На правах рукописи Ермолаев Игорь Анатольевич МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

На правах рукописи
Ермолаев Игорь Анатольевич
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
КОНВЕКТИВНЫХ ПОТОКОВ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
В СИСТЕМАХ ОХЛАЖДЕНИЯ УСТРОЙСТВ
РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Специальность: 05.13.18. – Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
Саратов – 2013
Работа
выполнена
в
Федеральном
государственном
бюджетном
образовательном
учреждении
высшего
профессионального
образования
«Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского» и в
Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего
профессионального образования «Саратовский государственный технический
университет имени Гагарина Ю. А.».
Научный консультант:
заслуженный деятель науки РФ, доктор физикоматематических наук, профессор
Байбурин Вил Бариевич.
Официальные оппоненты:
Аникин Валерий Михайлович,
доктор
физико-математических
наук,
профессор,
ФГБОУ
ВПО
«Саратовский
государственный университет имени Н. Г.
Чернышевского»,
заведующий
кафедрой
«Компьютерные технологии и метаматериалы»
Клинаев Юрий Васильевич,
доктор
физико-математических
наук,
профессор,
ФГБОУ
ВПО
«Саратовский
государственный технический университет
имени Гагарина Ю. А.», профессор кафедры
«Техническая физика и информационные
технологии»
Спивак Семён Израилевич,
заслуженный деятель науки РБ, доктор физикоматематических наук, профессор, ФГБОУ ВПО
«Башкирский государственный университет»,
заведующий
кафедрой
«Математическое
моделирование»
Ведущая организация:
Саратовское отделение Института
радиотехники и электроники РАН,
г. Саратов
Защита состоится 5 июля 2013 г. в 1300 часов на заседании диссертационного
совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический
университет имени Гагарина Ю. А.» по адресу: 410054, Саратов, ул.
Политехническая, 77, СГТУ, корпус 1, ауд. 319.
С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке
Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А. по
адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77.
Автореферат разослан "___" мае 2013 г.
Учёный секретарь
диссертационного совета
А.А. Терентьев
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблем. Современные технологии математического
моделирования и вычислительного эксперимента являются в настоящее время
эффективным инструментом исследований, без развития которого невозможны
дальнейшее
совершенствование
приборов
и
технологий,
решение
фундаментальных и прикладных проблем. Одной из таких проблем является
обеспечение необходимых тепловых режимов изделий современной
радиофизики, микроэлектроники, оптики, вакуумной и плазменной
электроники. При этом размеры и стоимость систем охлаждения становятся
сопоставимы с размерами и стоимостью охлаждаемых устройств. Это
заставляет обращать всё большее внимание на развитие традиционных систем
охлаждения, основанных на естественной, вынужденной и смешанной
термоконвекции, а также учитывать особенности конвективных течений,
считавшиеся незначительными ранее, и рассматривать иные виды конвекции.
Численное исследование конвективных течений, развитие технологий их
математического моделирования кроме прикладного аспекта имеют также
фундаментальное значение. Вихревые структуры слабопроводящих или
электрически нейтральных жидкостей и газов, образующиеся в результате
взаимодействия гидромеханических полей с тепловыми или электрическими,
являются высокоорганизованными пространственными структурами в
диссипативных средах, далеких от термодинамического равновесия. Для них
характерны сложная пространственно-временная динамика, множественность
режимов, эффекты турбулентности и др.
Численное моделирование термоконвективных течений осуществляется
достаточно давно. Обзоры представлены в монографиях: Пасконов В. М.,
Полежаев В. И., Чудов Л. А. (1984 г.); Патанкар С. (1984 г.); Полежаев В. И.,
Бунэ А. В., Верезуб Н. А. и др. (1987 г.); Берковский Б. М., Полевиков В. К.
(1988 г.); Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А (1989 г.);
Тарунин Е. Л. (1990 г.); Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б.
(1991 г.); Гетлинг А. В. (1999 г.) и др. Однако, несмотря на пристальное
внимание исследователей, эволюция даже двухмерных термоконвективных
систем еще далека от полного понимания.
Недостаточно изучены многовихревые течения в протяжённых слоях,
слабые конвективные течения, термоконвекция в областях нерегулярной
формы
с
неоднородными
условиями
на
границах,
смешанные
термоконвективные течения, течения в анизотропных средах и др. Изученными
не полностью остаются также закономерности формирования и взаимодействия
вихревых
структур
электроконвективных
(ЭК)
течений,
влияние
электрохимических процессов в приэлектродных слоях на их динамику и т. д.
Современное состояние средств численного моделирования процессов
тепло– и массообмена и гидроаэромеханики характеризуется широким
распространением
коммерческих
многофункциональных
объектноориентированных систем программирования: ANSYS, PHOENICS, STAR–CD,
FLUENT, CFX, FIDAP, FlowVision (Аксенов А. А. и др.), SINF (Смирнов Е. М.
и др.), VP2/3 и GDT (Зибаров А. Ф. и др.) и др. Однако закрытость «ядра» этих
3
комплексов, сложившийся монополизм производителей, значительная
стоимость, высокие требования к вычислительным ресурсам, громоздкость
таких комплексов осложняют развитие численных исследований.
Таким образом, актуальность дальнейшего совершенствования
математических моделей, методов и алгоритмов, разработки на их основе
исследовательских (не коммерческих) комплексов программ становится
очевидной. Все это обусловливает актуальность диссертационной темы, выбор
моделей и метода, а также определяет цель исследования.
Объектом исследования являются конвективные течения жидкостей и
газов в тепловых, электрических и гидромеханических полях, предметом –
математические модели указанных явлений, методом – технология
математического моделирования и вычислительного эксперимента.
Целью работы является развитие существующих и разработка новых
математических моделей, методов и алгоритмов численного моделирования
электрогидродинамических,
термоконвективных
и
гидромеханических
процессов в изотропных и анизотропных сплошных средах, создание на их
основе комплекса проблемно–ориентированных программ. Применение
математического моделирования, численных методов и комплекса программ
для установления физических закономерностей конвективного теплообмена в
системах охлаждения радиоэлектронных и иных устройств, а также для
выявления закономерностей формирования, устойчивости и взаимодействия
вихревых диссипативных структур термоконвективных и электроконвективных
течений.
В соответствии с целью работы решались следующие основные задачи:
– разработка эффективного численного алгоритма определения значений
вихря скорости на твёрдых непроницаемых границах при решении уравнений
Навье–Стокса в переменных «вихрь скорости–функция тока», адаптированного
к методу конечных элементов Галёркина;
– развитие метода конечных элементов Галёркина, разработка на его
основе комплекса проблемно-ориентированных программ, моделирующих
естественные, вынужденные и смешанные электро– и термоконвективные
течения жидкостей и газов с изотропными и анизотропными физическими
свойствами в тепловых, электрических и гидромеханических полях;
– разработка математического метода проверки адекватности модели
инжекционных свойств системы электрод–слабопроводящая жидкость и
коррекция этой модели на основе данных натурного эксперимента, изучение
указанных свойств на основе разработанного метода, исследование влияния
инжекционных свойств на динамику ЭК–структур;
– разработка метода исследования взаимодействия пространственнопериодических вихревых диссипативных ЭК–структур, изучение влияния
взаимодействия вихрей на формирование ЭК–течений в плоскопараллельном
слое слабопроводящей жидкости;
4
– выявление, на основе технологии математического моделирования и
вычислительного эксперимента, закономерностей естественного и смешанного
конвективного теплообмена в элементах и узлах систем охлаждения, а также
закономерностей
формирования,
устойчивости
и
взаимодействия
пространственных вихревых структур, образующихся в потоках жидких и
газообразных диэлектриков при взаимодействии гидромеханических полей с
электрическими и тепловыми.
Научная новизна:
1. Развит и реализован математический метод моделирования
термоконвективных,
электрогидродинамических
и
гидромеханических
процессов в изотропных и анизотропных сплошных средах на основе
модифицированной модели Буссинеска.
2. Разработан эффективный вычислительный алгоритм определения
значений вихря скорости на твёрдых непроницаемых границах, основанный на
