Наименование курса: ОПРЕДЕЛИМОСТЬ И ВЫЧИСЛИМОСТЬ Автор: к. ф.-м. н. А.И. Стукачев 1.1 Цели и задачи курса. Специальный курс «Определимость и вычислимость» доступен для понимания студентов 2–6 курсов механико-математических факультетов университетов. Основной целью данного курса является знакомство студентов с различными подходами к обобщению классической теории вычислимости на случай вычислимости над произвольными алгебраическими системами, с установлением сходств и различий этих подходов, как с классическим случаем, так и между собой. В качестве основного принимается подход, при котором обобщенная вычислимость понимается как Сигмаопределимость в допустимых множествах. Это позволяет изучать различные направления обобщенной вычислимости с применением языка и методов теории множеств и теории моделей. Для достижения поставленной цели выделяются задачи курса: -изучение теоретической части курса; -решение цикла задач и упражнений по курсу; -сдача экзамена. 1.2. Требования к усвоению содержания курса. По окончании изучения указанной дисциплины студент должен Иметь представление о месте и роли изучаемой дисциплины среди других разделов дискретной математики и математической логики. Знать содержание программы курса, формулировки основных результатов и основные методы их доказательства. Уметь применять различные подходы к исследованию свойств вычислимости и определению конструктивной сложности конкретных алгебраических систем, и использовать их при решении типичных задач. 1.4. Формы контроля. Итоговый контроль. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрен экзамен, включающий в себя теоретические вопросы. Текущий контроль. Не предусмотрен. 2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ. 2.1. Новизна и актуальность. Специальный курс «Определимость и вычислимость» является новым по отбору изучаемого материала. Он включает как классические результаты теории вычислимости на допустимых множествах, так и результаты современных исследований по обобщенной вычислимости над алгебраическими системами. Большое внимание уделяется взаимосвязям изучаемых тем с другими направлениями исследований, в частности, с теорией конструктивных моделей. Курс характеризуется математической строгостью изложения. 2.2. Тематический план курса. Наименование разделов и тем 1. Теория KPU и допустимые множества 2. Вычислимость на допустимых множествах 3. Допустимые множества и бесконечные логики 4. Допустимые множества и гиперарифметическая иерархия 5. HF-вычислимость 6. Относительная конструктивизируемость алгебраических систем Итого по курсу: Количество часов Лаборато Самостоя Всего Лекции Семинары рные тельная часов работы работа 6 0 0 0 6 10 0 0 0 10 6 0 0 0 6 12 0 0 6 18 16 18 0 0 0 0 6 8 22 26 68 0 0 20 88 2.3. Содержание отдельных разделов и тем. Раздел 1 Теория KPU и допустимые множества. Дельта_0- формулы и Сигма-формулы. Аксиомы теории KPU и некоторые следствия из них.Модели теории KPU. Допустимые ординалы и допустимые множества (в смысле Барвайса и в смысле Ершова). Допустимые множества вида HF(M). Классическая вычислимость как Сигма-определимость в HF(0). Раздел 2 Вычислимость на допустимых множествах. Рекурсивные определения. Теорема о Сигма-рекурсии. Индуктивные определения. Теорема Ганди. Существование универсального Сигмапредиката, некоторые следствия. Раздел 3 Допустимые множества и бесконечные логики. Бесконечные языки и их интерпретация в допустимых множествах. Допустимые фрагменты языков, их свойства. Теорема Барвайса о компактности. Раздел 4 Допустимые множества и гиперарифметическая иерархия. Конструируемые множества. Рекурсивно насыщенные системы. Допустимые множества вида HYP(M), связь с гиперарифметикой при M=N. Конструктивные ординалы и гиперарифметические множества натуральных чисел, аналитическая иерархия. Теорема Крайзеля о компактности. Раздел 5 HF-вычислимость. Связь между HF-вычислимостью, вычислимостью по Московакису и BSSвычислимостью. Свойства вычислимости на допустимых множествах: принцип униформизации, существование универсальной Сигма-функции, принцип редукции. Пример допустимого множества без универсальной Сигмафункции. Квазирезольвентные допустимые множества, их свойства. HFнадстройки над моделями регулярных теорий. Теорема об униформизации в HF-надстройках над моделями регулярных теорий, следствие для HF(R). Раздел 6 Относительная конструктивизируемость алгебраических систем. Сигма-определимость алгебраических систем в допустимых множествах. Полурешетки Сигма-степеней. Теорема Лакомба-Московакиса. Естественные вложения полурешеток тьюринговых степеней и степеней перечислимости в полурешетки Сигма-степеней. Сигма-определимость несчетных систем в HF(L), теорема Ершова. Приложение для поля C комплексных чисел. Сигмаопределимость несчетных моделей c-простых теорий. Полурешетки степеней представимости счетных систем, связь с полурешетками Сигма-степеней. 2.4. Образцы вопросов для подготовки к экзамену. Вопросы для подготовки к экзамену, по существу, совпадают с пунктами программы курса «Определимость и вычислимость». Ниже приводятся образец экзаменационного билета, содержащий два теоретических вопроса: 1. Аксиомы теории KPU. Принцип Сигма-ограниченности. 2. Сигма-определимость несчетных систем в HF(L): теорема Ершова. 2.5. Список основной и дополнительной литературы. 1. ЮЛ. Ершов, Определимость и вычислимость, Новосибирск, Научная книга, 1996. 2. J. Barwise, Admissible Sets and Structures, Springer, 1975. 3. C.J. Ash, J.F. Knight, Computable Structures and the Hyperarithmetical Hierarchy, Elsevier, 2000.