Фурман Я. - Марийский государственный технический университет

195
МЕТОДЫ КРИТИЧЕСКИХ ПЛОСКОСТЕЙ И КРИТИЧЕСКИХ ЛИНИЙ В ЗАДАЧАХ
ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЙ ТОЧЕЧНЫХ ОБЪЕКТОВ И ТОЧЕЧЕНЫХ ПОЛЕЙ
Я.А. Фурман2
2
Марийский государственный технический университет, 424000, Йошкар-Ола,
пл. Ленина 3. Тел. (8362) 455412. E-mail: rts@marstu.mari.ru
С позиции кватернионного анализа рассмотрен подход к сегментации трехмерной
сцены, заданной отсчетами координат точек, расположенных на поверхности
пространственных объектов. Поверхности изображений сегментированных
объектов аппроксимированы плоскими участками. Информативным признаком
для сегментации является значение нормали к элементарной плоскости,
образованной тремя произвольными точками.
Введение и постановка задачи
Плоские и пространственные сцены,
состоящие из изображений точечных
объектов, являются результатом работы
целого ряда технических датчиков, в
первую очередь, таких, как лазерные, радио
и
гидролокационные
устройства.
Практически
всегда
любая
задача
обработки подобных изображений связана
с задачей структуризации (упорядочение,
нумерации, конкатенации) составляющих
их точечных объектов. Только в результате
полного или, хотя бы частичного решения
этой задачи появляется возможность
получения однозначного математического
описания сцены. В противном случае
невозможно корректно сравнить между
собой два групповых точечных объекта
(ГТО) или два точечных поля.
Решение задачи структуризации связано с
введением некоторых информационных
признаков, степень обладания которыми
дает возможность критерийно объединить
или разделить точки сцены.
Основным требованием к процедуре
структуризации является устойчивость
полученной структуры к преобразованиям
переноса, поворота, масштабирования
точечных объектов и, в определенной
степени, при воздействии случайных
факторов ограниченной интенсивности.
Известны различные подходы к решению
этой задачи: метод минимального дерева,
объективной группировки, естественной
нумерации [1] и др. Эти подходы
________________________________
используют в качестве информативных
первичных признаков значения расстояния
между двумя точками или угла между
двумя радиус – векторами. Полученные
результаты представляют интерес лишь для
плоских сцен. Если же анализируются
трехмерные сцены, то здесь две точки
характеризуются не только значением
взаимного
расстояния,
но
и
принадлежности к той или иной плоскости.
В ряде случаев решение, принимаемые по
каждому из признаков в отдельности,
противоречат друг другу. Цель данного
доклада заключается в изложении нового
подхода к структуризации точечных сцен,
основанного на учете связности между
точками и обладающего достаточно
высокой эффективностью как для плоских,
так и для пространственных сцен.
Критические линии для заданного на
плоскости множества точек
Пусть  - произвольно расположенная в
трехмерном пространстве плоскость, а
   n 0, s 1 - множество заданных на ней
точек. Введем для этого множества понятие
критической линии [1].
Произвольную точку множества, например
 n , выберем в качестве полюса  и
соединим её прямыми линиями со всеми
остальными точками (рис. 1,а). Каждая из
этих прямых делит плоскость  на две
полуплоскости. Точка полюса  считается
внутренней точкой множества  ,если в
каждой.
196
Рис. 1. К определению критической линии
заданных на плоскости множества точек
полуплоскости находится хотя бы одна не
расположенная на разделительной линии
точка множества. Точка    4 на рис. 1,а
является именно такой точкой.
Аналогично, точка
считается
  n
граничной точкой множества, если одна из
полуплоскостей не содержит ни одной
точки множества  (точка  0 на рис. 1,б).
Прямая, обладающая свойством разделить
точки множества подобным образом,
называется критической линией.
Существует
подход
для
принятия
аналитическим
путем
решения
о
критичности прямой, проходящей через две
точки множества. Пусть разделительная
прямая проходит через полюс    3 и
точку
Необходимо
определить,
1 .
находятся ли точки  2 и  0 по одну или по
обе стороны этой прямой (рис. 2).
0
0
a)
нормали к плоскостям, образованными
направляющим вектором разделительной
прямой, и вектором, соединяющим полюс с
текущей точкой множества, должны быть
коллинеарными. Если обнаружится хотя бы
одна антиколлинеарная нормаль, то эта
разделительная
прямая
не
является
критической.
С помощью критических линий решается
задача построение контура на плоскости
ГТО. Для этого поступают следующим
образом.
Две и более точек множества  ,

