УДК 531/534 : 530 : 512.8

ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2002, вип. 2
УДК 531/534 : 530 : 512.8
ФИЗИКА И ГИПЕРКОМПЛЕКСНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
С.В. Терехов
Донецкий национальный технический университет
Введение
Из теории комплексных функций известно, что функция
f ( z )  u ( x, y)  i v ( x , y ) ( z  x  i y ; u ( x, y ), v ( x, y )  вещественные функции действитель-
ных аргументов x и y , i 2  1 ) будет аналитической [1, 2], регулярной, голоморфной [3] в некоторой
области D, если она удовлетворяет условиям Коши-Римана:
u v

;
x y
u
v

.
y
x
(1)
Введем в рассмотрение комплексный оператор  


и подействуем им на комплексную
i
x y
функцию f ( z ) , получим
 f (z) 
f (z)
( 
u v  u v 
.

i

 x  y   y  x 
(2)
В силу условий (1) аналитическая функция f ( z ) удовлетворяет уравнению  f ( z )  0 . Функция
называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа  f  0
2

 x2
2
-оператор Лапласа). В силу того, что оператор Лапласа  можно представить в виде
 y2
     (  


- комплексно-сопряженный оператор к оператору  ), то гармоническая
i
x
y
функция удовлетворяет уравнению    f  0 .
Развитие теории комплексных чисел привело Гамильтона к открытию гиперкомплексных чисел


(кватернионов, см., например, [4]). Гиперкомплексные числа A  A  A ( A  i A  jA  k A
o
1
2
3 ),
A p ( p  0, 1, 2, 3) -реальные числа, i 2  j 2  k 2  i j k  1 , i j   j i  k , j k  kj  i, k i   i k  j )
удовлетворяют всем арифметическим действиям. Особый интерес представляет произведение мнимых
частей кватернионов, изучение которого привело к развитию векторной алгебры:





A B   A  B  [ A  B ],
где
 
A  B  A 1 B 1  A2 B2  A3 B3
 A1 B3 )  k ( A1 B2  A2 B 1)

-
- скалярное, а
векторное
(3)
 
[ A  B ]  i ( A2 B3  A3 B2 )  j ( A3 B1 
произведения
мнимых
частей
кватернионов

A  ( A1 ; A2 ; A3 ) и B  ( B 1 ; B2 ; B3 ) . Исходя из изложенного можно предложить иную форму за-
©Терехов С.В.
287
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2002, вип. 2

писи кватерниона:
A  A  i A , причем перемножение векторных частей указанной гиперкомплексной
o
структуры будет осуществляться с учетом (3) по правилу



 
A B  A  B  i [ A  B ].
(4)
Для получения условий, аналогичных соотношениям Коши-Римана и определяющих регулярность





f ( ,  )  u ( ,  )  i v ( ,  ) в некоторой области D , подействуем оператором
функции


i
на данную функцию




 


  u  v    
u  v
f 

i


 v  .

   


  
 



(5)


 

, div v 
Вводя обозначения grad u   u 
и rot v 
 v (операции градиента
 



  



( grad ), дивергенции ( div ) и ротора ( rot ) стандартно определены в векторной алгебре [5]) и учитывая
уравнение  f  0 , получим условия регулярности функции f в области D :
u

u
 div v ,


v

 


 v
grad u  
 rot v .
 



(6)
Физические квазикватернионы. Известно [6,7], что в теории поля время   c t ( c - скорость
света, t - время) является выделенной, но равноправной координатой, как и пространственные координа
ты r  ( x; y; z ) . Положение точки в гиперпространстве будем характеризовать с помощью 4кватерниона (квазикватерниона)

R     r .
(7)
Равноправность координаты  учтем посредством равенства  2   2  1 , а выделенность:

   . Комплексно-сопряженные к (7) величины по времени (индекс  ) и пространству (индекс r )
равны соответственно:

R       r


      r.
и R
(8)
r
Произведения величин (8) на величину (7) дает времениподобный
s 2  2  r 2
(r 2  x 2  y 2  z 2 )
(9)
и пространственноподобный
s 2 r 2   2
(10)
интервалы между событиями в 4-пространстве. Изменение положения точки в 4-пространстве определя
ется дифференциалом dR   d   d r , следовательно, изменение интервалов (9) и (10) равны
d s2  d  2  d r 2

288
и
d s  d r 2  d  2 .
r
(11)
Терехов С.В.
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2002, вип. 2
В дальнейшем будем рассматривать только ту область гиперпространства, для которой интервал
между событиями носит времениподобный характер, игнорируя области с пространственноподобным
интервалом между событиями. Отметим, что эти области разделены поверхностью, для которой
d s 2  0 и по которой движутся частицы со скоростью V  1 ( в единицах скорости света).
Скорость движения точки вдоль времениподобной мировой линии определим формулой


c dR
d
dr
U



ds
ds
ds
c
 V 2
1  
c

V
 V 2
1  
c
  U   U,

r
(12)
так как величина, определяемая формулой (9), является естественным параметром в 4-пространстве. Из

