ПРИМЕРЫ (КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА) 2 2 1. Общее уравнение кривых второго порядка: Ax Bxy Cy Dx Ey F 0 . 2. Нормальное уравнение окружности радиуса R с центром в точке x x0 2 x0 ; y0 : y y0 R 2 . 2 Пример. Определить вид кривой 2 x 2 2 y 2 12 x 4 y 1 0 , изобразить на плоскости и найти ее основные характеристики. Решение: Выделим полные квадраты 2 x2 2 y 2 12 x 4 y 1 0 2 x 2 6 x 9 18 2 y 2 2 y 1 2 1 0 2 x 3 2 y 1 19 2 x 3 y 1 2 R 2 2 19 - уравнение окружности с центром в точке O 3;1 и радиусом 2 19 . 2 Ответ: окружность, центр O 3;1 , радиус R 3. Каноническое уравнение эллипса: 19 . 2 x2 y 2 1 , где a 2 b2 2 2 2 1) в случае a b : а – большая полуось и b – малая полуось эллипса c a b ; F1 c;0 и F2 c;0 - фокусы эллипса; c - эксцентриситет эллипса. a 2 2 2 2) в случае b a : b – большая полуось и а – малая полуось эллипса c b a ; F1 0; c и F2 0; c - фокусы эллипса; c - эксцентриситет эллипса. b Пример. Определить вид кривой 9 x 2 25 y 2 225 , изобразить на плоскости и найти ее основные характеристики. Решение: Приведем уравнение 9 x 2 25 y 2 225 к каноническому виду x2 y 2 1 25 9 уравнение эллипса ( a 5, b 3 ). a 5 – большая полуось и b 3 – малая полуось эллипса. c 2 a 2 b 2 25 9 16 c 4 , значит F1 4;0 и F2 4;0 - фокусы эллипса; c 4 - эксцентриситет эллипса. a 5 Ответ: эллипс, центр O 0;0 , a 5 – большая полуось и b 3 – малая полуось эллипса, F1 4;0 и F2 4;0 - фокусы эллипса, 0,8 - эксцентриситет. 4. Каноническое уравнение гиперболы: 1) в случае c 2 x2 y 2 1: a 2 b2 x2 y 2 y 2 x2 или 1 1 , где a 2 b2 b2 a 2 а и b – действительная и мнимая полуоси гиперболы a 2 b2 ; F1 c;0 и F2 c;0 - фокусы гиперболы; c - эксцентриситет гиперболы; a y b x - уравнения асимптот гиперболы. a 2) в случае c 2 y 2 x2 1: b2 a 2 b и a – действительная и мнимая полуоси гиперболы a 2 b2 ; F1 0; c и F2 0; c - фокусы гиперболы; c - эксцентриситет гиперболы; b y b x - уравнения асимптот гиперболы. a Пример. Определить вид кривой 16 x 2 9 y 2 144 0 , изобразить на плоскости и найти ее основные характеристики. Решение: Приведем уравнение 16 x 2 9 y 2 144 0 к каноническому виду y 2 x2 1 16 9 уравнение гиперболы ( a 3, b 4 ). a 3 – мнимая полуось и b 4 – действительная полуось гиперболы. c 2 a 2b 2 9 16 25 c 5 , значит F1 0; 5 и F2 0;5 - фокусы гиперболы; c 5 - эксцентриситет гиперболы. b 4 4 Уравнения асимптот гиперболы y x . 3 Ответ: гипербола, центр O 0;0 , a 3 – мнимая полуось, b 4 – действительная полуось, F1 0; 5 и F2 0;5 - фокусы гиперболы, 1, 25 - эксцентриситет гиперболы, y 4 x - уравнения асимптот гиперболы. 3 5. Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат: 1) симметричная относительно оси Ох: y 2 2 px , где р – параметр параболы, p p - уравнение директрисы параболы, F ; 0 - фокус параболы; x 2 2 2) симметричная относительно оси Оу: x 2 2 py , где р – параметр параболы, p p - уравнение директрисы параболы, F 0; - фокус параболы; y 2 2 Пример. Определить вид кривой y 2 6 x , изобразить на плоскости и найти ее основные характеристики. Решение: Данное уравнение y 2 6 x является каноническим уравнением параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ох с параметром p 3 (т.к. 2 p 6 p 3 ). 3 3 - уравнение директрисы параболы. F ;0 - фокус параболы; x 2 2 3 Ответ: парабола с вершиной O 0;0 , p 3 – параметр параболы, F ;0 - фокус 2 параболы; x 3 - уравнение директрисы параболы. 2