
квадратов. Тест Хаусмана. Модель Клейна.
Основная литература:
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный
курс. М.: «ДЕЛО». 2005. Глава 9, §9.2; Глава 13, §13.6.
Тема 5.3. Векторная авторегрессия
Приведенная форма векторной авторегрессии (VAR). Оценка
коэффициентов, условие стационарности, определение порядка авторегрессии.
Функция импульсной отдачи. Разложение дисперсии. Структурная форма VAR.
Наложение идентифицирующих ограничений. Анализ причинности. Проверка
коинтеграции: тест Йохансена. Модель коррекции ошибок.
Основная литература:
Канторович Г.Г. Анализ временных рядов.// Экономический журнал ВШЭ,
№4, 2002, №1, 2003.
Дополнительная литература:
Charemza W.W., Deadman D.F. New Directions in Econometric Practice. 2nd
ed. Edward Elgar, 1997. (гл. 6)
Cochrane J.H. Time Series for Macroeconomics and Finance, University of
Chicago, 1997. (электронное издание) (гл. 7)
VI. Вопросы к зачету/экзамену:
По части 1:
1. Алгоритм бутстрапирования.
2. Бутстраповские статистики и доверительные интервалы для них.
3. Бутстрап: корректировка смещения, связанного с конечностью
выборки.
4. Методы построения псевдовыборок для пространственных данных.
5. Методы построения псевдовыборок для временных рядов.
6. Устойчивые методы оценивания параметров положения: оценки
Хубера.
7. Устойчивые методы оценивания параметров положения: оценки
Винзора.
8. Критерии засорения Смирнова-Граббса, Граббса, Титьена-Мурра.
9. Критерии согласия.
17
10. Критерии однородности.
11. Однофакторный анализ: непараметрические критерии проверки
однородности.
12. Однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA).
13. Однофакторный анализ: оценивание эффектов обработки в
нормальной модели.
14. Двухфакторный дисперсионный анализ (ANCOVA).
15. Двухфакторный анализ: непараметрические критерии проверки
гипотезы об отсутствии эффекта обработки.
16. Классификация при наличии обучающих выборок. Параметрический
дискриминантный анализ в случае нормальных классов.
17. Классификация без обучения. Задача расщепления смесей
распределений.
18. Классификация без обучения. Основные типы задач кластер-анализа и
основные типы кластер-процедур.
19. Метод главных компонент. Интерпретация и свойства главных
компонент. Вычисление главных компонент.
20. Факторный анализ: задачи факторного анализа, интерпретация и
оценка факторов.
По части 2:
Симметричные матрицы, положительно определенные матрицы,
ортогональные преобразования, идемпотентные операторы.
2. Свойства статистических оценок (линейность, эффективность,
несмещенность, состоятельность).
3. Центральная предельная теорема, закон больших чисел, усиленный
закон больших чисел, неравенства Чебышева, Маркова, Слуцкого.
4. Многомерное нормальное распределение. Методы точечных оценок.
5. Оценка максимального правдоподобия параметров многомерного
нормального распределения. Свойства оценок максимального
правдоподобия.
6. Аксиоматика и свойства условного математического ожидания.
Общее понятие регрессии.
7. Модель множественной линейной регрессии. Метод наименьших
квадратов (МНК).
8. Геометрический смысл построения линейной регрессии. Теорема
Гаусса-Маркова.
9. Лемма Фишера. Распределение суммы квадратов ошибок.
10. Независимость оценок коэффициентов линейной регрессии и оценки
дисперсии ошибок (доказательство).
11. Доказательство, что если верна нулевая гипотеза о равенстве
значения i-го параметра  i некоторому значению  0 , то t-статистика
ˆi   0
имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы,
ˆ ˆ
1.
i
равным числу наблюдений минус число регрессоров при условии
линейной независимости столбцов их значений. Проверка гипотезы
H 0 : i  i 0 .
18
12. Доказательство того, что если верна гипотеза о незначимости модели
в целом, то соответствующая статистика имеет распределение
Фишера с соответствующим числом степеней свободы числителя и
знаменателя. Проверка гипотезы H 0 :  2  3  ...   k  0 .
13. Проверка линейного ограничения общего вида (доказательство
теоремы).
14. Рассмотрение частного случай общей линейной гипотезы, когда
матрица ограничений имеет блочно-диагональную структуру. Тест
«короткая регрессия против длинной».
15. Доказательство эквивалентности t-теста F-тесту для частной Fстатистики.
16. Обоснование теста Чоу как частного случая теста «короткая
регрессия против длинной».
17. Выборочные коэффициент детерминации и скорректированный
коэффициент детерминации. Построение доверительного интервала
для коэффициента детерминации (истинного).
18. Ошибки спецификации (пропущенные переменные, включение
лишних переменных, выбор формы модели) и их последствия,
RESET тест Рамсея.
19. Мультиколлинеарность, ее последствия и преодоление.
20. Частная корреляция.
21. Алгоритмы спецификации модели.
22. Гетероскедастичность.
Оценивание
модели
в
условиях
гетероскедастичности.
23. Автокорреляция. Оценивание модели в условиях автокорреляции.
24. Множественная регрессия со стохастическими регрессорами.
25. Обобщенный метод наименьших квадратов. Доступный обобщенный
метод наименьших квадратов.
