8.История математики на уроках и на внеклассных занятиях.

Западно-Казахстанский государственный университет
им. М. Утемисова
«Утверждаю»
Декан естественно-математического факультета
__________________Карагойшин Ж.М.
«_______» __________________ 2009 г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ
« История математики»
по кредитной технологии обучения
для студентов 4 курса специальности 050109 «Математика» - Образование
Курс 4
Семестр 7
Количество кредитов 2
Лекций 15 часов
Практические занятия 15 часов
СРС 30 часов
СРСП 30 часов
Экзамен в 7 семестре
Всего аудиторных часов 60
Уральск
2009 г.
Учебно-методический комплекс по дисциплине « История математики» по
кредитной технологии обучения для студентов 4 курса разработан на основе
«Типовые программы, история математики » МОНРК, КазНПУ им. Абая, Алматы 2002 .
Рассмотрен на заседании кафедры физики, математики и информатики
Протокол №
от «
» _______________________ 2009 г.
Зав. кафедрой______________________ Жусупкалиева Г.К..
Согласовано: руководитель ООУП и УМР ________________________ Какимова А.А.
Рассмотрен на заседании учебно-методического совета естественно-математического
факультета
Протокол № _____ от «____» ___________________ 2009 г.
Председатель УМС естественно-математического факультета
________________________________________
(Ф.И.О.)
1. Типовая учебная программа, «Типовые программы, история математики »
МОНРК, КазНПУ им. Абая, Алматы - 2002 , находится на кафедре физики,
математики и информатики ЗКГУ им. М. Утемисова
Программа по дисциплине «История математики» по кредитной технологии обучения для
студентов 4 курса разработана преподавателем кафедры физики, математики и информатики
Орловой Л.Г.на основе «Типовые программы, история математики » МОНРК, КазНПУ им.
Абая, Алматы - 2002 .
Рассмотрена на заседании кафедры математики
Протокол №
от «
» _______________________ 2009 г.
Зав. кафедрой______________________ Жусупкалиева Г.К..
Согласовано: руководитель ООУП и УМР ________________________ Какимова А.А.
Рассмотрена на заседании учебно-методического совета естественно-математического
факультета
Протокол № _____ от «____» ___________________ 2009 г.
Председатель УМС естественно-математического факультета
________________________________________
2.1 Данные о преподавателе
Орлова Л.Г., преподаватель кафедры физики, математики и информатики ЗКГУ
Офис: кафедра физики, математики и информатики ЗКГУ, ауд. 307
Полный адрес: ул. Н. Савичева 47 кв. 4
Тел. нет
2.2. Данные о дисциплине
История математики
Количество кредитов – 2
Место проведения: корпус №1 педагогического института
Выписка из учебного плана:
Курс
Семестр Кредиты Лекции Практ.
СРСП
СРС
Всего
занятия
4
7
2
15
15
30
30
90
Форма
контроля
экзамен
2.3 Введение
Краткое описание курса
Перед высшей школой стоит задача дальнейшего совершенствования качества обучения
подготовки специалистов для народного хозяйства. Воспитание современного специалиста,
гармонически сочетающего в себе профессиональное мастерство, широкую научную
эрудицию неотделимо от процесса постоянного совершенствования учебно-методической
работы, повышения качества и эффективности всего учебного процесса.
В решении поставленной задачи все большую роль приобретает математическое образование,
поскольку в современной науке и технике, в производстве и управлении народным хозяйством
непрерывно возрастает роль математических методов моделирования, проектирования,
исследования, планирования. Курс истории математики является фундаментальной основой
для изучения всех других математических дисциплин по специальности «Математика».
Предлагаемая программа охватывает все основные традиционные темы курса.
Цель преподавания дисциплины:
-ознакомить студентов с предметом истории и методологии математики,
задачами и методами математики ;
-дать будущим учителям математики представление о развитии математических
знаний и их связи с будущей профессиональной деятельностью ;
-ознакомить с философскими проблемами обоснования математики;
-ознакомить с проблемами истинности в математике, сущностью процесса
математизации научного знания ;
-ознакомить с генезисом идей и методов и хронологией основных этапов в
развитии математики.
Задачи изучения дисциплины:
изучить
вопросы
формирования
начальных
математических
представлений:
понятие числа , фигуры , уравнения и др, возникающих из общественной
практики ; вопросы развития математической символики, систем нумерации ,
первичных форм научных математических суждений;
- ознакомить с путями формирования математической науки ( появление первых
дедуктивных
математических
теорий,
аксиоматического
метода
в
геометрии,
инфинитезимальных методов анализа и др);
- ознакомить с путями формирования математических наук: арифметики,
алгебры , геометрии , математического анализа и др;
- изложить современные проблемы развития математики в целом.
Содержание дисциплины.
1. Предмет истории математики.
2. Формирование начальных математических представлений.
3. Математика Древнего Египта, Древнего Вавилона.
4. Математика Древнего Китая и Индии.
5.Пути
формирования
математической
науки.
Появление
математической
теории.
6.Аксиоматическое
построение
геометрии
(математики)
в
эпоху
эллинизма.
Инфинитезимальные методы Древней Греции.
7.Развитие
элементарной
математики.
Математика
народов
Средней
Азии
и Ближнего Востока. Европа.
8. Математика XVII в. Процесс создания математики переменных величин.
9. Развитие основных частей математики в XVIII в.
10.Начало периода современной математики (XIX в).
11.Развитие аппарата и приложений матем. анализа. Математизация физики. Неевклидова
геометрия.
12.Математика в XX столетии.
13.Математика в России.
14.Математика в Казахстане.
15.История математики на уроках и на внеклассных занятиях.
Пререквизиты
Перечень дисциллин, усвоение которых необходимо для изучения данной
дисциплины : а) алгебра , б) геометрия , в) математический анализ , г) физика ,
д) астрономия и др.
Постреквизиты:
В процессе освоения курса истории математики студент должен:
изучить
вопросы
формирования
начальных
математических
представлений:
понятие числа , фигуры , уравнения и др, возникающих из общественной
практики ; вопросы развития математической символики, систем нумерации ,
первичных форм научных математических суждений;
- ознакомиться с путями формирования математической науки ( появление первых
дедуктивных
математических
теорий,
аксиоматического
метода
в
геометрии,
инфинитезимальных методов анализа и др);
- ознакомиться с путями формирования математических наук: арифметики,
алгебры , геометрии , математического анализа и др;
- научиться излогать современные проблемы развития математики в целом.
Важным фактором успешного овладения дисциплиной является систематическая работа
студентов над курсом. Сюда входит регулярная работа по выполнению текущих заданий и
циклическая работа по выполнению индивидуальных работ по основным темам курса.
Результативность самостоятельной работы студентов обеспечивается эффективной
системой контроля, которая включает опрос студентов по содержанию лекций, проверку
выполнения текущих заданий, контрольные работы, теоретические коллоквиумы.
Методология обучения. Занятия по данной дисциплине проводятся в виде лекций, на которых
излагается содержание основного учебного материала, и закрепляются практические навыки и
полученные представления. Контроль знаний будет осуществляться в виде проверки
выполнения домашних заданий посредством решения задач, тестов, предложенных в
электронном учебнике, устного опроса, индивидуальных заданий и их защиты.
2.4 График и содержание занятий:
Семестр состоит из 15 учебных недель и 2 недель сессии. В неделю предполагается один
кредит-час, каждый кредит-час состоит из одного контактного часа ( лекция) и двух часов
самостоятельной работы под руководством преподавателя ( СРСП, СРС)
Занятия
Контактный час 1
(лекция )
Контактный час 1
(практическое
занятие)
Время проведения
50 мин
Занятия
СРСП (практическое
занятие)
СРСП (практическое
занятие)
50 мин
Время проведения
50 мин
50 мин
Содержание дисциплины.
Распределение часов по видам занятий:
1 семестр
№ Название темы
1
2
3
4.
5
6
1
Пр.
СРС
занятия
часы
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
Пути формирования математической 1
науки. Появление математических
теорий.
Первые
математические
теории в Древней Греции (І-ІУв.до
н.э.).
Аксиоматическое
построение 1
геометрии (математики) в эпоху
1
2
2
1
2
2
Предмет истории математики. Связь
математики с др. науками. Роль
практики в развитии математики
Периодизация.
Роль
истории
математики в системе подготовки
учителя математики.
Формирование
начальных
мматематических
представлений.
Возникновение
первых
мматематических
понятий
и
методов; понятие числа, фигуры;
способы
решения
несложных
математических задач, возникающих
в
практике,
начальные
виды
математической символики, системы
нумерации.
Математика
Древнего
Египта.
Математика Древнего Вавилона.
Математика
Древнего
Китая.
Математика древней Индии.
Лекции
часы
СРСП
7
8
9
10
11
12
13
14
15
эллинизма.
Инфинитезимальные
методы Древней Греции.
Развитие
элементарной
математики.
О
математике
народов
Средней
Азии
и
Ближнего Востока.
Средневековая Европа. Математика в
эпоху Возрождения.
Математика XVII века. Процесс
создания математики переменных
величин.
Возникновение
аналитической
геометрии.
Инфинитезимальные методы. Итоги
столетия.
Развитие
основных
частей
математики
в
ХУІІІв.
Общая
характеристика математики ХУІІІв.
Век просвещения. Научные центры.
Математическое
образование.
Математика и механика.
Начало
периода
современной
математики. О характере развития
математики в XIX в. Возникновение
основных понятий современной
алгебры.
Развитие аппарата и приложений
матем.
анализа.
Математизация
физики. Неевклидова геометрия.
Математика в XX столетии от начала
века до первой мировой войны;
развитие математики впериод 19171945г. О математике после 1945г.
Математизация наук. Информатика.
Кибернетика.
Математика
в
России.
Математическая культура в России
до начала XVII в. Математика в
Петербургской Академии Наук в
ХУІІв. Математика в России до
начала
ХХв.
Советская
математическая школа.
Математика
в
Казахстане:
математика в Казахстане до начала
ХХв.; -математ. наследие АльФараби; -развитие математики в
Казахстане в последние годы.
История математики на уроках и на
внеклассных
занятиях.
Использование
исторических
материалов
по
математике
в
процессе преподавания математики
в школе. Исторические задачи.
История математики на кружковых
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
и факультативных занятиях.
Всего
Неделя 1
15
15
30
30
Неделя 1
Кредит час 1
Тема: Предмет истории математики
Содержание лекции
1.Предмет истории математики.
2. Связь математики с др. науками.
3. Роль практики в развитии математики. Периодизация.
4. Роль истории математики в системе подготовки учителя математики.
Литература: [1] §1, гл.1[3] гл.1 [8] гл.1 [13] гл.1-3 [21]-[22] [26] гл.1 [28] гл.1
Содержание СРСП: Знакомство и изучение студентами сборника предлагаемых исторических
задач, копирование файла сборника.
Содержание СРС: [3],[8], [21].
Тема: Предмет истории математики
Содержание практического занятия:
1.Предмет истории математики.
2. Связь математики с др. науками.
Неделя 2
Кредит час 2
Тема: Формирование начальных математических представлений
Содержание лекции
1. Возникновение первых математических понятий и методов.
2. Понятие числа, фигуры.
3. Способы решения несложных математических задач, возникающих в практике.
4. Начальные виды математической символики.
5. Системы нумерации.
Литература: [1]§2,гл.1 [3]гл.1 [7] гл.З [8]гл.1,2 [9] 4.1,11 [10]гл.1 [12]гл.1-2 [22-23] [28]гл.1-2
Содержание СРСП: Решение исторических задач по данной тематике.
Содержание СРС: [3],[8], [11], гл.1 [13],[21],[24], [26]гл.1,2
Тема: Формирование начальных математических представлений
Содержание практического занятия:
1. Возникновение первых математических понятий и методов.
2. Понятие числа, фигуры.
Неделя 3
Кредит час 3
Тема: Математика древнего мира.
Содержание лекции
1. Математика Древнего Египта.
2. Математика Древнего Вавилона.
Литература: [1]2.1-2, [3]гл.1, [8]гл.1-5, [9]ч.3гл. 1-7,9, [10] гл.2,6, [12]гл.1-3, [13]гл.1-5, [28] гл.
1-2,5.
Содержание СРСП: Решение исторических задач по данной тематике.
Содержание СРС: [3], [8],[11] гл.1, [13],[21], [26]гл.1,2.
Тема: Математика древнего мира.
Содержание практического зантия:
1. Математика Древнего Египта.
2. Математика Древнего Вавилона.
Неделя 4
Кредит час 4
Тема: Математика древнего мира.
Содержание лекции:
1. Математика Древнего Китая.
2. Математика Древней Индии.
Литература: [1]2.1-2, [3]гл.1, [8]гл.1-5, [9]ч.3гл. 1-7,9, [10] гл.2,6, [12]гл.1-3, [13]гл.1-5, [28] гл.
1-2,5.
Содержание СРСП: Решение исторических задач по данной тематике.
Содержание СРС: [3], [8],[11] гл.1, [13],[21], [26]гл.1,2.
Тема: Математика древнего мира.
Содержание практического занятия:
1. Математика Древнего Китая.
2. Математика Древней Индии.
Неделя 5
Кредит час 5
Тема: Пути формирования математической науки.
Содержание лекции
1. Пути формирования математической науки.
2. Появление математических теорий.
3. Первые математические теории в Древней Греции (І-ІУв.до н.э.).
Литература: [1], : [2], [4] гл.5,6, [8]гл.1,2, [9] ч.З,гл9-10, [10] гл.2, [13],[21],[22], [26] гл.2, [28]
гл.2-4.
Содержание СРСП: Решение исторических задач по данной тематике.
Содержание СРС: [8], [11]гл.2,5, [13] гл.З, [26] гл.2.
Тема: Пути формирования математической науки.
Содержание практического занятия:
1. Пути формирования математической науки.
2. Появление математических теорий.
Неделя 6
Кредит час 6
Тема: Аксиоматическое построение математики.
Содержание лекции
1. Аксиоматическое построение геометрии (математики) в эпоху эллинизма.
2. Инфинитезимальные методы Древней Греции.
Литература: [1], : [2], [4] гл.5,6, [8]гл.1,2, [9] ч.З,гл9-10, [10] гл.2, [13],[21],[22], [26] гл.2, [28]
гл.2-4.
Содержание СРСП: Решение исторических задач по данной тематике.
Содержание СРС: [8], [11]гл.2,5, [13] гл.З, [26] гл.2.
Тема: Аксиоматическое построение математики.
Содержание практического занятия:
1. Аксиоматическое построение геометрии (математики) в эпоху эллинизма.
2. Инфинитезимальные методы Древней Греции.
Неделя 7
Кредит час 7
Тема: Развитие элементарной математики.
Содержание лекции
1. О математике народов Средней Азии и Ближнего Востока.
2. Средневековая Европа.
3. Математика в эпоху Возрождения.
Литература: [1] ч.2,гл.2, [8], [9]ч.1-2, [10] гл.2,6 [21], [27],[28] гл.6-8.
Содержание СРСП: Решение исторических задач по данной тематике.
Содержание СРС: [8], [11] гл.2,5.6., [21], [26] гл.3.
Тема: Развитие элементарной математики.
Содержание практического занятия:
1. О математике народов Средней Азии и Ближнего Востока.
2. Средневековая Европа.
Неделя 8
Кредит час 8
Тема: Математика XVII века.
Содержание лекции
1. Процесс создания математики переменных величин.
2. Возникновение аналитической геометрии.
3. Инфинитезимальные методы.
4. Итоги столетия.
Литература: [1]ч2,глЗ [4]гл7 [9]ч1,4 [10]гл.6,7 [12]гл.4 [21],[22-23], [28] гл.9
Содержание СРСП: Решение исторических задач по данной тематике.
Содержание СРС: [8], [11]гл.2,5,6 ,[21],[26] гл.4,5.
Тема: Математика XVII века.
Содержание практического занятия:
1. Процесс создания математики переменных величин.
2. Возникновение аналитической геометрии.
Неделя 9
Кредит час 9
Тема: Развитие основных частей математики в ХУІІІв.
Содержание лекции
1. Общая характеристика математики ХУІІІв.
2. Век просвещения. Научные центры.
3. Математическое образование.
4. Математика и механика.
Литература: [1] ч2,3 ,[10]гл.7, [12] гл.4-8, [21-23], [26] гл.4-8. [28]гл.10,11.
Содержание СРСП: Решение исторических задач по данной тематике.
Содержание СРС: [2] гл. 1-4, [11]гл.2,6, [21], [26] гл.4.
Тема: Развитие основных частей математики в ХУІІІв.
Содержание практического занятия:
5. Общая характеристика математики ХУІІІв.
6. Век просвещения. Научные центры.
Неделя 10
Кредит час 10
Тема: Начало периода современной математики
Содержание лекции
1. О характере развития математики в XIX в.
2. Возникновение основных понятий современной алгебры.
Литература: [1]чЗ.гл1-3. [10] гл.8, [12],гл.8-12 ,[21-22], [26]гл.4, [28]гл.2.
Содержание СРСП: Решение исторических задач по данной тематике.
Содержание СРС: [2] гл.4-6,8, [4]-[6], [11]гл.4,7, [20]-[24], [26] гл.6-8
Тема: Начало периода современной математики
Содержание практического занятия:
1. О характере развития математики в XIX в.
2. Возникновение основных понятий современной алгебры.
Неделя 11
Кредит час 11
Тема: Начало периода современной математики
Содержание лекции
1. Развитие аппарата и приложений математического. анализа.
2. Математизация физики.
3. Неевклидова геометрия.
Литература: [1]чЗ.гл1-3. [10] гл.8, [12],гл.8-12 ,[21-22], [26]гл.4, [28]гл.2.
Содержание СРСП: Решение исторических задач по данной тематике.
Содержание СРС: [2] гл.4-6,8, [4]-[6], [11]гл.4,7, [20]-[24], [26] гл.6-8
Тема: Начало периода современной математики
Содержание практического занятия:
1. Развитие аппарата и приложений математического. анализа.
2. Математизация физики.
Неделя 12
Кредит час 12
Тема: Математика в XX столетии от начала века до первой мировой войны.
Содержание лекции
1. Математика в XX столетии от начала века до первой мировой войны.
2. Развитие математики впериод 1917-1945г.
3. О математике после 1945 г.
4. Математизация наук. Информатика. Кибернетика.
Литература: [1]ч.З,гл.З, [10]гшл.8-11, [22],[38]
Содержание СРСП: Решение исторических задач по данной тематике.
Содержание СРС: [4]-[6], [11]гл.8,9-15, [24], [26] гл.8.
Тема: Математика в XX столетии от начала века до первой мировой войны.
Содержание практического занятия:
1. Математика в XX столетии от начала века до первой мировой войны.
2. Развитие математики впериод 1917-1945г.
Неделя 13
Кредит час 13
Тема: Математика в России.
Содержание лекции
1. Математическая культура в России до начала XVII в.
2. Математика в Петербургской Академии Наук в ХУІІв.
3. Математика в России до начала ХХ в.
4. Советская математическая школа