сочетании полученных аналитических решений с коррекцией поля вихря
скорости согласно интегральному соотношению, адаптированному к методу
конечных элементов Галёркина.
На основе пп. 1,2 разработан комплекс проблемно–ориентированных
программ для проведения вычислительного эксперимента.
3. Предложен математический метод проверки адекватности модели
униполярной
инжекции
при
изотермической
электроконвекции
в
слабопроводящих жидкостях на основе данных натурного эксперимента о
величине пороговой напряженности электрического поля, соответствующей
началу электроконвекции.
4. Разработан математический метод исследования взаимодействия
вихревых
структур
ЭК–течений
слабопроводящих
жидкостей
в
плоскопараллельных слоях, заключающийся в решении задачи ЭК на
последовательности конвективных ячеек и выявлении изменений полей,
обусловленных взаимодействием.
5. На основе предложенных моделей, методов и алгоритмов проведено
численное исследование естественного и смешанного конвективного
теплообмена в элементах и узлах систем охлаждения, а также ЭК–течений
слабопроводящих жидкостей с униполярной инжекционной проводимостью в
однородном электрическом поле и получены следующие закономерности:
– зависимости эффекта максимума температурной стратификации от
геометрических параметров, тепловых граничных условий и физических
свойств среды. Определены границы режима ослабленной конвекции,
сформулированы критерии максимума температурной стратификации и начала
развитой стационарной конвекции;
– закономерности течения и теплообмена при смешанной конвекции в
горизонтальных и вертикальных каналах (слоях, щелях) при локальном нагреве
от одного или нескольких граничных источников тепла конечных размеров.
Обнаружены волны горизонтального теплового пограничного слоя в условиях
проникающей термоконвекции при охлаждении сверху;
5
– зависимость коэффициента инжекции от начальной проводимости
жидкости. Определена область устойчивости стационарных двухмерных
пространственно–периодических вихревых структур изотермической ЭК.
Выявлено влияние боковых границ, аспектного отношения конвективной
ячейки и взаимодействия вихрей на волновое число формирующихся структур
многовихревого ЭК–течения.
Теоретическая и практическая значимость. Разработанные методы,
алгоритмы и программы позволяют проводить многопараметрический анализ
на основе численного решения широкого круга задач, связанных с
конвективными течениями изотропных и анизотропных сред в электрических,
тепловых и гидрогазодинамических полях.
Результаты,
полученные
при
исследовании
формирования,
взаимодействия и устойчивости пространственных ЭК–структур, вносят вклад
в развитие теории устойчивости конвективных течений, а также представляют
интерес для общей электрогидродинамической теории. Результаты изучения
конвективных, естественных и смешанных течений малой интенсивности
имеют фундаментальное значение для общей теории конвективного
теплообмена. Кроме того, решение поставленных в диссертации задач имеет
важное значение для развития методов моделирования течений жидкостей и
газов.
Разработанные средства моделирования и комплексы программ могут
быть
использованы
при
проектировании
систем
охлаждения
полупроводниковых, электронных и оптических устройств, приборов
радиофизики, вакуумной и плазменной электроники, термостатировании
телекоммуникационной, вычислительной и другой аппаратуры.
Результаты, полученные при исследовании электроконвекции, а также
средства численного моделирования могут использоваться при разработке и
совершенствовании электрогидродинамических (ЭГД) преобразователей
различных типов (ЭГД–генераторов, ЭГД–устройств автоматики, ЭГД–
фильтров и др.), при разработке и улучшении характеристик существующих
высоковольтных, в том числе сверхпроводящих кабелей с изоляцией в виде
жидких и газообразных диэлектрических сред.
Полученные результаты и разработанные средства численного
моделирования могут быть использованы при исследовании влияния
электрогидродинамических
и
термоконвективных
процессов
на
электрооптические свойства нематических жидких кристаллов, а также для
улучшения характеристик устройств, созданных на их основе.
Обоснованность и достоверность результатов основываются на
качественном и количественном соответствии результатов с данными
экспериментальных и теоретических исследований других авторов,
обеспечиваются корректностью и полнотой используемых моделей,
соответствием области применимости моделей кругу исследуемых физических
6
явлений, сходимостью вычислительных алгоритмов, проверкой точности
вычислений, результатами тестирования алгоритмов и программ.
Положения и результаты, выносимые на защиту:
1. Метод и алгоритм проверки адекватности и коррекции модели
униполярных инжекционных свойств системы электрод–слабопроводящая
жидкость на основе данных натурного эксперимента о величине пороговой
напряженности электрического поля, соответствующей началу изотермической
электроконвекции.
2. Вычислительный алгоритм определения значений вихря скорости на
твёрдых непроницаемых границах, заключающийся в сочетании полученных
аналитических решений с коррекцией поля вихря скорости согласно
интегральному соотношению, адаптированному к методу конечных элементов
Галёркина.
3. Метод и алгоритм исследования взаимодействия вихревых структур
ЭК–течений слабопроводящих жидкостей в плоскопараллельных слоях,
заключающейся в решении задачи ЭК на последовательности конвективных
ячеек и выявлении изменений полей, обусловленных взаимодействием вихрей.
4. В горизонтальном плоскопараллельном слое жидкости, охлаждаемом
сверху,
обнаружены
колебательные
режимы,
сопровождающиеся
возникновением температурных волн пограничного слоя в условиях
проникающей термоконвекции.
5. Закономерности смешанной термогравитационной конвекции в
горизонтальных и вертикальных слоях, щелях, плоскопараллельных каналах и
областях сложной формы систем охлаждения с дискретными источниками
тепла на границах, а также закономерности ослабленной термогравитационной
конвекции в областях прямоугольной формы. Полученные зависимости
теплообмена и течения от геометрических параметров, количества и
расположения источников тепла, тепловых условий на границах, физических
свойств среды.
6. Закономерности формирования, взаимодействия и устойчивости
пространственно–периодических
вихревых
структур
ЭК–течений
слабопроводящих жидкостей с униполярной инжекционной проводимостью в
однородном электрическом поле. Полученная зависимость коэффициента
инжекции от начальной проводимости жидкости, выявленная область
устойчивости стационарных двухмерных пространственно–периодических
вихревых структур.
Апробация работы, публикации и внедрения. Результаты работы
докладывались на 3-м Минском Международном форуме "Тепломассообмен
ММФ-96" (Минск, 20–24 мая 1996); International Conference on Nonlinear
Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine (Saratov, July
8–14, 1996); 4-й Международной теплофизической школе "Теплофизические
измерения в начале 21 века" (Тамбов, 24–28 сентября 2001), 9-й
Международной научной конференции им. акад. М. Кравчука (Киев, 16–19 мая,
7
2002), SPIE International Symposium “Photonics West 2008”, Technical program
(San Jose, USA, 19–24 January, 2008). Материалы диссертации обсуждались на
научных
семинарах
кафедры
прикладной
физики
Саратовского
государственного университета и кафедры информационной безопасности
автоматизированных систем Саратовского государственного технического
университета.
Список публикаций по теме диссертации содержит 51 наименование, из
которых 20 статей опубликовано в журналах, рекомендованных ВАК, 18 статей
в других научных изданиях, 13 тезисов докладов, результаты использовались
при выполнении 12 НИР, получены 3 свидетельства о государственной
регистрации программ для ЭВМ.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав,
заключения и списка использованной литературы. В ней содержится 209 стр.
основного текста, 90 рисунков на 53 стр. и список литературы из 294
наименований на 30 стр. Общий объём работы 292 стр.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении к диссертации дана общая характеристика работы,
обоснованы актуальность исследований, научная новизна и практическая
значимость. Здесь же сформулированы цель и задачи диссертационной работы,
выделены новые результаты, приводятся основные положения, выносимые на
защиту.
В Главе 1 анализируются используемые математические модели,
обсуждаются совокупности принятых при выводе уравнений допущений,
развиты численный метод и вычислительный алгоритм, предложены
математический метод и алгоритм определения граничных условий для вихря
скорости, дано описание программ комплекса.
Для моделирования термоконвективных и гидромеханических процессов
используются уравнения Навье–Стокса в приближении Буссинеска:
V
1
 (V )V   p  V   gn ,
t
0

