10Tema11_Urok4

Класс 10. Модуль 11. Углы в пространстве
Урок 4. Трехгранные углы
План урока
1. Понятие трехгранного угла
2. Отыскание двугранных углов по плоским
3. Первая теорема косинусов для трехгранного угла
4. Понятие полярного угла. Вторая теорема косинусов для трехгранного угла
5. Каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов
6. Теорема синусов для трехгранного угла
7. Понятие многогранных углов
8. Измерение многогранных углов
1. Понятие трехгранного угла
Выбирая в кубе три соседние грани, имеющие общую вершину, мы получаем
пространственную фигуру — часть трехгранного угла (рис. 1).
В общем случае трехгранный угол можно получить следующим образом.
Сначала берем точку S — вершину трехгранного угла. Затем из вершины
проводим три луча SA , SB , SC , не лежащие в одной плоскости. Получаем ребра
трехгранного угла (рис. 2).
После этого дополняем плоские углы ASB , ASC и BSC соответствующими
частями плоскостей и получим грани трехгранного угла (рис. 3).
Каждому ребру трехгранного угла соответствует двугранный угол, грани которого
содержат грани трехгранного угла, выходящие из этого ребра.
Иногда к трехгранному углу добавляют его внутреннюю часть.
Таким образом, каждый трехгранный угол характеризуется вершиной, тремя
ребрами, тремя плоскими углами, тремя гранями, тремя двугранными углами.
Трехгранный угол можно обозначить, указав сначала его вершину, а затем по
одной точке на каждом из его ребер. Например, изображенный на рис. 1 трехгранный угол
можно обозначить BAB1C .
Вопрос. Какие ребра, грани, плоские и двугранные углы имеет трехгранный угол с
вершиной в точке A у пирамиды SABC ?
Трехгранный угол можно определить также как пересечение трех
полупространств, границы которых имеют только одну общую точку. Рассматривая два из
этих полупространств, в пересечении получаем двугранный угол (рис. 4). Граница
третьего полупространства пересекает его ребро и грани, и тем самым третье
полупространство определяет часть полученного двугранного угла (рис. 5).
Вопрос. Сколько различных трехгранных углов можно задать тремя плоскостями,
имеющими только одну общую точку?
2. Отыскание двугранных углов по плоским
Часто по плоским углам трехгранного угла требуется найти какой-нибудь его
двугранный угол. Сделать это можно способом, который рассмотрим на примере.
Пример 1. Трехгранный угол SABC имеет плоские углы ASB   30 , ASC  45 ,
BSC  60 . Найдем двугранный угол при ребре SB .
Решение. Для построения нужного линейного угла выберем на ребре SB точку M ,
например так, что SM  2 . Затем проведем перпендикулярно MS в грани ASB отрезок
KM и в грани BSC отрезок LM (рис. 6). Построенный угол KML — линейный для
SM
4
искомого двугранного угла с ребром SB . После этого находим: SK 
,

cos 30
3
SM
2
 4 , ML  SM tg 60  2 3 .
, SL 
cos 60
3
Далее по теореме косинусов выразим отрезок KL из двух треугольников SKL и MKL :
16
4
2 16(4  6)
KL2  SK 2  SL2  2SK  SL cos KSL   16 2
,
4

3
3
3
2
4
2
KL2  MK 2  ML2  2MK  KL cos KML   12  2
2 3 cos KML .
3
3
Приравнивая найденные выражения, получаем
16(4  6) 4
  12  8cos KML ,
3
3
40 16(4  6) 16 6  24 8(2 6  3)
8cos KML 