Литература: [1] стр. 85-91, [14-15], [1б]-[20], [25].
Содержание СРСП: Решение исторических задач по данной тематике.
Содержание СРС: [4]-[6] [14],[15],[16] [21],[25].
Тема: Математика в России.
Содержание практического занятия:
1. Математическая культура в России до начала XVII в.
2. Математика в Петербургской Академии Наук в ХУІІв.
Неделя 14
Кредит час 14
Тема: Математика в Казахстане.
Содержание лекции
1.Математика в Казахстане до начала ХХв.
2.Математическое наследие Аль-Фараби.
3.Развитие математики в Казахстане в последние годы.
Литература: [17-20], [30]-[32], [33]-[36], [37].
Содержание СРСП: Решение исторических задач по данной тематике.
Содержание СРС: [30]-[36].
Тема: Математика в Казахстане.
Содержание практического занятия:
1.Математика в Казахстане до начала ХХв.
2.Математическое наследие Аль-Фараби.
Неделя 15
Кредит час 15
Тема: История математики на уроках и на внеклассных занятиях.
Содержание лекции
1. Использование исторических материалов по математике в процессе преподавания
математики в школе.
2. Исторические задачи.
3. История математики на кружковых и факультативных занятиях.
Литература: [39-50], [9], [51-52].
Содержание СРСП: Защита реферативной работы.
Содержание СРС: [39-50],[9], [51-52]
Тема: История математики на уроках и на внеклассных занятиях.
Содержание практического занятия:
1. Использование исторических материалов по математике в процессе преподавания
математики в школе.
2. Исторические задачи.
2.5 Список рекомендуемой литературы:
[I] Колмогоров А. Н. Математика в ее историческом развитии, М., Наука, 1991.
[2] Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии, т. 1, М., Наука, 1989.
[3] Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука, М., 1959.
[4] Математика XIX в. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория
вероятностей. Под редакцией А. Н. Колмогорова, А. П. Юшкевича, М., Наука,
1978.
[5] Математика XIX в. Геометрия. Теория аналитических функций. Под редакцией
А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича,М., Наука, 1981.
[6] Математика XIX в. Чебышевское направление, обыкновенные
дифференциалыіые уравнения, вариационное исчисление, теория конечных
разностей, М., Наука, 1987.
[7] Рыбников К. А. История математики, М., 1974.
[8] Рыбников К. А. Возникновение и развитие математической науки, М., Просвещение
1987.
[9] Хрестоматия по истории математики, (под редакцией А. П. Юшкевича), М.,
Просвещение, 1976 - 77 г
[10] Стройк Д., Краткий очерк истории математики, М., 1978.
II1] Клайн М., Математика. Утрата определенности, М., Мир, 1984.
[12] Клайн М., Математика. Поиск истины, М., Мир, 1988.
[13] Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности, Саранск, 1977.
[14] Симонов Р. А. Математическая мысль Древней Руси, М., Наука, 1977.
[15] Гнеденко Б. В., Очерки по истории математики в России, М.-Л., 1946.
[16] Юшкевич А. П. История математики в России до 1917 года, М., Наука, 1968.
[17] Математика в СССР за 40 лет, М, ФМ, 1959.
[18] Сборник «История математического образования в СССР», Киев, Наукова думка,
1975.
[19] История математики с древнейших времен до начала XIX века, т. 1-3, (под
редакцией А.П. Юшкевича, М., Наука, 1970-1972.
[20] Бурбаки Н., Очерки по истории математики , М., 1963 .
[21] Бурбаки Н., Функции действительного переменного , М., 1965.
[22] Бурбаки Н., Общая топология , М., Наука , 1969.
[23] Ами-Д.-Дальмедико, Ж. Пейффер, Пути и лабиринты, М., Мир, 1986.
[24] Юшкевич А.П., История математики в средние века , М., 1961.
[25] Кобесов А., Математика тарихы , Алматы , «Каз. Университет», 1993
[26] Аль-Фараби , Математические трактаты , Алма-Ата, 1972.
[27] Жаутыков О..А., Кубесов А.Г., Выдающийся математик Средневековья, «Квант»,
1975, №10, стр. 6-8.
[28] Абу Насрах-Фараби , Комментарии к трудностям во введениях к 1-ой и 5-ой книгах
Евклида, Проблемы Востоковедения, № 4, 1959.
[29] Аль-Фараби , Научное творчество , Сб. статей , М, 1975.
[30] Аль-Фараби , Логические трактаты , Алма-Ата , 1975.
[31] Аль-Фараби , Математические трактаты , (перевод А.Кубесова и др.), Алма-Ата,1972.
[32] Аль-Фараби , О разуме и науке, Алма-Ата, 1973.
[33] Великие ученые Средней Азии и Казахстана ( УІП-ХІХ вв), под редакцией
К. Бесембиева, М. Сатбаева, Алматы, Казахстан, 1965.
[34] Гутер Р.С., Полунов Ю.Л., От абака до компьютера, М., «Знание», 1973.
[35] Дорофеева А.В.. Страницы истории на уроках математики , ж. «Кван», № 6,
1991.
[36] Антонов Н.С., Гусев В.А., Современные проблемы МПМ, Сб. статей , М.,
Просвещение, 1983.
[37] Кадыров И., Взаимосвязь внеклассных и факультативных занятий по математике,
М., Просвещение, 1983.
[38] Кожабаев К.Г., О воспитательной направленности обучения математике в школе,
М, Просвещение, 1988.
[39] Глейзер Г.И., История математики в школе, IV-VII кл., М., Просвещение, 1981;
7-9 кл., М., Просвещение, 1982; ІХ-Х кл., М., Просвещение, 1983.
[40] Чистяков В.Д., Старинные задачи по элементарной математике, М., 1966.
[41] Олехник С.Н. и др., Старинные занимательные задачи, М, Наука, 1988.
[42] Журнал «Квант».
[43] Журнал «Математика в школе».
2.6 Информация по оценке знаний студентов.
Знания, умения и навыки студентов оцениваются по следующей системе:
Итоговая оценка включает:
• рейтинговый контроль;
• экзамен.
Рейтинговый контроль и итоговая оценка
• Преподаватель в каждую 8 неделю семестра выставляет результаты рейтингового
контроля по 100 балльной шкале, и оценка, выставляемая за рейтинг, представляет
собой сумму баллов по текущему, рубежному контролю, проведенным по его
усмотрению.
• Итоговая оценка подсчитывается по формуле
U = [(P1 +P2) / 2] * 0,4 + E * 0,6
где P1 - цифровой эквивалент оценки первого рейтинга; P2 -цифровой эквивалент оценки
второго рейтинга; Е - цифровой эквивалент оценки на экзамене.
Буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах определяется по %-ному содержанию
правильных ответов:
Оценка по
буквенной системе
Цифровой
эквивалент баллов
Процентное
содержание
Оценка по
традиционной
системе
Отлично
А
4,0
95-100
А3,67
90-94
В+
3,33
85-89
Хорошо
В
3,0
80-84
В2,67
75-79
С+
2,33
70-74
Удовлетворительно
С
2,0
65-69
С–
1,67
60-64
Д+
1,33
55-59
Д
1,0
50-54
F
0
0-49
Неудовлетворительно
Выполнение домашнего задания проверяется на каждом занятии по СРСП. Выполнение
индивидуальных заданий проверяется на 5-ой и 13-й неделе; индивидуальное задание – это
решение задач, ответы на вопросы, выполнение реферата на выбранную тему.
Штрафные баллы: за несвоевременную сдачу индивидуальных работ, минус 1 балл.
По теоретическому материалу каждым студентом делается доклад по заранее выбранной теме
на лекционном занятии и СРСП. Штрафные баллы: 0 баллов при не подготовке доклада..
В течении семестра проводится два рубежных контроля: 7 неделя и 15 неделя
Экзамен проводится в виде тестов, максимальный балл – 40, критерий оценок такой же как и
при оценке контрольной работы.
Схема оценки знаний:
Критерии
оценки
Посещение
лекционных
занятий
Домаш.задание
Инд.
задан.(два)
Доклад (два)
Реферат
Активность на
лекциях.
Экзамен
Итого
Оценка вида
работы
о/о за о/о
1
работу всего
0,2
3,0
+
0,5
8
7,5
16
10
6
0,5
20
6
7,5
+
+
Неделя
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
40
100
2.7 Политика и процедуры
1.
2.
3.
4.
Не опаздывать на занятия
Не разговаривать во время занятий
На занятия приходить в деловой одежде
Не пропускать занятия, в случае отсутствия по болезни, предоставить справку
+
+
+
+
5.
6.
7.
8.
9.
10
11
12
13
14
15
Пропущенные занятия отрабатывать в определенное преподавателем время
В случае невыполнения заданий, итоговая оценка снижается
Посещать ежедневно занятия
Активно участвовать в учебном процессе
Старательно выполнять домашние задания
Быть терпимым, открытым, откровенным и доброжелательным к сокурсникам и
преподавателям
Конструктивно поддерживать обратную связь на всех занятиях
Содействовать коллективной работе и вовлечению в дискуссию более застенчивых
студентов
Быть пунктуальным и обязательным
Избегать пропуска занятий по неуважительным причинам
Исключить телефонные переговоры во время лекционных и практических занятий,
отключить сотовый телефон.
2.8. Вопросы для проведения контроля знаний студентов по темам и экзамена
2.8.1 Вопросы для подготовки докладов.
1) 1-7 недели
1. Предмет истории математики.
2. Формирование начальных математических представлений.
3. Математика Древнего Египта, Древнего Вавилона.
4. Математика Древнего Китая и Индии.
5.Пути
формирования
математической
науки.
Появление
математической
теории.
6.Аксиоматическое
построение
геометрии
(математики)
в
эпоху
эллинизма.
Инфинитезимальные методы Древней Греции.
7.Развитие
элементарной
математики.
Математика
народов
Средней
Азии
и Ближнего Востока. Европа.
2) 8-14 недели
1. Математика XVII в. Процесс создания математики переменных величин.
2. Развитие основных частей математики в XVIII в.
3.Начало периода современной математики (XIX в).
4.Развитие аппарата и приложений матем. анализа. Математизация физики. Неевклидова
геометрия.
5.Математика в XX столетии.
6.Математика в России.
7.Математика в Казахстане.
8.История математики на уроках и на внеклассных занятиях.
2.9. Тематика письменных работ по курсу
Тематика рефератов.
1.Арифметика Диофанта.
2.Жизнь Пифагора.
3.Мера множества.
3.Геометрия и теория групп.
4.Риманова геометрия.
5.Мини-геометрии.
6.П. Л. Чебышев.
7.Н. Н. Лузин и его школа.
8.Аль-Хорезми.
9.9 Творчество Л. Эйлера.
10.Работы С. В. Ковалевской.
11.Алгебра
групп.
І2.Эварист Галуа.
13.Математика палеолита.
14. Ш. Эрмит и другие.
3. График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
№ Вид работ
Цель и Рекомендуема Продолжительно
содержан я литература
сть выполнения
ие
задания
1 Задания по Решение
Указана
в Еженедельно
лекционным задач для содержании
занятиям
СРСП по СРСП
лекционн
омуму
занятию
2 Индивидуаль Решение
Указана
в На 5-й неделе
ное задание историчес содержании
№1
ких задач занятий
3
Индивидуаль Решение
Указана
ное задание историчес содержании
№2
ких задач занятий
в На 13-й неделе
4
Доклад №1
Указана
содержании
занятий
в По
индивидуальному
графику
5
Доклад №2
Указана
содержании
занятий
в По
индивидуальному
графику
6
Реферат
Указана
содержании
занятий
в На 14-й неделе
Устное
сообщени
е на лекц.
занятии
Устное
сообщени
е на лекц.
занятии
Проверка
знаний по
лекциям
1-15
неделей
4.Карта учебно-методической обеспеченности
Кафедра математики, тьютор Орлова Л.Г.
Дисциплина «История математики»
Количество кредитов - 1
№
Наименование литературы
п/
п
1
2
Баллы
Форма
контроля
Согласно
политике
выставления
оценки
Проверка
тетрадей
Согласно
политике
выставления
оценки
Согласно
политике
выставления
оценки
Согласно
политике
выставления
оценки
Согласно
политике
выставления
оценки
Согласно
политике
выставления
оценки
Проверка
письменно
й работы
Проверка
письменно
й работы
Выступле
ние
на
лекц.
занятии
Выступле
ние
на
лекц.
занятии
Устный
опрос
в
сочетании
с
проверкой
письменно
й работы
Наличие
В
библ
иотек
е
3
на
кафед
ре
4
обеспечен
ности
студентов
(%)
5
Прим
ани
Электрон
ная
версия
6
7
[I] Колмогоров А. Н. Математика в ее
историческом развитии, М., Наука, 1991.
[2] Клейн Ф. Лекции о развитии математики
в XIX столетии, т. 1, М., Наука, 1989.
[3] Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся
наука, М., 1959.
[4] Математика XIX в. Математическая логика.
Алгебра. Теория чисел. Теория
вероятностей. Под редакцией А. Н.
Колмогорова, А. П. Юшкевича, М., Наука,
1978.
[5] Математика XIX в. Геометрия. Теория
аналитических функций. Под редакцией
А.Н. Колмогорова, А.П.
Юшкевича,М., Наука, 1981.
[6] Математика XIX в.
Чебышевское направление,
обыкновенные
дифференциалыіые уравнения, вариационное
исчисление, теория конечных
разностей, М., Наука, 1987.
[7] Рыбников К. А. История математики, М.,
1974.
[8] Рыбников К. А. Возникновение и развитие
математической науки, М., Просвещение
1987.
[9] Хрестоматия по истории математики,
(под редакцией А. П. Юшкевича), М.,
Просвещение, 1976
- 77 г
[10]
Стройк
Д.,
Краткий очерк истории
математики, М., 1978.
II1] Клайн
М.,
Математика.
Утрата определенности, М., Мир,
1984.
[12] Клайн М., Математика.
Поиск истины, М., Мир, 1988.
[13] Раик А. Е. Очерки по истории
математики в древности, Саранск, 1977.
[14] Симонов Р. А. Математическая мысль
Древней Руси, М., Наука, 1977.
[15] Гнеденко Б. В., Очерки по истории
математики в России, М.-Л., 1946.
[16] Юшкевич А. П. История математики в
России до 1917 года, М., Наука, 1968.
[17] Математика в СССР за 40 лет, М, ФМ, 1959.
[18]
Сборник
«История
математического
образования в СССР», Киев, Наукова думка,
1975.
[19] История математики с древнейших
времен до начала XIX века, т. 1-3, (под
редакцией А.П. Юшкевича, М., Наука, 19701972.
[20] Бурбаки Н., Очерки по истории математики ,
М., 1963 .
[21] Бурбаки Н., Функции действительного
переменного , М., 1965.
[22] Бурбаки Н., Общая топология , М., Наука ,
1969.
[23] Ами-Д.-Дальмедико, Ж. Пейффер, Пути и
лабиринты, М., Мир, 1986.
[24] Юшкевич А.П., История математики в
средние века , М., 1961.
[25] Кобесов А., Математика тарихы , Алматы ,
«Каз. Университет», 1993
[26] Аль-Фараби , Математические трактаты ,
Алма-Ата, 1972.
[27] Жаутыков О..А., Кубесов А.Г., Выдающийся
математик Средневековья, «Квант»,
1975, №10, стр. 6-8.
[28] Абу Насрах-Фараби , Комментарии к
трудностям во введениях к 1-ой и 5-ой книгах
Евклида, Проблемы Востоковедения, № 4,
1959.
[29] Аль-Фараби , Научное творчество , Сб.
статей , М, 1975.
[30] Аль-Фараби , Логические трактаты , АлмаАта , 1975.
[31] Аль-Фараби , Математические трактаты ,
(перевод А.Кубесова и др.), Алма-Ата,1972.
[32] Аль-Фараби , О разуме и науке,
Алма-Ата, 1973.
[33] Великие ученые Средней Азии и
Казахстана ( УІП-ХІХ вв), под
редакцией
К. Бесембиева, М. Сатбаева, Алматы,
Казахстан, 1965.
[34] Гутер Р.С., Полунов Ю.Л., От абака до
компьютера, М., «Знание», 1973.
[35] Дорофеева А.В.. Страницы истории на
уроках математики , ж. «Кван», № 6,
1991.
[36] Антонов Н.С., Гусев В.А.,
Современные проблемы МПМ, Сб.
статей , М.,
Просвещение, 1983.
[37] Кадыров И., Взаимосвязь внеклассных и
факультативных занятий по математике,
М., Просвещение, 1983.
[38]
Кожабаев
К.Г.,
О
воспитательной
направленности обучения математике в школе,
М, Просвещение, 1988.
[39] Глейзер Г.И., История математики в
школе, IV-VII кл., М., Просвещение, 1981;
7-9 кл., М., Просвещение, 1982; ІХ-Х кл., М.,
Просвещение, 1983.
[40] Чистяков В.Д., Старинные задачи по
элементарной математике, М., 1966.
[41] Олехник С.Н. и др., Старинные
занимательные задачи, М, Наука, 1988.
[42] Журнал «Квант».
[43] Журнал «Математика в школе».
5. Конспекты лекций по дисциплине
Тема: Предмет истории математики
Содержание лекции
Предмет истории математики. Связь математики с другими. науками. Роль практики в
развитии математики. Периодизация. Роль истории математики в системе подготовки учителя
математики.
Литература: [1] §1, гл.1[3] гл.1 [8] гл.1 [13] гл.1-3 [21]-[22] [26] гл.1 [28] гл.1
Тема: Формирование начальных математических представлений
Содержание лекции
Возникновение первых математических понятий и методов. Понятие числа, фигуры.
Способы решения несложных математических задач, возникающих в практике. Начальные
виды математической символики. Системы нумерации.
Литература: [1]§2,гл.1 [3]гл.1 [7] гл.З [8]гл.1,2 [9] 4.1,11 [10]гл.1 [12]гл.1-2 [22-23] [28]гл.1-2
Тема: Математика древнего мира.
Содержание лекции
Математика Древнего Египта. Математика Древнего Вавилона. Математика Древнего Китая.
Математика Древней Индии.
Литература: [1]2.1-2, [3]гл.1, [8]гл.1-5, [9]ч.3гл. 1-7,9, [10] гл.2,6, [12]гл.1-3, [13]гл.1-5, [28] гл.
1-2,5.
Тема: Пути формирования математической науки.
Содержание лекции
Пути формирования математической науки. Появление математических теорий. Первые
математические теории в Древней Греции (І-ІУв.до н.э.). Аксиоматическое построение
геометрии (математики) в эпоху эллинизма. Инфинитезимальные методы Древней Греции.
Литература: [1], : [2], [4] гл.5,6, [8]гл.1,2, [9] ч.З,гл9-10, [10] гл.2, [13],[21],[22], [26] гл.2, [28]
гл.2-4.
Тема: Развитие элементарной математики.
Содержание лекции
О математике народов Средней Азии и Ближнего Востока. Средневековая Европа.
Математика в эпоху Возрождения.
Литература: [1] ч.2,гл.2, [8], [9]ч.1-2, [10] гл.2,6 [21], [27],[28] гл.6-8.
Тема: Математика XVII века.
Содержание лекции
Процесс создания математики переменных величин. Возникновение аналитической геометрии.
Инфинитезимальные методы. Итоги столетия.
Литература: [1]ч2,глЗ [4]гл7 [9]ч1,4 [10]гл.6,7 [12]гл.4 [21],[22-23], [28] гл.9
Тема: Развитие основных частей математики в ХУІІІв.
Содержание лекции
Общая характеристика математики ХУІІІ в. Век просвещения. Научные центры.
Математическое образование. Математика и механика.
Литература: [1] ч2,3 ,[10]гл.7, [12] гл.4-8, [21-23], [26] гл.4-8. [28]гл.10,11.
Тема: Начало периода современной математики
Содержание лекции
О характере развития математики в XIX в. Возникновение основных понятий современной
алгебры. Развитие аппарата и приложений математического. анализа. Математизация физики.
Неевклидова геометрия.
Литература: [1]чЗ.гл1-3. [10] гл.8, [12],гл.8-12 ,[21-22], [26]гл.4, [28]гл.2.
Тема: Математика в XX столетии от начала века до первой мировой войны.
Содержание лекции
.Математика в XX столетии от начала века до первой мировой войны. Развитие математики
впериод 1917-1945г. О математике после 1945 г. Математизация наук. Информатика.
Кибернетика.
Литература: [1]ч.З,гл.З, [10]гшл.8-11, [22],[38]
Тема: Математика в России.
Содержание лекции
Математическая культура в России до начала XVII в. Математика в Петербургской Академии
Наук в ХУІІ в. Математика в России до начала ХХ в. Советская математическая школа
Литература: [1] стр. 85-91, [14-15], [1б]-[20], [25].
Тема: Математика в Казахстане.
Содержание лекции
Математика в Казахстане до начала ХХ в.Математическое наследие Аль-Фараби. Развитие
математики в Казахстане в последние годы.
Литература: [17-20], [30]-[32], [33]-[36], [37].
Тема: История математики на уроках и на внеклассных занятиях.
Содержание лекции
Использование исторических материалов по математике в процессе преподавания математики