26. Инструментальные переменные. Состоятельность оценок,
полученных с помощью инструментальных переменных.
27. Безусловное прогнозирование. Условное прогнозирование.
28. Прогнозирование при наличии авторегрессии ошибок.
29. Оценка максимального правдоподобия в линейной модели.
30. Проверка гипотез в линейной модели. Нелинейные ограничения.
По части 3:
1. Специфика моделирования финансово-экономических временных рядов.
2. Свойства временных рядов: эргодичность, слабая и сильная
стационарность.
3. Авторегрессионные модели. Свойства.
4. Уравнения Юла-Уокера.
5. Характеристическое уравнение процесса авторегрессии и его корни.
Условие стационарности.
6. Процесс скользящего среднего. Обратимость.
7. Теорема Уолда. Линейный фильтр.
8. ARMA(p,q) модели
9. Автокорреляционная функция
10. Частная автокорреляционная функции
19
11. Процедура Бокса-Дженкинса построения модели ARMA.
12. Проверка правильности спецификации ARMA модели. Статистики БоксаПирса и Льюинга-Бокса.
13. Информационные критерии Акаике и Шварца.
14. Прогнозирование с помощью моделей ARMA. Дисперсия ошибки
прогнозирования.
15. Оценка качества прогноза. Критерии прогнозирования (predictive criteria)
16. Детерминированный и стохастический тренды. TS и DS ряды. Операции
исключения тренда.
17. Процесс случайного блуждания.
18. ARIMA(p,d,q) модели.
19. Прогнозирование для нестационарных временных рядов и поведение
ошибки прогнозирования.
20. Единичные корни и тесты Дикки-Фуллера на наличие единичных корней.
21. Нестационарность в дисперсии. Преобразование Бокса- Кокса.
22. Экспоненциальное сглаживание.
23. Модель Хольта-Винтерса.
24. Моделирование сезонности
25. Модели ARCH(m) и GARCH(p,q).
26. Свойства ARCH и GARCH процессов: стационарность, существование
моментов, толстые хвосты.
27. Оценка ARCH и GARCH процессов.
28. Тесты на наличие ARCH- эффектов.
29. Ложная регрессионная зависимость.
30. Коинтеграция. Тестирование коинтеграции.
31. Модели распределенных лагов (ADL).
32. Понятие экзогенности. Слабая, сильная и супер-экзогенность
переменных.
33. Тест причинности по Грэнджеру
По части 4:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Модель многокомпонентной ошибки.
Модель со специфическим индивидуальным эффектом.
Оператор “Between”
Оператор “Within”
Виды оценок
Тест Хаусмана
Классификация линейных регрессионных моделей анализа панельных
данных
Источники и способ учета гетероскедастичности ошибок в моделях со
специфическим индивидуальным эффектом
Метод оценивания и тестирования моделей с серийно коррелированными
ошибками
Оценивание динамических моделей
Оценивание моделей с несбалансированными панелями
Оценивание псевдо панелей и панелей с замещением
Модели с дискретными переменными и область их применения
Модели бинарного выбора
Линейная вероятностная модель, Probit, Logit
20
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Метод максимального правдоподобия
Модели с линейными ограничениями
LM тест
Тест Вальда
Проверка адекватности модели и значимости регрессоров
Прогнозирование
Ошибки спецификации- гетероскедастичность и недоопределенность
Probit для панельных данных
Logit для панельных данных
Модели множественного выбора по сгруппированным данным
Модели множественного выбора
Усеченные выборки
Цензурированные выборки
Tobit модель
Heckit модель
По части 5:
1. Внешне не связанные уравнения. Системы одновременных уравнений.
2. Пример оценки кривых спроса и предложения. Структурная и
приведенная формы модели.
3. Ранговое и порядковое условия идентифицируемости. Оценивание
систем одновременных уравнений.
4. Косвенный метод наименьших квадратов.
5. Двухшаговый метод наименьших квадратов.
6. Тест Хаусмана. Модель Клейна.
7. Приведенная форма векторной авторегрессии.
8. Структурная форма VAR.
9. Тест Йохансена.
10. Модель коррекции ошибок.
VIII. Варианты вопросов и задач контрольных/зачетных работ
По части 1:
2. Имеется выборка { xi }in1 из распределения со средним  . Используя
2
1 n 
бутстрап, скорректируйте смещение оценки x    xi  параметра  2 .
 n i 1 
n
3. Имеется выборка { xi }i 1 из распределения, симметричного относительно
2
n
точки  . Число ̂ , доставляющее минимум функции L p ( ˆ )   xi  ˆ ,
p
i 1
p  [1,2) называется (робастной) L p -оценкой параметра  . Найдите L0 -
оценку параметра  при нечетном n .
4. С целью выяснения влияния наличия высшего образования на размер оплаты
труда, были собраны данные о среднемесячных заработных платах 25-летних
21
респондентов с высшим образованием и без высшего образования.
Результаты представлены следующей таблице.
Выборочная
Кол-во
средняя
Выборочная
респондентов
заработная
дисперсия
плата, тыс. руб.
Респонденты без
32
25
384
высшего образования
Респонденты с высшим
30
31
316
образованием
Используя F-критерий однородности дисперсий, проверьте гипотезу об
однородности двух выборок (на уровне значимости 0.05).
5. По результатам обследования 24 предприятий по 3-м показателям
(коэффициент общей ликвидности, рентабельность собственного капитала,
оборачиваемость активов) была определена выборочная ковариационная
 451 217 169 


