Модель линейного города с фирмой-лидером А. М. Торбенко

Модель линейного города с фирмой-лидером
А. М. Торбенко
Введение
Фирмы, уже находящиеся на рынке, зачастую проявляют способность
предвидеть ответные действия других фирм, которые могут зайти на данный
рынок. Первые планируют свои действия исходя из предсказанной реакции
последних. Наиболее известная модель, в которой фирма-лидер предвидит
реакцию последователя – модель дуополии Штакельберга1.
Попытки применить предпосылку о предвидении фирмы-лидера к
модели пространственной конкуренции сделали Э. Прескотт и М. Виссчер2, а
также Дж. Бхадури, Р. Чандрасекаран и В. Падманабхан3. И в моделях,
предложенных
Прескоттом
и
Виссчером
и
в
модели
Бхадури-
Чандрасекарана-Падманабхана установлены сильные ограничения: : в
моделях Прескотта и Виссчера либо фиксирована цена, либо есть достаточно
жесткие ограничения на местоположения, в модели Бхадури-ЧандрасекаранаПадманабхана фиксирована цена.. Наличие ограничений объясняется
вычислительными трудностями.
Мы предлагаем модифицированный алгоритм нахождения равновесия
в модели линейного города с лидерством, представляющий собой синтез
алгоритма нахождения равновесия в «беспространственной» дуополии
Штакельберга4 и алгоритма нахождения равновесия в модели линейного
города с конкуренцией по Курно5. Если в модели Штакельберга фирмы
1
Stackelberg H. Marktform und Gleichgewicht. Wien und Berlin: J. Springer, 1934.
2
Prescott E.C. and Visscher M. Sequential Location Among Firms with Foresight. P. 378-393.
3
Bhadury J., Chandrasekaran R. and Padmanabhan V. Competitive Location and Entry Deterrence in Hotelling's
Duopoly Model. P. 259-275.
4
Меньшиков И. С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. М.: ООО «КонтактПлюс»,
2010.
5
Combes P.-Ph., Mayer T. and Thisse J.-F. Economic Geography: The Integration of Regions and Nations.
1
выбирают только количества предлагаемой продукции, в приводимом
«синтетическом» алгоритме фирмы выбирают как количества продукции, так
и свое местоположение. Предположим, что на первом этапе фирмы
выбирают местоположение, на втором цены; причем на всех этапах одна и та
же фирма является лидером. Применяя метод обратной индукции, на первом
этапе определяем равновесные количества товара, предлагаемые фирмами в
каждой произвольной точке рынка: сначала строим функцию реакции по
количеству фирмы последователя, затем используем её для нахождения
функции реакции по количеству фирмы лидера. Используя полученные
функции реакции, находим равновесные количества и равновесную прибыль
каждой фирмы в произвольной точке рынка. На втором этапе строим
интегральную функцию прибыли каждой фирмы для всего рынка. Затем
строим функцию реакции по местоположению, как фирмы лидера, так и
фирмы последователя. При построении функции реакции фирмы-лидера
следует учитывать её предвидение реакции фирмы последователя. Используя
полученные функции реакции, рассчитываем равновесные местоположения.
К сожалению, уже при вычислении интегральных функций прибыли
вычислительные трудности весьма и весьма значительны. Именно этим
объясняется то, что Прескотт и Виссчер и Бхадури, Чандрасекаран и
Падманабхан используют в своих моделях ограничения на цены или
местоположения. Чтобы обойти вычислительные ограничения, в
модели
линейного города с фирмой-лидером мы использовали численные методы,
зафиксировав транспортные издержки на нескольких уровнях.
Модель
Пусть выполняются следующие предположения:
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 1. Рынок представляет собой отрезок длинной от
0 до 1 с равномерным распределением потребителей.
2
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 2. Арбитраж потребителей и кооперативное
поведение фирм отсутствуют.
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ
3.
На
первом
этапе
фирмы
выбирают
местоположения, на втором этапе – количества предлагаемой продукции.
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 4. Фирма 1 является лидером на обоих этапах и
предвидит реакцию фирмы 2, которая является последователем.
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 5. Издержки по производству обеих фирм равны
нулю
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 6. Фирмы сами оплачивают транспортные
расходы по доставке товаров потребителю.