расположенных в плоскости
и
находящихся на критической линии, будут
граничными точками этого множества. На
критической линии можно выделить
элементарный вектор, соединяющий две
краткие точки на этой линии. Если новый
полюс
расположить
на
конце
элементарного
вектора,
то
среди
проходящих через него линий, обязательно
будет еще одна критическая линия.
Продолжая
этот
процесс,
получим
последовательность критических линий,
пересечение которых дает замкнутый l угольник (рис.3). На его сторонах
расположены только внешние точки ГТО и
поэтому такой многоугольник задает форму
объекта.
1
1
а( ) а(1)
3
а(2)
б)
2
3
а (1)
а ( 0)
0
а (2)
2
Рис. 2
Гиперкомплексная
часть
hyp (a n , a m)
скалярного произведения двух векторов a n
и a m равна векторному произведению
[ a n , a m ] этих векторов и в нормированном
виде задает нормаль r  к плоскости,
натянутой на эти векторы [2]:
(1)
r   hyp (an , am ) .
Разделительная прямая будет критической
линией при следующем условии: все
Рис.3. Критическая плоскость  , проходящая через
точки  4 ,  5 ,  6, 7 множества
  { (n)} 0, 7  {( 2;2;3), (4; 0; 5,5) , (3,5;  5; 4) ,
(1,4;  7,55; 0,6), (5;  6;1), (8; 6; 4), (7; 2; 6),
(5,5;4,2; 4,2)} .
Стороны
являются
l -угольника
элементарными
векторами
dn ,
образующими
замкнутый
контур
D  d n 0,l 1 . Формирование этого контура
является
процедурой,
соединяющей
в
197
определенном порядке внешние точки ГТО,
т.е. упорядочивает точки исходного
множества.
Критические плоскости для заданного в
пространстве множества точек
Пусть теперь точки множества    n 0, s1
ограничены
трехмерным
объемом.
Критическая плоскость  для множества
A обладает следующими свойствами:
1) содержит не менее трех точек этого
множества;
2) все остальные точки расположены по
одну сторону плоскости (рис. 4).
другом – антиколлинеарны нормали r  .
Как видно из рис. 5, эти направляющие
векторы можно найти из прямоугольных
треугольников через гипотенузу и косинус
.
угла
Если
нормированный
направляющий вектор перпендикуляра
коллинеарен с нормалью r  , то их
скалярное произведение будет равно
единице, если антиколлинеарен, то минус
единице. При замене направляющего
вектора
a3
a5
a4
3
a1
a0

a9
a2
r

8
a8
a6
a7
Рис. 5. Определение положения точек относительно
плоскости 
Рис.4. Контуры расположенного в плоскости
 группового точечного объекта
Полагаем, что ряд точек множества 
принадлежат плоскости  . Чтобы она
обладала свойствами критической, надо
проверить расположение относительно нее
всех остальных точек
множества.
Рассмотрим один из подходов к проверки
плоскости на критичность. На рис. 5
изображена плоскость  с лежащими в ней
точками  0 ,
1 ,  2 ,  9 . Над ней
находятся точки  3 ,  4 ,  5 , а под ней
точки  6 ,  7 ,  8 . Обозначим через r 
вектор нормали к плоскости  .
Из расположенных над и под плоскостью

точек
опустим
на
плоскость
перпендикуляры.
В
одном
случае
направляющие
векторы
этих
перпендикуляров будут коллинеарны, а в
перпендикуляра на вектор, соединяющий
проверяемую точку с полюсом  0 ,
положение проверяемой будет влиять на
знак реальной части. Таким образом,
плоскость  будет критической, если
косинусы всех углов будут одного знака.
Список литературы
1.
2.
3.
Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника: Пер. с
англ. – М.: Мир, 1989. - 624 с.
Казанова Г. Векторная алгебра. М.: Мир, 1979
Zucker S.W., Hummel R.A. Three Dimensional
Enqe Operator, Intell, PAMI-3, N.3, pp.324-331,
1981.