 V   a ,
t
div V  0 ,
(1.1)
(1.2)
(1.3)
где V – вектор скорости;  – кинематическая вязкость;  – коэффициент
теплового расширения; g – вектор ускорения свободного падения; n –
единичный
вектор
внешней
нормали;
a
–
коэффициент
температуропроводности; температура  отсчитывается от некоторого среднего
постоянного значения, соответствующего плотности  0 ; давление p есть
отклонение от гидростатического давления, соответствующего средней
постоянной температуре и плотности  0 .
8
Представленный в главе аналитический обзор показывает, что уравнения
(1.1)–(1.3) обеспечивают решения, совпадающие с экспериментальным
материалом, по крайней мере, в лабораторных масштабах. Тенденцию к
завышению величины температуры и занижению величины скорости течения
можно ожидать для газов в областях с характерным размером миллиметр и
менее. Увеличение погрешности решения следует прогнозировать также в
областях с большим вертикальным масштабом.
Использовалась следующая двухмерная модификация уравнений (1.1)–
(1.3) в переменных «вихрь скорости– функция тока– температура»,
позволяющих уменьшить количество уравнений и исключить давление:


   2
 2 


u

  xx 2   yy
 gx
 g y
,
2 
t
x
y  x
y 
y
x
(1.4)
 2  2

 ,
 x2  y 2
(1.5)


   2
 2
u

  axx
 a yy 2
t
x
y  x 2
y

  b  Q .

(1.6)
Здесь   rotV – вихрь скорости – векторная величина, описывающая
локальное вращение жидкости;  – функция тока, связанная с компонентами
вектора скорости выражениями u=/y, =/x.
В отличие от классической модели Буссинеска уравнения (1.4)–(1.6)
позволяют описывать течения сплошных сред как с изотропными, так и с
анизотропными свойствами. Для развитых турбулентных течений xx, yy, axx, ayy
– коэффициенты турбулентной вязкости и температуропроводности. Для
случая нематических жидкостей xx, yy – комбинации коэффициентов Лесли,
axx, ayy – главные значения тензора температуропроводности вдоль и
перпендикулярно нематической оси. Кроме того, в уравнение (1.6) добавлены
внутренние распределённые источники тепла, зависящие от температуры, где Q
– мощность внутренних источников, b – коэффициент нелинейности. В
большинстве численных расчётов использовался безразмерный вид уравнений
(1.4)–(1.6) для изотропных жидкостей:
 

 Y
   ,
 

 Y
  


,

   Grx
 Gry
X X Y
Y
X
(1.7)
(1.8)
   1

  ,
X X Y Pr
(1.9)
где Grx=gxq0H4/2, Gry=gyq0H4/2– критерий Грасгофа; Pr=/a – критерий
Прандтля, q – масштаб потока тепла,  – коэффициент теплопроводности.
9
ЭК–явления моделировались на основе уравнений электрогидродинамики
гомогенной слабопроводящей среды:
 V

 V  V   p   2V  qE ,
 t

V  0 ,
 E  q , E   ,
q
 ( 0 E  qV  Diq)  0 ,
t

 
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)


где  – плотность; V – вектор скорости; p – давление; E – вектор
напряженности электрического поля;  – диэлектрическая проницаемость;  –
динамическая вязкость; q – объёмная плотность зарядов;  0 – начальная
проводимость (измеренная по линейному участку вольт–амперной

характеристики);  – электрический потенциал; j – плотность электрического
тока; Di – коэффициент диффузии ионов.
Для решаемых в работе задач характерны квазиэлектростатические
двухмерные процессы в двухкомпонентных ЭГД–системах при изотермических
внешних условиях. В этом случае уравнения (1.10)–(1.13) могут быть записаны
в переменных «вихрь скорости –функция тока –объёмная плотность зарядов» в
безразмерном виде
E Q
    
E Q


   Gre x
 Gre y
,
 Y X X Y
 Y
 X
(1.14)
   ,
(1.15)
Q  Q  Q
1
1



Q
Q .
 Y X X Y
Pre
Prd
(1.16)
Здесь Gre=Ф02/42–– электрический аналог числа Грасгофа;
Pre=/0H2 – электрический аналог числа Прандтля; Prd=/Di – диффузионное
число Прандтля. Приведённый в главе аналитический обзор показал, что
уравнения
(1.14)–(1.16)
обеспечивают
решения,
совпадающие
с
экспериментальным материалом до средних напряженностей электрического
поля 1012 кВ/см для рассматриваемого класса изолирующих жидкостей.
Уравнения (1.7)–(1.9) и (1.11)–(1.13) замыкаются граничными условиями
Дирихле, Неймана или Ньютона и начальными условиями, вид которых
определяется конкретной задачей. Применение процедуры МКЭ Галеркина для
решения уравнений (1.4)–(1.6) и (1.14)–(1.16) (ортогонализация невязки
относительно базисных функций, определенных локально – на конечных
элементах) приводит к системе из трех матричных уравнений вида
10

C    K   F   0 ,
t
где [C] — матрица демпфирования; [K] — матрица жесткости; {Ф} — вектор
узловых значений; {F} — вектор нагрузки. Элементы матриц [C], K и вектора
1
N i N j dS ,
F для уравнений (1.4)–(1.6) имеют вид: для вихря скорости cij 
 Se
kij 
 