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 7. Каждая точка рынка представляет собой
отдельный субрынок, на котором фирмы могут установить цену, отличную
от цены на других субрынках, то есть может существовать ценовая
дискриминация по местоположению.
Пусть общая рыночная функция спроса равна
𝑝=1−𝑄,
(1)
где p – цена, а Q – общее количество предлагаемой на рынке продукции.
𝑄 = 𝑞1 + 𝑞2 ,
(2)
где q1и q2 – количества продукции, продаваемые фирмами 1 и 2
соответственно.
Пусть x1 и x2 – местоположения фирм на рынке. Тогда прибыль фирмылидера в точке x равна
𝜋1 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥, 𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑝𝑞1 − 𝑞1 𝑡|𝑥 − 𝑥1 | = (1 − 𝑞1 − 𝑞2 )𝑞1 − 𝑞1 𝑡|𝑥 − 𝑥1 | =
= 𝑞1 − 𝑞12 − 𝑞1 𝑞2 − 𝑞1 𝑡|𝑥 − 𝑥1 | ,
( 3)
где t – транспортные издержки на перевозку единицы продукции на единицу
расстояния.
Прибыль фирмы 2 в точке x определяется аналогично:
𝜋2 (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥, 𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑝𝑞2 − 𝑞2 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | =
= 𝑞2 − 𝑞22 − 𝑞1 𝑞2 − 𝑞2 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | .
3
(4)
Вычисляем производную функции (4):
𝜕𝜋2
= 1 − 2𝑞2 − 𝑞1 − 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | .
𝜕𝑞2
(5)
Приравнивая (5) к нулю получаем:
1 − 𝑞1 − 𝑡|𝑥 − 𝑥2 |
.
(6)
2
Выражение (6) представляет собой функцию реакции фирмы𝑞2 =
последователя. Так как фирма 1 является лидером и предвидит реакцию
последователя, поставляем (6) в (3):
1 − 𝑞1 − 𝑡|𝑥 − 𝑥2 |
− 𝑞1 𝑡|𝑥 − 𝑥1 | =
2
1
1
1
= − 𝑞12 + 𝑞1 + 𝑞1 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | − 𝑞1 𝑡|𝑥 − 𝑥1 | .
2
2
2
𝜋1 = 𝑞1 − 𝑞12 − 𝑞1
(7)
Находим производную функции (7):
𝜕𝜋1
1 1
= −𝑞1 + + 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | − 𝑡|𝑥 − 𝑥1 | .
𝜕𝑞1
2 2
(8)
Приравнивая (8) к нулю получаем
𝑞1∗ =
1 1
+ 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | − 𝑡|𝑥 − 𝑥1 | .
2 2
(9)
где 𝑞1∗ - равновесный выпуск фирмы лидера.
Тогда равновесный выпуск фирмы последователя получаем, подставляя
(9) в (6):
𝑞2∗ =
1
1
2
2
1 − − 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | + 𝑡|𝑥 − 𝑥1 | − 𝑡|𝑥 − 𝑥2 |
2
1 3
1
− 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | + 𝑡|𝑥 − 𝑥1 | ,
4 4
2
∗
где 𝑞2 - равновесный выпуск фирмы последователя.
=
=
(10)
Вычислим равновесную прибыль фирмы 𝜋1∗ (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥) лидера в точке x.
Для этого в (3) подставим (9) и (10):
4
𝜋1∗ (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥) =
1 1
1 1
= ( + 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | − 𝑡|𝑥 − 𝑥1 |) (1 − ( + 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | − 𝑡|𝑥 − 𝑥1 |)
2 2
2 2
1 3
1
− ( − 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | + 𝑡|𝑥 − 𝑥1 |) − 𝑡|𝑥 − 𝑥1 |) =
4 4
2
1
= (1 + 𝑡|𝑥 − 𝑥2 |−2𝑡|𝑥 − 𝑥1 |)2 .