в школе. Исторические задачи. История математики на кружковых и факультативных
занятиях.
Литература: [39-50], [9], [51-52].
6. Планы практических занятий
6. Планы практических занятий
№
Тема
Содержание
Неделя
Литература
1.Предмет истории
математики.
2. Связь математики с др.
науками.
[1] §1, гл.1[3]
3. Роль практики в
гл.1 [8] гл.1 [13]
Предмет истории
развитии математики.
гл.1-3 [21]-[22]
1
математики
1
Периодизация.
[26] гл.1 [28]
4. Роль истории
гл.1
математики в системе
подготовки учителя
математики.
2
Формирование
начальных
математических
представлений
1. Возникновение первых
математических понятий и
методов.
2. Понятие числа, фигуры.
3. Способы решения
несложных математических
задач, возникающих в
практике.
4. Начальные виды
2
[1]§2,гл.1 [3]гл.1
[7] гл.З [8]гл.1,2
[9] 4.1,11
[10]гл.1 [12]гл.12 [22-23]
[28]гл.1-2
математической
символики.
5. Системы нумерации.
3
4
5
6
7
8
Математика древнего
мира.
3. Математика Древнего
Египта.
4. Математика Древнего
Вавилона.
Математика древнего
мира.
3. Математика Древнего
Китая.
4. Математика Древней
Индии.
Пути формирования
математической науки.
4. Пути формирования
математической науки.
5. Появление
математических теорий.
6. Первые математические
теории в Древней
Греции (І-ІУв.до н.э.).
Аксиоматическое
построение математики.
3. Аксиоматическое
построение геометрии
(математики) в эпоху
эллинизма.
4. Инфинитезимальные
методы Древней
Греции.
Развитие элементарной
математики.
Математика XVII века.
1. О математике народов
Средней Азии и Ближнего
Востока.
2. Средневековая Европа.
3. Математика в эпоху
Возрождения.
5. Процесс создания
математики переменных
величин.
6. Возникновение
аналитической
геометрии.
7. Инфинитезимальные
методы.
3
4
5
6
7
8
1]2.1-2, [3]гл.1,
[8]гл.1-5,
[9]ч.3гл. 1-7,9,
[10] гл.2,6,
[12]гл.1-3,
[13]гл.1-5, [28]
гл. 1-2,5.
[1]2.1-2,
[3]гл.1, [8]гл.15, [9]ч.3гл. 17,9, [10] гл.2,6,
[12]гл.1-3,
[13]гл.1-5, [28]
гл. 1-2,5.
[1], : [2], [4]
гл.5,6,
[8]гл.1,2, [9]
ч.З,гл9-10, [10]
гл.2,
[13],[21],[22],
[26] гл.2, [28]
гл.2-4.
[1], : [2], [4]
гл.5,6,
[8]гл.1,2, [9]
ч.З,гл9-10, [10]
гл.2,
[13],[21],[22],
[26] гл.2, [28]
гл.2-4.
[1] ч.2,гл.2, [8],
[9]ч.1-2, [10]
гл.2,6 [21],
[27],[28] гл.6-8.
[1]ч2,глЗ [4]гл7
[9]ч1,4
[10]гл.6,7
[12]гл.4
[21],[22-23],
[28] гл.9
8. Итоги столетия.
9
10
11
12
13
14
Развитие основных частей
математики в ХУІІІв.
Начало периода
современной математики
Начало периода
современной математики
7. Общая характеристика
математики ХУІІІв.
8. Век просвещения.
Научные центры.
9. Математическое
образование.
10. Математика и
механика.
3. О характере развития
математики в XIX в.
4. Возникновение основных
понятий современной
алгебры.
4. Развитие аппарата и
приложений
математического.
анализа.
5. Математизация физики.
6. Неевклидова геометрия.
Математика в XX
столетии от начала века
до первой мировой
войны.
5. Математика в XX
столетии от начала века
до первой мировой
войны.
6. Развитие математики
впериод 1917-1945г.
7. О математике после
1945 г.
8. Математизация наук.
Информатика.
Кибернетика.
Математика в России.
5. Математическая
культура в России до
начала XVII в.
6. Математика в
Петербургской
Академии Наук в
ХУІІв.
7. Математика в России
до начала ХХ в.
8. Советская
математическая школа
Математика в
Казахстане.
1.Математика в Казахстане
до начала ХХв.
2.Математическое наследие
Аль-Фараби.
9
10
11
12
: [1] ч2,3
,[10]гл.7, [12]
гл.4-8, [21-23],
[26] гл.4-8.
[28]гл.10,11.
[1]чЗ.гл1-3.
[10] гл.8,
[12],гл.8-12
,[21-22],
[26]гл.4,
[28]гл.2.
[1]чЗ.гл1-3. [10]
гл.8, [12],гл.812 ,[21-22],
[26]гл.4,
[28]гл.2.
[1]ч.З,гл.З,
[10]гшл.8-11,
[22],[38]
13
[1] стр. 85-91,
[14-15], [1б][20], [25].
14
[17-20], [30][32], [33]-[36],
[37].
3.Развитие математики в
Казахстане в последние
годы.
15
История математики на
уроках и на внеклассных
занятиях.
1. Использование
исторических материалов по
математике в процессе
преподавания математики в
школе.
2. Исторические задачи.
3. История математики на
кружковых и факультативных
занятиях.
15
[39-50], [9],
[51-52].
7. Методические рекомендации по изучению дисциплины
В целях формирования у студентов творческого отношения к педагогической деятельности
учителя математики и активизации их деятельности на лекционных занятиях предполагается
выделение подгруппы из трех человек. Каждый из них готовится к занятию по предлагаемой
тематике самостоятельно (готовится доклад). На занятиях заслушивается один из студентов, а
двое других дополняют докладчика, что способствует созданию творческой атмосферы при
обсуждении вопроса, вызывает интерес и внимание всей группы. В обсуждении вопроса
принимают участие студенты всей группы: обмениваются своими знаниями, задают
подготовленные заранее вопросы по данной теме. Основные рекомендации по вопросу
предлагаются для записи всей группы.
Изложены в литературе
8. Методические рекомендации и указания по типовым расчетам, выполнению расчетнографических, лабораторных работ, курсовых проектов (работ)
Не предусмотрены
9. Материалы для СРО
Изложены в предлагаемой литературе
При выполнении самостоятельных практических заданий надо строго придерживаться
указанных ниже правил.
1.Практические задания следует выполнять в тетради чернилами синего или черного цвета,
оставляя поля для замечаний рецензента
2. Решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях
3 Перед решением каждой задачи надо полностью вписать ее условие. В том случае, когда
несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи,
заменить общие данные конкретными из соответствующего номера.
4.Решение задач нужно излагать подробно и аккуратно, объявляя все действия.
5. После получения прорецензированной работы( как зачтенной, так и не зачтенной) студент
должен исправить в ней все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты.
Работа , выполненная без соблюдения этих правил, не зачитывается и возвращается студенту
для переработки.
Материалы для СРО с указанием тем, вопросов для самоподготовки по каждой теме,
заданий, объема часов и литературы указаны в силлабусе по дисциплине.
Материалы для индивидуальных заданий и их содержание (темы) указаны в разделе 11
(материалы по контролю и оценке учебных достижений обучаемых) и в разделе 3 (график
выполнения и сдачи заданий по дисциплине).
СРО направлена на подготовку домашних заданий по лекциям и СРСП, на подготовку к
экзамену.
Задания для самостоятельной работы:
Египетские задачи
1. У пастуха, который вёл 70 быков, спросили: « Какую часть быков стада ты ведешь?» Он
2
2
ответил: « Я веду
от
всего». Сколько быков было в стаде?
3
3
1
1
2. Один взял из копилки
. Другой
того, что осталось. Вложил же он в копилку 150.
13
17
сколько было в копилке сначала?
3. сколько хлебов и кружек пива можно получить из одной мерки зерна, если из 15 мерок
1
вышло 200 хлебов и 10 кружек пива и выход пива составляет
выхода хлеба.
10
1
4. Поделить 10 мерок ячменя между 10 людьми так, чтобы второй держал на мерки
8
1
ячменя больше, чем первый, третий - на мерки больше, чем второй,…, десятый - на
8
1
мерки больше, чем девятый.
8
2
1
1
5. Вся куча, её , её , её
вместе составляют 37. сколько во всей куче?
3
2
7
6. Площадь поля 100 квадратных локтей. Поделите её на 2 квадратные части так, чтобы
3
длина стороны одной части равнялась
длины стороны другой части.
4
7. У семи человек по семи кошек: каждая кошка съедает по семи мышек, каждая мышка
съедает по 7 мерок ячменя. Какова величина членов этого ряда и их сумма?
8. Вычислить объём усечённой пирамиды, если её высота равна 6, длина стороны нижнего
основания – 4 , верхнего – 2 .
9. Египтяне, заменяя площадь круга площадью равновеликого квадрата, брали за его
8
сторону
диаметра круга. Найти приближенное значение числа , которое следует из
9
этого правила.
10.
Загадка жрецов бога Ра
Ты стоишь перед стеною, за ней колодец Лотоса, как круг Солнца.
Около
колодца положен один камень, одно болото, две хворостины. Длина одной хворостины
три меры, другой – 2 меры. Хворостины пересекаются на поверхности воды колодца
Лотоса, а эта поверхность на одну меру выше дна. Кто найдёт число длины прямой,
которая помещается на ободе колодца Лотоса, тот возьмет себе хворостины и будет
жрецом бога Ра.
Вавилонские задачи
1
1
части веса первого кольца и
части веса второго кольца
7
11
равна 1, а разность веса первого кольца и его седьмой части равна разности веса второго
кольца и его одиннадцатой части. Найти вес каждого кольца.
11. Есть два кольца, сумма
12. Сумма площадей двух полей составляет 30 кв. ед. с них собрали 18ʺ20 мерок зерна.
Найти площадь полей, если известно, что с 30 кв. ед. первого поля собирают 20ʺ0 мерок
зерна, а с 30 кв. ед. второго поля 15ʺ0 мерок зерна.
13. Сумма площадей двух квадратов равна 25
линейных единиц длиннее
5
кв. ед. сторона одного квадрата на 5
12
2
стороны другого квадрата; вычислить длину стороны
3
каждого квадрата.
14. Выкопали котлован, длина которого составляет столько гар, сколько локтей составляет
глубина (1 гар = 12 локтей), а ширина0ʺ20 гар. Сумма площади основания и объёма
котлована равна 1ʺ10 гар. Вычислить его длину.
Обозначим длину, ширину и глубину котлована соответственно через x, y, z. Решение
задачи сводится к решению системы z = 12x
xyz + xy =1ʺ10
y = 0ʺ20
15. Поделить 26’’15’ 45 лир серебра между пятью братьями так, чтобы каждый имел на
1
5
больше того количества серебра, которое имел следующий за ним брат.
16. Единичный квадрат разделить на 12 конгруэнтных треугольников и 4 конгруэнтных
квадрата. Вычислить площадь треугольника и площадь квадрата.
17. Балка задвижки 0,5 гар стояла вертикально в положении АВ. Потом она заняла
положение СД. Отрезок ВС = 0,1 гар; на сколько локтей отдалился нижний конец балки
от первоначального положения?
В прямоугольном треугольнике АДС гипотенуза СД = 6 локтей,
АС = 4,8 локтя. Тогда АД =
СД 2  АС 2 =
36  23,14 = 12,96 ≈3,66 (локт)
Как мы видим, вавилоняне более чем за 1600 лет до Пифагора знали и использовали для
решения задач теорему, названную его именем.
18. прямоугольный треугольник АВС разделить линией ДЕ ∥ ВС
на трапецию ВСДЕ (её площадь S1) и треугольник АДЕ
( его площадь S2). Вычислить ЕС = y1 , АЕ = y2 , ДЕ = x; S1 и S2,
если
ВС= 30;
S1 –S2 =42;
y2 – y1=20.
1
19.Капитал в один гур выдан в рост из расчета % годовых. Через
5
сколько времени этот капитал удвоится?
вавилонский математик вычислил: через 3’’47’13’20 (лет)
на самом деле, исходя из уравнения роста капитала, следует что
lg 2
x=
≈3,801 (лет)
lg 6  lg 5
Пифагор Самосский
571/570 – 497/496 г. до н.э.
20 Теорема Пифагора: площадь квадрата построенного на гипотенузе прямоугольного
треугольника, равновелика сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
21. Сумма любого числа последовательных нечетных чисел, начиная с
единицы, есть точный квадрат.
22. Каждое нечетное число, кроме единицы, есть разность двух квадратов.
23. Существует бесконечное множество точек чисел x, y, z , которые являются решением
уравнения x2 + y2= z2.
24.
Сторона квадрата и диагональ его несоизмеримы.
Три знаменитые задачи древности
25. Квадратура круга. С помощью циркуля и линейки за конечное число операций
построить квадрат, равновеликий данному кругу.
26. Делосская задача (удвоение куба). При условии задачи 25 построить ребро куба,
объём которого вдвое больше объёма данного куба.
27. Трисекция угла. При условии задачи 25 разделить произвольный угол на три
конгруэнтных угла.
Гиппократ Хиосский
Ⅴ ст. до н.э.
28. Сумма площадей серпов ( Гиппократ), что лежат между дугой полукруга,
построенного на гипотенузе как на диаметре и дугами кругов, построенных на катетах
самого прямоугольного треугольника, равновелика площади рассматриваемого
прямоугольного треугольника.
29. Построить отрезки x и y , которые были бы средними пропорциональными между а и
a x
y
2а , т.е. удовлетворяли равенству  
. Если взять за а ребро данного куба, то
x y 2a
x будет ребром куба, объём которого вдвое больше объёма данного куба.
30. Задача Дидоны. Как рассказывают мифы, дочь тирского царя Дидона ( ок. 890 г. до н.
Э. ) убежала от отца, взяв шкатулку с драгоценностями. На южном побережье Африки
король Кубии Ярб согласился продать ей делянку земли на побережье моря и не
больше, чем можно ограничить бычьей шкурой. Дидона разрезала шкуру на тонкие
колечки, связала длинную веревку длиной ℓ и ограничила ею максимальную площадь.
Так был основан Карфаген первой легендарной царицей, которого стала Дидона.
Какую фигуру ограничила Дидона ?
31. Дихстамия ( деление пополам ). Движение невозможно, ибо, чтобы пройти расстояние
1
1
(АВ )= 1, тело должно пройти сначала , потом , и т. д. до бесконечности; т. о. оно
2
4
не сдвинется с места, ибо не существует наипервейшего отрезка, который может
пройти тело.
32. Ахилес и черепаха. Быстроногий Ахилес никогда не догонит черепаху, если она
находится на некотором расстоянии от него.
Гиппий из Элиды
Ⅴ ст. до н.э.
33. Используя основное свойство квадратрисы, сделать трисекцию
произвольного угла.
Евклид
(ок. 365 – ок. 300г. до н.э.)
34. Построить параллелограмм, равновеликий данному ∆ АВС с данным острым углом.
35. Поделить данный отрезок на две неравные части так, чтобы квадрат, построенный на
большей части отрезка, был равновелик прямоугольнику,
одна сторона которого
равна длине меньшей части, а другая данному отрезку.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
Из всех параллелограммов, вписанных в данный треугольник, наибольшую площадь
имеет тот, основание которого равно половине основания треугольника.
Множество простых чисел бесконечно.
Если числа Р и 2Р-1 – простые, то сумма делителей числа 2Р-1 (2Р-1), меньших числа2Р1
(2Р-1), равно самому этому числу. ( Числа обладающие таким свойством, называются
совершенными).
Если сумма делителей числа n, меньших n, равна m, а сумма делителей m, меньших m,
равна n, то числа m и n называются дружественными. Доказать, что 220 и 287
дружественные числа.
Разделить пополам угол, вершина которого недоступна.
Если на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника, построить какие - нибудь
подобные фигуры А, В, С, у которых катеты и гипотенуза прямоугольного
треугольника являются соответствующими сторонами, а SA, SB, SC –площади
построенных подобных фигур, то SA+SB=SC .
Доказать равенства, которые сформулировал Евклид в « Началах», пользуясь
терминами отношений между геометрическими фигурами.
Архимед
(ок. 287- 212 г. до н. э.)
43. Площадь круга, описанного около квадрата вдвое больше площади круга, вписанного в
квадрат.
44. Если хорды АВ и СД окружности диаметра d пересекаются в точке Е под прямым
углом, то АЕ2+ ВЕ2+ СЕ2+ ДЕ2= d2
45. Площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один из катетов
которого равен длине окружности, другой – радиусу этой окружности.
46. Площадь круга относится к площади квадрата, построенного на его диаметре,
11
приблизительно как
.
14
10
1
47. Длина окружности диаметра d находится в границах 3 d  c  3 d
71
7
48. Площадь лезвия арбелона равняется площади круга, диаметр которого ВД.
49. Площадь осевого сечения салиона, у которого АС = ДВ равна площади круга диаметра
FG.
1
50. Архимедова трисекция ∠АЕД методами вставки: если АЕ = ВС, то ∠ВЕС = ∠АЕД.
3
51. Объёмы цилиндра, полушара и конуса при одинаковом радиусе и одинаковой высоте
относятся как 3 : 2 : 1
52. Плутарх писал, что Архимед настолько был уверен в мощности своих машин, что както выкрикнул : « Дай мне точку опоры и я сдвину Землю!». Очевидно точка опоры
могла быть вне Земли. Вычислить на какое расстояние передвинулся бы свободный
конец рычага за 1 с., если бы удалось сдвинуть Землю, масса которой примерно равна
6 ∙1024кг., а человек за 1 с. может поднять 60 кг. на высоту 1 м. над поверхностью
Земли: 6∙1024 : 6∙10 = 10 23 м.= 10 20 км.
(для сравнения расстояние от Земли до Солнца около 1,5∙ 10 8 км.)
53. Стомахион Архимеда. Прямоугольник стороны которого относятся
как 1:2 , разрезали на 14 частей. Сложить из этих частей силуэт
курицы, мельницы, петуха. Плотное прилегание их, согласно
замечания Архимеда, необязательно. При изображении каждой
фигуры все 14 элементов Стомахиона должны быть использованы.
54. Корона царя Гиерона изготовлена из золота и серебра и имеет вес 10 кг. В воде её вес
9
становится 99,55 % её веса снаружи. Зная, что 1 кг. Золота теряет в воде
кг., а
17
11
% своего веса снаружи, вычислить сколько золота и сколько серебра
12
потратил мастер на изготовление короны?
55. Цилиндр, имеющий основанием большой круг шара, а высотой – диаметр этого шара,
3
3
имеет объём, равный
объёма, и поверхность, равную
поверхности шара.
2
2
Доказать.
56. Найти шар, имеющий объём, равный объёму данного конуса или цилиндра.
серебро 9
Эрастофен Киренский
(ок.276- 194г. до н.э.)
57. Если в ряду натуральных чисел 2,3,4,…, r, зачеркнуть числа, кратные первым простым
числам 2,3,…,pr , то первое ( наименьшее ) не зачеркнутое число будет простым.
58. если вычеркнуть все числа, кратные всем простым числам до m т.е. выбрать r так,
чтобы pr  m  p r+1 , то числа, которые останутся, составят множество всех простых
чисел, таких, что m < p < m
59. Между рейками АВ и СД помещены изготовленные из однородного материала
модели трёх конгруэнтных прямоугольных треугольников. Первый – закрепленный,
второй и третий – движущиеся: если К – середина ВД, а модели второго и третьего
треугольников установлены так, что точки пересечения сторон треугольника N и L
находятся на прямой АК, то объем куба с ребром ML вдвое больше объема куба с
ребром ДК, из соотношений КД: LM = LM: N0= N0: АС, АС = 2 КР следует, что мы
механически вставили два средних пропорциональных отрезка между отрезками КД и
2 КД, а это один из неклассических решений делосской задачи.
Аполлоний Пергский
( ок.260- 170 г. до н.э.)
60. Дано три фигуры, каждая из которых может быть точкой, прямой или окружностью.
Построить окружность, которая проходила бы через каждую из данных точек и
касалась бы каждой из данных прямых или каждой из данных окружностей.
61. Если а, в, с, - длины сторон треугольника, а р – его полупериметр, то площадь данного
треугольника равна S = p( p  a)( p  b)( p  c)
62. Если С1А1 пересекает стороны треугольника АВС или их продолжения в точках В1,
BA1 CB1 AC1