  ( y )
Se
fi    Ni (
S
e
e
Ni
N j
x
(
N j

N i N j
N i N j
) e Ni


x
y
x x
y y

1
)e dS 
x

 N
i
S
n 1
e
dS ;
для

 dS ,

функции
тока
cij  0 ,
e
 N N j Ni N j 
kij     i

 dS ,

x

y

y
e  x

S
fi   N ie dS ;
S
для
температуры
e
N j
N j 
1



N i N j dS ,
kij    N i N j  (
)e Ni
(
)e Ni
 dS ,

 S e

y

x

x

y

S 
1
fi 
N ien1dS . Здесь cij – элемент матрицы демпфирования;  – шаг по

 S e
времени; Ni, Nj – функции формы; Se – площадь конечного элемента; e – индекс
конечного элемента; kij – элемент матрицы жесткости; fi – элемент вектора
нагрузки; n – индекс шага по времени. Величины с нижним индексом e
усредняются по каждому конечному элементу, величины с верхним индексом
n-1 относятся к предыдущему временному шагу. Матрицы [C] и [K], а также
вектор {F} формируются суммированием по всем конечным элементам. В
большинстве задач температура, вихрь скорости, функция тока и объёмная
плотность зарядов аппроксимировались линейной комбинацией не зависящих
от времени функций формы на линейных треугольных конечных элементах.
Для временной аппроксимации использовалась неявная двухслойная схема.
При численном решении уравнений гидрогазодинамики, тепло–
массообмена, электро– и термоконвекции в переменных "вихрь скорости–
функция тока" одной из основных трудностей является определение граничных
условий для вихря скорости на твердых непроницаемых границах. Поскольку
для уравнения Пуассона (1.8), (1.15) условия Дирихле и Неймана должны быть
реализованы одновременно, а условия для вихря скорости (1.7), (1.14) на
границе при этом остаются неопределенными. В зависимости от
эффективности решения этой проблемы оценивается, в значительной степени, и
эффективность численного алгоритма.
В главе представлен обзор существующих методов решения этой
проблемы, показана возможность использования одномерных моделей для
приближённого вычисления значения вихря скорости на границе расчётной
области, предложен математический метод решения указанной проблемы,
cij 
e
11
адаптированный к МКЭ Галёркина. Известно (Quartapelle L., Valz-Gris F., 1981),
что локального эквивалента граничного условия для  не существует, а должно
выполняться интегральное условие вида

  dS   (b a ) dL ,
n
S
L
(1.17)
где  – функция, определенная на всей области S, с границей L такая, что =0,
L=a, (/n)L=b. В задачах конвекции для замкнутых областей, либо областей,
имеющих границы с условием (/n)L=0, величины a=b=0, что позволяет
сформулировать (1.17) как
  dS 0 .
S
(1.18)
Условие (1.18) в сочетании с МКЭ может быть эффективно использовано
для коррекции поля вихря скорости на каждом временном шаге или каждой
итерации. Выражение для поправки поля  выглядит как:
  
