ГОУ СОШ №887 Исследователь: Костуров Георгий Александрович, 10Б класс Руководители проекта: Ермишина Надежда Федоровна, учитель математики, Жилин Сергей Анатольевич, учитель информатики Роль компьютерного эксперимента в исследовании динамических систем на комплексной плоскости. 1. Предмет и цели исследования Идея настоящей работы возникла следующим образом. Понятия «эксперимент» и «математика» обычно не используют рядом. Математика изучает не явления природы, а логические построения. Но существуют математические задачи и объекты, где экспериментальные работы не только применяются, но являются очень полезным инструментом научного исследования. Эксперименты в математике являются не испытанием природы, а испытанием гипотез в условиях логики. Под экспериментальной математикой можно понимать те математические исследования, которые стали доступны при использовании вычислительной техники, методы математики, в которых используются элементы машинных вычислений. Экспериментальная математика – это получение математических суждений с помощью компьютерной техники и технологии. Понятно, что использование машинных вычислений имеет смысл только там, где ручной счет приводит к очень большим затратам времени. Т.е. там, где математика сталкивается с изучением объектов очень сложной структуры и с очень сложными моделями поведения. Одна из таких областей математики – это динамика чисел на комплексной плоскости (комплексная динамика). Исследования в этой области привели к открытию очень сложных математических объектов, которые обычно называют алгебраическими или динамическими фракталами (фрактальными множествами). 2 2. Задачи исследования 1. Изучить возможности экспериментальных исследований математических объектов со сложной моделью поведения с помощью компьютерной технологии. Для примера объекта использовать точечные множества на комплексной плоскости, которые расположены за границей множества Мандельброта. 2. Изучить динамические свойства чисел на комплексной плоскости – формы распределения количества чисел по скоростям «убегания» в бесконечность, зависимость скорости «убегания» от степени преобразования и расстояния от начала координат, возможность существования нижнего предела для скорости «убегания». 3. Методы и средства исследования Основным методом исследования выбирается метод вычислительного эксперимента. Для проведения исследования необходимо разработать программные средства. Программные средства проекта должны обеспечивать создание графической визуальной модели множества Мандельброта и множеств, которые порождаются преобразованием вида z→zn+c. Так же должны определяться границы множеств точек на комплексной плоскости, которые находятся за границей множества Мандельброта и имеют одинаковую скорость «убегания» в бесконечность – одинаковое количество итераций до пересечения окружности R=2. Для изучения динамических свойств комплексных чисел были разработаны программные средства (язык и среда программирования – Delphi). С помощью программы были построены модели точечных множеств на комплексной плоскости для различных степеней функции преобразования и проведена экспериментальная работа из трех частей. 4. Эксперимент 1. Цель эксперимента: Исследовать свойства распределения количества точек комплексной плоскости по скоростям убегания в бесконечность. Исследовать характер поведения границ между множествами точек с различными скоростями убегания. 3 Результаты эксперимента 1. 1) Изучение графических моделей и числовых данных показало, что за пределами множества Мандельброта наблюдается обратная зависимость между количеством итераций цикла и количеством точек, которые выходят за границу окружности R=2 после данного количества итераций. Чем ближе к множеству Мандельброта, тем больше падает количество точек, уходящих в бесконечность с данной скоростью. 2) Границы между множествами точек с различными скоростями убегания явно не являются фрактальными. При этом «гладкость» линий увеличивается по мере удаления множества от множества Мандельброта. С возрастанием степени функции фигура множества стремится к форме круга с фрактальной гранью. 5. Эксперимент 2. Цель эксперимента: Исследовать зависимость скорости убегания точки от степени функции преобразования и расстояния от начала координат. Результаты эксперимента 2. 1) В зависимости от степени функции меняется «насыщенность» скоростей. Чем больше степень, тем больше «насыщенность» на первых скоростях и тем меньше на высоких скоростях. Например у функции 2 степени в промежутке от 500 до 1000 количество точек ≈ 50, а у 10 степени ≈ 10. 2) С возрастанием степени увеличивается количество точек «убегающих» на 1 скорости и уменьшается количество остальных точек. 3) Чем ближе к границе множества Мандельброта, тем больше нужно операций для ухода в бесконечность. 6. Эксперимент 3. Цель эксперимента: Исследовать вопрос о существовании наименьшей скорости убегания точки, т.е. наибольшего количества итераций, после достижения которого любая точка будет принадлежать множеству Мандельброта. Результаты эксперимента 3. 4 Точно говорить о существовании или отсутствии минимальной скорости убегания невозможно. При этом очевидно, что количество точек, убегающих с малыми скоростями уменьшается и при определенных значениях скорости становится равным нулю на всем интервале значений, которые используются для наблюдения. Например, при количестве наблюдаемых итераций до 250000 и степени функции 1000 не наблюдается ни одной точки, которая уходит в бесконечность после 388 итераций цикла. Интересно, что эта «критическая» скорость монотонно уменьшается для всех степеней функции от 2 до 9, потом увеличивается до 10140 для десятой степени, после чего снова монотонно уменьшается.