Разбиения многоугольников Введение

Разбиения многоугольников
1.
2.
3.
4.
Введение
Предварительные определения и факты
Основные результаты
Литература
Введение
Хорошо известно, что разбиения многоугольника на треугольники и многогранника на
тетраэдры служат основой при построении теории площади и объема (см. [3]). Кроме
того, специального вида разбиения (триангуляции) являются удобным инструментом в
доказательстве существования неподвижных и почти неподвижных точек у непрерывных
отображений полиэдров (см. [5]). Поэтому возможность такого рода разбиений требует
строгого доказательства. Существует несколько различных вариантов решения этой
проблемы. Один из них (см. [2]), использующий математическую индукцию, основан на
поиске разбивающей диагонали в многоугольнике. Согласно другому известному способу
доказательства необходимо провести все прямые, содержащие стороны многоугольника, и
рассмотреть всевозможные пересечения полученных полуплоскостей. Останется разбить
на треугольники только те пересечения, которые содержаться в данном многоугольнике.
В статье рассмотрен класс плоских фигур, обобщающих понятие многоугольника, и
доказано существование триангуляции произвольного элемента этого класса. Основой
доказательства являются простейшие топологические факты, что дает возможность
пытливому читателю легко распространить наши рассуждения на случай более высоких
размерностей.
Первую часть статьи следует считать подготовительной, поэтому читатель, знакомый
со свойствами выпуклых множеств, а также с первоначальными понятиями топологии
плоскости, может сразу перейти к основным результатам.
Предварительные определения и факты
Фигура  называется выпуклой , если для каждой пары точек A,B   следует, что
отрезок [AB] содержится в .
Упражнение 1. Доказать, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым
множеством.
Расстояние между точками A и B будем обозначать через AB. Тогда для любого
положительного  будем называть -окрестностью произвольной точки A плоскости 
следующее множество: O(A) = {X  : AX < }.
Точка A называется внутренней точкой фигуры , если существует хотя бы одна окрестность точки A, которая содержится в этом множестве. Множество всех внутренних
точек фигуры  обозначается через Int . Точка A называется граничной точкой фигуры
, если для любой ее -окрестности выполняется одновременно O(A)   и
O(A)(\)  . Множество всех граничных точек фигуры  обозначается через
Bound . Если каждая точка множества V является его внутренней точкой (т. е. V = Int V),
то V называется открытым множеством. Множество F, содержащее все свои граничные
точки (т. е. Bound F  F), называется замкнутым множеством.
Упражнение 2. Доказать, что дополнение до открытого множества является
замкнутым множеством и наоборот.
Множество называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух
своих непустых открытых подмножеств. Связное открытое множество на плоскости
называется областью. Следующее утверждение позволяет ввести определение
многоугольника: простая замкнутая ломаная1 разбивает плоскость на две области, в
точности одна их которых является ограниченным множеством2 (доказательство можно
найти в [1]). Многоугольником будем называть объединение простой замкнутой ломаной с
ее внутренней областью. Сложность последнего определения вынуждает рассматривать
другой класс, состоящий из всех многоугольных фигур. При этом многоугольной фигурой
называется конечное объединение треугольников.
Упражнение 3. Доказать замкнутость и ограниченность3 всякого многоугольника и
любой многоугольной фигуры.
Следующее понятие сыграет главную роль в доказательстве основной теоремы.
Множество F называется компактным, если из любого семейства открытых множеств V =
{Gi: i  I}, объединение которых содержит F, можно выделить конечное число членов
{Gi1,Gi2,...,Gin}, объединение которых также будет содержать множество F. Такое
семейство {Gi: i  I} мы будем называть открытым покрытием множества F, а
подходящую часть этого семейства, т. е. множество {Gi1,Gi2,...,Gin}, конечным
подпокрытием V множества F. Очевидно, что любое конечное множество является
компактным. Следующие два упражнения позволяют описать все компактные
подмножества плоскости (доказательства этих утверждений можно найти в [4]).
Упражнение 4. Доказать, что прямоугольник является компактным множеством.
Упражнение 5. Доказать, что замкнутое подмножество компактного множества
компактно.
Следствием последних трех упражнений является компактность любого
многоугольника и любой многоугольной фигуры, поскольку каждое из этих множеств
замкнуто и содержится в некотором прямоугольнике. Более того, всякое ограниченное
замкнутое подмножество плоскости компактно. Заметим, что обратное к последнему
утверждению также справедливо, и это дает критерий компактности плоских множеств.
Основные результаты
Объединение отрезков4 x = {[AiBi]:i  I} будем называть цепью (а сами отрезки звеньями этой цепи), если различные ее звенья могут пересекаться только по своим
вершинам, и каждая вершина любого звена является вершиной другого и только одного
звена. Заметим, что цепь может состоять из бесконечного числа звеньев, а также может
распадаться на несколько непересекающихся своих связных подцепей. Для любой точки A
цепи x через x(A) обозначим объединение звеньев цепи x, содержащих точку A (x(A)
состоит из одного или из двух звеньев). Напомним, что расстоянием от точки A до
некоторого множества  называют число d(A,) = inf{AX:X  }.