1 E
 S ,
S e1 e e
(1.19)
где e – индекс конечного элемента; E – количество конечных элементов в
расчётной области. Представленный метод вычисления поправки к значению
вихря скорости, в сочетании с использованием аналитических решений,
позволяет значительно сократить, либо, в ряде случаев, исключить
промежуточные итерации в алгоритме решения. Тем самым существенно
снижается время расчёта одного шага по времени и повышается эффективность
решения.
Таким образом, предложен следующий алгоритм решения систем (1.7)–
(1.9) и (1.14)–(1.16), схематично представленный на рис. 1. Блок «ввод данных»
объединяет подпрограммы ввода, интерпретации, контроля и проверки,
заполнения массивов. Далее вычисляются начальное приближение для
внешнего течения (для смешанной конвекции) и начальное поле температур.
Уравнения (1.7)–(1.9) или (1.14)–(1.16) решаются последовательно. Каждый
временной шаг начинается с вычисления поля температур, затем, в рамках
внутреннего цикла, определяются граничные условия для вихря скорости на
основе аналитических моделей, поле вихря скорости вычисляется и
корректируется согласно (1.19). Определяется поле функции тока и
осуществляется проверка сходимости. Блок «вывода результатов» объединяет
подпрограммы вычисления
12
всей совокупности выводимых
значений,
графической
интерпретации
полей
и
др.
Результаты
тестирования
алгоритма
и
программы
на
классической задаче о тепловой
конвекции в квадратной области
показали
качественное
и
количественное
совпадение
с
решениями
других
авторов
(Полежаев В.И., Буне А.В., Верезуб
Н.А. и др., 1987).
В главе приведено описание программ комплекса, представлен обзор
аналогов. Комплекс программ построен на единой алгоритмической основе
МКЭ Галеркина, общей структуре данных, общих принципах ввода и вывода,
общих сервисных и иных модулях. Он состоит из:
- программы численного моделирования стационарных и нестационарных
термоконвективных и гидромеханических процессов в изотропных и
анизотропных сплошных средах с внутренними распределёнными источниками
тепла, зависящими от температуры в областях с нерегулярной геометрией и
неоднородными условиями на границах, изменяющимися во времени
(EPEMAI_TERMO);
- программы численного моделирования стационарных и нестационарных
электрогидродинамических процессов в слабопроводящих жидкостях с
униполярной инжекционной проводимостью в областях с нерегулярной
геометрией и неоднородными условиями на границах (EPEMAI_ELECTRO);
- программы численного моделирования стационарного сопряженного
теплообмена в областях с нерегулярной геометрией и неоднородными
условиями на границах (DBKMAI).
В программах реализованы оверлейная структура, динамическое
распределение памяти, генератор сетки с подсеточным разрешением геометрии,
генератор адаптивной сетки, редактор вводимых данных, блок анализа и
интерпретации результатов и др.
Глава 2 посвящена изучению на основе технологии вычислительного
эксперимента термогравитационной конвекции Рэлея–Бенара и волновых
явлений в горизонтальных слоях жидкостей и газов, подогреваемых снизу, либо
охлаждаемых сверху. Этот вид конвекции является типичным для систем
охлаждения, а также представляет теоретический интерес, вследствие наличия
сложной пространственно-временной динамики,
13
эффектов самоорганизации и турбулентности. Основное внимание уделено
изучению влияния тепловых начальных и граничных условий, разного рода
осложняющих факторов для многовихревых течений в протяжённых слоях
(каналах, щелях), а также влияния этих условий на область устойчивости
структур. В расчётах использовались математическая модель (1.7)–(1.9) и
разработанная на её основе программа EPEMAI_TERMO.
На рис. 2 показаны зависимости максимума температуры от
пространственного периода l для вихревых структур конвекции Рэлея–Бенара в
плоскопараллельном горизонтальном слое, подогреваемом снизу постоянным и
равномерным тепловым потоком при различных величинах критерия Грасгофа.
Совокупность кривых на рис. 2 являет собой область устойчивости,
отличающуюся от аналогичной области для классической задачи с
изотермическими границами (Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., 1972) большим
интервалом чисел Грасгофа и пространственных периодов структур.
Максимумы и минимумы на рис. 2, разность между которыми увеличивается с
ростом числа Gr, соответствуют максимуму и минимуму эффективности
охлаждения.
14
Пространственный период структур, обеспечивающих максимальное
охлаждение, с ростом числа Грасгофа уменьшается, что совпадает с
результатами для изотермических границ (Буссе Ф.Г., 1984), но при этом
максимум теплопереноса приходится на меньшие величины пространственных
периодов. Кроме того, в задаче с однородным тепловым потоком существует
продольный градиент температуры по нижней границе слоя, наблюдается
несимметричность относительно восходящих и нисходящих конвективных
потоков и др.
Развивающиеся в конвективном течении возмущения могут иметь форму
движущихся по потоку волн теплового пограничного слоя. Такие волны
наблюдались экспериментально (Hart J. E., 1971; Кирдяшкин А. Г. и др., 1971) и
моделировались численно (Гершуни Г. З., 1974; Winters K. H., 1987) в
вертикальных, наклонных и замкнутых пограничных слоях. В главе
колебательные режимы, сопровождающиеся генерацией температурных волн
пограничного слоя, впервые получены для термоконвекции в горизонтальном
плоскопараллельном слое жидкости, охлаждаемом сверху (рис. 3).
Механизм генерации волн связан с периодическим отрывом «термиков»
от охлаждаемой поверхности. Область существования режима колебаний,
сопровождающихся генерацией волн, достаточно мала. Она ограничена
медленным ростом колебательных возмущений и неустойчивостью вихрей с
большим горизонтальным размером. Для возникновения волн необходимо
формирование достаточно тонкого теплового пограничного слоя вблизи
нижней границы, который становится неустойчивым по отношению к тепловым
возмущениям, вызванным периодическим отрывом и обрушением более
"холодной" жидкости.
На рис. 3 показан момент движения (справа налево) двух волн и начала
формирования третьей (отмечены стрелками на нижней границе). Скорость
волн составляет приблизительно 6 безразмерных единиц. Установившиеся
колебания минимума безразмерной температуры представлены на рис. 4.
Период колебаний, соответствующий периоду отрыва "термиков", составляет
0.5 единиц безразмерного времени.
Среди внешних факторов, осложняющих конвекцию Рэлея–Бенара,
наиболее распространённым в задачах охлаждения является внешнее
продольное течение, обусловленное различными причинами. Продольное
течение существенно влияет на границы устойчивости и характеристики
критических возмущений, а также приводит к появлению новых механизмов
неустойчивости. В главе показано, что взаимодействие термоконвекции с
внешним течением проявляется в формировании устойчивых поперечных
вихревых структур – областей с обратным течением. Диапазон существования
вихревых термоконвективных структур в плоском слое воздуха при
продольном течении с профилем Пуазейля мал (Re= 05.6). При больших
числах Рейнольдса Re конвективный механизм играет лишь роль возмущений
внешнего потока.
В Главе 3 изложены результаты исследования смешанной
термоконвекции в элементах систем охлаждения и термостабилизации.
15
Основное внимание уделено смешанным течениям в горизонтально и
вертикально расположенных щелях и каналах в условиях нагрева от
дискретных граничных источников тепла. В расчётах использовались
математическая модель (1.7)–(1.9) и разработанная на её основе программа
EPEMAI_TERMO.
Особенности теплообмена существенно зависят от ориентации каналов
(щелей, слоёв), количества и взаимного расположения источников тепла,
мощности источников и интенсивности внешнего течения. Для одинарного
источника в плоскопараллельном горизонтальном канале на рис. 5, вследствие
локального нагрева снизу, формируется вторичное течение в виде двух
асимметричных вихрей, смещенных вниз по потоку.
Совместное влияние вынужденной и естественной конвекции приводит к
уменьшению максимума температуры и к его смещению в направлении
внешнего течения, в сравнении с предельными случаями Gr = 0 и Re = 0. Рост
числа Рейнольдса Re, равно как и сокращение размеров нагреваемого участка,
приводит к значительному уменьшению интенсивности вторичного течения,
усилению асимметрии вихрей и ослаблению влияния выталкивающих сил на
величину максимума температуры. Изменения же положения источника тепла в
пределах нескольких его характерных размеров мало влияют на параметры
течения.
В плоскопараллельном вертикальном канале с локальным источником
тепла на одной из стенок (рис. 6) влияние выталкивающих сил на вынужденное
течение воздуха приводит к возникновению одиночного вторичного