(11)
8
Вычислим равновесную прибыль фирмы-последователя
𝝅∗𝟐 (𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙)
в
точке x. Для этого в (4) подставим (9) и (10):
𝜋2∗ (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥) =
1 3
1
= ( − 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | + 𝑡|𝑥 − 𝑥1 |)
4 4
2
1 3
1
∗ (1 − ( − 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | + 𝑡|𝑥 − 𝑥1 |)
4 4
2
1 1
− ( + 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | − 𝑡|𝑥 − 𝑥1 |) − 𝑡|𝑥 − 𝑥2 |) =
2 2
1
(1 − 3𝑡|𝑥 − 𝑥2 | + 2𝑡|𝑥 − 𝑥1 |)2 .
=
16
(12)
Предположим, что 𝑥1 ≤ 𝑥2 , то есть фирма-лидер расположена «левее»
фирмы последователя. Тогда интегральная функция прибыли фирмы-лидера,
показывающая прибыль на рынке в целом равна:
1
1
1
П1 (𝑥1 , 𝑥2 ) = ∫ 𝜋1∗ (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (1 + 1𝑡|𝑥 − 𝑥2 |−2𝑡|𝑥 − 𝑥1 |)2 𝑑𝑥
8
0
0
𝑥1
1
2
= (∫ (1 + 𝑡(𝑥2 − 𝑥) − 2𝑡(𝑥1 − 𝑥)) 𝑑𝑥
8
0
𝑥2
2
+ ∫ (1 + 𝑡(𝑥2 − 𝑥) − 2𝑡(𝑥 − 𝑥1 )) 𝑑𝑥
𝑥1
1
2
+ ∫(1 + 𝑡(𝑥 − 𝑥2 ) − 2𝑡(𝑥 − 𝑥1 )) 𝑑𝑥) .
𝑥2
5
(13)
После интегрирования, получаем:
П1 (𝑥1 , 𝑥2 ) =
1
{(1 + 𝑡𝑥2 − 𝑡𝑥1 )3 −(1 + 2𝑡𝑥1 − 2𝑡𝑥2 )3 + (1 + 𝑡𝑥2 − 𝑡𝑥1 )3
24𝑡
− (1 − 𝑡 − 𝑡𝑥2 + 2𝑡𝑥1 )3 + (1 − 2𝑡𝑥2 + 2𝑡𝑥1 )3 } .
(14)
Построим интегральную функцию прибыли для фирмы-последователя:
1
1
П2 (𝑥1 , 𝑥2 ) = ∫ 𝜋2∗ (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫
0
0
1
(1 − 3𝑡|𝑥 − 𝑥2 | + 2𝑡|𝑥 − 𝑥1 |)2 𝑑𝑥 =
16
𝑥1
=
1
(∫ (1 − 3𝑡𝑥2 + 2𝑡𝑥1 + 𝑡𝑥)2 𝑑𝑥
16
0
𝑥2
+ ∫ (1 − 3𝑡𝑥2 − 2𝑡𝑥1 + 5𝑡𝑥)2 𝑑𝑥
𝑥1
1
+ ∫(1 + 3𝑡𝑥2 − 2𝑡𝑥1 − 𝑡𝑥)2 𝑑𝑥) .
(15)
𝑥2
После интегрирования (приведено в приложении 1), получаем:
1
1
{(1 − 3𝑡𝑥2 + 3𝑡𝑥1 )3 + (1 + 2𝑡𝑥2 − 2𝑡𝑥1 )3
48𝑡
5
1
− (1 − 3𝑡𝑥2 + 3𝑡𝑥1 )3 + −(1 + 3𝑡𝑥2 − 2𝑡𝑥1 − 𝑡)3
5
П2 (𝑥1 , 𝑥2 ) =
+ (1 + 2𝑡𝑥2 − 2𝑡𝑥1 )3 } .
Фирма-последователь
максимизирует
(16)
(16)
изменяя
свое
местоположение, следовательно, необходимо решить следующее уравнение:
𝜕П2 (𝑥1 , 𝑥2 )
=0.