формулы (12) видно, что U
 
c
является временной, а U  
 V 2
1  
c
r
V
- простран-
 V 2
1  
c

  c и U   V . Находя
ственной составляющими 4-скорости. При V  c эти величины равны U
r
произведение U  на U , получаем
U  U  c2.
(13)
Ускорение точки на мировой линии определим формулой


cdU

ds
a
V

c
  V  2 3
1    
 c 


которое при V  c принимает вид   

VV
 2 
 a

 
c2 ,
  V  2 3
1    
 c 


V
a 1  
 c

(14)

aV
 a.
c
sс
Если скорость света постоянна в некоторой области D , то дифференцируя (12) по параметру
учетом определения (14), получаем
 U  U    0,
(15)
 
откуда следует, что в выбранной области D : a  V  a V , что свидетельствует о коллинеарности и со

направленности векторов a и V .
Пусть точка имеет массу покоя m , тогда в движении ее импульс равен
o

m oc
  moU  
Терехов С.В.
mo V

V
1 
c
2



V
1 
c
2


  p,
c
(16)


289
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2002, вип. 2
mo
,   m c2 ,
где введены обозначения m 
 V 2
1  
c
  2
       p 2  m c 2 ,
c
(


p  m V . Используя (16) и (12), получим
p 2  p 2  p 2  p 2 ).
x
y
z
(17)
Сила, действующая на материальную точку, определяется формулой
 V
 1  
 c

F  mo   

V

 V 2 c
1  
c


VV
 2 
 
 
c2   F   F ,


 V 2
r
1  
c

(18)

где   m a, a 2  a 2  a 2  a 2 ,   m a . Исходя из определений (16) и (18), имеем
x
y
z
cd 
 F.
ds
(19)
Из (19) следует, что для соответствующих компонент получаем
d
 F
ds

cd p
 F .
ds
r
и
(20)

Отсюда следует, что при отсутствии ускорения энергия  и импульс p при движении вдоль времениподобной мировой линии сохраняются.
Гиперфункции и физические законы. Выясним условия регулярности гиперкомплексной функ
ции
 



f ( , r )    ( , r )    ( , r ) в некоторой области D , для чего подействуем оператором



на эту функцию и воспользуемся уравнением  f  0 , тогда получим


r


 div   0,

(21)


 grad  0,

(22)

rot   0.
(23)
Преобразуем (21) к виду
или
290
 
  
 V
 V


 div     div     

 c
 c





(24)


 div J   ,



(25)
Терехов С.В.
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2002, вип. 2





V
где введены обозначения J   
- поток величины  (  , r ) ,   div ( J    ) - производство

c
величины  в области D за счет наличия “стоков” и “источников” (см., например, [8, c.20]). Если
   0 , то величина  сохраняется. Таким образом, уравнение (21) определяет в общем случае уравнение баланса величины  , а в частном случае   0 - дифференциальный закон сохранения временной

составляющей гиперфункции.
Следующее уравнение (22) путем преобразования


  

  V

V

  grad    grad   grad 
  c

c





(26)
сводится к виду
 


d  V
  grad   grad .
d  c



(27)


Формула (27) определяет закон изменения векторной функции  ( , r ) , то есть закон движения

величины, описываемой этой функцией. Из формулы (23) следует, что векторное поле

потенциальным (безвихревым [5, c.172], следовательно,



должно быть

 ( , r )   grad  ( , r ) , где  ( , r )
- по-

тенциал векторного поля  ).

Если нарушается хотя бы одно из условий (21)-(23) (например, rot   0 ), то в области D гиперфункция

f ( , r )
не будет регулярной, но может быть гармонической. Вводя обозначения


 
 




 div , D  rot  и B 

на
 grad  , подействуем оператором    




r
функцию  f , получим



D
rot B 
,


div B  


(28)

B
rot D  
 grad ,



,

div D  0,
(29)

причем функции  ( , r ) и  ( , r ) удовлетворяют уравнению Даламбера
   0,
где  
2

   0,
(30)
  - оператор Даламбера.
 2
Терехов С.В.
291
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2002, вип. 2

Если
f ( , r )
функция
нерегулярная,
а
функция


q(  , r )   f (  , r )
является
ги-
пераналитической в некоторой области D , то уравнение  q  0 приводит к уравнениям типа (28), (29),
но отличающиеся от них уравнениями




D
rot B  
,

B
rot D  
 grad .

