Теплоемкость воздуха: метод Клемана-Дезорма

Федеральное агентство по образованию
Дальневосточный государственный технический университет
(ДВПИ им. В.В. Куйбышева)
Соотношение теплоемкостей воздуха
при постоянном давлении и постоянном объеме
Методические указания
к лабораторной работе №16
по курсу физики для студентов дневной и заочной форм
обучения всех технических специальностей
Владивосток ∙2009
Одобрено научно – методическим советом университета
УДК 53.082.1; 531.76
И88
Соотношение теплоемкостей воздуха при постоянном давлении и постоянном
объеме: метод. указания / сост. В.В. Зауткин. – Владивосток: Изд-во ДВГТУ,
2009. – 8с.
В методических указаниях приводятся краткие сведения по термодинамике изопроцессов в идеальных газах, получена теоретическая формула для соотношения теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме.
Дано описание установки для экспериментальной проверки указанных теплоемкостей (методом Клемана – Дезорма), приведены необходимые рекомендации по проведению опытов, обработке их результатов, а так же вопросы для
самоконтроля.
Методические указания предназначены для студентов дневной и заочной
форм обучения всех технических специальностей университета.
Печатается с оригинал-макета, подготовленного автором
Типография ДВГТУ, 690950, Владивосток, Пушкинская, 10
2
Лабораторная работа №16
Соотношение теплоёмкостей воздуха
при постоянном давлении и постоянном объёме
Цель работы: определить отношение удельных теплоемкостей воздуха
при P  const и при V  const методом Клемана-Дезорма.
Постановка задачи
Теплоёмкость– одно из важнейших понятий в термодинамике. Теплоёмкостью тела (газообразного, жидкого, твёрдого) называют отношение количества тепла Q, сообщенного телу при нагревании, к изменению его температуры
Ò  Ò2  Ò1 :
Q
 Äæ 
C ò åëà 
(1)
 Ê 
T
Физический смысл теплоёмкости можно сформулировать проще: из определения (1) видно, что при T  1 теплоемкость C ò åëà  Q ; значит, теплоёмкость
тела численно равна количеству тепла, которое надо сообщить телу, чтобы
нагреть его на 1 градус (Кельвин). Если теплоёмкость всего тела разделить на
его массу, то получим теплоёмкость единицы массы, которую называют удельной теплоёмкостью
Ñ ò åëà
Q
 Äæ 
.
(2)
c

m
m  T  êã  Ê 
Все тела в общем случае имеют разные значения удельных теплоёмкостей, которые приводят в справочных таблицах физических констант. Зная величину c, легко посчитать количество тепла, необходимое для нагрева данного
тела массой m на любое число градусов
Q  cm T  cm (T2 - T1) .
Записанные выше определения являются лишь напоминанием базовых
понятий, которые должны быть известны читателю из школьного курса физики.
Теперь сделаем важное уточнение. В формулах (1-2) теплоёмкость считается константой, отражающей физические свойства тела. Однако если речь идёт
о газообразных телах, то для одного и того же газа эта константа оказывается
различной в зависимости от того, в каком процессе нагревается газ. Это легко
понять на основе также известного из школы первого закона (первого начала)
термодинамики, который выражает закон сохранения энергии в наиболее общей форме и является одним из самых универсальных законов физики:
Количество тепла Q, подведённое к термодинамической системе, идёт
на увеличение её внутренней энергии U и на совершение этой системой
работы A против внешних сил:
(3)
Q  U  A,
где U  U 2  U1 , а U2 и U1 – конечное и начальное значение внутренней энергии, накопленной хаотически движущимися молекулами. Здесь очень важно
напомнить читателю, что внутренняя энергия идеального газа всегда строго
3
пропорциональна его температуре (так как по определению температура и является мерой средней энергии движения молекул).
Действие закона легко представить на примере газа в цилиндре под
поршнем. Если подвести к газу тепло Q, то в общем случае за счет подведения
тепловой энергии он нагреется (увеличит свою внутреннею энергию U – энергию молекул) и толкнёт поршень (совершит работу A по перемещения поршня).
Заметим, что газ совершает работу только когда он расширяется – когда силой
своего давления перемещает внешние тела: поршень, стенки сосуда, другие
массы газа и т.п., то есть когда изменяется объём рассматриваемого газа.
Сравним с позиции термодинамики два известных процесса: изохорный и
изобарный. При изохорном нагреве V  const , а значит, работа не совершается
A  0 , поэтому в соответствии с (3) все подведённое тепло идёт только на
нагрев QV const  U , т.е. на увеличение температуры.
При изобарном нагреве давление P неизменно, а объём возрастает пропорционально температуре (закон Гей-Люссака) и газ совершает работу A  0 .
В этом случае из всего подведённого тепла Q в соответствии с (3) только часть
его идёт на нагрев газа (на увеличение внутренней энергии U ), при этом
QPconst  U .
Именно по этой причине для нагрева на 1 градус Кельвина при изобарном
нагреве нужно к газу подводить тепла больше, чем при изохорном. Другими
словами, удельная теплоёмкость любого газа при постоянном давлении сp
больше его удельной теплоёмкости при постоянном объёме сv , а их отношение:
c
(4)
 P
cV
всегда больше единицы. Это отношение играет в термодинамике весьма важную роль. В частности, как показывается в лекционном курсе физики, оно входит в уравнение Пуассона, которое описывает адиабатное расширение газа:

P V 
PV
или
т.е. 1   2  –
(5)
PV  const,
1 1  P2V2 ,
P2  V1 
– увеличение объема приводит к резкому уменьшению давления.
Напомним, что адиабатным называется процесс, при котором теплота к
газу не подводится и не отводится от него ( Q  0 ). На практике часто быстрое
расширение и быстрое сжатие газа считают именно адиабатными процессами,
так как за малое время теплообмен газа с окружающей средой не успевает произойти ( Q  0 ).
Задачей данной работы и является нахождение отношения   cP / cV для
воздуха методом Клемана и Дезорма, в описании которого мы используем
уравнение Пуассона и газовые законы, известные из школьного курса физики:
закон Бойля-Мариотта (P1V1= P2V2 при Т=const) и закон Шарля (P=const  T при
V=const).



4
Лабораторная установка.
Экспериментальная установка Клемана-Дезорма (рис.1) состоит из стеклянного баллона А (ёмкость около 20 л), который сообщается с трубкой В, ведущей к нагнетательному насосу и жидкостному (водяному) U-образному манометру М. Кран К1 позволяет отсечь баллон А от насоса, а кран К2 позволяет
сообщать баллон с атмосферой.
K1
Подготовим установку к
Â
K2
эксперименту. Для этого откросжатый
ем кран К1 и закачаем в баллон
воздух
P0
от насоса
избыточный воздух (кран К2 закрыт). Возрастание давления
M
A
фиксирует манометр М. При
накачке воздуха температура
h
P
его повышается. Это объясняm
m
ется тем, что силы, прилагаеP0 V0
P V
мые к поршню насоса, соверT0
T
шают работу по сжатию газа в
баллоне, и средняя энергия моÐèñ. 1
лекул, а следовательно, и температура газа в баллоне возрастает. Достигнув перепада высот h в манометре
порядка 10  25 см водяного столба, перекроем кран К1.
Будем мысленно следить за некоторой массой m воздуха внутри баллона.
При накачивании в баллон избыточного воздуха давление P и температура T
рассматриваемой порции газа возрастают относительно P0 и T0 – параметров
окружающей среды (комнаты), а объем V – уменьшается (газ сжат). Этот процесс накачки можно изобразить
P
кривой àâ на диаграмме P-V
(рис. 2). После перекрывания
изохорное â
крана К1 газ оказывается в точнакачка воздуха
остывание
ке â . Поскольку газ нагрет
(и нагрев из-за сжатия)
( Tâ  T0 ), а стенки баллона обладают определённой теплопро1
водностью, то газ начинает поP1
( P1  P0 , T1  T0 )
степенно остывать пока темпеa
ратура его не сравняется с ком3
( P3  P0 , T3  T0 )
натной. Это изохорное охлаадиабатное
ждение (V  const ) на рис.2
расширение
изохорный нагрев
изображено линией
â  1.
(охлаждение)
Изохорное охлаждение по зако2 ( P2  P0 , T3  T0 )
ну Шарля (P пропорционально
T) сопровождается уменьшением давления и на установке это
наблюдается по уменьшению
V2  V3
V
V1
столба жидкости h в манометре.
Ðèñ. 2