поперечного вихря, смещённого к противоположной стенке канала, что
совпадает с (Elpidorou D., Prasad V., Modi V., 1991). В этом случае зависимость
температуры от интенсивности выталкивающих сил и внешнего течения
немонотонна (рис. 7). На рис. 7 выделяются режим ослабленной конвекции при
Gr<104, характеризуемый ростом температуры с увеличением числа Re и
16
чрезвычайно слабой зависимостью от критерия Gr, и режим развитой
стационарной конвекции при Gr>104, где влияние выталкивающих сил растет,
температура, с ростом критерия Re, уменьшается линейно, с коэффициентом,
обратно пропорциональным числу Грасгофа.
Перепад температур по области нагрева имеет максимум при Re=3.
Сравнительные оценки каналов охлаждения на рис. 5 и 6 позволяют сделать
вывод о более эффективной теплоотдаче при вертикальном расположении.
Количественные оценки говорят об уменьшении температуры почти в два раза.
При этом даже слабая естественная конвекция в вертикальном канале может
обеспечить более эффективное охлаждение, нежели смешанное конвективное
течение в канале, расположенном горизонтально при Re<10.
В вертикальном канале с двумя локальными источниками тепла на одной
из плоскопараллельных стенок (рис. 8) влияние выталкивающих сил на
вынужденное течение воздуха также приводит к возникновению вторичного
течения в форме одиночного поперечного вихря. Его интенсивность зависит не
только от значений критериальных чисел Gr и Re, но и от расстояния между
источниками тепла d. Зависимости температуры и интенсивности вторичного
течения от величины d немонотонны и имеют локальный экстремум при d=2H,
исчезающий с ростом числа Re.
Как видно на рис. 8(е), увеличение температуры при d=2H связано с
изменением структуры конвективного течения. Таким образом, расположение
тепловых источников через расстояние 2H является, по-видимому,
нежелательным. Анализ распределений температуры по нагреваемой стенке
канала для различных взаимных положений источников тепла показал, что в
случае Re=0 максимум температуры перемещается с верхнего теплового
источника на нижний в интервале H<d<2H. В случае Gr = 0 максимум
температуры расположен на верхнем источнике тепла для любых значений d.
17
Вместе с тем наиболее сложными являются задачи, связанные с анализом
комбинированных конвективных течений в сочетании с нерегулярной
геометрией и неоднородными условиями на границах. На рис. 9 представлены
результаты моделирования смешанного конвективного течения и теплообмена
в области со сложной геометрией, имитирующей корпус некоторого
охлаждаемого устройства. На основе анализа результатов численного
моделирования в главе сформулированы рекомендации по конструктивному
заполнению и расположению термочувствительных элементов в корпусе, даны
сравнительные характеристики различных режимов теплообмена, связанных с
вариацией параметров Gr и Re.
В настоящее время существует повышенный интерес к теплообмену в
микроканальных системах (рис. 10), использующихся для охлаждения
миниатюрных устройств различного назначения. Применяются системы минии микроканалов с однофазными и двухфазными течениями. Вследствие малых
размеров (10 мкм<D<103мкм) течение в них чаще всего ламинарно.
Однако описание теплообмена в таких системах связано с рядом
существенных
трудностей,
обусловленных
сопряженностью
полей
температуры в жидкости и каркасе, а также неоднородностью граничных
условий на границе жидкость–стенка, что приводит к необходимости решения
сопряженной задачи конвективно–кондуктивного теплообмена.
Для описания течения капельных жидкостей в микроканалах с диаметром
более 40 мкм применимы точные аналитические или численные решения
уравнений Навье–Стокса с условиями прилипания на твердой стенке. Это
позволяет использовать программу DBKMAI, моделирующую сопряжённый
теплообмен. В главе представлены результаты исследования однофазного
течения и теплообмена в типичной системе микроканалов, показанной на
рис.10. Получены картины полей температур и течений, зависимости
температуры и теплового потока от геометрических параметров и
критериальных чисел. Так, на рис. 11 показаны изменения избыточной
температуры и безразмерного теплового потока по длине микроканала, где
видны значительный рост температуры на начальном участке и одновременное
уменьшение теплопереноса. Увеличение интенсивности внешнего течения до
Re=103 и более приводит к крайне слабой зависимости максимума температуры
от теплового потока.
18
В Главе 4 содержатся результаты численного исследования физических
эффектов ослабленных термоконвективных течений в элементах систем
охлаждения и термостабилизации. В расчётах использовались математическая
модель (1.4)–(1.6) и разработанная на её основе программа EPEMAI_TERMO.
Ослабленная конвекция является переходом от режима теплопроводности
(неподвижная жидкость) к режиму развитой стационарной конвекции. В этом
режиме возникает эффект максимума температурной стратификации (Полежаев
В. И., Авдуевский В. С., 1974), заключающийся в образовании локальных зон
перегрева и переохлаждения, обусловленных неэффективностью конвективного
перемешивания вследствие несформированного пограничного слоя. Такие
течения характерны для условий ослабленной силы тяжести (микроускорений),
19
а также могут сопровождать теплообмен в современных системах
микроэлектроники, как следствие миниатюризации, при характерных размерах
областей порядка 0.110 мм и типичных тепловых потоках 103109 Вт/м2.
Изучалось влияние геометрических параметров, тепловых граничных
условий, физических свойств среды. Получены зависимости температур,
тепловых потоков и параметров течений от критериальных чисел,
геометрических характеристик и условий на границах, картины температурных
полей и полей течений. На рис. 12, 13 показано развитие теплообмена при
ослабленной конвекции воздуха в прямоугольных полостях, подогреваемых
снизу (рис. 12), либо охлаждаемых сверху (рис. 13), с относительными
размерами L/H=1.5 (рис. 12); 2.5 (рис. 13), б, в – изотермы и линии тока при
Gr=2.5103. Здесь и далее 1 – температура режима теплопроводности.
Зона локального перегрева (превышение температуры режима
теплопроводности) образуется в левом нижнем углу полости на рис. 12, зоны
локального переохлаждения – в верхних углах полости на рис. 13.
Как следует из анализа кривых, эффект максимума температурной
стратификации является следствием процесса развития теплового пограничного
слоя, происходящего в очень малом интервале 103<Gr<2.5103, где
конвективный и кондуктивный тепловые потоки близки по величине.
Исследование влияния геометрических параметров на эффекты слабой
конвекции в прямоугольных областях с относительными размерами 0.5L/H4,
нагреваемых снизу постоянным равномерным тепловым потоком, выявило, что
для узких полостей L/H<1 режим ослабленной конвекции наступает при
больших значениях числа Грасгофа, величина перегрева здесь существенно
меньше вследствие стабилизирующей роли границ (рис. 14). Для широких
полостей максимум перегрева достигается при Gr2103 (для одно–, двух– и
трехвихревых течений) и величина относительного перегрева составляет до
10% (рис. 14, 15).
20
Максимум перегрева на рис. 15 с ростом отношения длин сторон полости
изменяется немонотонно, увеличиваясь в пределах одного типа течения и
претерпевая разрывы в точках его разрушения. Уменьшение угла наклона
зависимости 3 на рис. 15 с ростом числа вихрей позволяет предположить
снижение максимума перегрева для многовихревых течений в плоских слоях.
Результаты обобщены на рис. 16, где показаны максимум перегрева и
границы области ослабленного течения для одновихревого (A), двухвихревого
(B) и трехвихревого (C) течения в прямоугольной полости, где I – минимальное
критическое число Рэлея Ram=1296 (волновое число 2.56) для
плоскопараллельного слоя (Sparrow E. M., 1964).
Для задач охлаждения более характерны граничные условия Неймана
(равномерный, постоянный тепловой поток) и условия Ньютона (общее условие
теплоотдачи). Между тем эффекты слабой конвекции наиболее изучены в
областях с условиями Дирихле для температуры на границах. Численный
анализ конвективного движения воздуха в квадратной области с условиями
Неймана и Ньютона на нижней и верхней стенках, представленный в главе,
показал, что локальные эффекты ослабленной конвекции существенно зависят
от вида тепловых условий на границах.
Так, на нижней границе с заданным тепловым потоком зависимость
величины перегрева m(lgGr) проходит через максимум, затем снижается до
нуля (кривые 2, 3 на рис. 17). Далее, в режиме развитой конвекции,
зависимость m(lgGr) становится близка к линейной. Как показано на рис. 17,
с ростом теплоотдачи на верхней границе, характеризуемой условием Ньютона
с безразмерным коэффициентом b, максимум перегрева смещается в сторону
больших чисел Грасгофа, величина же этого максимума изменяется
