АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Рассмотрены и утверждены на заседании
кафедры математических и естественнонаучных дисциплин,
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
Зав. кафедрой___________/ Т.Ю.Ходаковская /
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий математических и естественнонаучных дисциплин
__________________ Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1 часть
1. Метод математической индукции. Бином Ньютона. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
2. Множества. Операции над множествами. Их свойства. ОК-1, ОК-10, ПК-6
3. Счетные множества и множества мощности континуум. ОК-1, ОК-10, ПК-6
4. Точные грани числовых множеств. Свойства точных граней. ОК-10, ПК-6
5. Арифметические операции с действительными числами. ОК-10, ОК-12, ПК-6
6. Числовая последовательность. Бесконечно-малые и бесконечно-большие
последовательности. Их свойства. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
7. Предел
последовательности.
Ограниченность
сходящейся
последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. ОК-1, ОК-12,
ПК-6
8. Монотонные последовательности. Сходимость ограниченной монотонной
последовательности. ОК-10, ОК-12, ПК-6
9. Подпоследовательность. Формулировка теоремы Больцано-Вейерштрасса.
Предельная точка. ОК-10, ОК-12, ПК-6
10. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши. ОК-10, ОК-12, ПК-6
11. Гиперболические функции. Их свойства. ОК-10, ОК-12, ПК-6
12. Предел функции по Гейне и по Коши. ОК-10, ОК-12, ПК-6
13. Замечательные пределы. ОК-10, ОК-12, ПК-6
14. Бесконечно-малые функции. О-символика. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
15. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций. ОК-1, ОК10
16. Сложная функция. Ее непрерывность. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
17. Обратная функция. Ее непрерывность. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
18. Свойства функций, непрерывных на отрезке. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
19. Классификация точек разрыва. ОК-1, ОК-10
20. Асимптоты графика функции. ОК-10 ОК-12, ПК-6
21. Производная функции. Ее геометрический смысл. ОК-10, ПК-6
22. Дифференцируемость функции. Дифференциал. ОК-1, ОК-10, ПК-6
23. Дифференцируемость обратной функции. ОК-1, ОК-10, ПК-6
24. Дифференцируемость сложной функции. ОК-1, ОК-10, ПК-6
25. Дифференцируемость параметрически заданных и неявных функций. ПК-6
26. Теорема Ферма. ОК-10, ОК-12, ПК-6
27. Теорема Ролля. ОК-10, ОК-12, ПК-6
28. Теорема Лагранжа. ОК-10, ОК-12, ПК-6
29. Теорема Коши. ОК-10, ОК-12, ПК-6
30. Правило Лопиталя. ОК-10, ОК-12, ПК-6
31. Формула Тейлора. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
32. Формула Маклорена для функций e x , sin( x ) , cos(x) , ln( 1  x) , (1  x) . ОК-1,
ОК-10, ОК-12, ПК-6
33. Монотонность функции. Достаточные условия монотонности. ОК-1, ОК-10
34. Экстремум, необходимое условие, достаточные условия строгого экстремума.
ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
35. Выпуклость графика функции. Достаточное условие выпуклости вверх (вниз).
ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
36. Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Достаточные условия
точки перегиба. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
37. Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства
неопределенного
интеграла. ОК-10, ОК-12, ПК-6
38. Замена переменной в неопределенном интеграле. ОК-1, ОК-10
39. Интегрирование по частям. ОК-10, ОК-12, ПК-6
40. Алгоритм интегрирования рациональных функций. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
41. Интегрирование простейших рациональных дробей. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК6
42. Определенный интеграл.Ограниченность интегрируемой функции.
43. Свойства определенного интеграла. ОК-1, ОК-10 ОК-12, ПК-6
44. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность.
ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
45. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. ОК-1, ОК-10, ОК-12
46. Формула Ньютона-Лейбница. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
47. Мера плоских множеств. ОК-1, ОК-10
48. Площадь криволинейной трапеции. ОК-1, ОК-10, ПК-6
49. Объем тела вращения. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
1
50. Несобственные интегралы 1-го рода. Вычислить
51. Несобственные интегралы 2-го рода. Вычислить

