Многогранники - Математика на 10

Многогранники
Геометрическим телом называется ограниченная
пространстве, обладающая следующими свойствами:
фигура
в
1. У нее есть внутренние точки, и любые две из них можно соединить
ломаной, каждая точка которой является внутренней точкой фигуры;
2. Фигура содержит свою границу, и ее границы совпадает с границей ее
внутренности.
Граница тела называется его поверхностью.
Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число
треугольных пирамид.
Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого
состоит из конечного числа многоугольников, любые два смежные из которых
не лежат в одной плоскости.
Многоугольники, образующие границу многогранника называются
гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многогранника.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну
сторону от каждой из плоскостей, содержащих его грани.
Грани выпуклого многогранника – выпуклые многоугольники.
Теорема. Сумма плоских углов выпуклого многогранника при одной
вершине меньше 360°.
Доказательство. Проведем плоскость, пересекающую все
выпуклого многогранного угла в некоторых точках А1, А2, А3, …, Аn.
ребра
Многоугольник Р с вершинами А1, А2, А3, …, Аn является выпуклым (это
следует из выпуклости данного многогранного угла).
Рассмотрим многогранный угол с вершиной S и трехгранные углы с
вершинами А1, А2, А3, …, Аn.
Сумма всех их плоских углов состоит из суммы углов многоугольника Р,
которая равна 180°n-360°, и суммы углов n треугольников SA1A2, SA2A3, …,
SAnA1, равной 180°n. Значит, сумма всех плоских углов равна 2·180°n-360°.
У каждого трехгранного угла с вершиной Аk (k=1, 2, …, n) угол,
принадлежащий многоугольнику Р, меньше суммы двух других углов.
Следовательно, сумма всех плоских углов больше (180°n-360°)2+φ, где φ
– сумма плоских углов при вершине S, т.е. (180°n-360°)2+φ<2·180°n-360°.
Отсюда следует, что φ<360°.
Теорема доказана.
Великий математик Леонард Эйлер доказал, что число вершин выпуклого
многогранника минус число ребер плюс число граней равно двум.
Многогранник называется невыпуклым, если существует такая грань, что
многогранник оказывается по обе стороны от плоскости, содержащей эту грань.