незначительно. На верхней границе с общим условием теплоотдачи зона
переохлаждения сохраняется во всем исследуемом диапазоне чисел Грасгофа
21
(кривые 4-7 на рис. 17), абсолютная величина переохлаждения существенно
выше величины перегрева. С ростом критерия b максимум переохлаждения
значительно уменьшается, экстремум зависимости m(lgGr) становится
незаметен. Величина максимума температурного расслоения наиболее
существенно изменяется в интервале 1<b<10.
Эффекты ослабленной тепловой конвекции наиболее изучены для среды,
более всего соответствующей свойствам воздуха (Pr=0.71, 1). Для жидкостей с
иными физическими свойствами существуют результаты, полученные на
основе решения линеаризованной задачи для полости при боковом подогреве
(Полежаев В.И., Белло М.С., Верезуб Н.А., 1991). В главе представлены
результаты изучения локального теплообмена и температурного расслоения
при естественной тепловой конвекции в подогреваемой снизу прямоугольной
области для жидкостей c 0.01Pr20. Получены зависимости локальных
эффектов от чисел Грасгофа и Прандтля. Даны оценки влияния числа Прандтля
на границы режимов конвекции.
Как показано на рис. 18 (а), свойства жидкости существенно влияют на
интервал существования режима ослабленного течения. C ростом критерия
Прандтля режим слабой конвекции смещается в сторону меньших чисел
Грасгофа. Изменение максимумов на рис. 18 (а) m с ростом критерия Pr
аппроксимируется зависимостью
m = 0.075e2.344lgPr.
Однако свойства жидкости слабо влияют на величину относительного
перегрева рис. 18 (б), где /m,0  относительный перегрев,  = mm,0 
превышение максимума температуры над режимом теплопроводности, m 
максимум температуры при текущем значении критерия Gr, m,0  максимум
температуры режима теплопроводности. Как показывают результаты
исследования, такая зависимость объясняется подобием температурных полей,
соответствующих максимуму расслоения, при различных числах Прандтля.
22
Изменение максимума температуры с ростом критерия Gr при выходе на
режим развитой стационарной конвекции линейно. Это позволяет по
результатам на рис. 18 (б) установить границу режимов, используя линейное
приближение (метод наименьших квадратов) и вычисляя нули полученных
функций. Зависимости являются прямыми линиями в логарифмике, что дает
возможность сформулировать критерий завершения режима слабого течения и
начала стационарной развитой конвекции как
GrPr2=3415,
а критерий максимума перегрева как
GrPr2=2195 при 0.01 < Pr < 20.
Из этих соотношений следует, что граница между исследуемыми
режимами конвекции и максимум перегрева не могут быть описаны числом
Рэлея, а описываются критерием GrPr2, характерным для жидкостей с Pr1.
В Главе 5 представлены математические методы и результаты
комплексного исследования изотермических ЭК–течений жидких диэлектриков
в плоскопараллельных слоях, включая результаты изучения взаимодействия
пространственно–периодических вихревых диссипативных ЭК–структур.
Использовались математическая модель (1.14)–(1.17) и разработанная на её
основе программа EPEMAI_ELECTRO.
Электрические поля, являясь при определённых условиях причиной
конвективных течений, могут существенно интенсифицировать тепло– и
массообменные процессы, что позволяет рассматривать их как перспективный
элемент систем охлаждения.
В изотермических условиях основной причиной, вызывающей ЭК–
течение в плоском слое слабопроводящей жидкости (газа), является
униполярная инжекция зарядов с катода, т.е. электризация вследствие
локального нарушения равновесия реакции диссоциации–рекомбинации
молекул жидкости в примыкающих к электродам областях. Вследствие этого
около электрода образуется одноименный электрический заряд, который или
успевает релаксировать за счет омического тока и взаимодействия с
противоположными ионами жидкости, либо провоцирует кризисное
возникновение ЭК–движения в виде пространственно–периодических
двухмерных вихрей, подобных структурам конвекции Рэлея–Бенара (рис. 19).
Однако инжекционные свойства системы электрод–жидкость, зависящие
от большого количества параметров, остаются до конца не ясными, вследствие
чего большинством исследователей полагаются либо постоянными, либо
линейно зависящими от средней напряжённости электрического поля. В главе
предложены математический метод и алгоритм проверки и коррекции модели
инжекционных свойств системы электрод–жидкость на основе данных
натурного эксперимента о величине пороговой напряженности электрического
поля, соответствующей началу ЭК, позволяющие определить зависимость
коэффициента инжекции от начальной проводимости жидкости.
23
Основой метода являются варьирование величины коэффициента
инжекции , численное определение пороговой напряженности E* по
бифуркационной диаграмме для экстремума функции тока на основе корневого
закона, выявление корреляции полученных значений с экспериментальной
зависимостью пороговой напряженности электрического поля от начальной
проводимости жидкости E*() (Федоненко А. И., Жакин А. И., 1982).
Результаты показывают, что порог изотермической ЭК обусловлен не столько
гидростатической неустойчивостью, сколько особенностями формирования
объемного заряда в приэлектродном слое, а также позволяют получить
зависимость коэффициента инжекции от начальной проводимости жидкости
  /  0 
0,618
 107,677 ,  0  1012 (Î ì  ì ) 1 ,
где значение  для раствора молекулярного йода в трансформаторном масле
совпадает с используемым ранее (Тарунин Е. Л., Ямшинина Ю. А., 1990).
Также не выявлено до настоящего времени влияния механизма
электродиффузии на особенности ЭК–процессов. Используемые эмпирические
соотношения дают малые, но существенно различающиеся величины
коэффициентов электродиффузии для слабопроводящих жидкостей 10-510-10
м2/с, что позволяет пренебрегать электродиффузионным токопереносом.
Однако предложенный в главе метод позволил сделать вывод, что
влияние диффузионного токопереноса на ЭК–движение слабопроводящей
жидкости с униполярной инжекционной проводимостью существенно вблизи
критических точек системы и приводит к изменению границ устойчивости
течения. Так, изменения коэффициента электродиффузии в пределах 010-10
м2/с уменьшало интервал устойчивости от 2.5k15.7 до 1.9k14.0 и смещало
его в сторону меньших волновых чисел (k – волновое число структур), при
Di=10-5 все возмущения затухали.
Исследования устойчивости пространственно–периодических вихревых
ЭК–структур ограничены до настоящего времени методами линейной теории,
справедливой лишь вблизи кризиса потери устойчивости равновесия. В главе
область
устойчивости
стационарных
двухмерных
пространственнопериодических вихревых структур ЭК–течения жидкого диэлектрика (Pre=0.14)
в плоскопараллельной системе электродов получена методом вычислительного
эксперимента. Выявлены также структуры течения, образующиеся в результате
потери устойчивости пространственно-периодических стационарных вихрей.
Границы области устойчивости показаны на рис. 20 (кривая 1), область
не замкнута сверху вследствие ограничений модели, прямая 2 совпадает с
экспериментальным пороговым значениям (Федоненко А. И., Жакин А. И.,
1982). Форма области устойчивости подобна форме "областей Буссе" для
24
рэлеевской термоконвекции (Буссе Ф. Г., 1984). Наиболее «опасным» является
возмущение с волновым числом k=4.8, что совпадает с теоретическим
значением (Жакин А. И., Тарапов И. Е., 1981) и близко значениям,
наблюдаемым экспериментально (Стишков Ю. К., 1972).
Характер потери устойчивости структур течения зависит от значений
электрического аналога числа Грасгофа Gre и волнового числа k. При
Gre2.3102 для малых волновых чисел (левая ветвь кривой 1 на рис.3) в
результате разрушения стационарных пространственно-периодических вихрей
формируется
устойчивое
несимметричное
течение,
аналогичное
неустойчивости Экхауза рэлеевской термоконвекции. При Gre>2.3102
формируются другие стационарные пространственно-периодические структуры
течения с удвоенным волновым числом. Структуры не являются
стационарными, интенсивность вихрей немонотонно меняется во времени,
амплитуда колебаний незначительна.
Для больших волновых чисел (правая ветвь кривой 1), при Gre2.3102
вследствие потери устойчивости, формируется стационарное пространственнопериодическое течение с вдвое меньшим волновым числом. При Gre>2.3102
после разрушения стационарных пространственно-периодических вихрей
формируется течение с вертикальным расположением вихревых структур.
Течение также не является стационарным, интенсивность вихрей
немонотонно меняется со временем. За пределами области устойчивости
двухмерных стационарных пространственно-периодических вихрей не
исключено существование других структур течения. Так, при Gre= 2.6102 и
L/H=0.3 было получено метастабильное течение со сложной периодичностью, с