𝜕𝑥2
(17)
6
𝑥1
𝜕П2 (𝑥1 , 𝑥2 )
1
=
{ ∫ (−6𝑡)(1 − 3𝑡(𝑥2 − 𝑥) + 2𝑡(𝑥1 − 𝑥)) 𝑑𝑥
𝜕𝑥2
16
0
𝑥2
1
+ ∫ (−6𝑡)(1 − 3𝑡(𝑥2 − 𝑥) + 2𝑡(𝑥 − 𝑥1 )) 𝑑𝑥 + ∫ 6𝑡( 1
𝑥1
𝑥2
− 3𝑡(𝑥 − 𝑥2 ) + 2𝑡(𝑥 − 𝑥1 ))𝑑𝑥}
𝑥1
3
= − 𝑡{∫ (1 − 3𝑡𝑥2 + 2𝑡𝑥1 + 𝑡𝑥) 𝑑𝑥
8
0
𝑥2
+ ∫ (1 − 3𝑡𝑥2 − 2𝑡𝑥1 + 5𝑡𝑥) 𝑑𝑥
𝑥1
1
− ∫(1 + 3𝑡𝑥2 − 2𝑡𝑥1 − 𝑡𝑥) 𝑑𝑥} .
(18)
𝑥2
Преобразуя (18), получаем:
𝜕П2 (𝑥1 , 𝑥2 )
3
𝑡
5
= − 𝑡 {𝑥1 − 3𝑡𝑥1 𝑥2 + 2𝑡𝑥12 + 𝑥12 + 𝑥2 − 3𝑡𝑥22 − 2𝑡𝑥1 𝑥2 + 𝑡𝑥22
𝜕𝑥2
8
2
2
5
𝑡
− 𝑥1 + 3𝑡𝑥1 𝑥2 + 2𝑡𝑥12 − 𝑡𝑥12 + 1 + 3𝑡𝑥2 − 2𝑡𝑥1 − − 𝑥2 − 3𝑡𝑥22
2
2
𝑡
+ 2𝑡𝑥1 𝑥2 + + 𝑥22 }
2
3
𝑡
= − 𝑡 {2𝑡𝑥12 − 3𝑡𝑥22 + 1 + 3𝑡𝑥2 − 2𝑡𝑥1 − }.
(22)
8
2
Приравнивая (22) к нулю, получаем:
𝑡
= 0 , (2.2.23)
2
𝑡
−3𝑡𝑥22 + 3𝑡𝑥2 + (2𝑡𝑥12 − 2𝑡𝑥1 + 1 − ) = 0 , (2.2.24)
2
2𝑡𝑥12 − 3𝑡𝑥22 + 1 + 3𝑡𝑥2 − 2𝑡𝑥1 −
𝑡
−3𝑡 ± √9𝑡 + 12𝑡(2𝑡𝑥12 − 2𝑡𝑥1 + 1 − )
𝑥2 =
2
−6𝑡
7
= 𝜌2 (𝑥1 ).
(25)
ρ2(x1)представляет
собой
экстремум
функции
прибыли
фирмы-
последователя при заданном x1.
Найдем вторую производную от (16):
′
𝜕 2 П2 (𝑥1 , 𝑥2 )
3
𝑡
= (− 𝑡 (2𝑡𝑥12 − 3𝑡𝑥22 + 1 + 3𝑡𝑥2 − 2𝑡𝑥1 − ))
2
8
2
𝜕𝑥2
3
= − 𝑡(−6𝑡𝑥2 + 3𝑡) .
(26)
8
Приравниваем (2.2.26) к 0 и получаем:
1
.
(27)
2
(27) означает, что x2=1/2представляет собой точку перегиба функции
𝑥2 =
П2(x1,x2). Исходя из (25) и (27)получаем, что функция П2(x1,x2) может иметь
максимум на области определения 𝑥2 ∈ (0,1) либо в точке 0, либо в точке 1,
либо в точке 𝜌2 ≥ 1/2.
Таким образом, функция реакции фирмы последователя R2(x1) равна:
𝑅2 (𝑥1 ) = arg 𝑚𝑎𝑥 П2 (𝑥1 , 𝑥2 ) ∶ 𝑥2 ∈ (0; 1; 𝜌2 (𝑥1 )).
(28)
Далее подставляем (28) в (13) и получаем
П1 (x1 , R 2 (x1 )).
(29)
Чтобы определить, при каких значениях x1 (29) максимальна, следует
решить уравнение
∂П1 (x1 , R 2 (x1 ))
=0,
∂x1
(30)
однако сделать это аналитически крайне сложно. Ниже мы попытаемся найти
равновесные значения x1 и x2 при помощи численного моделирования.
