Документ 871097

ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ «ГОРНЫЙ»
СОГЛАСОВАНО
УТВЕРЖДАЮ
Руководитель работ по направлению
подготовки бакалавров 080200,
декан, профессор
Зав. кафедрой высшей математики
профессор
____________ И.Б. Сергеев
«___» ___________ 2012 г.
____________ А.П. Господариков
«___» ___________ 2012 г.
Рабочая программа дисциплины
«Дополнительные главы математики»
Направление подготовки: 080200 Менеджмент
Профили подготовки: «Производственный менеджмент»,
Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр
Форма обучения: Очная
Санкт-Петербург
2012
Аннотация: Курс "Дополнительные главы математики" содержит основы
математических знаний и элементы математических методов дисциплин «Линейная
алгебра», «Линейное программирование», «Теория вероятностей и математическая
статистика». Современный специалист должен обладать навыками математической
формализации стоящих перед ним задач, уметь применять необходимый математический
инструментарий при выборе и обосновании решений, анализе их эффективности, а также
возможных последствий принимаемых решений.
В результате обучения по предмету студенты должны овладеть основными
методами линейной алгебры, линейного программирования, теории вероятностей и
математической статистики, уметь их использовать при постановке прикладных задач,
содержательно интерпретировать получаемые количественные результаты анализа. В
курсе предусмотрено проведение семинарских занятий, целью которых является
приобретение студентами прочных навыков математических расчетов и осмысление
теоретического материала. Кроме того, закрепление полученных знаний проводится
посредством самостоятельной работы студентов, формой контроля которой являются
индивидуальные домашние задания по ключевым разделам курса, а также расчетнографические задания. Курс читается в течение второго семестра 1 курса и первого
семестра 2 курса.
1. Цели и задачи изучения дисциплины
Цели:
•
Получение базовых знаний и формирование основных навыков по линейной
алгебре, линейному программированию, теории вероятностей и математической
статистике, необходимых для решения задач, возникающих в практической
экономической деятельности.
•
Развитие понятийной теоретико-вероятностной базы и формирование
уровня алгебраической подготовки, необходимых для понимания основ экономической
статистики и её применения.
•
формирование у студентов умения применять математический аппарат для
исследований экономических процессов.
Задачи:
•
теоретическое освоение студентами основных положений курса линейной
алгебры, линейного программирования, теории вероятностей и математической
статистики;
•
формирование необходимого уровня алгебраической и геометрической
подготовки, умения использовать теоретико-вероятностный и статистический аппарат для
решения теоретических и прикладных задач экономики;
•
формирование навыков и умений решать типовые задачи и работать со
специальной литературой;
•
выработка умения анализировать полученные результаты
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина «Дополнительные главы математики» является вариативной
дисциплиной математического и естественнонаучного цикла дисциплин Федерального
государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования
(ФГОС ВПО) по направлению по направлению «Менеджмент» (бакалавриат).
Дисциплина «Дополнительные главы математики» базируется на знаниях,
полученных в рамках школьного курса математики и курса «Математика».
Обучение математике строится на междисциплинарной интегративной основе.
Принцип интегративности предполагает интеграцию знаний из различных предметных
дисциплин.
Дисциплина «Дополнительные главы математики» является общим теоретическим
и методологическим основанием для специальных дисциплин экономического и
профессионального цикла, входящих в ООП бакалавра менеджмента.
Дисциплины, для которых «Дополнительные главы математики» является
предшествующей:
- «Экономическая теория»
- «Статистика»
- «Методы принятия управленческих решений»
- «Маркетинг»
- «Финансовый менеджмент»
3. Требования к результатам освоения дисциплины
В совокупности с дисциплиной «Математика» и другими дисциплинами базовой
части математического и естественнонаучного цикла ФГОС ВПО дисциплина
«Дополнительные главы математики» обеспечивает инструментарий формирования
следующих компетенций бакалавра менеджмента:
а) Общекультурные компетенции (ОК):
•
владение культурой мышления, способность к восприятию, обобщению и
анализу информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-5);
•
умение логически верно, аргументировано и ясно строить устную и
письменную речь (ОК-6);
•
стремление к личностному и профессиональному саморазвитию (ОК-10);
•
владеть
методами
количественного
анализа
и
моделирования
теоретического и экспериментального исследования (ОК-15);
•
способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях и
корпоративных информационных системах (ОК-18);
б) Профессиональные компетенции (ПК):
•
умение применять количественные и качественные методы анализа при
принятии управленческих решений и строить экономические, финансовые и
организационно-управленческие модели (ПК-31);
•
способность выбирать математические модели организационных систем,
анализировать их адекватность, проводить адаптацию моделей к конкретным задачам
управления (ПК-32);
•
владеть средствами программного обеспечения анализа и количественного
моделирования систем управления (ПК-33);
В результате освоения содержания дисциплины «Дополнительные главы
математики» студент должен обладать следующими компетенциями:
знать
основы линейной алгебры линейного программирования, теории вероятностей и
математической статистики, необходимые для успешного решения экономических задач;
уметь
решать типовые математические задачи курса, используемые при принятии
управленческих решений; использовать математический язык и математическую
символику при построении организационно-управленческих моделей и их анализе;
владеть
математическими и количественными методами решения типовых организационноуправленческих задач; навыками работы с математической литературой и навыками
применения современного математического инструментария для решения задач
экономики и менеджмента.