1
С1, А1, то справедливо отношение:
A1C B1 A C1B
63. Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме
произведений противоположных сторон.
64. древнеримская задача: один человек, умирая завещал, если у моей жены народится
2
сын, то лучше ему будет выдана имущества, а остальное жене. Если народится дочь,
3
1
то ей , а остальное жене. Народились двойня – сын и дочь .как разделить имущество,
3
чтобы выполнить завещание покойного?
Папп ( Ⅲст.)
65. Параллелограмм, построенный на одной из сторон произвольного треугольника в
середине его так, что две вершины параллелограмма лежат за треугольником,
равновелик сумме параллелограммов построенных на двух других сторонах
треугольника так, что стороны их параллельны соответствующим сторонам
треугольника и проходят через вершины первого параллелограмма.
Диофант Ⅲ ст.
66. Заданный квадрат, например 16, разложить на два квадрата.
67. Найти два неотрицательных числа, разность между которыми в 6 раз больше разницы
их квадратов.
68. Найти три числа такие, чтобы сумма всех трёх и каждых двух были квадратами.
69. Проверить тождество в « Арифметике» Диофанта
a) ( a2+b2) ( c2+d2)= (ac+ bd )2 + ( ad – bc)2
b)
144
60
60 x 2  2520


;
 30  2

 4
2 
x  30 x 4  900  60 x 2
 x  900  60 x 
Метродор Ⅵ ст.
70. Надгробие Диофанта.
Вот Диофанта надгробие. И диву даешься прохожийВозраст усопшего . ты же его с искусством сочтешь:
Жизни шестая лишь часть пришлась на счастливое детство,
К детству 12- ую добавь, чтобы отроком стал,
Снова седьмую добавь – узнаешь срок свадьбы веселой.
Ждали супруги пять лет. И дарован богами сын.
Горе , увы стерегло: тот сын был похищен судьбою,
Лишь половину годов отцовских успел он прожить.
Горькую старость свою, четыре безрадостных года,
С Вени в земле схоронив, должен был вложить Диофант.
71. Мул и осёл под вьюгой по дороге шагали с мешками.
Жалобно охал осёл, непосильной ношей придавлен.
Это подметивший мул обратился к путнику с речью:
« что ж, старина, ты заныл и рыдаешь будто девушка?
Нёс бы вдвойне я, чем ты, если б отдал ты мне меру одну,
Если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись,»
Сколько нёс каждый из них, о геометр, поведай нам это.
72. Ученики Пифагора.
« О, Пифагор благородный, муз геликонских ты отпрыск,
Ты мне ответь на вопрос, юных сколько же в доме твоем,
К высшей награде стремясь, в изученье наук погрузилось»
« Не утаю, Поликарт, от тебя их число, - половина математикой
занята,
Изучением природы – лишь четверть, тайной бессмертной постичь стараются;
Часть же седьмая в полном молчанье сидит, в уме закрепляя ученье.
Трех к ним добавь ещё женщин, средь них я отличу
Сколько жрецов я веду на служенье музам бессмертным.»
Индия
Задачи.
Апастамба
73. Доказать равенства:
36 1  24 30 
1
а)
 

  12 3  8 3  10 3  324
2
3 2 3
3
1
1
1

б) 2  1  
3 3  4 3  4  34
2
1
1

в) 3  1  
3 3  5 3  5  52
74.Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше, чем первый,
третий втрое больше, чем второй, четвертый – вчетверо больше, чем
третий, а всё вместе составило 132. сколько дал первый?


Ариабхата
75. Правило вычисления π. Прибавь 4 к 100, помножь на 8 и прибавь ко всему 6200. то, что
получишь - приближенное значение длины окружности, если диаметр 20000. какую
точность числа π обеспечивало применение этого правила?
76. Два светила, находящиеся на данном расстоянии друг от друга, движутся одно к
другому навстречу с данными скоростями ϑ и ϑ1. определить точку их встречи.
Брахмагупта
( 598- ок.660)
77. Теорема Брахмагупты. Если вписанный в окружность четырехугольник имеет длины
сторон a,b,c,d и полупериметр р, то его площадь
S=  p  a    p  b   p  c   p  d 
78. Произведение длин сторон треугольника, поделенное на длину перпендикуляра,
опущенного на третью сторону из противоположной вершины треугольника, равна
длине диаметра описанной окружности.
Магавира ( Ⅸ ст.)
79. Во время боя петухов один из зрителей договорился с двумя хозяевами петухов.
Первому он сказал :« если победит твой петух, то выигрыш отдашь мне, если
2
проиграешь оплачу тебе
твоего возможного выигрыша». Другому участнику он
3
сказал: « если победит твой петух, то выигрыш отдашь мне, если проиграешь, то
3
оплачу тебе
возможного выигрыша». В обоих случаях у зрителя 12 монет. Каков мог
4
быть выигрыш каждого участника боя?
80. Плоды граната, манго и лесных яблок продаются соответственно по 3 штуки за 2
монеты, 5 шт. за 3 монеты, 7 шт. за 5 монет. Как за 76 монет купить столько плодов,
чтобы плодов манго было в три раза, а граната в 6 раз больше, чем лесных яблок?
1
81. Известно, что
стада верблюдов пасется в лесу, 15 – на берегу реки, а остальные 4
удвоенный квадратный корень из общего количества верблюдов – на склонах холма.
Сколько верблюдов в стаде?
2
3
82. Девять корней из
общего количества слонов, сложенные с 6 корнями из остатка,
3
5
находятся в лесу. Имеется ещё 24 слона. Сколько всего слонов?
Бхаскара
( 1114 – 1185г )
1
83. Если некоторое число умножить на 5, от произведения отнять его , поделить на 10 и
3
1 1 1
сложить разности последовательно , , взятого сначала, то получим 68. каково это
3 2 4
число?
84. На берегу ручья, ширина которого 4 фута, рос тополь. Порыв ветра сломил его на
высоте 3 футов от земли так, что верхний конец его коснулся другого берега ручья (
ствол направлен перпендикулярно течению). Определить высоту тополя.
D3 1 D3
85. Если D – диаметр шара, то
есть объем шара. Определить, при каком
 
2 21 2
значении π справедливо это предложение.
86. На две партии разбившись,
Обезьяны резвились в лесу.
Часть восьмая их в квадрате
Забавлялась, прыгала.
Криком радостным двенадцать
Тихий свет дня приветствовали.
А теперь скажи, юноша,
Сколько обезьян было в лесу?
87.
Доказать равенства: а)
б)
5  24  2  3
9  54  450  75
3 2 3
5 3
в) 10  24  40  60  2  3  5
88. Элементарными методами решить уравнение:
x4- 2x2 – 400x =9999
89. В «Венке знаний» Бхаскара приводит геометрическое доказательство
ab
теоремы Пифагора с подписью « смотри!»
с2 = 4
+ ( а – в)2⇒
2
⇒с2 = а2 + в2
Нарайана (ⅩⅣ ст.)
90. Корова ежегодно рождает телочку. Каждая телочка с 4 – го года своей
жизни, на начало года также рождает по телочке. Сколько будет всего
голов коров и телят через 20 лет?
Рамануджан Сринизава
Айенгар
( 22.12. 1887 – 26. 04. 1920)
91. Доказать, что: а) 1  2 1  3 1  4 1  ...  3
б)
3 3
2 1  3
1 3 2 3 4
;