,
3
3
3
3
2 6 3
2
cos KML 
2
 1.
3
3
Отсюда
2
KML  arccos(2
 1)
3
Вопрос. Как определить, острый или тупой угол получается в рассмотренном примере в
ответе?
MK  SM tg 30 
3. Первая теорема косинусов для трехгранного угла
В общем случае для трехгранного угла SABC справедлива формула
cos   cos  cos   sin  sin  cos C
(1)
где   ASB ,   ASC ,   BSC и C - величина двугранного угла при ребре SC ,
противолежащем плоскому углу  .
Это утверждение известно как первая теорема косинусов для трехгранного угла.
Доказательство. Доказательство можно провести, рассматривая все возможные случаи
чертежа и проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям из предыдущего пункта. Мы
разберем только два случая.
Первый случай. Пусть  и  — острые углы. Выберем на ребре SC точку M так, что
SM  1 . Затем проведем перпендикулярно SM в грани SAC отрезок MK и в грани SAB
1
1
отрезок ML (рис. 7). Тогда ML  tg , MK  tg  , SL 
, SK 
и
cos 
cos 
LK 2  ML2  MK 2  2ML  MK cos KML  tg 2  tg 2   2tg tg  cos C
LK 2  SL2  SK 2  2SL  SK cos KSL 
1
1
1
1

2
cos  
2
2
cos  cos 
cos  cos 
Отсюда
tg 2  tg 2   2tg tg  cos C 
1
1
1
1

2
cos  
2
2
cos  cos 
cos  cos 
2cos 
1
1
sin  sin 

 tg 2 
 tg 2   2
cos C
2
2
cos  cos  cos 
cos 
cos  cos 
2cos 
sin  sin 
 22
cos C
cos  cos 
cos  cos 
cos   cos  cos   sin  sin  cosC 
Второй случай. Пусть  — тупой угол,  — острый угол. Снова выберем на ребре SC
точку M так, что SM  1 . Затем проведем перпендикулярно SM в грани SAC отрезок
MK , а в плоскости грани SBC отрезок ML до пересечения с продолжением ребра SB
(рис. 8). Тогда MSK   , MSL     , KSL     , а угол KML является
дополнительным до  к двугранному углу при ребре SC , то есть KML    C . Поэтому
1
1
MK  tg  , SK 
, ML     , SL 
,
cos 
cos 
LK 2  ML2  MK 2  2ML  MK cos KML   tg 2  tg 2   2tg tg  cos C
LK 2  SL2  SK 2  2SL  SK cos KSL 
1
1