4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы (типовые расчёты)
Реферат
Другие виды самостоятельной работы
Текущие домашние задания
Индивидуальные домашние задания
Подготовка к экзамену(зачету)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
часы
зачётные единицы
Всего
часов
Семестры
2
3
148
76
72
74
74
38
38
36
36
68
32
36
12
6
8
52
14
18
22
288
12
Экз.
144
10
Экз
144
8
4
4
5. Содержание дисциплины
5.1 Содержание разделов дисциплины
№ п/п
1.
Наименование
раздела дисциплины
Линейная алгебра с
элементами
аналитической
геометрии
Содержание раздела
1.1. Линейные пространства.
Арифметические векторы и линейные операции над ними.
Векторное пространство Rn. Геометрический смысл пространств R2
и R3. Линейные пространства общего вида. Линейная зависимость
системы векторов и ее геометрический смысл. Базис и размерность
линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе.
Преобразование координат векторов при замене базиса.
Подпространства линейного пространства. Скалярное произведение
векторов в Rn. Евклидово пространство. Ортогональный и
ортонормированный базисы в Rn. Координаты вектора в
ортогональном базисе.
1.2. Матрицы и определители.
Сложение матриц и умножение матрицы на число. Ранг
матрицы. Умножение матриц. Обратная матрица. Нахождение
обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
Решение матричных уравнений вида AX=B.
Определители и их свойства. Непосредственное вычисление
определителей второго и третьего порядка. Формула разложения
определителя по строкам и столбцам.
1.3. Системы линейных уравнений.
Система линейных алгебраических уравнений, ее матричная
запись. Пространство решений однородной системы, связь его
размерности с рангом матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.
Фундаментальная система решений однородной системы. Связь
между общими решениями однородной и неоднородной систем.
Применение определителей: критерий невырожденности
квадратной матрицы; нахождение ранга матрицы; критерий
существования ненулевых решений однородной системы линейных
алгебраических уравнений с n неизвестными, состоящей из n
уравнений;
нахождение
решения
системы
линейных
алгебраических уравнений по формулам Крамера; нахождение
обратной матрицы.
1.4. Линейные преобразования и квадратичные формы.
Линейные преобразования пространства Rn. Матрица линейного
оператора. Собственные значения и собственные векторы линейных
операторов. Собственные значения квадратных матриц.
Квадратичные формы, их матрицы в заданном базисе.
Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом
Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм. Формулировка
критерия Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
1.5. Элементы аналитической геометрии.
Прямая и гиперплоскость в n-мерном пространстве. Угол между
гиперплоскостями. Расстояние от точки до гиперплоскости. Прямая
на плоскости и в пространстве. Прямая, отрезок, луч в n- мерном
пространстве. Плоскость в трехмерном пространстве.
Классификация кривых второго порядка (эллипс, гипербола и
парабола), их свойства и канонические уравнения. Приведение
общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
Выпуклые множества в пространстве Rn. Полупространства
выпуклые многогранные области. Системы линейных неравенств и
их геометрический смысл. Угловые точки выпуклых многогранных
областей. Выпуклая оболочка системы точек в Rn.
1.6. Неотрицательные матрицы и модели Леонтьева.
Собственные значения и собственные векторы неотрицательных
матриц. Формулировка теорема Фробениуса-Перрона. Число и
вектор Фробениуса, их свойства. Продуктивность неотрицательных
матриц.
2.
Линейное
программирование
3.
Теория вероятностей
Модель многоотраслевой экономики Леонтьева. Продуктивные
модели Леонтьева. Различные критерии продуктивности модели
Леонтьева.