9
9
9
Китай
Задачи.
Из трактата « О мерном шесте».
92. Доказательство теоремы Пифагора основывается на чертеже, где
квадрат, построенный на сумме катетов а и в прямоугольного
треугольника, рассматривается как сумма площадей некоторых
других фигур. ( а +в)2 = 4ав + (а - в)2 – 2 ав + с2;
тогда а2 + 2 ав + в2 = 2 ав + с2,
следовательно
а2+ в2 = с2
Из трактата « Математика в 9- ти книгах»
93. Гость за день проезжает 300 ли ( 1 ли = 0,576 км.). гость поехал от
1
хозяина, забыв взять одежду. Когда через дня хозяин обнаружил
3
забытую гостем одежду, он поехал догонять гостя. Отдав
гостю одежду, хозяин сразу повернул коня назад. Через
3
дня он был
4
дома. В котором часу он был дома? Сколько он проехал на коне
за день?
94. Несколько человек сразу покупали барана. Если каждый внесет по 5
монет, то не хватает до стоимости барана 45. если каждый внесет по 7,
то не хватит 3. сколько человек и какова стоимость барана?
95. Имеется водоем с 5 –тью водосточными канавами. Если открыть
1
первую из них, водоем наполнится за дня, если вторую – за 2,5 дня,
3
если четвертую – за 3 дня, если пятую – за 5 дней. За сколько дней
наполнится водоем, если открыть все канавы?
96. 95.Рысак и кобыла движутся от Чананы до княжества Цы, расстояние
между которыми 3000 мер длины. В первый день рысак пробежал 193
меры, а каждый следующий – на 13 больше. Кобыла пробежала в
первый день 97 мер, а в каждый последующий на
1
меньше. Рысак
2
первым достиг княжества Цы, повернув назад, на некотором
расстоянии встретил кобылу. Через сколько дней они встретились и
сколько пробежал до этой встречи каждый?
97. Из трех снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа
плохого урожая собрали 39 мерок зерна. Из двух снопов хорошего
урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая собрали
34 мерки зерна. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего
урожая и 3 снопов плохого урожая – 26 мерок. Сколько зерна собрали
с каждого снопа хорошего , среднего и плохого урожая?
98. У пяти семей общий колодец. Чтобы достичь поверхности воды
необходимо применить 2 веревки семьи А и одну веревку семьи В;
3 веревки семьи В и 1 веревку семьи С; 4 веревки семьи С и одну
веревку семьи D ; 5 веревок семьи D и одну веревку семьи F ;
6 веревок семьи F и одну веревку семьи А. Какова глубина колодца?
Какова длина куска веревки каждой семьи?
Сунь – Цзи
99. Два человека А и В имеют некоторое количество монет, которые
требуется разделить между ними так, что , если к монетам А
прибавить половину монет В, а монеты В дополнить
2
монет А, то в
3
обоих случаях получится 48. сколько монет получит каждый человек?
100. Найти число, которое при делении на 3 дает остаток 2, при делении на 5 дает остаток
3, при делении на 7 дает остаток 2.
Чжан Цюцзянь
101. Петух стоит 5 монет, 1 курица – 3 монеты, 3 цыпленка – 1 монету.
Всего за 100 монет купили 100 птиц. Сколько купили петухов, курей
и цыплят отдельно?
Страны ислама
Задачи
Абу- л Вафа
( 10. 06. 940- 1. 08. 998)
102. Построить квадрат из двух не конгруэнтных квадратов.
103. Построить квадрат из трех данных конгруэнтных квадратов.
Абу Али – Ибн – Сина ( Авицена)
( ок. 980- 18.06. 1037)
104. Если при делении числа на 9 получается равенство в остатке 1 или 8,
то при делении квадрата этого числа на 9 в остатке получается 4;
если при делении числа на 9 получается равенство в остатке 2 или 7, то при делении
квадрата этого числа на 9 в остатке получается 4; если при делении числа на 9 в
остатке получается равенство 1, 4 либо 7, то его куб при делении на 9 даст в остатке 1.
Абу – л – Фахт Омар Ибн – Ибрахим Ал- Хайям
( 1048- ок. 1131)
1
1
1
2 1
2
x
x
4
Абу Бахр Мухаммед Ибн Ал – Хасан Ал – Караджи
105. Решить уравнение
(Ⅹ - Ⅺ ст.)
106. Решить уравнение x7= x5 + cx3
107.
. Решить систему уравнений
x 2 + y 2 = z2
xz = y 2
xy =10
Джемшид Ибн – Мамуд – ал – Каши
( умер около 1430 г.)
108. В саду первый сорвал 1 гранат, второй – два, а каждый следующий –
на один гранат больше. Потом все, кто рвал гранаты, разделили их
между собой поровну и каждый имел по 6 гранатов. Сколько человек
собирали гранаты?
109. Двое одновременно пошли из одной точки в противоположных
направлениях берегом круглого озера. Первый проходил ежедневно
10 миль, а другой прошел за день одну милю, а в каждый
следующий день на 1 милю больше. Когда они встретились
выяснилось, что первый прошел
1
5
окружности, а другой - .
6
6
Какова длина берега круглого озера и сколько были в дороге
пешеходы?
110. Поделить 10 на две части так, чтобы квадрат первой части и другая
часть в сумме составят квадрат.
111. Если к числу прибавить или отнять от него 3,5, то полученные сумма
и разность будут квадратами. Найти это число.
112. Тростник, который стоял вертикально в воде, поднимался над
поверхностью воды на 3 локтя. Ветер наклонил его и погрузил в
воду так, что вершина находится на поверхности воды, а основание
не изменило своего положения. Определить длину тростника, если
расстояние между начальной верхней точкой и точкой
соприкосновения с поверхностью воды равно 5 локтям.
Ал – Хорезми – Абу Абдаллах ибн Муса
( 783 – 850 г.)
113. Шесть видов уравнений:
1. ax2 = bx
4. ax2 + c = bx
2. ax2 = c
5. ax = c
2
3. ax + bx = c
6. bx + c = ax2
114. «Ты разделил 10 на 2 части и разделил одну на другую и наоборот,
и в сумме всё это оказалось двумя и одной шестой дирхема».
115. 114.Ты разделил 10 на две части, затем умножил одну из частей на 5
и разделил её на другую, затем половину того, что у тебя получилось,
прибавил к умноженному на 5, и получилось 50 дирхемов.
116. Ты разделил дирхем между людьми, каждому из которых достается
вещь, затем к ним присоединился человек, и ты разделил между
всеми ними, и каждому из них достается меньше, чем при первом
разделе, на одну шестую дирхема.
117. Знай, что каждый прямоугольный треугольник таков, что, если
умножить каждую из его коротких сторон на себя, то сумма
произведений равна произведению длинной стороны на себя.
118. .Каждый круг таков, что, если ты умножишь его диаметр на себя и
вычтешь из этого одну седьмую и половину одной седьмой,
получится его площадь.
Средневековая Европа
Задачи
Алкуин
( 735 – 804 гг.)
119. Собака гонится за кроликом, который находится в 150 футах от неё. Она делает
скачок на 9 футов тогда, когда кролик прыгает на 7 футов. Сколько скачков может
сделать собака, чтобы догнать кролика?
120. Разделите 100 мерок пшеницы между 100 людьми так, чтобы каждый
1
мужчина имел 3, каждая женщина –2, а каждый ребенок - меры.
2
Сколько мужчин, женщин и детей?
Леонардо Пизанский ( Фибоначчи)
( 1180 – 1240 гг.)
121. Некто купил 30 птиц за 30 монет. За 3 горобца – 1 монету, за две
горлицы – тоже 1 монету, за каждого голубя – 2 монеты. Сколько
птиц каждого вида он купил?
122. Сколько пар кроликов народится за год от одной пары, если каждая пара дает
ежемесячно приплод по одной паре, которая в свою очередь способна размножаться
через один месяц, и если не одна пара не погибнет?
123. Если дана последовательность чисел Фибоначчи:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,…, где U0 = 0, U1= 1 и Un= Un-1 + Un-2, то
n
n
1  1  5   1  5  
 
 

Un 
5  2   2  


124. При какой системе гирь, имея их по одной, можно взвесить
41 фута, если класть гири только на одну чашку?
19
125. Найти число,
которого равно квадрату самого числа.
20
126. Решить уравнения:
а) 3x  4 x 2  3x  20
б) 3x  4 x2  3x  x2  4
в) x  x  2 x  5 x 2  10
всевозможные веса до
127. Трое имеют некоторую сумму денег, причем деньги первого составляют половину,
второго- третью, а его треть – шестую часть всей суммы. Желая сохранить часть
денег, каждый берет из общей суммы столько, сколько может нести, после чего
первый выдает на сбережения половину, второй – третью, а третий шестую часть
того, что он нес. Через некоторое время они берут эти деньги и каждому приходится
1
содержать
всей суммы, которая была на сбережения. Сколько денег было у
3
каждого?
Никол Орем
( ок. 1323 – 1382)
128. Найти такие числа x, y, z, чтобы суммы : x+y+z+x2, x+y+z+x2+y2, x+y+z+ x2+y2+z2
были точными квадратами.
1 1 1
1
129. Доказать расходимость гармонического ряда 1     ...   ...
2 3 4
n
1 3 1 3 1 3
7
 ... 
130. Доказать,что :     
2 8 4 16 8 32
4
131. Вычислить площадь фигуры, образованной бесконечным множеством треугольников,
если длины горизонтальных сторон прямоугольника уменьшаются в отношении 4 : 1,
а длины вертикальных увеличиваются в отношении 1 : 2.
Эпоха Возрождения.
Задачи.
Лука Пачоли.
( ок. 1445 – 1514 гг.)
132. Решить элементарным способом уравнение: x4+2x3+3x2+2x-81600= 0
10
133. Привести к рациональному виду знаменатель дроби :
;
6 7 8
134. Радиус вписанного в треугольник круга равен 4 линейным единицам. Точка касания
делит одну из сторон треугольника на части длины 6 и 8 единиц. Вычислить длины
двух других сторон треугольника.
135. Площадь треугольника равна 84 кв. ед. вычислить длины его сторон, если известно,
что они выражаются исследовательными натуральными числами.
Леонардо да Винчи
( 1452 – 1519гг.)
136. Если две конгруэнтных окружности пересекаются, то прямая, которая проходит через
точки их пересечения, является множеством точек, равноудаленных от центров
окружностей.
Михаэль Штифель
137. Проверить равенство: 16  3 18 
3
4096 
3
64 ;
138. Решить уравнение: 216  41472  18x  648x 2  0
Никколо Тарталья
( 1500 – 1557 гг.)
139. На данном отрезке АВ построить с помощью линейки и данного раствора циркуля,
который не равен АВ, равносторонний треугольник.
140. некто имеет 24 фунта драгоценного масла. У него ещё есть посуда емкостью 13, 11 и 5
фунтов. Как, пользуясь этой посудой разделить масло на 3 равные части?
Джероламо Кардано
( 1501 – 1576гг.)
141. Решить уравнение элементарным способом 13x2 = x4 +2x3+2x+1;
142. Разложить число 10 на два таких слагаемых, чтобы их произведение равнялось 40.
Рафаэль Бомбелли
(ок. 1526 – 1573 гг.)
143. Доказать, что 3 2  121  3 2  121  1
144. Решить уравнение: x3 = 15x +4;
Франсуа Виет
(1540- 1603гг.)




2
4
8
2n
145. Упростив произведение cos  cos  cos  ...  cos

:
2
, доказать формулу Виета для


1 1 1 1 1  
 1 1 1 1
lim 1 : 

 

 
 
... 
n 
2 2 2 2 2  2
 2 2 2 2


146. Если дано кубическое уравнение: x3- ( a+b+c)x2+ ( ab+ac+bc)x= abc,
то
а, в, с – корни этого уравнения. Проверить для уравнений :
x3- 6x2 + 11x – 6 = 0 ;
x3- 4x2 -4x +16 = 0 ;
147. Решить уравнение : а)
ax ax  ac

 0 ; б) y 6  2b3 y 3  a 6
b
d
Симон Стевин
148. Решить уравнения: а) x3  6 x  40 ;
б) x 9  3 x 6  5 x 3
Галилео Галилей
(15. 11. 1564 – 8. 01. 1648)
149. Три игральные кости подкидывают одновременно. Какова наибольшая вероятность:
появления на трех костях суммы очков 10 и 9?
Европа нового времени.
Задачи
Иоганн Кеплер
( 27.12.1571- 15.11.1630.)
150. Решить уравнение: 5 x  5 x3  x5  0
Гаспар Клод Баше де Мезириак
( 9.10. 1587 – 25. 11. 1638 .)
151. Рота солдат вынуждена переправиться на другой берег реки, но мост разрушен, а
брода нет. Около берега два мальчика игрались в челне. В этом челне могут
переправиться не больше как один взрослый или двое детей. Как с помощью этого
челна рота переправится на другой берег реки?
152. Задумайте 4 одно-цифровых числа. Умножьте первое на 2 и прибавьте 5, сумму
умножьте на 5, прибавьте 10 и второе число, полученную сумму умножьте на 10 и
прибавьте третье число, новый результат умножьте на 10 и прибавьте четвертое число.
От полученного числа отнимите 3500. разность будет четырехзначным числом,
записанным задуманными числами.
Рене Декарт
( 31.03.1596 – 11.11.1650)
153. Решить уравнения: а) y 3  8 y 2  y  8  0 ; б) x 4  4 x3  19 x 2  106 x  120  0
Пьер Ферма
( 1601 – 12. 01.1665)
154. Если S – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии ( а n), то S : ( S –
a n) = а1 : а2.
155. В остроугольном треугольнике АВС найти точку Р, для которой сумма расстояний ее
от вершин А, В и С была бы минимальной. Точка Р называется точкой Ферма –
Торичелли.
156. Для произвольных n  выполняется равенство:
 nn  1 
2
2
2
2
5 1  2  3  ...  n  4n  2
  1  2  3  ...  n
 2 
157. Малая теорема Ферма. Если р – простое число и а – число, которое не делится на р,
то a P 1  1 делится на р. Доказать вариант малой теоремы Ферма : если р – простое
число, то a P  a при любом целом а делится на р.
Джон Валлис

4
4
4
4
2



( 23.11.1616 – 28. 10.1662)
1
1
1 1 1 1
1
1
 , поэтому   


 ... или   1 ?
n 1 n
3 2 1 1  2  3
Блез Паскаль
158. Очевидно
( 19.06. 1623- 19. 08.1662)
159. Общий признак делимости чисел: Натуральное число а , заданное в позиционной
системе с основанием р ( p  , p  2 ) делится на число в тогда и только тогда, когда на
него делится сумма произведений каждой цифры данного числа на остаток от деления
на в соответствующих разрядных единиц 1, p, p 2 ,..., p n 1 , p n
160. Теорема Паскаля. Если все шесть вершин шестиугольника ABCDEF лежат на
окружности и три пары противолежащих сторон пересекаются, то три точки
пересечения пар противоположных сторон коллинеарны.
161. Треугольником Паскаля называется бесконечная числовая таблица. Она дает (
содержит) разнообразные числовые зависимости .