Определение. Цепь x назовем k-цепью, если для любой точки A цепи x выполнено:
d(A,x\x(A)) > 0.
Другими словами, произвольную точку A k-цепи нельзя приблизить точками,
лежащими на других звеньях этой цепи. Очевидно, что всякая простая замкнутая ломаная
является k-цепью.
Упражнение 6. Привести пример k-цепи, не являющейся простой замкнутой ломаной.
Привести пример цепи, не являющейся k-цепью.
Определение. Фигуру M назовем k-множеством, если
1) M является компактным множеством;
2) Bound M - k-цепь;
3) для каждой -окрестности любой точки A
O(A) Int M  .

Bound M
выполняется
Легко заметить, что любой многоугольник и каждая многоугольная фигура являются
k-множествами.
Лемма. Любое k-множество M можно представить в виде объединения конечного
числа треугольников.
Доказательство. Сразу заметим, что это утверждение очевидно, если M является
выпуклым многоугольником (достаточно соединить произвольную внутреннюю точку M с
его вершинами). Кроме того, легко разбивается на треугольники многоугольник M =
[ABC\XOY],
где ABC - правильный треугольник с центром O и [] обозначает замыкание множества
, т. е. [] =  Bound . Эти два типа многоугольников помогут нам при рассмотрении
произвольного случая.
Пусть M - произвольное k-множество с множеством вершин V , и границей x. Для
каждой точки A  x обозначим через (A) расстояние d(A,x\x(A)) (из определения kмножества следует, что (A) > 0). По определению (A), из условия 0 <  < (A) следует,
что -окрестность точки A не пересекает те звенья x, которым не принадлежит точка A.
Теперь рассмотрим два случая.
Первый случай. Для произвольной точки A  Int M выберем O(A) так, что O(A)  M.
Определим через T(A) некоторый правильный треугольник с центром в A, целиком
лежащий в O(A).
Второй случай. Если B  x, то T(B) - некоторый правильный треугольник с центром в
B, целиком лежащий в O(B), где 0 <  < (B).
Заметим, что X  Int T(X) для любого X  M, поэтому семейство { Int T(X): X  M}
образует открытое покрытие M. Поскольку M компактно, существует конечное число
треугольников
{T(X1),...,T(Xl)},
покрывающих
M.
Отсюда
M = j = 1j = l(T(Xj)M). Осталось заметить, что для любого X  M пересечение
T(X)M относится к многоугольникам первых двух типов, рассмотренных в самом начале
доказательства, и допускает разбиение на треугольники. Лемма доказана.
Договоримся семейство {M1,..., Mn} называть разбиением множества M, если M = i = 1i
= n
Mi и, кроме того, различные элементы этого семейства не имеют общих внутренних
точек (т. е. Int Mi Int Mj =  при i  j). При этом разбиение называется триангуляцией,
если оно состоит из треугольников и любые два различных элемента разбиения могут
иметь общими лишь сторону или вершину. Все треугольники считаются
невырожденными.
Теорема Для любого k-множества M существует его триангуляция.
Доказательство. Из леммы для произвольного k-множества M найдем конечное
множество треугольников {i: i  n} такое, что M = i = 1i = n i. Для любого треугольника
i существует такая система M i, что
1) M i состоит из треугольников,
2) i  M i,
3) M  M i, различные треугольники из M i не имеют общих внутренних точек.
На рисунке показано, как с помощью шести треугольников можно дополнить i до
подходящей системы M i. Договоримся называть треугольник i корнем системы M i.
Теперь будем рассматривать все такие непустые пересечения  = 1...n (i  M i),
что среди {1,2,... n} есть хотя бы один корень (такие пересечения назовем корневыми).
Важно заметить, что если два корневых пересечения  = 1...n и F = F1...Fn
различны, то они не имеют общих внутренних точек (из свойства 4 системы M i). Кроме
того, каждое такое множество  содержится в M (см. свойство 2) и является выпуклым
многоугольником (здесь используется 1 и упражнение 1). В результате получим разбиение
K = {K1,..., Kl} множества M, состоящее из выпуклых многоугольников. Соединив теперь
некоторую внутреннюю точку многоугольника Ki со всеми вершинами элементов K ,
попавшими на границу Ki, получим некоторую триангуляцию многоугольника Ki.
Нетрудно заметить, что объединение таких триангуляций даст триангуляцию всего
множества M. Теорема доказана.
Из теоремы можно вывести несколько следствий.
Следствие 1. Любую многоугольную фигуру и каждый многоугольник можно
триангулировать.
Следствие 2. Класс k-множеств совпадает с классом многоугольных фигур.
Ссылки:
Ломаная x = l = 1l = n[AlAl+1] называется замкнутой, если A1 = An+1, и простой, если ее
несмежные звенья не пересекаются.
2
Это множество называется внутренней областью ломаной
3
Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором круге.
4
Все отрезки считаются нетривиальными, т.е. Ai  Bi для всех i  I.
1