2
cos  cos 2 
1
1
1
1
1
1
cos KLS 

2
cos  
2
2
cos  cos 
cos  cos 
cos  cos 
Отсюда, как и в первом случае, получается равенство
cos   cos  cos   sin  sin  cos C
2
Вопрос. Как завершить доказательство первой теоремы косинусов для трехгранного угла?
4. Понятие полярного угла. Вторая теорема косинусов для трехгранного угла
Для каждого трехгранного угла SABC можно построить полярный ему
трехгранный угол SPQR следующим образом. Из вершины S сначала проведем луч SP
перпендикулярно грани SBC так, что SP и SA расположены по разные стороны
относительно грани SBC . Затем аналогично проведем луч SQ перпендикулярно грани
SAC так, что SQ и SB расположены по разные стороны относительно грани SAC , и луч
SR перпендикулярно грани SAB так, что SR и SC расположены по разные стороны
относительно грани SAB (рис. 9). Построенный трехгранный угол SPQR и называют
полярным к трехгранному углу SABC . В свою очередь угол SABC является полярным к
углу SPQR , то есть трехгранные углы SABC и SPQR на рис. 9 взаимно полярны друг
другу.
Из пункта 2.6 следует, что двугранные углы трехгранного угла SABC дополняют плоские
углы полярного ему угла SPQR до  , а именно, C    PSQ , B    QSR ,
A    QSR . Точно так же двугранные углы трехгранного угла SPQR дополняют
плоские углы полярного ему угла SABC до  , а именно, R    ASB   ,
Q    ASC   , P    BSC   .
Запишем первую теорему косинусов для полярного угла SPQR :
cos PSQ  cos PSR cos QSR  sin PSR sin QSR cos R
Воспользовавшись соотношениями между углами полярных углов, это равенство можно
переписать в виде
cos(  C )  cos(  A) cos(  B)  sin(  A) sin(  B) cos( p  g )
Отсюда
cos C   cos A cos B  sin A sin B cos 
(2)
Полученная формула 2 также является соотношением между двугранными и плоскими
углами трехгранного угла и известна как вторая теорема косинусов для трехгранного угла.
Вопрос. Как доказать, что не существует трехгранного угла, все двугранные углы
которого равны по 60 ?
5. Каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов
С помощью первой теоремы косинусов для трехгранного угла нетрудно доказать, что у
трехгранного угла каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов.
Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол SABC и, как и в пункте 4.4, обозначим
ASB   , ASC   , BSC   . Докажем, что      .
Первый случай. Пусть      . Так как    , то в этом случае неравенство     
очевидно.
Второй случай. Пусть      . Применив первую теорему косинусов для плоского угла
 , имеем
cos   cos  cos   sin  sin  cos C
Так как C   , то cos C  1. Поэтому
cos   cos  cos   sin  sin   cos(   )
Следовательно, cos   cos(   ) . Но так как 0     и 0        , то отсюда
     , что и требовалось доказать.
Вопрос. Как доказать, что не существует многогранника, у которого все грани —
правильные шестиугольники?
6. Теорема синусов для трехгранного угла
Иногда при решении задач с трехгранными углами оказывается полезной теорема синусов
для трехгранного угла. Используя обозначения, принятые в пункте 4.4 и на рис. 10, эту
теорему можно записать в виде соотношения
sin  sin  sin 



(3)
sin A sin B sin C
Вопрос. Как доказать теорему синусов для трехгранного угла?
7. Понятие многогранных углов
Рассмотрим два трехгранных угла SABC и SACD , имеющие общую вершину S , общую
грань SAC и не имеющие других общих точек. Объединяя эти углы, мы получаем
четырехгранный угол SABCD (рис. 11), если ребро SD не лежит ни в плоскости SAB , ни
в плоскости SBC .
Точно так же можно рассмотреть четырехгранный угол SABCD и трехгранный
угол SADE , имеющие общую вершину S , общую грань SAD и не имеющие других
общих точек. Объединяя эти углы, мы получаем пятигранный угол SABCDE (рис. 12),
если ребро SE не лежит ни в плоскости SAB , ни в плоскости SCD .
Аналогично можно получить шестигранный угол и другие многогранные углы.
Вопрос. Как определить выпуклый многогранный угол?
8. Измерение многогранных углов
Многие практические задачи наводят на мысль, что удобнее всего измерять
многогранный угол площадью той части единичной сферы с центром в вершине
многогранного угла, которую содержит этот многогранный угол (рис. 13). При таком
измерении многогранных углов величина каждого многогранного угла – это некоторая
часть от 4 , то есть от площади всей единичной сферы. Число 1 при указанном
измерении многогранных углов принимается за единицу измерения и носит название
стерадиан. Соответственно величину многогранного угла указывают в стерадианах.

 1 5708
Например, трехгранный угол при вершине куба имеет величину
2
стерадиан.
Понятие многогранного угла допускает дальнейшее обобщение. В пространстве
рассматривают также некоторые фигуры, которые состоят из лучей с общей вершиной
S — телесные углы. Телесные углы также измеряют в стерадианах площадью той части
единичной сферы с центром S , которую содержит этот телесный угол (рис. 14).
Тесты. Проверь себя. Выбери правильные ответы.
В трехгранном угле два плоских угла по 60 , третий плоский угол прямой. Тогда косинус
угла между плоскостью прямого угла и противолежащим ребром равен
1
1.
2
1
2.
3
1
3.
2
3
4.
2
Ответ: 3.
Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60 . На одном из ребер отложен от
вершины отрезок, равный 3 , и из конца его опущен перпендикуляр на противолежащую
грань. Тогда длина этого перпендикуляра равна
1. 2
2. 3 2
3. 2 3
4. 6
Ответ: 4.
В трехгранном угле все плоские углы прямые. Внутри него дана точка, отстоящая на 1, 2 и
3 (дм) от его граней. Тогда расстояние от данной точки до вершины угла равно
1. 4 дм
2. 14 дм
3. 6 дм
4. 6 дм
Ответ 2.
Сколько стерадианов содержит четырехгранный угол OABCD, где O - центр куба, ABCD его грань?
1. 
2
2.
3
2
3. 
3