1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
4
5
6
7
8
21
6
35
4
1
5
15
35
70
126
1
10
20
56
84
1
3
10
15
28
36
2
3
21
56
126
1
6
1
7
28
84
1
8
36
1
9
162. 1.Найти сумму чисел в каждом горизонтальном ряду треугольника
Паскаля.
1
2. чему равна эта сумма, если числа, которые стоят на четных
местах , брать со знаком минус.
3. Назовем проспектами треугольника Паскаля ряды чисел
1,3,6,,,10,15,21; 1,4,10,20,35,… и т. д. Как найти в треугольнике
сумму членов в n - ном проспекте?
4. Найти в треугольнике Паскаля ряд чисел Фибоначчи, ряд чисел
n  n  1
n  n  1  n  2 
вида
( треугольные), ряд чисел вида
2
2
( пирамидальные).
163. Кавалер де Мере решил разбогатеть игрой в кости. Он бился об заклад, что если
бросит четыре раза игральную кость, то хотя бы раз выпадет число 6. если же этого не
случится – выигрывает его соперник. Для надежности он обратился к Паскалю, чтобы
тот вычислил вероятность выигрыша. Что показали вычисления?
164. Двое равноправных игроков играют в игру, которая не допускает ничьей. Они
сделали равные ставки и договорились, что тот, кто раньше выиграет 10 партий ,
возьмет все деньги. Игра была прервана со счетом 9 : 8 и не могла быть продолжена.
Как они могут разделить деньги?
Христиан Гюйгенс
( 14. 04. 1629 – 8. 07. 1695)
165. Если в круговой сегмент, меньший полукруга, вписать наибольший треугольник и
таким же образом вписать по треугольнику в оба сегмента, которые остались, то
площадь первого треугольника будет меньше учетверенной площади двух других
треугольников, взятых вместе.
166. Пусть дан круговой сегмент, меньший полукруга и треугольника АЕС, у которого
основание совпадает с хордой сегмента, а боковые стороны касательные. Проведенная
через середину сегмента дуга, отсекает от данного треугольника новый треугольник,
площадь которого больше половины площади наибольшего вписанного в сегмент
треугольника.
Адам Адамович Коханский
( 5.08. 1631 – 19. 05. 1700)
167. Все построения циркулем выполняются одним раствором. Построим окружность ( О,
∣ОА∣),∣ОА ∣= r и касательную к ней в точке С. из точки С построим дугу, которая
пересекает окружность в точке Д, из точки Д как из центра – дугу, которая пересекает
первую дугу в точках О и Е. Построим ∣ОЕ∣, который пересекает касательную в точке F
построим ∣FB∣ , так, чтобы ∣FB∣= 3∣r∣. Тогда ∣АВ∣  
Жан Озанам
( 1640 – 03.04. 1717)
168. Семеро друзей собрались обедать, но между ними произошла размолвка, кому с кем
сесть. Один из присутствующих предложил всем сесть за стол, как случится, но с
условием, чтобы в наступающий день обедать вместе и при этом каждый раз сидеть по
– разному до тех пор, пока не будут исчерпаны все возможные комбинации. Сколько
раз придется обедать друзьям вместе, чтобы исчерпать все комбинации?
Исаак Ньютон
( 04.01.1643 – 31. 03. 1727)
169. Три луга, покрытые травой одинаковой густоты, которая прорастает с одинаковой
1
скоростью, имеют площади 3 , 10 и 24 га. Быки пасутся на лугах и поедают траву,
3
которая подрастает за время выпаса. На первом лугу 12 быков могли пастись 4 дня, на
втором 24 быка на протяжении 9 дней. Сколько быков можно пустить на третий луг,
чтобы они могли съесть всю траву за 18 дней?
170. Через данную точку Р провели (ВС) так, чтобы [PB] и [PC], которые пересекаются с
(АВ) и (PN) были в данном отношении, а именно │BP│: │РС│== m : n, где m,n   .
171. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то центр этой окружности лежит
на прямой, которая соединяет середины диагоналей четырехугольника.
172. Два почтальона А и В, между которыми 59 миль, выезжают рано навстречу друг
другу. Почтальон А проезжает за 2 часа 7 миль, В – за 3 часа 8 миль; при этом В
выезжает на дорогу на час позже, чем А. Сколько миль проедет А до встречи с В?
Готфрид Вильгельм Лейбниц
( 01. 07. 1646 – 14. 11. 1716)
173. Из известного ряда Лейбница:
для


8
1 1 1 1
     ... получить ряды
4 1 3 5 7
174. Доказать, что 1   3  1   3  6
175 Сумма квадратов расстояний произвольной точки Р до вершин треугольника равна
сумме квадратов расстояний от вершин до центра тяжести треугольника с утроенным
расстоянием от центра тяжести до точки Р.
176 Малоизвестная конфигурация чисел – гармонический треугольник Лейбница, как и
треугольник Паскаля, имеет много интересных свойств, которые « аналогичны в
разумном сопоставлении» свойствам треугольника Паскаля.
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
1
6
1
12
1
20
1
2
1
3
1
12
1
30
1
4
1
20
1
5
1. Выявить связи между соответствующими числами треугольников Паскаля и
Лейбница. Доказать эти связи.
1 1 1 1
1
1
2. доказать, что :    

 ...;
1 2 6 12 20 30
1 1 1
1
1
1
  


 ...; ;
2 3 12 30 60 105
1 1 1
1
1
1
 



 ...;
3 4 20 60 140 280
установить, как размещены в треугольнике Лейбница числа, для которых получены
1
1
и .
равенства, и записать суммы для
5
4
Джовани Чева
( 1648- 13.12. 1734 )
177 Пусть точки А1 ,В1, С1, лежат соответственно на сторонах ВС,АС, АВ треугольника
АВС. Причем отрезки АА1,ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке. Тогда
AC1 BA1 CB1


1
C1B A1C B1 A
Гвидо Гранди
( 1.10. 1671 – 4. 07. 1742)
178 Пусть 1-1+1-1+…+(-1)n+1 = S, тогда
S-1 = -1++1-1+…+( -1)n или
S-1 = -S , отсюда S =.
1
2
Сгруппировав члены ряда так : ( 1-1) + ( 1-1) +…= 0 получим S=0,
поэтому
1
= 0 ⇒ 1= 0 ! ?
2
Лоран Патенот
( 1660 – 31. 08. 1732 )
179 Найти точку, из которой отрезки [AB] и [BC], образованные тремя точками А, В, С,
видны под углами  и  .
Жорж Аум – Леклер Бюффон
( 7.09.1707 – 16. 04. 1788)
180
На плоскости проведена система параллельных прямых, расточние между которыми
равно длине спички. Бросают на поле бумаги спички. Вероятность того, что спичка
2
пересечет одну из параллельных прямых, равна .

Жозеф Луи Лагранж
( 25.01.1736 – 10.10.1813)
181
Проверить тождества :
2
2
2
а) A2  B 2  C 2  A12  B12  C12    AA1  BB1  CC1    AB1  A1B    AC1  A1C   BC1  B1C 



б ) x1 y1  x2 y2  ...  xn yn   x12  x22  ...  xn2  y12  y22  ...  yn2   x1 y2  x2 y1  
2
2
 x1 y3  x3 y1   ...   x1 yn  xn y1    x2 y3  x3 y2    x2 y4  x4 y2   ...  xn 1 yn  xn yn 1 
Софья Жермен
2
2
2
2
2
( 1.04.1776 – 27. 06. 1831 )
182
При а > 1, а4+4 число составное.
Карл Фридрих Гаусс
( 30.04.1777 – 23. 11. 1855)
183 Если никакие стороны четырехугольника не параллельны, то середина отрезка,
который соединяет точки пересечения противоположных ( противолежащих) сторон,
лежит на прямой, которая соединяет середины диагоналей.
Симеон Дени Пуассон
( 21.06. 1781 – 25. 04. 1840 )
184 Некто имеет 12 пинт вина ( 1 пинт – 0,568 л.). У него посуда емкостью 8 и 5 пинт.
Как налить 6 пинт вина в посуду ёмкостью 8 пинт?
Август Фердинанд Мебиус
( 17.11. 1790 – 26. 09. 1868)
185 Возьмите две одинаковые достаточной длины полоски бумаги и подготовьте из них
модели односторонней поверхности листа Мебиуса. На одной модели провести
карандашом посередине полоски, а на другой – две линии, которые делили бы
полоску на три одинаковые части. Разрежьте полоску первой модели по средней
линии, а полоску второй модели по двум проведенным линиям. Что получится в
результате?
Якоб Штейнер
( 18.03.1796 – 1.04. 1863)
186
187
188
189
190
Построения выполняются только одной линейкой. На прямой даны три точки А,В,С,
из которых В находится между А и С. через произвольную точку к (АС) провести
прямую параллельную ей.
Даны две параллельные прямые. Провести через данную точку третью прямую,
параллельную данным.
Даны вспомогательная окружность и прямая (АВ), проходящая через центр
окружности. Провести перпендикуляр из данной точки М к (АВ).
Дана вспомогательная окружность и произвольная прямая (АВ). Провести прямую,
которая проходит через данную точку и параллельна (АВ).
Если дано по одному катету двух прямоугольных треугольников и известна сумма
двух других катетов, то сумма гипотенуз наименьшая в случае подобия
треугольников.
Жозер Луи Франсуа Бертрак
(02.03. 1822 – 03. 04. 1900)
191 Как – то в Неаполе преподобный Галиани увидел человека, который, подкидывая
три игральные кости в кружок, бился об заклад, что выкинет три шестерки; и
действительно, он получил три шестерки. Человеку из Базилики это удалось во
второй потом в третий, четвертый и пятый раз. « Кровь Вакха !» - воскликнул
преподобный «Кости налиты свинцом!?» Почему преподобный заподозрил человека
из Базилики в шельмовстве?
Чарльз Людвидж Доджсон ( Льюис Кэрролл)
( 27. 1. 1832 – 14. 01. 1898)
Десять монет размещены на плоскости в два ряда. Требуется переместить 4 монеты
в такое положение, чтобы на пяти разных прямых было по 4 монеты.
193 Король, выявив, что его казна почти пуста, и деньги, что остались, придется тратить
экономно, решил разогнать как можно больше своих советников – мудрецов. Их у
короля было очень много. Единственное, что можно было поставить им в вину –
противоречивость советов, которые они давали королю в каких – либо вопросах и
беспримерное пристрастие к еде и питью с королевского стола. Но по закону при
дворе могло находиться столько мудрецов, чтобы среди них непременно нашлись на
двое очей, два слепых на одно око, пять зрячих на оба глаза, девять зрячих на один
глаз. Сколько мудрецов осталось при дворе, чтобы не нарушить требования закона?
194 одному человеку очень захотелось посетить театр. Билет стоил 1 шиллинг 6 пенсов,
а у него было только 1 шиллинг (1 шиллинг – 12 пенсов). Подумав, человек решил
заложить свой шиллинг у лавочника. Лавочник с вниманием осмотрел монету и,
убедившись, что она не фальшивая, дал человеку под заклад 9 пенсов. С 9 пенсами и
квитанцией на 1 шиллинг в кошельке человек ушел от лавочника и встретил на улице
приятеля, которому предложил купить квитанцию за 9 пенсов. Теперь у человека
было 9 пенсов, взятых у лавочника и 9 пенсов, вырученных от продажи квитанции.
Этой суммы как раз хватало на билет. Спрашивается, кто и сколько истратил на билет
в результате всех операций
195 Некто прогуливался 5 часов. Сначала он шел горизонтальной дорогой, потом
поднялся на гору, и, наконец, по старому маршруту вернулся в начальный пункт.
192
Скорость его по горизонтальной части пути 4 км/ч, во время восхождения в гору – 3
км/ч, во время спуска с горы – 6 км/ч. найти пройденный путь.
Георг Кантор
( 03. 03.1845 – 06. 01.1918)
196 Канторово совершенное множество . какова его мера?
197 Запишем рациональные положительные числа в таблицу, бесконечно продолженную
вправо и в порядке, указанном стрелками, выпишем их в бесконечную
последовательность.
1/1
2/1 3/1 4/1 5/1…
↙
½
↙
2/2
↙
1/3
3/2
↙
2/3
↙
→
4/2 5/2…
↙
3/3
↙
1 1 3 2 1 4 3 2 1
, , , , , , , , ,...
1 2 1 2 3 1 2 3 4
↙
4/3 5/3…
Под каким номером будет число p/q ?
198 Множество ℚ счетное.
199 Выделить из множества ℕ бесконечные подмножества ℕI
( I = 1,2,3), такие , чтобы ℕ1⊂ ℕ2 ⊂ ℕ3 ⊂ ℕ . показать , что
ℕ ∼ℕ1∼ℕ2 ∼ℕ3 .
200 Показать графически, что множество точек произвольного,
например, единичного, отрезка Эквивалентно множеству всей
прямой.
Вацлав Серпинский
( 14.03.1882 – 21.10.1969)
201 Ковер Серпинского. Какова его площадь?
202 Вариант ковра Серпинского: поделим единичный квадрат на 25 конгруэнтных
квадратов и выбросим только центральный ( его площадь 1/25). Продолжим отрезки,
которые ограничивают выброшенный квадрат до пересечения с большим квадратом и
в каждом из 4 полученных квадратов и четырех прямоугольников построим взаимно
перпендикулярные полоски шириной 1/25. выбросим 8 квадратов, по которым
пересекаются полоски в 4 квадратах и 4 прямоугольниках. Площадь, выкинутых
8
квадратов будет
. На третьем шагу выполним такие же самые построения, чтобы
25 2
64
выбросить 64 квадрата общей площадью
, и т. д. Какова площадь этого варианта
253
ковра Серпинского?
Бартел Ландерт Ван дер Варден
( 1.02.1903 г. рожд.)
203
Периметр равностороннего треугольника равен 3. разделив каждую из его сторон на
три конгруэнтных отрезка, на внешних частях средних отрезков построим новые
равносторонние треугольники. Каждую сторону звездчатого двенадцати угольника
поделим на 3 конгруэнтных части и снова на внешней стороне каждого из средних
отрезков построим правильный треугольник. На втором этапе получим линию,
изображенную на рисунке. Чему равен периметр фигуры, если такую операцию
продолжить до бесконечности.
Отечественная математика
Задачи
Ал – Хорезми
( 787 – ок. 850)
204 Квадрат неизвестного и десять неизвестных составляют 39 дирхемов. Чему равно
неизвестное? Решение этого уравнения, как и других примеров Ал – Хорезми,
обошли почти все средневековые арабские и западноевропейские учебники алгебры.
205 Полтора дирхема разделить между человеком и еще несколькими людьми так, чтобы
первому человеку досталось столько, сколько досталось двум из нескольких людей.
Сколько было людей, кроме первого человека?
Анания Ширакаци
( середина Ⅶ ст.)
206 Один купец прошел через 3 города. В первом у него взяли половину и третью часть
имущества, во втором – половину и третью часть того, что у него было. Когда он
прибыл домой, у него осталось 11 грошей. Сколько всего было грошей сначала?
207 В Афинах был водоем с тремя трубами. Первая могла наполнить его за час, вторая –
за 2, третья – за 3 часа. За какую часть часа все трубы вместе могли заполнить
водоем?
Абу – р - Райхан Мухаммед ибн Ахмед ал – Бируни
( 973 – ок. 1050)
208 Зная высоту горы, которая находится на открытой местности, определить радиус
Земли.
209 Вычислить длину хорды окружности единичного радиуса, которая стягивает угол в
200.
Пафнутий Львович Чебышев
(16.05.1821 – 8.12. 1894)
210 Если
a1  a2  ...  an
и
b1  b2  ...  bn , то
a1  a2  ...  an b1  b2  ...  bn a1b1  a2b2  ...  anbn


n
n
n
a1  a2  ...  an , но b1  b2  ...  bn , то
Если же a1  a2  ...  an b1  b2  ...  bn a1b1  a2b2  ...  anbn


n
n
n
Равенства выполняются тогда и только тогда, когда равны между собой все числа
a1, a2, a3,…,an и b1, b2, …, bn
Проверить неравенства Чебышева для :
а) а1 = 1; а2 = 2; а3 = 7 ; b1= 4; b2 = 3; b3= 2;
б) а1 = 1; а2 = 2; а3 = 7 ; b1= 2; b2 = 3; b3= 4;
Лев Николаевич Толстой
( 28.08. 1828 – 7.11. 1910)
211 Артель косцов может скосить два луга, из которых первый вдвое больше второго.
Половину дня все косили первый луг, после обеда артель разделилась на две равные
группы. Первая группа осталась на большом лугу и косила его до вечера. Другая
группа косила до вечера меньший луг, но на нем осталась делянка, которую на
следующий день скосил один косец. Сколько косцов было в артели?
212 Хворостина свисает над водой на один аршин. Найти глубину реки, где растет
хворостина, не измеряя глубины ни веслом, ни каким – нибудь другим предметом.
213 На противолежащих стенках комнаты некоторой длины и ширины сидят муха и паук.
Муха находится на 1,5 аршина от пола, а паук на 1,5 аршина от потолка. Найти
кратчайшее расстояние между пауком и мухой.
Леонард Эйлер
( 15.04.1707 – 18.09.1783)
214 Найти рациональный корень уравнения: X Y  Y X
215 В любом четырехугольнике, сумма квадратов сторон, равна сумме квадратов его
диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом отрезка, который соединяет
середины диагоналей.
216 Основания медиан, основания высот и точка Эйлера лежат на одной окружности,
которая называется окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.
217 Центр окружности Эйлера лежит на середине отрезка, который соединяет ортоцентр с
центром описанной окружности. Радиус окружности Эйлера равен половине радиуса
окружности, описанной около треугольника АВС
218 В любом треугольнике точка пересечения медиан, ортоцентр ( точка пересечения
высот) и центр описанной окружности лежат на одной прямой ( прямой Эйлера).
219 Ферма считал, что для произвольного n ∈ℕ числа Fn  22  1 ( числа Ферма)
n
простые. Только в 1732 году Эйлер упростил это утверждение, показав, что F5  641.
проверить вычисление Эйлера.
220 Семь мостов перекинуты через реку Прегель, на берегах которой расположился город
Кенигсберг. Можно ли осуществить прогулку по городу так, чтобы пройти по
каждому мосту только один раз?
С
→
река
А
Д
В
Математика в СССР
А.Я. Хинчин ( 19.07. 1894 – 18.11.1959)
Б.В. Гнеденко( родился 01.01. 1912)
221. Количество попаданий одного стрелка в цель составляет 80% ,
а другого ( при тех же условиях стрельбы) – 70 % . найти
вероятность попадания в цель, если оба стрелка стреляют
одновременно ( считается попадание в цель хотя бы одной из двух
пуль).
222 .электролампы выпускаются на двух заводах, причем первый из них поставляет70 %, а
другой – 30 % всей продукции. Из каждых 100 ламп первого завода стандартны 83, а
из 100 ламп другого – 63. установлено, что данная лампа стандартна. Какова
вероятность того, что эта лампа изготовлена на втором заводе.
С.А. Яновская ( 31.01.1896 – 24.10. 1966)
223. На некотором множестве введена операция  , которая каждым двум элементам а, в,
из этого множества в соответствие ставит элемент
a  b множества. Известно, что:




1) a  b  c  b  c  a
2) если a  b  a  c, то b  c
3) если a  c  b  c, то a  b
Доказать, что операция * : а) коммутативна
б) ассоциативна.
А.Н. Колмогоров ( род. 25.04.1903)
224. Множество М состоит из трех элементов, множество N – из двух элементов. Сколько
существует отображений а) M в N ,
б) М на N,
в) N в М
г) N на М ?
225. Множество М состоит из m элементов, N – из n элементов. Сколько существует
функций, определенных на М со значениями , принадлежащими N?
226. Какое дополнительное условие необходимо наложить на значения x в формуле f(x)
=1, чтобы получить значение функции f  x  
 x   1 x
2
2
?
10. Методические указания по прохождению учебной, производственной и
преддипломных практик, формы отчетной документации
Студенты специальности «Математика» выполняют дипломные работы по математике и
методике преподавания математики и проходят педагогическую практику на 4 курсе.
Программа педагогической практики находится на кафедре математики ауд. № 206 корпус 1.
Во время написания дипломной работы и прохождения педагогической практики ими
изучается и анализируется научно-методическая литература, проводится сбор практического
материала и педагоический эксперимент по изучаемой проблеме. При прохождении
педагогической практики студенты активно используют знания, полученные при изучении
истории математики.
11. Материалы по контролю и оценке учебных достижений обучаемых
Материалы по индивидуальному заданию №1 ( см. п.9)
Знания, умения и навыки студентов оцениваются по следующей системе:
Итоговая оценка включает:
• рейтинговый контроль;
• экзамен.
Рейтинговый контроль и итоговая оценка
• Преподаватель в каждую 8 неделю семестра выставляет результаты рейтингового
контроля по 100 балльной шкале, и оценка, выставляемая за рейтинг, представляет
собой сумму баллов по текущему, рубежному контролю, проведенным по его
усмотрению.
• Итоговая оценка подсчитывается по формуле
U = [(P1 +P2) / 2] * 0,4 + E * 0,6
где P1 - цифровой эквивалент оценки первого рейтинга; P2 -цифровой эквивалент оценки
второго рейтинга; Е - цифровой эквивалент оценки на экзамене.
Буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах определяется по %-ному содержанию
правильных ответов:
Оценка по
буквенной системе
Цифровой
эквивалент баллов
Процентное
содержание
Оценка по
традиционной
системе
Отлично
А
4,0
95-100
А3,67
90-94
В+
3,33
85-89
Хорошо
В
3,0
80-84
В2,67
75-79
С+
2,33
70-74
Удовлетворительно
С
2,0
65-69
С–
1,67
60-64
Д+
1,33
55-59
Д
1,0
50-54
F
0
0-49
Неудовлетворительно
Выполнение домашнего задания проверяется на каждом занятии по СРСП. Выполнение
индивидуальных заданий проверяется на 5-ой и 13-й неделе; индивидуальное задание – это
решение задач, ответы на вопросы, выполнение реферата на выбранную тему.
Штрафные баллы: за несвоевременную сдачу индивидуальных работ, минус 1 балл.
По теоретическому материалу каждым студентом делается доклад по заранее выбранной теме
на лекционном занятии и СРСП. Штрафные баллы: 0 баллов при не подготовке доклада..
В течении семестра проводится два рубежных контроля: 7 неделя и 15 неделя
Экзамен проводится в виде тестов, максимальный балл – 40, критерий оценок такой же как и
при оценке контрольной работы.
Схема оценки знаний:
Критерии
оценки
Посещение
лекционных
занятий
Оценка вида
работы
о/о за о/о
1
работу всего
0,2
3,0
+
Неделя
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Домаш.задание
Инд.
задан.(два)
Доклад (два)
Реферат
Активность на
лекциях.
Экзамен
Итого
0,5
8
7,5
16
10
6
0,5
20
6
7,5
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
40
100
Политика и процедуры
10. Не опаздывать на занятия
11. Не разговаривать во время занятий
12. На занятия приходить в деловой одежде
13. Не пропускать занятия, в случае отсутствия по болезни, предоставить справку
14. Пропущенные занятия отрабатывать в определенное преподавателем время
15. В случае невыполнения заданий, итоговая оценка снижается
16. Посещать ежедневно занятия
17. Активно участвовать в учебном процессе
18. Старательно выполнять домашние задания
16 Быть терпимым, открытым, откровенным и доброжелательным к сокурсникам и
преподавателям
17 Конструктивно поддерживать обратную связь на всех занятиях
18 Содействовать коллективной работе и вовлечению в дискуссию более застенчивых
студентов
19 Быть пунктуальным и обязательным
20 Избегать пропуска занятий по неуважительным причинам
21 Исключить телефонные переговоры во время лекционных и практических занятий,
отключить сотовый телефон.
Вопросы для проведения контроля знаний студентов по темам и экзамена
Вопросы для подготовки докладов.
1) 1-7 недели
1. Предмет истории математики.
2. Формирование начальных математических представлений.
3. Математика Древнего Египта, Древнего Вавилона.
4. Математика Древнего Китая и Индии.
5.Пути
формирования
математической
науки.
Появление
математической
теории.
6.Аксиоматическое
построение
геометрии
(математики)
в
эпоху
эллинизма.
Инфинитезимальные методы Древней Греции.
7.Развитие
элементарной
математики.
Математика
народов
Средней
Азии
и Ближнего Востока. Европа.
2) 8-14 недели
1. Математика XVII в. Процесс создания математики переменных величин.
2. Развитие основных частей математики в XVIII в.
3.Начало периода современной математики (XIX в).
4.Развитие аппарата и приложений матем. анализа. Математизация физики. Неевклидова
геометрия.
5.Математика в XX столетии.
6.Математика в России.
7.Математика в Казахстане.
8.История математики на уроках и на внеклассных занятиях.
Тематика письменных работ по курсу
Тематика рефератов.
1.Арифметика Диофанта.
2.Жизнь Пифагора.
3.Мера множества.
3.Геометрия и теория групп.
4.Риманова геометрия.
5.Мини-геометрии.
6.П. Л. Чебышев.
7.Н. Н. Лузин и его школа.
8.Аль-Хорезми.
9.9 Творчество Л. Эйлера.
10.Работы С. В. Ковалевской.
11.Алгебра
групп.
І2.Эварист Галуа.
13.Математика палеолита.
14. Ш. Эрмит и другие.
Каждому студенту необходимо представить решение 15 исторических задач по темам № 1-7
лекционных занятий.
Материалы по индивидуальному заданию №2 ( см. п.9)
Каждому студенту необходимо представить решение 15 исторических задач по темам № 8-14
лекционных занятий.
Тематика рефератов.
1.Арифметика Диофанта.
2.Жизнь Пифагора.
3.Мера множества.
3.Геометрия и теория групп.
4.Риманова геометрия.
5.Мини-геометрии.
6.П. Л. Чебышев.
7.Н. Н. Лузин и его школа.
8.Аль-Хорезми.
9. Творчество Л. Эйлера.
10.Работы С. В. Ковалевской.
11.Алгебра
групп.
І2.Эварист Галуа.
13.Математика палеолита.
14. Ш. Эрмит и другие.
Примеры выполнения реферативной работы:
Министерство образования и науки Республики Казахстан
Западно-Казахстанский государственный университет им. Утемисова
Реферат
Пафнутий Львович Чебышев
(1821 — 1894)
Выполнила: Манахова А.И.
Проверила: Орлова Л.Г.
Уральск – 2007 г.
Пафнутий Львович Чебышев оставил неизгладимый след в истории мировой науки и в
развитии русской культуры.
Многочисленные научные труды почти во всех областях математики и прикладной
механики, труды, глубокие по содержанию и яркие по своеобразию методов исследования,
создали П.Л. Чебышеву славу одного из величайших представителей математической мысли.
Огромное богатство идей разбросано в этих работах, и, несмотря на то, что пятьдесят лет
прошло со дня смерти их творца, они не потеряли ни своей свежести, ни актуальности, и их
дальнейшее развитие продолжается в настоящее время во всех странах земного шара, где
только бьётся пульс творческой математической мысли.
П.Л. Чебышев был доступен для всех, кто хотел научно работать и имел для этого
данные; он щедро делился своими идеями. Благодаря этому он оставил после себя большое
число учеников, ставших впоследствии первоклассными учёными; среди них А.М. Ляпунов и
А.А. Марков, очерки о которых помещены в настоящей книге. От него идут истоки многих
русских математических школ в теории вероятностей, теории чисел, теории приближения
функций, теории механизмов, с успехом продолжающих работу и в наши дни.
Жизнь Пафнутия Львовича Чебышева небогата внешними событиями. Родился он 26
мая 1821 года в сельце Окатове, Боровского уезда, Калужской губернии. Первоначальное
образование и воспитание он получил дома; грамоте его обучала мать Аграфена Ивановна, а
арифметике и французскому языку — двоюродная сестра Сухарева, девушка весьма
образованная и, по-видимому, сыгравшая значительную роль в воспитании будущего
математика. В 1832 г. семейство Чебышевых переехало в Москву для подготовки Пафнутия
Львовича и его старшего брата к поступлению в университет. Шестнадцатилетним юношей он
стал студентом Московского университета и уже через год за математическое сочинение на
тему, предложенную факультетом, был награждён серебряной медалью. С 1840 г.
материальное положение семьи Чебышевых пошатнулось, и Пафнутий Львович был вынужден
жить на собственный заработок. Это обстоятельство наложило отпечаток на его характер,
сделав его расчётливым и бережливым; впоследствии, когда он уже не испытывал недостатка в
средствах, он не соблюдал экономии в их расходовании только при изготовлении моделей
различных приборов и механизмов, идеи которых часто рождались в его голове.
Двадцатилетним юношей П.Л. Чебышев окончил университет, а через два года
опубликовал свою первую научную работу, за которой вскоре последовал ряд других, всё
более и более значительных и быстро привлекших к себе внимание научного мира. Двадцати
пяти лет П.Л. Чебышев защитил в Московском университете диссертацию на степень магистра,
посвящённую теории вероятностей, а ещё через год был приглашён на кафедру Петербургского
университета и переселился в Петербург. Здесь началась его профессорская деятельность,
которой П.Л. Чебышев отдал много сил, и которая продолжалась до достижения им
преклонного возраста, когда он оставил лекции и отдался целиком научной работе,
продолжавшейся буквально до последнего мгновения его жизни. В двадцать восемь лет он
получил в Петербургском университете степень доктора, причём диссертацией служила его
книга «Теория сравнений», которой затем в течение более полустолетия студенты
пользовались как одним из самых глубоких и серьёзных руководств по теории чисел. Академия
наук избрала тридцатидвухлетнего П.Л. Чебышева адъюнктом по кафедре прикладной
математики; через шесть лет он уже стал ординарным академиком. Год спустя он был избран
членом-корреспондентом Парижской Академии наук, а в 1874 г. та же академия избрала его
своим иностранным сочленом.
8 декабря 1894 года утром Пафнутий Львович Чебышев умер, сидя за письменным
столом. Накануне был его приёмный день, и он сообщал ученикам планы своих работ и
наводил их на мысли о темах для самостоятельного творчества.
К
этой
внешней
канве
жизни
П.Л. Чебышева
надо
добавить
оставленную
современниками и учениками характеристику его как педагога и научного воспитателя. Тот
вес, который приобрела в истории математики созданная им научная школа, уже показывает с
максимальной объективностью, независимо от персональных отзывов, что П.Л. Чебышев умел
зажигать научный энтузиазм своих учеников. Основной чертой этой школы, которую принято
называть
петербургской
математической
школой,
было
стремление
тесно
связать
проблематику математики с принципиальными вопросами естествознания и техники. Раз в
неделю у П.Л. Чебышева был приёмный день, когда двери его квартиры были открыты для
каждого, кто хотел о чём-либо посоветоваться по поводу своих исследований. Редко кто
уходил, не обогатившись новыми мыслями и новыми планами. Современники и, в частности,
ученики П.Л. Чебышева говорят о том, что он охотно раскрывал богатство своего идейного
мира не только в беседах с избранными, но и на своих лекциях для широкой аудитории. С этой
целью он иногда прерывал ход изложения, чтобы осветить своим слушателям историю и
методологическое значение того или иного факта или научного положения. Этим
отступлениям он придавал существенное значение. Они бывали довольно длительными.
Приступая к такой беседе, П.Л. Чебышев оставлял мел и доску и усаживался в особое кресло,
стоявшее перед первым рядом слушателей. В остальном ученики характеризуют его как
педантически точного и аккуратного лектора, никогда не пропускавшего, никогда не
опаздывавшего и никогда не задерживавшего аудиторию ни на одну минуту долее
положенного времени. Интересно отметить ещё характерную особенность его лекций: всякой
сложной выкладке он предпосылал разъяснение её цели и хода в самых общих чертах, а затем
проводил её, молча, очень быстро, но настолько подробно, что следить за ним было легко.
На фоне этой размеренной, благополучной, не отмеченной никакими внешними
потрясениями жизни, в тиши спокойного кабинета учёного совершались великие научные
открытия, которым суждено было не только изменить и перестроить лицо русской математики,
но и оказать огромное, в течение ряда поколений неизменно ощущающееся влияние на научное
творчество многих выдающихся учёных и научных школ за рубежом. П.Л. Чебышев не был
одним из тех учёных, которые, облюбовав какую-нибудь одну более или менее узкую ветвь
своей науки, отдают ей всю свою жизнь, сперва создавая её основы, а потом тщательно
дорабатывая и совершенствуя её детали. Он принадлежал к числу тех «кочующих»
математиков, которых знает наука среди своих величайших творцов и которые видят своё
призвание в том, чтобы, переходя от одной научной области к другой, в каждой из них
оставить ряд блестящих основных идей или методов, разработку следствий или деталей
которых они охотно предоставляют своим современникам и грядущим поколениям. Это не
значит, конечно, что такой учёный ежегодно меняет область своих научных интересов и,
опубликовав в выбранной им области одну-две статьи, навсегда её оставляет. Нет, мы знаем,
что П.Л. Чебышев занимался, например, всю жизнь разработкой всё новых и новых задач своей
знаменитой теории приближения функций, что к основным задачам теории вероятностей он
обращался трижды — в начале, в середине и в самом конце своего творческого пути. Но
характерным является то, что таких избранных областей у него было много (теория
интеграции, приближение функций многочленами, теория чисел, теория вероятностей, теория
механизмов и ряд других) и, что в каждой из них его преимущественно привлекало создание
основных, общих методов, расширение круга идей, а не логическое завершение путём
тщательной отделки всех деталей. И почти невозможно указать такую область, где брошенные
им семена не дали бы обильных и мощных всходов. Его идеи подхватывались и
разрабатывались блестящей плеядой учеников, а затем становились достоянием и более
широких научных кругов, в том числе и зарубежных, и везде с успехом вербовали себе
последователей и продолжателей. Были среди этих идей и такие, всё методологическое
значение которых не могло быть в достаточной мере осознано современниками и раскрывалось
во всей полноте лишь в исследованиях последующих поколений учёных.
В качестве другой важнейшей особенности научного творчества П.Л. Чебышева нужно
отметить его неизменный интерес к вопросам практики. Этот интерес был настолько велик,
что, пожалуй, им в значительной мере определяется своеобразие П.Л. Чебышева как учёного.
Без преувеличения можно сказать, что большая часть его лучших математических открытий
навеяна прикладными работами, в частности его исследованиями по теории механизмов.
Наличие этого влияния нередко подчёркивалось самим Чебышевым, как в математических, так
и в прикладных работах, но наиболее полно идея плодотворности связи теории с практикой
была им высказана в статье «Черчение географических карт». Мы не станем пересказывать
мысли великого учёного, а приведём его подлинные слова:
«Сближение теории с практикой даёт самые благотворные результаты, и не одна только
практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием её, она открывает им
новые предметы для исследования, или новые стороны в предметах давно известных. Несмотря
на ту высокую степень развития, до которой доведены науки математические трудами великих
геометров трёх последних столетий, практика явно обнаруживает неполноту их во многих
отношениях; она предлагает вопросы, существенно новые для науки, и таким образом
вызывает на изыскание совершенно новых метод. — Если теория много выигрывает от новых
приложений старой методы или от новых развитий её, то она ещё более приобретает
открытием новых метод, и в этом случае наука находит себе верного руководителя в
практике».
Среди огромного количества задач, которые ставит перед человеком его практическая
деятельность, особенную важность имеет, по мнению П.Л. Чебышева, одна: «как располагать
средствами своими для достижения по возможности большей выгоды?» Именно поэтому
«большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин,
совершенно новым для науки, и только решением этих задач мы можем удовлетворить
требованиям практики, которая везде ищет самого лучшего, самого выгодного».
Приведённая цитата для П.Л. Чебышева являлась программой всей его научной
деятельности, была руководящим принципом его творчества.
Многочисленные
прикладные
работы
П.Л. Чебышева,
носящие
далеко
не
математические названия — «Об одном механизме», «О зубчатых колёсах», «О центробежном
уравнителе», «О построении географических карт», «О кройке платьев» и многие другие,
объединялись одной основной идеей — как располагать наличными средствами для
достижения наибольшей выгоды? Так, в работе «О построении географических карт» он
задаётся целью определить такую проекцию карты данной страны, для которой искажение
масштаба было бы минимальным. В его руках эта задача получила исчерпывающее решение.
Для Европейской России он довёл это решение до численных подсчётов и выяснил, что