1
p
0x
 1

1
x
p
dx . ОК-10
dx . ОК-10
52. Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная сходимость
несобственных интегралов. ОК-1, ОК-10, ПК-6
2часть
53. Последовательность точек пространства Rn. Предел последовательности.
Теорема о покоординатной сходимости в Rn. ОК-10
54. Предел функции нескольких переменных. ОК-1, ОК-10
55. Частные производные. Дифференцируемость
функции нескольких
переменных. ОК-1, ОК-10
56. Дифференциал. Его геометрический смысл. ОК-1, ОК-10
57. Производные сложной функции. ОК-1, ОК-10
58. Инвариантность формы первого дифференциала. ОК-1, ОК-10
59. Производная по направлению. Градиент. Его свойства. ОК-1, ОК-10
60. Частные производные и дифференциалы высших порядков. ОК-10
61. Формула Тейлора. ОК-1, ОК-10
62. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие
экстремума. ОК-1, ОК-10
63. Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных. ОК-1, ОК10
64. Числовой ряд. Сумма ряда. Исследование ряда, образованного геометрической
прогрессией. ОК-1, ОК-10
65. Гармонический ряд. Необходимое условие сходимости ряда. ОК-1, ОК-10
66.Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. ОК-1, ОК-10
67.Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак
Коши. ОК-1, ОК-10
68.Обобщенный гармонический ряд. ОК-1, ОК-10
69.Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Свойства абсолютно сходящихся
рядов. ОК-1, ОК-10
70.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. ОК-1, ОК-10
71.Числовые ряды с комплексными членами. Необходимое условие сходимости.
Необходимое и достаточное условие сходимости. Абсолютная сходимость. ОК-1,
ОК-10
72.Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля.
Свойства степенных рядов. ОК-10
73.Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно
сходящихся рядов. ОК-1, ОК-10
74.Ряд Тейлора. ОК-1, ОК-10
75.Формулы Эйлера. ОК-1, ОК-10
76.Норма. Нормированное пространство. Сходимость по норме. ОК-10
77.Процесс ортогонализации. ОК-1, ОК-10
78.Ряд Фурье по ортогональной системе. Минимальное свойство частичных сумм
ряда Фурье. ОК-1, ОК-10
79.Неравенство Бесселя. ОК-10
80.Равенство Парсеваля-Стеклова. ОК-1, ОК-10
81.Тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дирихле. ОК-10
82.Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье. ОК-1, ОК-10
83.Разложение функций в ряд Фурье на произвольном отрезке. ОК-10
84.Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и
единственности решения. Уравнения с разделяющимися переменными. ОК-10
85.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. ОК-1, ОК-10
86.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. ОК-1, ОК-10
87.Дифференциальные уравнения второго порядка. Теорема существования и
единственности решения задачи Коши. Краевые условия.
88.Решение уравнений второго порядка вида y ' '  f ( x, y ' ) . ОК-1, ОК-10, ОК-12,
ПК-6
89.Решение уравнений второго порядка вида y ' '  f ( y, y' ) . ОК-1, ОК-10, ОК-12,
ПК-6
90. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура
решения. ОК-1, ОК-10ПК-6
91.Решение линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами. ОК-1, ОК-10
92.Решение неоднородных линейных уравнений второго порядка с правой частью
специального вида. ОК-1, ОК-10
93.Метод вариации постоянных. ОК-1, ОК-10,
6.2 Вопросы для подготовки к зачету.
1. Множество. Числовые множества. Множество действительных чисел. ОК-1, ОК-10,
ОК-12, ПК-6
2. Множество комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексного
числа. Модуль, аргумент. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
3. Действия над комплексными числами. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
4. Тригонометрическая форма комплексного числа. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
5. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа. ОК-1, ОК-10, ОК-12,
ПК-6
6. Формула Муавра. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
7. Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа. ОК-1, ОК-10, ОК12, ПК-6