матрица  271 171 103  . Найдите главные компоненты и относительные
169 103 67 


доли суммарной дисперсии, обусловленные одной, двумя и тремя главными
компонентами.
6. По данным, представленным в таблице, проведите классификацию 4-х
инвестиционных проектов по двум показателям (внутренняя норма
доходности и период окупаемости проекта).
Номер проекта
1
2
3
4
Показатель
Внутренняя норма
6
10
4
9
доходности (IRR), %
годовых
Период окупаемости
9
6
2
8
(PP), мес.
Классификацию проведите по иерархическому агломеративному алгоритму с
использованием обычного евклидова расстояния, а расстояние между кластерами
определите по принципу «ближайшего соседа» и «центра тяжести».
По части 2:
1. Всегда ли доверительный интервал для
1   2
шире каждого из
доверительных интервалов для  1 и  2 ? Если да, то почему? Предполагается,
что все условия классической линейной регрессионной модели выполнены.



1
~
2. Рассмотрим оценку вида   X T X  I X T y для вектора коэффициентов
регрессионного уравнения y  X   ( I – единичная k  k -матрица, k – число
регрессоров).
~
А) Найдите математическое ожидание, матрицу ковариаций оценки  и матрицу
T
~
~
~
MSE   E       .
 



22
~
Б) Можно ли найти  такое, что оценка  более эффективна, чем оценка метода
наименьших квадратов ˆ (т. е. для всех i  1,  , k верно, что
~
MSE  i  MSE ˆi )?
3. Вместо того, чтобы оценивать параметры  1 ,  2 в модели
y  X 1 1  X 2  2  
(1)
 
 
( X 1 , X 2 – n  k 2 , n  k1 матрицы соответственно,  1 ,  2 – векторы размерности
k1 , k 2 соответственно), строятся МНК-оценки этих параметров исходя из модели
y  X 1* 1  X 2  2   * ,
(2)
где X 1* – матрица остатков, полученных в результате регрессии каждого столбца
матрицы X 1 на X 2 .
А) Покажите, что полученная таким образом оценка вектора  2 совпадает с
оценкой, полученной в результате регрессии y только на X 2 .
Б) Найдите смещение оценки  2 .
В) Покажите, что МНК-оценки вектора  1 , построенные по моделям (1) и (2),
совпадают.
r ( y, x1 )  r ( y, x 2 )r ( x1 , x 2 )
4. Докажите равенство r  y, x1 x 2  
, связывающее
1  r 2 ( x1 , x 2 ) 1  r 2 ( y, x2 )
коэффициенты частной и обычной корреляции.
5. Процесс, порождающий данные (истинная модель), описывается
соотношениями: yt  1 xt1   2 xt 2   t , E ( t )  0 , E ( t2 )   2 , E ( t  s )  0 , s  t ,
t  1,..., n . Проводится регрессия y на x1 и стандартным образом через остатки
этой регрессии оценивается дисперсия  2 . Покажите, что полученная регрессия
смещена вверх.
6. Дана стандартная модель множественной регрессии y  X   .
а) Выразите матрицу ковариаций МНК-оценки вектора  в терминах
собственных чисел и собственных векторов матрицы X T X .
б) Объясните, как соотносится результат предыдущего пункта с проблемой
мультиколлинеарности.
7. Докажите, что если в обобщенной регрессионной модели y  X   вектор
ошибок  имеет многомерное нормальное распределение, то ˆ  ˆ .
GLS
ML
8. Предположим, что для системы yt    xt   t , t  1,..., n , выполнены все
предположения классической нормальной модели, за одним исключением:
дисперсии ошибок удовлетворяют соотношениям  t2    xt . Предложите
двухшаговую процедуру оценивания параметров  и  .
9. Рассмотрим модель yt  xt   t , t  1,..., n , где E ( t )  0 , E ( t2 )  axt2 ,
E ( t  s )  0 , s  t , и
n
x
t 1
2
t
 n.
А) Покажите, что МНК-оценка ˆ параметра  является несмещенной, но не
эффективной.
23
Б) Покажите, что стандартная оценка дисперсии ˆ смещена вниз по отношению
к истинной дисперсии ˆ .