наивыгоднейшая проекция будет давать искажение масштаба не более 2%, тогда как принятые
в то время проекции давали искажение не менее 4—5% (Часть очерка, касающаяся работ
П.Л. Чебышева по теории механизмов и отмеченная в начале и конце звёздочками,
принадлежит акад. И.И. Артоболевскому).
* Значительную долю своих усилий он потратил на конструирование (синтез)
шарнирных механизмов и на создание их теории. Особенное внимание он уделял
усовершенствованию параллелограмма Уатта — механизма, служащего для превращения
кругового движения в прямолинейное. Дело заключалось в том, что этот основной для паровых
двигателей и других машин механизм был весьма несовершенен и давал вместо
прямолинейного движения криволинейное. Такая подмена одного движения другим вызывала
вредные сопротивления, портившие и изнашивавшие машину. Семьдесят пять лет прошло со
времени открытия Уатта; сам Уатт, его современники и последующие поколения инженеров
пробовали бороться с этим дефектом, но, идя ощупью, путём проб, существенных результатов
добиться не могли. П.Л. Чебышев взглянул на дело с новой точки зрения и поставил вопрос
так: создать механизмы, в которых криволинейное движение возможно меньше отклонялось
бы от прямолинейного, и определить при этом наивыгоднейшие размеры частей машины. С
помощью специально разработанного им аппарата теории функций, наименее уклоняющихся
от нуля, он показал возможность решения задачи о приближённо-прямолинейном движении с
любой степенью приближения к этому движению.
На основе разработанного им метода он дал ряд новых конструкций приближённонаправляющих механизмов. Некоторые из них до сих пор находят себе практическое
применение в современных приборах.
Но интересы П.Л. Чебышева не ограничивались рассмотрением только теории
приближённо-направляющих механизмов. Он занимался другими задачами, являющимися
актуальными и для современного машиностроения.
Изучая траектории, описываемые отдельными точками звеньев шарнирно-рычажных
механизмов, П.Л. Чебышев останавливается на траекториях, форма которых является
симметричной. Изучая свойства этих симметричных траекторий (шатунных кривых), он
показывает, что эти траектории могут быть использованы для воспроизведения многих важных
для техники форм движения. В частности, он показывает, что можно шарнирными
механизмами воспроизвести вращательное движение с различным направлением вращения
около двух осей, причём указанные механизмы не будут ни параллелограммами, ни
антипараллелограммами, обладающими некоторыми замечательными свойствами. Один из
таких механизмов, получивший в дальнейшем название парадоксального, является до сих пор
предметом удивления всех техников и специалистов. Передаточное отношение между ведущим
и ведомым валами в этом механизме может меняться в зависимости от направления вращения
ведущего вала.
П.Л. Чебышев создал ряд так называемых механизмов с остановками. В этих
механизмах, широко применяемых в современном автоматостроении, ведомое звено совершает
прерывистое движение, причём отношение времени покоя ведомого звена ко времени его
движения должно изменяться в зависимости от технологических задач, поставленных перед
механизмом. П.Л. Чебышев впервые даёт решение задачи о проектировании таких механизмов.
Ему принадлежит приоритет в вопросе создания механизмов «выпрямителей движения»,
которые в самое последнее время получили применение в целом ряде конструкций
современных приборов, и таких передач, как прогрессивные передачи типа Вазанта,
Константинеску и другие.
Используя свои механизмы, П.Л. Чебышев построил знаменитую переступающую
машину (стопоходящую машину), имитирующую своим движением движение животного; он
построил так называемый гребной механизм, который имитирует движение вёсел лодки,
самокатное кресло, дал оригинальную модель сортировальной машины и других механизмов.
До сих пор мы с изумлением наблюдаем за движением этих механизмов и поражаемся богатой
технической интуиции П.Л. Чебышева.
П.Л. Чебышеву принадлежит создание свыше 40 различных механизмов и около 80 их
модификаций. В истории развития науки о машинах нельзя указать ни одного учёного,
творчеству которого принадлежало бы столь значительное количество оригинальных
механизмов.
Но П.Л. Чебышев решал не только задачи синтеза механизмов. Он намного лет раньше
других учёных выводит знаменитую структурную формулу плоских механизмов, которая
только по недоразумению носит название формулы Грюблера — немецкого учёного,
открывшего её на 14 лет позднее Чебышева.
Модель стопоходящей машины П.Л. Чебышева
П.Л. Чебышев,
независимо
от
Робертса,
доказывает
знаменитую
теорему
о
существовании трёхшарнирных четырёхзвенников, описывающих одну и ту же шатунную
кривую, и широко использует эту теорему для целого ряда практических задач.
Научное наследство П.Л. Чебышева в области теории механизмов содержит такое
богатство идей, которое рисует облик великого математика подлинным новатором техники. *
Для истории математики особенно важно то, что конструирование механизмов и
разработка их теории послужили П.Л. Чебышеву исходной точкой для создания нового раздела
математики — теории наилучшего приближения функций многочленами. Здесь П.Л. Чебышев
явился пионером в полном смысле этого слова, совершенно не имея предшественников. Это —
область, где он работал больше, чем в какой-либо другой, находя и решая всё новые и новые
задачи и создав совокупностью своих исследований новую обширную ветвь математического
анализа, продолжающую успешно развиваться и после его смерти. Первоначальная и
простейшая постановка задачи имела началом исследование параллелограмма Уатта и
заключалась в том, чтобы найти многочлен данной степени, который меньше, чем все
остальные многочлены той же степени, уклонялся бы от нуля в некотором заданном
промежутке изменения аргумента. Такие многочлены П.Л. Чебышевым были найдены и
получили название «полиномов Чебышева». Они обладают многими замечательными
свойствами и в настоящее время служат одним из наиболее употребительных орудий
исследования во многих вопросах математики, физики и техники.
Общая постановка задачи П.Л. Чебышева связана с основными проблемами приложения
математических методов к естествознанию и технике. Известно, что понятие функциональной
зависимости между переменными величинами является основным не только в математике, но и
во всех естественных и технических науках. Вопрос о вычислении значений функции для
каждого данного значения аргумента встаёт перед каждым, кто изучает связи между
различными величинами, характеризующими тот или иной процесс, то или иное явление.
Однако непосредственное вычисление значений функций может быть произведено лишь для
очень узкого класса функций много членов и частного двух многочленов. Поэтому уже давно
возникла задача о замене вычисляемой функции близко к ней подходящим многочленом.
Особенный интерес всегда возбуждала задача интерполяции, т. е. нахождение многочлена n-й
степени, принимающего в точности те же значения, что и данная функция при n+1 заданных
значениях аргумента. Формулы, предложенные знаменитыми математиками Ньютоном,
Лагранжем, Гауссом, Бесселем и другими, решают эту задачу, но обладают рядом недостатков.
В частности, оказывается, что добавление одного или нескольких новых значений функции
требует переделки всех вычислений заново, что ещё важнее, увеличение числа n, т. е. числа
совпадающих значений функции и многочлена, не гарантирует неограниченного сближения их
значений при всех значениях аргумента. Более того, оказывается, что существуют такие
функции, для которых при неудачном выборе значений аргумента, при которых значения
функции и многочлена совпадают, может даже получаться удаление многочлена от
приближаемой функции.
П.Л. Чебышев не мог примириться с таким серьёзным недочётом в вопросе, играющем
выдающуюся роль и для теории и для практики, и подошёл к нему со своей точки зрения. В его
постановке задача интерполяции преобразилась так: среди всех многочленов данной степени
найти тот, который даёт наименьшие абсолютные величины разностей значений функции и
многочлена при всех значениях аргумента в заданном интервале его изменения. Эта
постановка была чрезвычайно плодотворной и оказала исключительное влияние на работы
последующих математиков. В настоящее время существует огромная литература, посвящённая
развитию идей П.Л. Чебышева, в то же время расширяется круг задач, в которых методы,
разработанные П.Л. Чебышевым, приносят неоценимую пользу.
Мы остановимся на краткой характеристике достижений П.Л. Чебышева ещё только в
двух областях — теории чисел и теории вероятностей.
Трудно указать другое понятие, столь же тесно связанное с возникновением и развитием
человеческой культуры, как понятие числа. Отнимите у человечества это понятие и
посмотрите, насколько обеднеет от этого наша духовная жизнь и практическая деятельность:
мы потеряем возможность производить расчёты, измерять время, сравнивать расстояния,
подводить итоги результатам труда. Недаром древние греки приписывали легендарному
Прометею, среди прочих его бессмертных деяний, изобретение числа. Важность понятия числа
побуждала виднейших математиков и философов всех времён и народов пытаться проникнуть
в тайны расположения простых чисел. Особенное значение уже в древней Греции получило
исследование простых чисел, т. е. чисел, делящихся без остатка лишь на себя и на единицу. Все
остальные числа являются, следовательно, произведениями простых чисел, и, значит, простые
числа являются теми элементами, из которых образовано каждое целое число. Однако
результаты в этой области получались с величайшим трудом. Древнегреческой математике,
пожалуй, был известен только один общий результат о простых числах, известный теперь под
названием теоремы Евклида. Согласно этой теореме, в ряду целых чисел имеется бесконечное
множество простых. На вопросы же о том, как расположены эти числа, сколь правильно и как
часто, греческая наука не имела ответа. Около двух тысяч лет, прошедших со времени Евклида,
не принесли сдвигов в эти проблемы, хотя ими занимались многие математики и среди них
такие корифеи математической мысли, как Эйлер и Гаусс. Эмпирические подсчёты,
произведённые Лежандром и Гауссом, привели их к выводу, что в пределах известных им
таблиц простых чисел число простых чисел среди всех первых n чисел приблизительно в ln n
раз меньше, чем число n. Это утверждение оставалось чисто эмпирическим фактом,
установленным лишь для чисел в пределах миллиона. Переносить его на большие значения n
не было никаких оснований, путей же для строгого доказательства не было видно. В 40-х годах
прошлого века французский математик Бертран высказал о характере расположения простых
чисел ещё одну гипотезу: между n и 2n, где n—любое целое число, большее единицы,
обязательно находится по меньшей мере одно простое число. Долгое время эта гипотеза
оставалась лишь эмпирическим фактом, для доказательства которого пути совершенно не
чувствовалось.
Разбор научного наследства Эйлера пробудил интересы Чебышева к теории чисел и дал
возможность проявиться здесь силе его математического таланта. Занявшись теорией чисел,
П.Л. Чебышев совершенно элементарными методами установил ошибку в гипотезе ЛежандраГаусса и исправил её.
Вскоре П.Л. Чебышев доказал предложение, из которого постулат Бертрана вытекал
немедленно, как простое следствие, употребив при этом совершенно элементарный и
исключительный по остроумию приём. Это был величайший триумф математической мысли.
Крупнейшие математики того времени говорили, что для получения дальнейших сдвигов в
вопросе распределения простых чисел требуется ум, настолько превосходящий ум Чебышева,
насколько ум Чебышева превосходил
ум обыкновенного человека. Мы не будем
останавливаться на других результатах П.Л. Чебышева в теории чисел; уже сказанное в
достаточной мере показывает, насколько мощен был его гений.
Мы перейдём теперь к тому разделу математической науки, в котором идеи и
достижения П.Л. Чебышева получили решающее значение для всего дальнейшего его развития
и определили на многие десятилетия, вплоть до наших дней, направление наиболее актуальных
в нём исследований. Этот раздел математики называется теорией вероятностей. К теории
вероятностей тянутся нити буквально от всех областей знания. Эта наука занимается
изучением случайных явлений, течение которых нельзя предсказать заранее и осуществление
которых при совершенно одинаковых условиях может протекать совершенно различно, в
зависимости от случая. Два основных закона этой науки — закон больших чисел и центральная
предельная теорема — те два закона, вокруг которых до самого последнего времени
группировались почти все исследования и которые продолжают составлять собою предмет
усилий большого числа специалистов в наши дни. Оба эти закона в их современной трактовке
ведут своё начало от П.Л. Чебышева.
Мы не станем останавливаться на предметном содержании этих законов. Созданный
П.Л. Чебышевым знаменитый элементарный метод позволил ему доказать с изумительной
лёгкостью закон больших чисел в столь широких предположениях, каких не могли осилить
даже несравненно более сложные аналитические методы его предшественников. Для
доказательства центральной предельной теоремы П.Л. Чебышев создал свой метод моментов,
продолжающий играть значительную роль и в современном математическом анализе, но
доказательства до конца он довести не успел; его завершил позднее ученик П.Л. Чебышева
академик А.А. Марков. Пожалуй, ещё более важное значение, чем фактические результаты
Чебышева, для теории вероятностей имеет то обстоятельство, что он возбудил интерес к ней
своих учеников и создал школу своих последователей, а также то, что именно он впервые
придал ей лицо настоящей математической науки. Дело в том, что в эпоху, когда П.Л. Чебышев
начинал своё творчество, теория вероятностей как математическая дисциплина находилась в
младенческом состоянии, не имея собственных достаточно общих задач и методов
исследования. Именно П.Л. Чебышев впервые создал ей недостававший идейный и
методологический стержень и научил своих современников и последователей относиться к ней
с той же суровой требовательностью |в частности, и в отношении логической строгости её
выводов) и той же тщательной и серьёзной внимательностью и заботливостью, как во всякой
другой математической дисциплине. Такое отношение, разделяемое в настоящее время всем
научным миром и даже единственно мыслимое, было для прошлого столетия новым и
необычайным, и зарубежный мир научился ему от русской научной школы, в которой оно со
времени Чебышева стало незыблемой традицией.
Мировая наука знает немного имён учёных, творения которых в различных отраслях их
науки оказали бы такое значительное влияние на ход её развития, как это было с открытиями
П.Л. Чебышева. В частности, подавляющее большинство советских математиков до сих пор
благотворно ощущает на себе влияние П.Л. Чебышева, доходящее до них через посредство
созданных им научных традиций. Все они с глубоким уважением и тёплой признательностью
чтут светлую память своего великого соотечественника.
Главнейшие
труды
П.Л. Чебышева:
Опыт
элементарного
анализа
теории
вероятностей. Сочинение, написанное для получения степени магистра, М., 1845; Теория
сравнений (Докторская диссертация), Спб., 1849 (3 изд., 1901); Сочинения, Спб., 1899 (т. I),
1907 (т. II), приложен биографический очерк, написанный К.А. Поссе. Полное собрание
сочинений, т. I —Теория чисел, М. — Л., 1944; Избранные математические труды (Об
определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины; О простых числах; Об
интегрировании иррациональных дифференциалов; Черчение географических карт; Вопросы о
наименьших величинах, связанные с приближённым представлением функций; О квадратурах;
О предельных величинах интегралов; О приближённых выражениях квадратного корня
переменной через простые дроби; О двух теоремах относительно вероятностей), М. — Л.,
1946.
О
П.Л. Чебышеве:
Ляпунов А.М.,
Пафнутий
Львович
Чебышев,
«Сообщения
Харьковского матем. общества», серия II, 1895, т. IV, №5—6: Стеклов В.А., Теория и
практика в исследованиях Чебышева. Речь, произнесённая на торжественном чествовании
столетия со дня рождения Чебышева Российской Академией наук. Петроград, 1921;
Бернштейн С.Н., О математических работах П.Л. Чебышева, «Природа», Л., 1935, № 2;
Крылов А.Н., Пафнутий Львович Чебышев, Биографический очерк, М. — Л., 1944.
Тестовые задания составлены по темам
1. Предмет истории математики.
2. Формирование начальных математических представлений.
3. Математика Древнего Египта, Древнего Вавилона.
4. Математика Древнего Китая и Индии.
5.Пути
формирования
математической
науки.
Появление
математической
теории.
6.Аксиоматическое
построение
геометрии
(математики)
в
эпоху
эллинизма.
Инфинитезимальные методы Древней Греции.
7.Развитие
элементарной
математики.
Математика
народов
Средней
Азии
и Ближнего Востока. Европа.
8. Математика XVII в. Процесс создания математики переменных величин.
9. Развитие основных частей математики в XVIII в.
10.Начало периода современной математики (XIX в).
11.Развитие аппарата и приложений матем. анализа. Математизация физики. Неевклидова
геометрия.
12.Математика в XX столетии.
13.Математика в России.
14.Математика в Казахстане.
15.История математики на уроках и на внеклассных занятиях.
12. Программное и мультимединое сопровождение учебных занятий
---------------------------------------------------------------------------------------------13. Перечень специализированных аудиторий, кабинетов и лабораторий
Аудитории №212, 214, 309, 206 корпус 1 пр. Достык-Дружба 162