Отметим, что значения выражений (11) и (12) всегда больше 0, в то
время как значения выражений (9) и (10) не обладают таким свойством.
Чтобы избежать странной ситуации, когда продажи в точки x отрицательны,
а прибыль положительна, следует наложить некоторые ограничения на
величину транспортных издержек:
8
1 1
+ 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | − 𝑡|𝑥 − 𝑥1 | ≥ 0
2 2
(31)
и
1 3
1
− 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | + 𝑡|𝑥 − 𝑥1 | ≥ 0
4 4
2
(32)
Решим неравенства (2.2.31) и (2.2.32) для x=0.Предположим, что
𝑥1 = 0
(33)
𝑥2 = 1 ,
(34)
1
.
3
(35)
𝑥1 = 0
(36)
𝑥2 = 1,
(37)
и
тогда
𝑡≤
Предположим, что
и
тогда
𝑡≤
2
.
3
(38)
Неравенства (35) и (38) – так называемое условие полного покрытия
рынка, означающее, что при данном уровне транспортных издержек объем
продукции, поставляемый в каждой точке рынка, будет неотрицательным.
Мы не можем однозначно определить данное условие, так как оно зависит не
только от транспортных издержек, но и от местоположения фирм. Из
неравенств видно, что уровень транспортных издержек, при котором весь
рынок обслуживается, находиться между 1/3 и 2/3. Отметим, что Комбес и
соавторы, исследовавшие пространственную конкуренцию по Курно,
показывают, что условие полного покрытия рынка однозначно определяется
как t≤1/26.
6
Combes P.-Ph., Mayer T. and Thisse J.-F. Economic Geography: The Integration of Regions and Nations..
9
Результаты
Мы
использовали
численное
моделирование
для
исследования
существования равновесия Нэша в данной модели при различных уровнях
транспортных издержек с учетом условия полного покрытия рынка.
Результаты моделирования представлены в таблице.
Таблица
Приближенные параметры равновесия Нэша в модели линейного города с
конкуренцией по Штакельбергу
x1*
t
1
П1(x1*, x2*) П2(x1*, x2*) (x2*- x1*)
x2*
2
3
4
5
(П1(x1*, x2*)/П2(x1*,
x2*))
6
7
0.1
0.2
0.3
0
0
0
0
0
0
0.530
0.310
0.230
0.265
0.155
0.115
0.000
0.000
0.000
2.000
2.000
2.000
0.4
0.5
0
0
0
0.65
0.186
0.376
0.093
0.091
0.000
0.650
2.000
4.145
Стратегии размещения фирм анализировались с шагом размещении 0,1,
поэтому
в
таблице
представлены
лишь
приблизительные
значения
равновесных расположений конкурирующих фирм.
Из таблицы видно, что при низком уровне транспортных издержек,
степень дифференциации минимальна, при высоком уровне транспортных
издержек дифференциация растет. Данные результаты в похожи на
результаты Х. Чаморро Риваса, который показал, что в модели линейного
города с конкуренцией по Курно степень дифференциации фирм зависит от
транспортных издержек7.
Исходя из результатов моделирования, мы получили, что при t>0,5 не
выполняется условие полного покрытия рынка.
Рассмотрим изменение цены в зависимости от x:
7
Chamorro Rivas J.M. Spatial Dispersion in Cournot Competition. P. 145-152.
10
1 1
1 3
1
𝑝∗ (𝑥, 𝑥1 , 𝑥2 ) = 1 − − 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | + 𝑡|𝑥 − 𝑥1 | − + 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | − 𝑡|𝑥 − 𝑥1 |
2 2
4 4
2
1 1
1
= + 𝑡|𝑥 − 𝑥2 | + 𝑡|𝑥 − 𝑥1 | .
(39)
4 4
2
При 𝑥 ∈ (0, 𝑥1 )
3
1
1
1
𝑝∗ (𝑥, 𝑥1 , 𝑥2 ) = − 𝑡𝑥 + 𝑡𝑥2 + 𝑡𝑥1 + .