4.
2
Ответ: 3.
Тесты. Проверь себя. Выбери все правильные ответы.
В трехгранном угле два плоских угла равны 85 и 34. Тогда третий плоский угол может
быть равен
1. 30
2. 60
3. 90
4. 120
Ответ: 2, 3.
Трехгранный угол может быть равен (в стерадианах)
1. 1
2. 12
3. 5
4. 13
Ответы: 1, 2.
Какие из наборов углов могут быть плоскими углами трехгранного угла?
1. 30, 30, 60
2. 30, 30, 150
3. 30, 150, 150
4. 150, 150, 150
Ответ: 1, 3, 4.
Какие из наборов углов могут быть двугранными углами трехгранного угла?
1. 30, 30, 60
2. 30, 45, 90
3. 30, 90, 150
4. 150, 150, 150
Ответ: 3, 4.
Миниисследование
Сколько различных трехгранных углов получается при пересечении трех плоскостей, если
они имеют ровно одну общую точку? При пересечении четырех плоскостей? Пяти?
Попытайтесь выяснить закономерность.
Домашнее задание
1. В трехгранном угле ребра взаимно перпендикулярны. Внутри него из вершины
проведен отрезок, проекция которого на каждое из ребер равна 1 см. Найти его проекции
на грани.
2. Плоские углы ASC и BSC трехгранного угла с вершиной S равны по 45 , а угол ASB
равен 60 . Через S проведена прямая QS , перпендикулярная плоскости SBC . Вычислите
угол ASQ .
3. В трехгранном угле два двугранных угла острые, а плоский угол между ними тупой.
Тупым или острым будет третий двугранный угол?
4. Докажите, что биссекторные плоскости двугранных углов трехгранного угла имеют
общий луч.
5. Докажите, что если два плоских угла трехгранного угла равны, то их общее ребро
проектируется на биссектрису третьей грани или ее продолжение.
6. Докажите, что если в трехгранном угле SABC один плоский угол BSC прямой, а два
других угла ASB и ASC равны по 60 , то плоскость BAC , отсекающая от ребер три
равных отрезка, перпендикулярна к плоскости прямого угла.
7. Верно ли, что каждый двугранный угол трехгранного угла меньше суммы двух других
его двугранных углов?
8. Докажите, что сумма всех двугранных углов трехгранного угла больше, чем  .
9. Справедлив ли признак равенства трехгранных углов:
а) по двум плоским углам и двугранному углу между ними;
б) по двум двугранным углам и плоскому углу между ними;
в) по трем плоским углам;
г) по трем двугранным углам?
Рисунки
Рис. 1 - 11-30.EPS
Рис. 2 - 11-31.EPS
Рис. 3 - 11-32.EPS
Рис. 4 - 11-33.EPS
Рис. 5 - 11-34.EPS
Рис. 6 - 11-35.EPS
Рис. 7 - 11-36.EPS
Рис. 8 - 11-37.EPS
Рис. 9 - 11-38.EPS
Рис. 10 - 11-39.EPS
Рис. 11 - 11-40.EPS
Рис. 12 - 11-41.EPS
Рис. 13 - 11-42.EPS
Рис. 14 - 11-43.EPS