2.1. Основные понятия.
Примеры экономико-математических моделей, приводящих к
задачам линейного программирования. Стандартная и каноническая
формы записи задач линейного программирования.
Геометрическая
интерпретация
задачи
линейного
программирования в случае двух переменных. Графический метод
решения. Решение задачи линейного программирования методом
перебора вершин.
2.2. Симплекс-метод.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
Алгоритм симплекс-метода. Нахождение исходного допустимого
базиса. Метод искусственного базиса.
2.3. Двойственные задачи.
Понятие о взаимно двойственных задачах линейного
программирования.
Основные
теоремы
двойственности.
Двойственность в экономико-математических моделях.
2.4. Транспортная задача.
Транспортная задача; Метод потенциалов.
3.1. Вероятности событий.
Основные понятия комбинаторики.
Случайные события, частота и вероятность. Пространство
элементарных
событий.
Классический
способ
подсчета
вероятностей. Геометрические вероятности. Статистическое
определение вероятности.
Условные вероятности. Независимые события. Теорема
умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей.
Формула полной вероятности и формулы Байеса вероятностей
гипотез.
Схема независимых повторных испытаний (схема Бернулли).
Формула Бернулли. Наиболее вероятное число успехов в схеме
Бернулли. Функции Гаусса и Лапласа. Приближенные формулы
Муавра-Лапласа и Пуассона.
3.2. Случайные величины.
Случайная величина как функция на пространстве
элементарных событий. Функция распределения случайной
величины. Свойства функции распределения. Независимость
случайных величин. Функции от одной или нескольких случайных
величин. Арифметические операции над случайными величинами.
Дискретная случайная величина (ДСВ) и ее закон
распределения. Основные числовые характеристики ДСВ:
математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение.
Математическое ожидание функции от ДСВ.
Свойства математического ожидания, дисперсии.
Примеры
классических
дискретных
распределений
(биномиальное, пуассоновское, геометрическое) и вычисление их
числовых характеристик.
Непрерывные случайные величины. Свойства функции и
плотности распределения. Математическое ожидание и дисперсия
непрерывной случайной величины. Математическое ожидание
функции от непрерывной случайной величины.
Равномерное распределение на отрезке, показательное
(экспоненциальное) распределение и нормальное распределения, их
числовые характеристики. Нормальность суммы независимых
нормальных случайных величин.
Начальные и центральные моменты случайной величины.
Асимметрия и эксцесс.
3.3. Предельные теоремы теории вероятностей.
Формулировка неравенства Чебышева. Правило «трех сигм» в
общем случае. Формулировка теорем Чебышева и Бернулли.
Последовательности случайных величин. Сходимость по
вероятности и закон больших чисел.
Формулировка центральной предельной теоремы (ЦПТ) в форме
Ляпунова для одинаково распределенных слагаемых и в общем
случае. Применение ЦПТ.
3.4. Случайные векторы.
Совместное распределение случайных величин. Случайный
вектор. Зависимые и независимые случайные векторы. Функция
распределения случайного вектора и ее свойства. Связь функции
распределения случайного вектора с функциями распределения его
компонент.
Дискретные случайные векторы. Вероятность попадания
дискретного случайного вектора в заданное множество. Закон
распределения двумерного дискретного случайного вектора и его
связь с распределениями компонент.
Непрерывные случайные векторы. Плотность распределения
случайного вектора. Вероятность попадания непрерывного
случайного вектора в заданное множество. Связь плотности
распределения случайного вектора с плотностями распределения
его компонент. Плотность распределения случайного вектора с
независимыми компонентами. Равномерное распределение в
ограниченной области в Rn.
Числовые характеристики дискретных и непрерывных
случайных векторов. Математическое ожидание функции от
компонент случайного вектора. Ковариационная матрица
случайного
вектора.
Неотрицательная
определенность
ковариационной матрицы.
Условные распределения и условные плотности. Условное
математическое ожидание и его свойства. Формула полного
математического ожидания. Условная дисперсия. Формула полной
дисперсии.
4.
Математическая
статистика
4.1. Эмпирические характеристики и выборки
Статистические методы обработки экспериментальных данных.
Генеральная совокупность. Эмпирическая функция распределения
и вариационный ряд. Гистограмма. Мода и медиана.
Генеральные среднее, дисперсия, моменты высших порядков
(асимметрия, эксцесс). Эмпирическая ковариация.