4
4
2
4
При 𝑥 ∈ (𝑥1 , 𝑥2 )
1
1
1
1
𝑝∗ (𝑥, 𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑡𝑥 + 𝑡𝑥2 − 𝑡𝑥1 + .
4
4
2
4
При 𝑥 ∈ (𝑥2 , 1)
(40)
(41)
𝑝^ ∗ (𝑥, 𝑥_1, 𝑥_2 ) = 3/4 𝑡𝑥 − 1/4 𝑡𝑥_2 − 1/2 𝑡𝑥_1 + 1/4 .
(42)
На рисунке 2.2.1 приведен график рыночной цены p в зависимости от
местоположения потребителя x.
p
0
x1
x2
11
1 x
Рис.2.2.1. Цена в зависимости от местоположения при пространственной
дуополии Штакельберга
Рассмотрим изменение количества поставляемогокаждой фирмой
товара в зависимости от x.
При 𝑥 ∈ (0, 𝑥1 )
1
1
1
𝑞1∗ = 𝑡𝑥 + 𝑡𝑥2 − 𝑡𝑥1 + , (43)
2
2
2
1
3
1
1
𝑞2∗ = 𝑡𝑥 − 𝑡𝑥2 + 𝑡𝑥1 + , (44)
4
4
2
4
3
1
1
3
𝑄 = 𝑡𝑥 − 𝑡𝑥2 − 𝑡𝑥1 + . (45)
4
4
2
4
При 𝑥 ∈ (𝑥1 , 𝑥2 )
3
1
1
𝑞1∗ = − 𝑡𝑥 + 𝑡𝑥2 + 𝑡𝑥1 + , (46)
2
2
2
5
3
1
1
𝑞2∗ = 𝑡𝑥 − 𝑡𝑥2 − 𝑡𝑥1 + , (47)
4
4
2
4
1
1
1
3
𝑄 = − 𝑡𝑥 − 𝑡𝑥2 + 𝑡𝑥1 + . (48)
4
4
2
4
При 𝑥 ∈ (𝑥2 , 1)
1
1
1
𝑞1∗ = − 𝑡𝑥 − 𝑡𝑥2 + 𝑡𝑥1 + , (49)
2
2
2
1
3
1
1
𝑞2∗ = − 𝑡𝑥 + 𝑡𝑥2 − 𝑡𝑥1 + , (50)
4
4
2
4
3
1
1
3
𝑄 = − 𝑡𝑥 + 𝑡𝑥2 + 𝑡𝑥1 + . (51)
4
4
2
4
Используя формулы (2.2.40)-(2.2.51) построим графики p(x), q1(x), q2(x),
Q(x) при равновесных значениях x1 и x2 при фиксированных транспортных
издержках t.
12
а) t=0,1; x1=0; x2=0
б) t=0,4; x1=0; x2=0
в) t=0,5; x1=0; x2=0,65
Рис.2. Цены и количества товара на рынке в состоянии равновесия.
Из рисунка2 видно, что в случае минимальной дифференциации при
низких транспортных издержках обе фирмы действуют как бы на одном
рынке. Из таблицы также видно, что в этом случае прибыль фирмы-лидера в
два раза больше, чем прибыль последователя, как и в «беспространственной»
модели Штакельберга. Объемы реализации лидера также в два раза больше
объема реализации последователя при любом значении x. Цена в этом случае
13
линейно возрастает с увеличением x,
а объемы реализации линейно
снижаются.
При
более
высоких
транспортных
издержках,
когда
фирмы
дифференцированы, рынки разделены (рис. 2 в)): фирма-лидер реализует
основной
объем
продукции
около
своего
местоположения,
фирма-
последователь – около своего местоположения. При этом прибыль лидера
превосходит прибыль последователя в более чем два раза.
Отметим также особенности, наличествующие при любом значении
транспортных издержек: во-первых, цена всегда минимальна в точке x1, вовторых, объемы товара, продаваемые отдельными фирмами максимальны в
точке их расположения.
Обсуждение и выводы
Рассмотрим недостатки и потенциальные «уязвимые места» модели и
полученных выводов.
1. Нам не удалось снять все ограничения по местоположению фирм в
линейном
городе.