8. Основная теорема алгебры и разложение на линейные множители многочлена с
комплексными коэффициентами. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
9. Числовая функция. Элементарные функции. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
10. Свойства функции. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
11. Числовая последовательность. Прогрессии. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
12. Предел числовой последовательности. ОК-1, ОК-10, ОК-12, ПК-6
13. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
ОК-12, ПК-6
14. Предел функции в точке. ОК-1, ОК-10, ПК-6
15. Предел функции при неограниченном изменении аргумента. ОК-1, ОК-10, ПК-6
16. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. ОК-1, ОК-10,
ПК-6
17. Основные теоремы о пределах функций. ОК-1, ОК-10, ПК-6
18. Непрерывность функции в точке и на промежутке. ОК-1, ОК-10, ПК-6
19. Основные теоремы о непрерывных функциях в точке и на промежутке. ОК-1, ОК10
20. Производная функции одной переменной. ОК-1, ОК-10, ПК-6
21. Дифференциал функции одной переменной. ОК-1, ОК-10
22. Техника дифференцирования функции одной переменной. ОК-1, ОК-10
23. Связь дифференцируемости функции одной переменной с ее непрерывностью.
ОК-1, ОК-10
24. Применение производной для вычисления пределов функций. Правило
Лопиталя. ОК-1, ОК-10
25. Применение производной для исследования и построения графика функции одной
переменной. ОК-1, ОК-10
26. Производные и дифференциалы функции высших порядков. ОК-1, ОК-10
27. Формула Тейлора: многочлен Тейлора, остаточный член в форме Пеано,
разложение по формуле Маклорена пяти элементарных функций. ОК-1, ОК-10
28. Понятие о степенном ряде и ряде Тейлора. ОК-1, ОК-10
29. Понятие функции n-переменных. Функция двух независимых переменных: область
определения, область значений. ОК-1, ОК-10
30. Геометрическая интерпретация функции двух переменных. Линии уровня. ОК-1,
ОК-10
31. Частные производные. Частные производные высших порядков. ОК-10, ОК-12, ПК6
32. Производная по направлению. Градиент. Экстремум функции двух переменных.
ОК-10, ОК-12, ПК-6
33. Условный экстремум. Метод непосредственной подстановки; метод Лагранжа
поиска условного экстремума. ОК-10, ОК-12, ПК-6
34. Первообразная. Неопределенный интеграл. ОК-10, ОК-12, ПК-6
35. Таблица основных неопределенных интегралов. ОК-10, ОК-12, ПК-6
36. Методы интегрирования: метод разложения. ОК-10, ОК-12, ПК-6
37. Методы интегрирования: метод замены переменной. ОК-10, ОК-12, ПК-6
38. Методы интегрирования: метод интегрирования по частям. ОК-10, ОК-12, ПК-6
39. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. ОК-10, ОК-12, ПК-6
40. Метод разложения для определенных интегралов. ОК-10, ОК-12, ПК-6
41. Метод замены переменной для определенных интегралов. ОК-10, ОК-12, ПК-6
42. Метод интегрирования по частям для определенных интегралов. ОК-10, ОК-12,
ПК-6
43. Геометрические приложения определенного интеграла. ОК-10, ОК-12, ПК-6
44. Интеграл с переменным верхним пределом. ОК-10, ОК-12, ПК-6
45. Несобственные интегралы функции одной переменной. ОК-10, ОК-12, ПК-6
46. Модель Вильсона управления запасами. ОК-10, ОК-12, ПК-6
47. Понятие двойного и тройного интеграла. ОК-10, ОК-12, ПК-6
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий математических и естественнонаучных дисциплин
__________________ Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
48.Множество. Числовые множества. Множество действительных чисел.
49.Множество комплексных чисел. Геометрическая интерпретация
комплексного числа. Модуль, аргумент.
50.Действия над комплексными числами.
51.Тригонометрическая форма комплексного числа.
52.Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
53.Формула Муавра.
54.Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа.
55.Основная теорема алгебры и разложение на линейные множители
многочлена с комплексными коэффициентами.
56.Числовая функция. Элементарные функции.
57.Свойства функции.
58.Числовая последовательность. Прогрессии.
59.Предел числовой последовательности.