Когда уровень жидкости в ма5
нометре перестанет снижаться, точка 1 достигнута. Это начальная точка для
экспериментальных измерений. В ней P1>P0, T1=T0. Измерим это установившееся давление с помощью манометра P1  P0   gh1 , где  – плотность жидкости
в манометре, g  9.8 ì / c 2 – ускорение свободного падения (  gh – избыточное
давление, равное давлению столба воды). Запишем значение h1.
Эксперимент далее состоит в том, что кран К2 открывают на короткий
промежуток времени (1  2 секунды) и снова его закрывают.
Пока кран К2 открыт, происходит резкий выхлоп избыточного воздуха и
давление сравнивается с наружным P2  P0 . Поскольку этот процесс происходит очень быстро, то теплообмен между воздухом в баллоне и окружающей
комнатной средой не успевает произойти ( Q  0 ), и такой процесс быстрого
расширения газа можно считать адиабатным. Он подчиняется уравнению Пуасconst
сона (5): P   - эта зависимость на рис.2 изображена падающей кривой
V
1→2. В процессе резкого адиабатного расширения воздух охлаждается (работа
расширения совершается за счет убыли внутренней энергии по формуле (3)
A   U , так как Q  0 ). В конце адиабатного расширения (в точке 2, в которой
кран К2 перекрывается) температура газа T2 становится, таким образом, ниже
комнатной T0 , а давление выравнивается с атмосферным P2  P0 , что фиксируется манометром, который в этот момент показывает h=0.
Далее после перекрытия К2 охлажденный в баллоне воздух благодаря
теплопроводности стенок постепенно нагревается до комнатной температуры.
Это изохорный нагрев (участок 2-3 на рис.2), в результате которого давление
также постепенно возрастает. В точке 3 температура сравнивается с комнатной
T3  T0 , и давление достигает значения P3  P0 . Это давление также фиксируется
манометром: P3  P0   gh2 , где h2 – конечный перепад уровней воды в манометре, который также следует записать.
Оказывается, по начальному перепаду уровней h1 и конечному h2 можно
легко вычислить искомое отношение   cP / cV для данного газа (воздуха):
h
(6)
 1
h1  h2
Обоснуем эту простую формулу, рассматривая рабочие этапы графика
1-2-3 с помощью известных газовых законов. Между состояниями 1 и 2 (рис.2)
идёт адиабатный процесс. По уравнению Пуассона (5) запишем:

P1  V2 
(7)
 
P2  V1 
Состояние 1 и 3 оказываются при одинаковой температуре Т1= Т3= Т0, и
следовательно, связаны законом Бойля-Мариотта
P1 V3
(8)

P3 V1
6
Заметим, что в этом эксперименте изотермического процесса нет, но точки 1 и 3 лежат на краях мысленной изотермы, которая для наглядности проведена на рис.2 пунктиром.
Поскольку V3=V2, то возведя (8) в степень  , мы получим равенство правых частей (8) и (7). Приравняв левые части, получим:

P1  P1 
(9)
 