Ограничение
на
местоположение,
вызванное
необходимостью преодолеть вычислительные трудности, относительно
мягкое (фирма 1 находится «левее» фирмы 2), но, теме не менее, может
значительно влиять на результаты модели.
2. Использование численных методов не гарантирует, в отличие от
аналитического решения, нахождения глобальных экстремумов и точек
равновесия. Остается неясным вопрос, являются ли найденные равновесия
равновесиями по Нэшу, особенно в окрестностях особых точек, в которых
существует разрыв функции реакции фирмы 2 (28).
3. Фундаментальной проблемой модели является дискретная функция
реакции фирмы 2 (28). Кроме того, что такая форма функции реакции
затрудняет
аналитическое
исследование
модели,
она,
возможно,
препятствует существованию равновесия Нэша в чистых стратегиях.
14
Несмотря на то, что численное моделирование не выявило подобных
проблем, исключить их полностью нельзя. Напомним, что, как показали К.
Д’Аспермонт, Ж. Габжевич и Ж.-Ф. Тисс8, именно разрыв функции прибыли
приводит к отсутствию равновесных состояний в классической модели
линейного города Хотеллинга при использовании чистых стратегий.
Учитывая вышесказанное, целесообразно рассмотреть дальнейшие
перспективы исследования пространственной конкуренции с предвидением.
По нашему мнению, аналитическое исследование представленной здесь
модели если и возможно, то очень трудоемко и, весьма вероятно, не
оправдает себя. В меньшей степени это утверждение относится к
исследованию с использованием численных методов.
На
наш
взгляд,
в
дальнейшем
полезнее
будет
исследовать
пространственную конкуренцию с предвидением при помощи других
моделей, с использованием других предпосылок и альтернативных средств
моделирования. Например, Сэлоп успешно исследовал пространственную
конкуренцию с последовательным входов фирм на рынок, использую модели
не линейного, а кругового города, в котором пространство представляло
собой не отрезок, а окружность [8].
В тоже время перспективным направлением остается исследование при
помощи моделей линейного города с последовательным входом и
предвидением рыночных инноваций, намеченное в работе Пресскотта и
Виссчера. В этом случае пространство можно представить в виде луча,
исходящего из точки ноль, при этом спрос в каждой точке луча должен
представлять собой случайную функцию с различными значениями
матожидания и дисперсии, причем при удалении от нуля дисперсия должна
увеличиваться.
Представляется,
что
модель
с
такой
конфигурацией
пространства и функцией спроса подходит для исследования решений фирм
8
d’Aspermont C., JaskoldGabszewicz J. and Thisse J.-F. On Hotelling “Stability in Competition”. P. 1145-1150.
15
об освоении нового рынка (продуктовых инновациях) при различных
уровнях
«транспортных»
издержек
в
условиях
конкуренции,
последовательного входа на рынок и предвидения реакции конкурента.
Литература
1. Stackelberg H. Marktform und Gleichgewicht. Wien und Berlin: J.
Springer, 1934.
2. Prescott E.C. and Visscher M. Sequential Location Among Firms with
Foresight// Bell Journal of Economics. - 1977. - 2 : Vol. 8. - p. 378-393.
3. Bhadury J., Chandrasekaran R. and Padmanabhan V. Competitive
Location and Entry Deterrence in Hotelling's Duopoly Model// Location Science. 1994. - 4 : Vol. 2. - p. 259-275.
4. Меньшиков И. С. Лекции по теории игр и экономическому
моделированию. М.: ООО «Контакт Плюс», 2010.
5. Combes P.-Ph., Mayer T. and Thisse J.-F. Economic Geography: The
Integration of Regions and Nations. - Princeton : Princeton University Press, 2008.
6. Chamorro Rivas J.M. Spatial Dispersion in Cournot Competition//
Spanish Economic Review. - 2000. - 2. - p. 145-152.
7. d’Aspermont C., JaskoldGabszewicz J. and Thisse J.-F. On Hotelling
“Stability in Competition” // Econometrica. 1979. Vol. 47. N. 5. P. 1145-1150.
8. Salop S.C. Monopolistic competition with outside goods // The Bell
Journal of Economics. - 1979. - 1 : Vol. 10. - pp. 141-156.
16