60.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их
свойства.
61.Предел функции в точке.
62.Предел функции при неограниченном изменении аргумента.
63.Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
64.Основные теоремы о пределах функций.
65.Непрерывность функции в точке и на промежутке.
66.Основные теоремы о непрерывных функциях в точке и на промежутке.
67.Производная функции одной переменной.
68.Дифференциал функции одной переменной.
69.Техника дифференцирования функции одной переменной.
70.Связь дифференцируемости функции одной переменной с ее
непрерывностью.
71.Применение производной для вычисления пределов функций.
Правило Лопиталя.
72.Применение производной для исследования и построения графика
функции одной переменной.
73.Производные и дифференциалы функции высших порядков.
74.Формула Тейлора: многочлен Тейлора, остаточный член в форме
Пеано, разложение по формуле Маклорена пяти элементарных
функций.
75.Понятие о степенном ряде и ряде Тейлора.
76.Понятие функции n-переменных. Функция двух независимых
переменных: область определения, область значений.
77.Геометрическая интерпретация функции двух переменных. Линии
уровня.
78.Частные производные. Частные производные высших порядков.
79.Производная по направлению. Градиент. Экстремум функции двух
переменных.
80.Условный экстремум. Метод непосредственной подстановки; метод
Лагранжа поиска условного экстремума.
81.Первообразная. Неопределенный интеграл.
82.Таблица основных неопределенных интегралов.
83.Методы интегрирования: метод разложения.
84.Методы интегрирования: метод замены переменной.
85.Методы интегрирования: метод интегрирования по частям.
86.Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
87.Метод разложения для определенных интегралов.
88.Метод замены переменной для определенных интегралов.
89.Метод интегрирования по частям для определенных интегралов.
90.Геометрические приложения определенного интеграла.
91.Интеграл с переменным верхним пределом.
92.Несобственные интегралы функции одной переменной.
93.Модель Вильсона управления запасами.
94.Понятие двойного и тройного интеграла.
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий социально-гуманитарных дисциплин
__________________ С.Ю. Завалишина
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ ДЛЯ
ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ВАРИАНТ 1
1) Найти область определения функции y  ln( 2  x) 
а) (-∞;4);
б) (-2;+∞);
в) [-2;4];
x 2  2x  1
2) Вычислить предел: lim
.
x 1 2 x 2  x  3
1
а) ; б) 2; в) 0; г) 1;
2
г) (-2;4);
1
4x
.
д) [-2;4).
д) -1.
3) f ( x)  x 2  x  1 ; вычислить f (2) .
а) 2;
б)
3
;
2
в)
2
2
;
г) 0;
д) 3 .
4) Точка движется прямолинейно по закону s  t 3  5t 2  4 . Найти значения
скорости
и ускорения в момент времени t  3 .
а) 11м/c, 22м/с2; б) 32м/с, 20м/с2; в) 23м/с, 32м/с2; г) 32м/с, 22м/с2; д) 23м/с,
23м/с2.
5) Вычислить приближённо с помощью дифференциала: y  2 x  cos x , x  0,01
.
а) 1,01; б) 10,01; в) 0,01; г) 1,1; д) 0,11.
6) Найти наибольшее и наименьшее значения функции: y  1  3 x 3  2 x на
отрезке
[0, 2].
а) m=1, M=4; б) m=1, M=2; в) m=0, M=3; г) m=2, M=2; д)
m=1, M=3.
7) Для функции z  x 2  3xy  2 y 2  3 найти z x .
а) 2x-3y-3; б)2x-3y+2y2-3; в)-3x+4y;
г)-3x+4y-3;
8) z  ln( x 2  3 y 2 ) . Найти 2 z x  z y в точке А (1;1).
а) 7,5; б) 10/ln5; в) 8/5; г) 5/2; д) ln5.
д) 2x-3y.
9) Найти интеграл:  e 2 x 1 dx .
а) 2e2x-1+C; б) 2e2x+C;
в) e2x/4x+C;
1
 (x
10) Вычислить определённый интеграл:
2
0
а) 2;
б)
1
;
2
в)
1
;
4
г) 4;
г) (1/2)e2x;
д) (1/2)e2x-1+C.
x
dx .
 1) 2
д) 1.
11) Вычислить площадь области, ограниченной графиками заданных
функций:
y=32-x2 , y=-4x.
а) 288; б) 828; в) 228; г) 222; д) 888.
12) Решить дифференциальное уравнение: ydx  1  x 2 dy  0
а) lnx+arctgy=C; б) ln(1+x2)-1=C; в) lny+arctgx=C; г) lny+arctg(1+x2)=C; д)
lnxy=C.
13) Найти частное решение дифференциального уравнения при заданных
начальных
условиях: y   2 x  1, y(0)  2, y (0)  1 .
x3
x3
x3 x2
x3 x2
 x  2 ; б) y 
 2 ; в) y 