2
10. Докажите формулу E yˆ  yn1    2 1  xnT1 ( X T X ) 1 xn1
для среднеквадратичной ошибки прогноза.

По части 3:
1. Какие из следующих процессов являются стационарными:
а) yt  10 t  99 t 1 ,  t ~ i.i.d .(0,  2 )
б) yt  2,5  0,6 yt 1  0,45 yt 2   t ,  t ~ i.i.d .(0, 2 )
в) yt   t  t 1 ,  t ~ i.i.d .(0, 2 )
t 
г) yt  sin      t ,  t ~ i.i.d .(0, 2 )
2 
д) yt  z   t ,  t , z ~ i.i.d .(0,  2 ),
2. Найдите прогноз на произвольное число шагов вперед и дисперсию ошибки
прогноза для ARMA(1,1) процесса
yt    y t 1   t  1 t 1 ,  t ~ i.i.d . N (0,  2 ) .
3. Найдите безусловную дисперсию и автокорреляционную функцию для
процесса из предыдущей задачи.
4. Для теста Бокса-Льюинга на наличие автокорреляции остатков в ARMA (p,q)
модели выпишите нулевую гипотезу, статистику теста и ее распределение при
выполнении нулевой гипотезы.
5. Для приведенного ниже регрессионного уравнения сформулируйте нулевую
гипотезу о наличии единичного корня у процесса xt :
xt     t   xt 1  1xt 1     k xt k   t .
Объясните назначение каждого регрессора в уравнении.
По части 4:
1. Рассмотрим
модель
y\x
0
1
0
n00
n01
1
n10
n11
бинарного
выбора
1, y*     x    0
y
*
0, y     x    0
24
a) Докажите, что модель, неразрешима, если n10=0 для любой
функции распределения ошибок F  z  : f  z   0

b) Оцените коэффициенты logit-модели: P  y  1      x
c) Покажите, что для logit-модели P̂  y  1 

n10  n11
n10  n11  n01  n00
d) Оцените LP-модель (ε~Uniform[-1, 1]). Чему равна P̂  y  1
e) Предположим, что вы оценивали бы probit-модель и обнаружили
бы, что ее коэффициенты пропорциональны коэффициентам LPмодели (ε~Uniform[-1, 1]). Чему примерно должен равняться
коэффициент пропорциональности?
1 , y*  1

2. Рассмотрим tobit-модель: y   y* , 1  y*   2 , y*  xβ   ,

*
 2 , y   2
где ошибки имеют плотность распределения f(z)
a) Найдите распределение y
b) Найдите
логарифмическую
функцию
правдоподобия
для
оценивания вектора β
c) Найдите
E y
x
По части 5:
1. Рассмотрим проблему идентифицируемости каждого из уравнений в
следующей модели:
  11Qt
  13 Pt 1   1t ,
 Pt  12Wt

  21 Pt  Wt   23 N t   22 S t   24Wt 1   2t ,

 32Wt  N t   32 S t   33 Pt 1   34Wt 1   3t ,

где Pt ,Wt , N t – индекс цен, зарплата и профсоюзный взнос, соответственно
(эндогенные переменные), а Qt и S t – производительность труда и
количество забастовок (экзогенные переменные). Как выглядят порядковое и
ранговое условия, если известно, что:
а)  11  0 ,
б)  21   22  0,
в)  33  0 ?
2. Рассматривается следующая система уравнений:
25
 12 y 2t  13 y3t   11 x1t   12 x2t
  1t ,
 y1t   10

  21 x1t
  2t ,
 y 2t   20   21 y1t
 y   y  y
  31 x1t
  33 x3t   3t .
30
31 1t
32 2t
 3t
Идентифицируемо ли каждое из уравнений системы? Что получится, если
применить к первому уравнению двухшаговый метод наименьших
квадратов?
26