Повторные и бесповторные выборки. Математическое ожидание
и дисперсия выборочного среднего для повторной и бесповторной
выборки.
4.2. Точечные и интервальные оценки
Статистические
оценки
параметров
распределения.
Несмещенность, состоятельность и эффективность точечных
оценок. Оценка неизвестной вероятности по частоте. Точечные
оценки для математического ожидания и дисперсии. Метод
моментов.
Доверительные вероятности и интервалы. Приближенный
доверительный интервал для оценки генеральной доли признака.
Приближенный доверительный интервал для оценки генерального
среднего.
Статистическое
оценивание
и
проверка
гипотез,
статистические методы обработки экспериментальных данных.
Метод Монте-Карло.
5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи разделов дисциплины с
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1.
Статистика
2.
Экономическая теория
3.
Методы принятия управленческих
№ № разделов данной дисциплины, необходимых для
изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
2
3
4
+
решений
4.
Маркетинг
5.
Финансовый менеджмент
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5.3 Разделы дисциплины и планы занятий
№
п/п.
1.
2.
3.
4.
Раздел дисциплины
Лекции,
час.
Линейная алгебра с
элементами аналитической
геометрии
Линейное программирование
Теория вероятностей
Математическая статистика
Итого:
ПЗ, час.
СР, час.
28
28
23
10
24
12
10
28
8
20
15
10
74
74
68
6.Лабораторный практикум
Не предусмотрен.
7. Практические занятия (семинары)
№
п/п
№ раздела
(темы
дисциплины)
1.
1(1)
2.
1(2)
3.
1(3)
Тематика практических занятий (семинаров)
Линейные
пространства.
Подпространства
линейного
пространства. Скалярное произведение векторов в Rn. Длина
вектора, угол между векторами,
ортогональный
и
ортонормированный
базисы в Rn. Координаты вектора в
ортогональном базисе.
Определители и их свойства. Непосредственное вычисление
определителей второго и третьего порядка. Вычисление
определителя с помощью разложения его по строкам и столбцам.
Матрицы и действия над ними. Приведение матрицы к
ступенчатому виду. Ранг матрицы. Умножение матриц.
Невырожденные квадратные матрицы. Нахождение обратной
матрицы. Решение матричных уравнений вида AX = B.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
с квадратной матрицей методом Крамера. Решение СЛАУ
методом Гаусса.
Индивидуальное домашнее задание №1.
Контрольная работа (действия над матрицами, решение
Трудоемкость
(час.)
2
8
8
4.
1(4)
5.
1(5)
6.
1(6)
7.
2(1)
8.
2(2)
9.
2(3)
10.
2(4)
11.
3(1)
12.
3(2)
13.
3(4)
14.
4(1)
15.
4(2)
СЛАУ).
Квадратичные формы. Приведение формы к нормальному и
каноническому виду. Знакоопределенные квадратичные формы,
критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и
в трёхмерном пространстве.
Кривые второго порядка на плоскости. Эллипс, гипербола,
парабола.
Выпуклые множества. Системы линейных неравенств и их
геометрический смысл. Нахождение угловых точек выпуклых
многогранных областей
Неотрицательные матрицы и модели Леонтьева. Исследование
продуктивности матриц.
Выдача расчетно-графического задания №1.
Геометрическая
интерпретация
задачи
линейного
программирования в случае двух переменных. Графический метод
решения.
Решение задач линейного программирования симплексметодом.
Взаимно-двойственные задачи линейного программирования.
Решение транспортной задачи.
Выдача расчетно-графического задания №2.
Комбинаторика. Примеры на использование классического
определение вероятности. Примеры на сложение и умножение
вероятностей. Решение задач с использованием формул условной
вероятности, полной вероятности, Байеса. Решение задач по схеме
Бернулли. Применение асимптотических формул Муавра-Лапласа
и Пуассона.
Построение рядов распределения дискретных случайных
величин. Нахождение числовых характеристик дискретных
случайных величин.
Нахождение числовых характеристик непрерывных случайных
величин. Задачи с использованием нормального закона
распределения.
Векторные случайные величины. Функции распределения и
плотности случайного вектора и его компонент. Числовые
характеристики случайного вектора. Ковариационная и
корреляционная матрицы.
Функции от случайных величин. Математическое ожидание
функции от случайных величин. Функции распределения и
плотности суммы независимых случайных величин.
Нахождение условного математического ожидания и
дисперсии.