(31)

q ( , r ) не будет регулярной в области D , но в то же время будет гармонической в
Если функция
этой области,

( Q   div D,

то,
действуя оператором


G
 div B ,


на функцию


B
L   rot D 
 grad ,



M
rot L  
 grad Q,

div L 

L
rot M 
 grad G,








D
M
 rot B ), получаем

G
,


div M  

 q( , r )  Q   G   ( L   M )
(32)
Q
,

(33)
причем уравнению Даламбера удовлетворяют функции
   0,

 D  0,

 B  0.
(34)
Из изложенного материала следует, что нарушение условий регулярности функции f (или  f )
приводит к появлению новых скалярных и векторных полей. Так невыполнение хотя бы одного из урав

нений (21)-(23) приводит к появлению скалярного поля  и двух векторных полей D и B

(или к двум

скалярным Q и G , а также к двум векторным L и M полям).
Используя формулы (21)-(23), проверим регулярность импульсного поля и поля ускорений (21):
 

 div  m V   0
c 



 
m
 div  m V   0 - закон сохранения массы, записанный в диффеt


ренциальной форме. Если не вводить понятие массы покоя m , то данное уравнение описывает закон
o
сохранения временной составляющей U

4-скорости (22):



d p  V
    grad 
  grad   m V  
d  c
c








 mV 2

dp
 grad 
  ,
dt
 2



где учтено постоянство массы m . Обозначая через K 
mV 2
- кинетическую энергию, а через
2


d p
    K - потенциальную энергию, то последнее уравнение примет вид
    . Уравнение
dt
(23) показывает потенциальность импульсного поля.
292
Терехов С.В.
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2002, вип. 2
Если поле ускорений описывается регулярной функцией, то из уравнения (23) следует, что при

dV
V  c ускорение будет равно
  grad  . Полученное равенство соответствует основному свойdt
ству гравитационного поля [6, с. 290].
В случае, когда поле описывается нерегулярной, но гармонической функцией, то выполняются
 

 

уравнения (28), (29). Полагая H  D  rot  (магнитное поле) и E   B  
 grad   (элек 








трическое поле), получим первую



H
rot E  
,

div E 


(35)
и вторую


E
rot H 
 grad ,


div H  0
(36)
пары уравнений Максвелла.
Используя второе уравнение первой пары уравнений Максвелла с учетом определения напряжен

ности электрического поля E  
 grad , находим, что


  
4

   

div

.


  
с


(37)
В силу того, что для гармонической функции    0, получаем для плотности заряда
 

c   

,

div


4     

(38)
Поступая аналогично для второго уравнения второй пары уравнений Максвелла, получим для
плотности тока

j 
то есть

 
c
grad 
 div  ,
4
 

  4

,

c
grad   
(39)
4 
j,
c
(40)
Скалярное поле  удовлетворяет уравнению Даламбера    0 . Подстановка (40) в это уравнение приводит к дифференциальному закону сохранения заряда


 div j  0,

(41)



то есть плотности заряда и тока выражаются через полевые функции  (  , r ) и  ( , r ) , порождающие
электрическое и магнитное поля. Таким образом, условие калибровки Лоренца


 div  0 с точки

зрения алгебры кватернионов является необязательным.
Выводы
1.
Использование теории Гамильтона позволяет получить все основные формулы специальной
теории относительности и, кроме того, установить связь скорости изменения энергии с временной составляющей силы. При отсутствии ускорения энергия и импульс сохраняются.
Терехов С.В.
293
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2002, вип. 2
2.
Введенное условие регулярности кватернионной функции приводит к дифференциальным
законам сохранения, движения и потенциальности исследуемых полей.
3.
Уравнение гармоничности гиперкомплексной функции приводит к уравнениям теории
Максвелла, причем нормировка Лоренца для гармонических потенциалов приводит к отсутствию зарядов
и их потоков, в силу чего она является необязательной.
РЕЗЮМЕ
Використання теорії Гамільтона дозволяє одержати усі основні формули спеціальної теорії відносності і, крім
цього, встановити зв’язок швидкості зміни енергії з часовою складовою сили. При відсутності прискорення енергія
та імпульс зберігаються. Введена умова регулярності кватерніонної функції призводить до диференціальних законів
збереження часової складової гіперфункції, законів руху та потенціальності досліджуваних полів. Якщо не вводити
поняття маси, то одержаний диференціальний закон збереження вказує на збереження часової складової 4швидкості. Рівняння гармонічності гіперкомплексної функції призводить до рівнянь теорії Максвела. Доведено, що у
випадку гармонічних потенціалів необ’язково використовувати нормування Лоренца.
SUMMARY
The use of Hamilton theory permits to develop all fundamental equations of the special theory of relativity and, in
addition, to determine relationship between changing energy rate and temporary force component. Energy and impulse are
conserved through lack of speed acceleration. Introduced condition of hyper complex function regularity drives to differential
laws of conservation, motion and potentiality of fields under investigation. If the concept of mass is not introduced, derived
law of conservation points to conservation of the temporary component of the 4-velosity. The equation of harmonicity of
hypercomplex function drives to Maxwell’s theory equations. It has been shown, that in the case of harmonic potentials
Lorents’s normalization is not obligatory.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.
Теория устойчивости. – М.: Наука, 1968.- 415 с.
2. Титчмарш Е. Теория функций. - М.: Наука, 1980.- 463с.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. III, ч.2- М.: Наука, 1974.- 672с.
4. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. – М.: Наука, 1973. –144с.
5. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. - Харьков: Вища школа, 1986.216с.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. – М.: Наука, 1973.- 504с.
7. Паули В. Теория относительности. - М.: Наука, 1983.- 336с.
8. Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов. – М.: Наука, 1978.- 128с.
Надійшла до редакції 15.04.2002 р.
294
Терехов С.В.