 x  2 ; г) y 

 2 ; д)
3
3
3
2
3
2
y  2x 2  x  2 .
а) y 
14) Вычислить двойной интеграл:
 (2x  y)dxdy; y  x
2
, x  y2 , x  1.
D
а) 10;
б)
1
;
10
в) 1;
г) 0;
д) -1.
15) Указать какие из рядов сходятся:

1)
2
n 1
 

n
2)
1
2
n 1

n
3)

n 1
2 n 1
n 1

4)
 ( 1 )
n 1
n
1
2 n
а) только 1 и 2; б) только 1 и 3; в) все; г) только 2; д) только 2 и
4.

6
.
n 1 n  5n  6
16) Найти сумму ряда: 
а) S=1;
б) S=-1;
2
в) S=2;
г) S=0;
д) S=-2.
n

x  2
17) Найти область сходимости степенного ряда: 
.
n

n 1
а) [-7;11];
б) (-7;11);
в) [-7;11);
n9
г) (-7;11];
д) (7;11).
18) Укажите ряд Фурье для данной функции, заданной на отрезке [-π, π],
  1,    x  0
.
 1, 0  x  
периодической, с периодом T=2π f ( x )  
а)
2
г)
 n   1 
2
n
cos nx ;

2
n
1    1  sin nx ;
б) 
n 1 n
n
n 1



  1    1   sin nx ;


в)
 n cos nx ;
2
n 1
д) нет.
n 1
19) Область определения функции y  x  4 
а) (0;+∞);
б) (-4;0)  (0;+∞);
1
.
x
в) [-4;0)  (0;+∞);
г) (-4;+∞);
д)
[-4;+∞).
20) Вычислить приближенно с помощью дифференциала y  4 x  1 , в точке x
=1,97.
а) 8,92; б) 2,89; в) 9,82; г) 2,98; д) 9,28.
( x  1) n
21) Найти область сходимости степенного ряда: 
.
n
n 1 ( n  1) 2

а) [-2;1); б) (-2;1); в) (0;2); г) [0;2); д) (1;2).
22) Укажите ряд Фурье для данной функции, заданной на отрезке [-π; π],
 2.5,  x  0
.
 2.5,0  x  
периодической с периодом Т=2π: f ( x)  
а)

  1    1   sin nx ;

5
n
б)
n 1
 n   1 
5
n
n 1
г)

2.5
cos nx ;




1


1
sin
nx

;
г)
 n
n

cos nx ;
5
n
n 1
n 1
23) Найти сумму ряда:

n
n 1
а) S=0;
б) S=1;
2
д) нет.
18
.
 3n
в) S=11;
г) S=1,1;
д) S=0,11.
ВАРИАНТ 2
1) Найти область определения функции y  ln( 4  x) 
1
.
x  6x  5
2
а) (-∞;4); б) (4;+∞); в) (-∞;1)  (1;4)  (4;5)  (5;+∞); г) (-∞;1)  (1;4); д) (4;5) 
(5;+∞).
x3  x2  x  1
.
x 3  3x  2
2
в) 0; г) ; д) -1.
3
2) Вычислить предел: xlim
 1
а)
3
;
2
б) 1;
3) f ( x)  3 x 2  x  1 ; вычислить f (1) .
а) 1;
б)
1
;
2
в) 2;
г) 0;
д) -1.
4) Точка движется прямолинейно по закону s  2t 3  t 2  4 . Найти значения
скорости
и ускорения в момент времени t  4 .
а) 50м/c; 100м/с2; б) 50м/с, 104м/с2; в) 104м/с, 50м/с2; г) 5м/с, 10,4м/с2;
д) 10,4м/с, 5м/с2.
5) Вычислить приближённо с помощью дифференциала: y  4 x  3 , x  0,98 .
а) 0,96; б) 0,69; в) 0,99; г) 0,66; д)0,65.
6) Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f ( x)  2 x  33 x 2 на
отрезке
[-1; 1].
а) m=0, M=5;
б) m=-5, M=0;
1
5
в) m=0, M= ;
1
5
г) m=  , M=0;
д)
m=0, M=6.
7) Для функции z  x 2  3xy  2 y 2  3 y  1 найти z x .
а) 2x-3y+1; б) -3x+4y; в) -3x+4y-3; г) -3x+2y-3;
8) z  ln( 2 x  3 y) . Найти z x в точке А(1;2).
а) 1/4; б) 1/8; в) ln8; г) 3/8;
д) 2x-3y.
д) 2/ln8.
9) Найти интеграл:  cos(3x  1)dx .
а) (1/3)sin3x+1+C; б) 3sin(3x+1)+C; в) 3sin3x+C; г) sin(3x+1)+C; д)
(1/3)sin(3x+1)+C.