Статистические методы обработки экспериментальных
данных. Генеральная совокупность. Эмпирическая функция
распределения и вариационный ряд. Гистограмма. Мода и
медиана.
Генеральные среднее, дисперсия, моменты высших порядков
(асимметрия, эксцесс). Эмпирическая ковариация.
Повторные и бесповторные выборки. Математическое
ожидание и дисперсия выборочного среднего для повторной и
бесповторной выборки.
Статистические оценки параметров распределения. Оценка
неизвестной вероятности по частоте. Точечные оценки для
математического ожидания и дисперсии. Метод моментов.
Доверительные вероятности и интервалы. Статистическое
оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки
экспериментальных данных. Метод Монте-Карло.
Итого:
4
6
2
2
2
2
2
10
10
8
4
4
74
Самостоятельная работа
Обязательными при изучении дисциплины «Дополнительные главы математики»
являются следующие виды самостоятельной работы:

чтение пособий и конспектов лекций (в т.ч. при подготовке к экзамену,
зачету);

выполнение текущих домашних заданий;

выполнение трех расчетно-графических работ;

выполнение одного индивидуального домашнего задания.
Примерные темы заданий для самостоятельной работы студентов
1. Расчетно-графическое задание №1: Экономическая модель Леонтьева В.В.
2. Расчетно-графическое задание №2: Линейное программирование.
3. Расчетно-графическое задание №3: Математическая статистика.
4. Индивидуальное домашнее задание №1: Линейная алгебра и аналитическая
геометрия.
.
8. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
Не предусмотрены
9.
Учебно-методическое
и
информационное
обеспечение
дисциплины:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для студентов
ВУЗов, в 2-х ч. – М.: 1999.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Интеграл-пресс, т.т.1-2,
2005.
Господариков А.П. и др. Математический практикум. / Часть 1. Учебное пособие. – СПГГИ,
2007.
Господариков А.П. и др. Математический практикум. / Часть 5. Учебное пособие. – СПГГИ,
2007.
Господариков А.П. и др. Математический практикум. / Часть 6. Учебное пособие. – СПГГИ,
2007.
Господариков А.П., Лебедев И.А., Акчурин Т.Р., Керейчук М.А., Прозоров К.В. Высшая
математика. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
Дифференциальное и интегральное исчисления. Дифференциальные уравнения и
ряды Учебное пособие. – СПГГИ, 2009.
Господариков А.П., Ивакин В.В., Лебедев И.А.. Высшая математика. Теория вероятностей и
математическая статистика. Линейное программирование.Учебное пособие. – СПГГИ,
2009.
Ермаков В.И. и др. Общий курс высшей математики для экономистов. – М.: Инфра-М, 2008.
Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов. Учебное пособие. – М.: Инфра-М, 2006.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
10.
11.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике.
Учебник в 3 ч. Ч.3. Теория вероятностей и математическая статистика. М:. Финансы и
статистика, 2008.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник для вузов.
Часть 1. Издание второе. – М.: Финансы и статистика, 2003.
ПРОГРАМНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
Не предусмотрено
БАЗЫ ДАННЫХ, ИНФОРМАЦИОННО-СПРАВОЧНЫЕ И ПОИСКОВЫЕ СИСТЕМЫ
Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы отсутствуют.
10. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, оснащенные
мультимедийным оборудованием.
11. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ
ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В период сессии контроль осуществляется в форме зачета (II семестр), экзамена
(III семестр). Контроль в течение семестра и перед началом экзаменационной сессии
включает проверку контрольных работ, индивидуальных домашних и расчетнографических заданий. Кроме того, в течение семестра осуществляются промежуточные
собеседования по теме линейная алгебра с элементами аналитической геометрии.
Студенты, не выполнившие контрольных работ, индивидуальных домашних и расчетнографических заданий, к зачету и экзамену не допускаются. Недифференцруемый зачет
проводится в письменной форме. Экзамен проводится в виде теста, в котором при ответе
на вопрос студенту предлагается выбрать один из пяти вариантов ответов.
_____________________________________________________________________________
Разработчики:
Санкт-Петербургский
государственный горный институт
(технический университет)
доцент кафедры
высшей математики
Т.Р. Акчурин
Санкт-Петербургский
государственный горный институт
(технический университет)
доцент кафедры
высшей математики
Г.А. Колтон
Декан ФФиГД, заведующий
кафедрой высшей математики
Санкт-Петербургского
Государственного горного института
(технического университета)
профессор
А.П. Господариков