P2  P3 
Отсюда, измеряя только давления, можно определить γ. Приведём форP
P
мулу (9) к виду (6). Для этого прологарифмируем (9): ln 1   ln 1
P2
P3
и найдём  , выражая P1, P2, P3 через P0, h1, h2,

ln 1   gh1 / P0 
ln  P1 / P2  ln  ( P0   gh1 ) / P0  ln 1   gh1 / P0 



P   gh1
1   gh1 / P0
ln  P1 / P3 
ln(1   gh1 / P0 )  ln(1   gh2 / P0 )
ln 0
ln
P0   gh2
1   gh2 / P0
В математике есть простое правило: если х << 1, то ln(1+x) x. В этом
можно убедиться с помощью калькулятора. Например, ln 1.02 0.02 и т.п.
В нашем случае все дроби вида  gh / P0 1 , т.к. давление ρgh – это давление
порядка 0.2 м водяного столба, а P0 – атмосферное давление порядка 10 м водяного столба, как известно из начального курса школьной физики.
Поэтому с хорошей точностью можно записать

 gh1 / P0
h1

,
 gh1 / P0   gh2 / P0 h1  h2
что и требовалось доказать. Мы получили рабочую формулу (6).
Порядок выполнения работы.
1. Открыть кран К1 и с помощью насоса (компрессора) накачать в баллон
воздух до избыточного давления в пределах ~25см водяного столба, контролируемого манометром.
2. Закрыть кран К1 и следить за понижением уровня в манометре (идёт
изохорное охлаждение газа до комнатной температуры).
3. Когда уровень перестанет понижаться, записать величину h1.
4. Открыть кран К2 на 1  2 секунды, чтобы произошел адиабатный выхлоп избыточного воздуха, и снова закрыть кран К2 (обратить внимание, что во
время выхлопа, избыточное давление падало до нуля, h=0).
5. Наблюдать за повышением давления после закрытия крана К2 (идёт
изохорный нагрев охлаждённого газа до комнатной температуры). Записать
максимальный подъём уровня жидкости в манометре h2.
6. По формуле (6) вычислить отношение   cP / cV для воздуха.
7. Повторить опыт (пункты 1-6) не менее 5 раз. Все данные записать в
таблицу.
7
Номер опыта
h1
мм
h2
мм
γi
∆γi
γ
∆γ
1


5
8. Усреднить результат

1   2   3   4   5
5

5
  i.
i 1 5
(10)
9. Определить стандартную ошибку отдельных значений γi., по формуле
2
2
 
  

h h1  h2
S i   i( 0.68)   i  h1    i  h2  

i.

h

h
h
h

h
 1
  2

1
1
2
Здесь учтено, что h1  h2  h , так как в обоих случаях это есть ошибка миллиметровой шкалы манометра.
10. Поскольку окончательно γ определяется по формуле (10), найдём
стандартную ошибку усреднённого результата (с вероятностью 68%)
2
5 


1
 ( 0.68)  S   
  i  
5

i 1   i
5
   i  .
2
i 1
11. Записать окончательный результат и сделать выводы.
Контрольные вопросы.
1. Что называется теплоёмкостью тела? Удельной теплоёмкостью?
2. Сформулировать первое начало термодинамики
3. Какая теплоёмкость газа выше: cP или cV и почему?
4. Что такое адиабатный процесс? Написать уравнение Пуассона. Изобразить график адиабатного процесса.
5. Изобразить схему установки Клемана-Дезорма для определения отношения теплоёмкостей газа cP / cV . Перечислить последовательно все операции
одного цикла опыта с указанием типов термодинамических процессов газа на
каждом этапе.
6. Изобразить все процессы одного цикла на диаграмме P-V.
7. Вывести расчетную формулу для определения величины cP / cV .
8. Почему состояния в начале адиабатного процесса и в конце изохорного
нагрева связаны законом Бойля-Мариотта?
9. Вывести формулу для расчета погрешности величины cP / cV .
Литература
1. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высш. шк., 2008.
2. Руководство к лабораторным работам по физике (под редакцией Гольдина
Л.Л). М.: Наука, 1973.
8