10) Вычислить определённый интеграл:
4
sin x  cos x
 cos x  sin x 
3
0
1
а)  ;
2
б) 0;
1
в)  ;
4
г) -4;
д)-2.
dx .
11) Вычислить площадь области, ограниченной графиками заданных
функций:
y  3 x, y 
3
, x  4.
x
а) 13-4ln3;
б) 14-3ln4;
в) 1;
г) 0;
д) -1.
12) Решить дифференциальное уравнение: y   tgx  tgy .
а) cosy·sinx=C; б) siny·cosx=C; в) cosy·sinx=tgCx; г) tgy·tg x=C; д)
cosx·tgy=C.
13) Найти общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения:
y   y   0 .
а) C1ex+C2e-x; б) C1+C2e2x; в) C1cosx+C2sinx; г) C1+C2ex; д)
C1+C2e-x.
14) Вычислить двойной интеграл:
 ( x  y)dxdy  c ,
y  2  x2 ,
y  2x  1 .
D
15
а)
;
64
17
б)
;
64
64
в)
;
15
г)
64
;
17
д) 1.
15) Указать какие из рядов сходятся:

1.  3

2. 
n
n 1
n 1
 
1

3. 
n
3
n 1
а) только 1 и 2;
3 n 1
n2

4.  ( 1 )
n 1
б) только 1 и 3;
в) все;
n
1
3 n
г) только 2;
д) только
2 и 4.

3
.
n  6 n  5n  6
1
б) S= ; в) S=2;
4
16) Найти сумму ряда: 
1
2
а) S= ;
2
г) S=1;
17) Найти область сходимости степенного ряда:
д)S=4.


n 1
а) [2;4];
б) (2;4);
в) [2;4);
г) (2;4];
( x  3) 2 n 1
3
n
.
д) (-2;4).
18) Укажите ряд Фурье для данной функции, заданной на отрезке [-π; π],
периодической с периодом Т=2π:
  1.5 ,    x  0
.
f (x)  
1
.
5
,
0

x




а) 
n 1

1    1   sin nx ; б)  1.5   1 
n
3
n
n 1
  1    1   sin nx ;

n
3
sin nx ; в)
3
 n 1    1   cos nx ;

n
г)
n 1
n
д) нет.
n 1
1
19) f(x)= 5 arcsin x  2 arccos x ; вычислить f ( )
2
2
3
а) 3 2 ; б) 2 3 ; в)
; г)
; д) 2 .
3
2
20) Точка движется прямолинейно по закону s  sin
t
4
. Найти значение
скорости и ускорения в момент времени t  1 .
а)
г)
2 2
 2
м/с,
м/с2;
4
8
 2
2 2
2
4
м/с, 
32
2
м/с,  2 м/с2;
3
б)
в)
 2
2 2
м/с, 
м/с2;
8
32
м/с .
21) z  2x  3 y . Найти 2 z x  z y в точке А (2,1).
а) 7/2; б) 1; в) 3; г) 3/2; д) 1/2.
22) Найти интеграл:
dx
 (2 x  1)
3
.
1
1
1
1
 C ; б) 
 C ; в)
 C ; г) 
C;
2
2
4
(2 x  1)
2(2 x  1)
8(2 x  1)
2(2 x  1) 4
1
д) 
C.
4(2 x  1) 2
а) 
23) Найти общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения:
y   3 y   10 y  0 .
а) C1e-3x+C2e-10x; б) C1e5x+C2e-2x; в) C1e3x+C2e2х; г) C1e-5x+C2e-2x; д) C1e5x
+C2е2х.
ВАРИАНТ 3
1) Найти область определения функции: y  x  2 
1
.
( x  4) 2
а) (2;4)  (4;+∞);
 (4;+∞).
б) [2;4)  (4;+∞);
2) Вычислить предел: lim
x 1
а)
1
;
2
б) 2;
в) 1;
б) 1,6;
г) (2;4);
д) [2;4]
x4 1
x4  x3  x 1
г) 0;
д) -1.
3) f(x)= 5 arcsin x  3arccos x ; вычислить f (
а) 16;
в) (2;+∞);
в)
1
;
6
3
).
2
г) 0,16;
д) 0,016.
4) Точка движется прямолинейно по закону S  t . Найти значение скорости
и
ускорения в момент времени t  3 .
а) 0,25м/с, 0,5м/с2; б) 0,25м/с, -0,5м/с2; в) 0,5м/с, 0,25м/с2; г) 0,5м/с, 0,25м/с2;
д) 5м/с, 25м/с2.
5) Вычислить приближенно с помощью дифференциала: y  1  sin x ,
в точке x =0,02.
а) 1,11; б) 1,1; в)1,01; г)0,11; д) 11,1.
6) Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y  x 2 ( x  2) 2 на отрезке [0;2].
а)m=1, M=2; б) m=0, M=1; в) m=1, M=1; г) m=1, M=2; д)
m=1, M=4.
7) Для функции z  e 2 x  3 y 2 найти z x .
2
а) 2 xe2 x ;
2
б) 4 xe2 x
2
3 y 2
;
в) 4xe2 x  6 y 3 y ;
2
2
г) 4x(2x 2  3 y 2 )e 2 x
2
3 y 2 1
;
д)
2 xe2 x  3 y 2 .
8) z  ln( 2 x 2  3 y) . Найти z x  2 z y в точке А(1,1).
2
а) ln5; б) 3/5; в) 10/ln5; г) 2; д) 13/5.
9) Найти интеграл:  e 3 x  2 dx .
а) -3e-3x+2+C; б) (-1/3)e-3x+2+C; в) e-3x+2+C; г) (-3x+2)e-3x+1+C;
3e-3x+C.
10) Вычислить определенный интеграл:
а)
56
;
5
б)
5
;
56
в)
65
;
56
г)
д) -
x3  1
0 ( x 4  4 x  2) 2 dx .
1
56
;
65
д)1.
11) Вычислить площадь области, ограниченной графиками функций: x  5  y 2
,
x  4 y .
а)6; б) 63; в) 3; г) 36; д) 9.
12) Решить дифференциальное уравнение: y   2e x  cos x .
а) e x (cos x  sin x)  C ; б) e x (cos x  sin 2 x)  C ; в) cos x  sin x  C ; г)
cos 2 x  sin x  e x C ;
д) sin 2  cos x  C .
13) Найти общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения:
y   3 y   4 y  0 .
а) C1+C2e7x; б) C1e-x+C2e4x; в) C1ex+C2e4x; г) C1ex+C2e-4x; д) C1ex
+C2e-4x.
14) Вычислить двойной интеграл:
а) 8;
б)
 y ln xdxdy ,
y
D
5( 2 ln 2  1)
;
8
в)
5( 2 ln 2  1)
;
5
1
,
x
г) 2;
x , x  2.
y
д) 5.
15) Указать какие из рядов сходятся:

1.  4
2.   

n
1
n 1
n 1

3. 
n
4
n 1
а) только 1 и 2;
4 n 1
n3

4.  ( 1 )
n
n 1
б) только 1 и 3;
в) все;
1
4 n
г) только 2;
д) только
2 и 4.
16) Найти сумму ряда:

 4n
n 1
а) S=0;
б) S=1;
4
2
1
.
в) S=4;
г) S=2;
д) S=-1.
17) Найти область сходимости степенного ряда:
( x  5) 2 n
.

4n
n 1

а) (-7;-3); б) [-7;-3); в) (-7;-3]; г) [-7;-3]; д) (7;3).
18) Укажите ряд Фурье для данной функции, заданной на отрезке [-π; π],
  2,   x  0
.
 2,0  x  
периодической с периодом Т=2π: f ( x )  

а) 
n 1

2
n

1
4
  1    1   cos nx ;

n
sin nx ;

б)
n
n 1


в)

4
4
n
 n 1    1  cos nx ; г)  n 1    1  n sin nx ;
n 1
n 1
д) нет.
19) Найти наибольшее и наименьшее значения функции y  2  12 x 2  8x 3 на
отрезке
[-2;0]
а)m=18, M=20; б) m=-2, M=18; в) m=0, M=8; г) m=-2, M=8; д)
m=1, M=8.
20) Для функции z  x 2  3xy  3 y  31 найти z x .
а) 2х-3у; б) 2х-3у+1; в) 2х-3у-1; г) -3;
д) -3х-3.
21) Вычислить определенный интеграл:

4
2tgx
dx
2
x
 cos
0
а) 1; б) 0; в) 2; г) –1; д) -2.
22) Вычислить площадь области, ограниченной графиками функций:
y  sin x , y  cos x x  0( x  0) .
а) 1 2 ; б) 2 ; в) 2  1 ; г) 1; д) 2.
23) Вычислить двойной интеграл:  ( x 2  y)dxdy , y  x 2 , y  x .
D
33
а)
;
140
140
б)
;
33
133
в)
;
40
г)
40
;
133
д) 1.