вертикальным несимметричным расположением вихрей разной интенсивности.
В главе предложен метод исследования диссипативных структур ЭК–
течений на последовательности элементарных конвективных ячеек,
позволяющий выявить взаимодействие структур течения.
Для этого задача ЭК в плоском слое слабопроводящей жидкости с
условиями симметрии на боковых границах решалась на последовательности
25
расчётных областей, изменяющихся с некоторым шагом. Это позволило
выявить, что, как показано на рис. 21, для жидкости, характеризуемой
значением электрического аналога числа Грасгофа 4102, значением критерия
Pre=0.14 и безразмерной инжекцией зарядов с катода 7.85, при относительной
протяженности слоя L/H6 вследствие взаимодействия вихрей формируются
структуры с волновым числом, равным  (цилиндрические вихри). При
меньших размерах конвективной ячейки волновое число структур определяется
влиянием боковых границ. При L/H6 волновое число формирующихся
стационарных пространственно–периодических ЭК–структур определяется
скоростью роста возмущений вблизи боковых границ и в центре слоя и их
взаимодействием.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы
диссертационной работы.
Основные результаты и выводы
1. Развит и реализован математический метод моделирования
термоконвективных,
электрогидродинамических
и
гидромеханических
процессов в изотропных и анизотропных сплошных средах на основе
модифицированной модели Буссинеска.
2. Разработан эффективный вычислительный алгоритм определения
значений вихря скорости на твёрдых непроницаемых границах, основанный на
сочетании полученных аналитических решений с коррекцией поля вихря
скорости согласно интегральному соотношению, адаптированному к методу
конечных элементов Галёркина. Алгоритм позволяет существенно уменьшить
количество промежуточных итераций, улучшить сходимость, расширить круг
решаемых задач.
3. Разработан комплекс программ численного моделирования методом
конечных элементов Галёркина, включающий:
- программу решения двухмерной нестационарной задачи для системы
уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска в переменных «вихрь
скорости – функция тока – температура», позволяющую моделировать
изотермические, термоконвективные и смешанные течения жидкостей и газов с
изотропными и анизотропными физическими свойствами в областях
произвольной формы с различными типами условий на границах;
- программу решения двухмерной нестационарной задачи для системы
уравнений
изотермической
электрогидродинамики
слабопроводящих
жидкостей с униполярной инжекционной проводимостью в переменных «вихрь
скорости – функция тока – объёмная плотность зарядов», позволяющую
моделировать электроконвективные и смешанные течения в областях
произвольной формы;
- программу решения двухмерной задачи сопряжённого теплообмена в
областях произвольной формы с различными типами условий на границах.
Метод конечных элементов Галёркина модифицирован применительно к
задачам термоконвекции и впервые использован в задачах электроконвекции.
Программы
дают
возможность
эффективного
комплексного
26
многопараметрического исследования широкого круга физических процессов,
связанных с взаимодействием электрических, тепловых и гидромеханических
полей.
4. Разработан метод проверки адекватности и коррекции математических
моделей на основе данных натурного эксперимента о величине пороговой
напряженности электрического поля для изотермических электроконвективных
течений жидкостей с униполярной инжекционной проводимостью: модель
инжекционных свойств системы электрод–слабопроводящая жидкость, модель
электродиффузии.
Предложен метод исследования взаимодействия вихревых структур ЭК–
течений слабопроводящих жидкостей в плоскопараллельных слоях,
заключающийся в решении задачи ЭК на последовательности конвективных
ячеек.
Методы и алгоритмы могут быть использованы при изучении
конвективных течений иных типов, возникающих вследствие кризиса потери
устойчивости равновесия: концентрационных, термомагнитных и др.
5. На основе предложенных моделей, методов и алгоритмов проведено
комплексное исследование закономерностей формирования, динамики и
устойчивости
стационарных
пространственно-периодических
электроконвективных
вихревых
структур
течения
слабопроводящих
диэлектрических жидкостей с униполярной инжекционной проводимостью в
однородном электрическом поле.
Показано, что величина пороговой напряженности электрического поля,
соответствующая кризису потери устойчивости равновесия плоского слоя
жидкого диэлектрика, существенно зависит от электрохимических процессов в
приэлектродном слое, приводящих к нелинейности граничных условий для
объемной плотности зарядов на катоде. Выявлена область устойчивости
двухмерных стационарных пространственно-периодических вихревых структур
ЭК-течения слабопроводящей диэлектрической жидкости с униполярной
инжекционной проводимостью в однородном электрическом поле. Изучено
влияние боковых границ, аспектного отношения конвективной ячейки и
взаимодействия вихрей на волновое число формирующихся структур
многовихревого ЭК–течения.
6. На основе предложенных моделей, методов и алгоритмов проведено
комплексное исследование смешанной термоконвекции жидкостей и газов, а
также ослабленной термогравитационной конвекции в элементах и узлах
систем охлаждения и микроканальных систем.
Получены зависимости теплообмена и течения от геометрических
параметров, количества и расположения источников тепла, тепловых условий
на границах, физических свойств среды. Определена область устойчивости
вихревых структур двухмерной стационарной термогравитационной конвекции
Рэлея–Бенара для плоскопараллельного горизонтального слоя, подогреваемого
снизу постоянным и равномерным тепловым потоком. Обнаружены
колебательные режимы, сопровождающиеся возникновением температурных
волн пограничного слоя, в горизонтальном слое жидкости, охлаждаемом
27
сверху. Определены границы режима ослабленной конвекции, сформулированы
критерии максимума температурной стратификации и начала развитой
стационарной конвекции.
Приведённые в пп. 5–6 результаты свидетельствуют также о подобии
электро– и термоконвективных явлений, общности закономерностей динамики
пространственных структур в диссипативных средах. Результаты позволяют
оптимизировать системы охлаждения и термостабилизации, варьируя
геометрические параметры, взаимное расположение тепловых источников и
тепловые условия на границах. Количественные оценки говорят о возможности
уменьшения температуры в несколько раз. Результаты, представленные в пп. 5–
6, могут быть использованы в смежных областях для оптимизации
технологических процессов, основанных на тепловой и иных видах конвекции,
при разработке эффективных теплоизоляторов, компактных теплообменников,
солнечных коллекторов и др.
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК:
1. Ермолаев И. А. Численное исследование устойчивости
пространственно-периодических
вихревых
структур
изотермической
электроконвекции жидких диэлектриков в плоскопараллельной системе
электродов / И. А. Ермолаев, А. С. Шаповалов // Компьютерные исследования и
моделирование. 2012. Т. 4. №1. С. 91–98.
2. Ермолаев И. А. Исследование особенностей формирования
пространственно-периодических диссипативных структур многовихревой
изотермической электроконвекции / И. А. Ермолаев, А. С. Шаповалов //
Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2012. Т. 20. № 3. С. 51–61.
3. Ермолаев И. А. О локальных эффектах слабых термогравитационных
конвективных течений / И. А. Ермолаев, С. В. Отпущенников // Известия
Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика.
Информатика. 2012. Т. 12. Вып. 4. С. 56–62.
4. Ермолаев И. А. Моделирование смешанной термогравитационной
конвекции в области с нерегулярной геометрией и неоднородными условиями
на границах / И. А. Ермолаев, А. С. Шаповалов, В. Б. Байбурин // Вестник
Саратовского государственного технического университета. 2011. №4(59) Вып.
1. С. 88–93.
5. Ермолаев И. А. Численное исследование униполярной инжекции при
электроконвективном движении в плоском слое трансформаторного масла / И.
А. Ермолаев, А. И. Жбанов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2003.
№6. С. 3–7.
6. Ermolaev I. A. Modeling of natural thermogravitational convection in
gorizontal channels with an irregularly shaped cross section / I. A. Ermolaev, A. I.
Zhbanov, V. S. Koshelev // Journal of Engineering Physics and Thermophysics.
2003. Vol. 76. № 4. P. 899–903.
28
7. Ермолаев И. А. Программа решения трёхмерной задачи стационарной
теплопроводности методом конечных элементов для ЭВМ БЭСМ-6 / И. М.
Блейвас, И. А. Ермолаев, А. И. Жбанов, В. В. Прохоров // Электронная техника.
Сер. 1. Электроника СВЧ. 1988. Вып. 5. (409). С. 80.
8. Ермолаев И. А. Исследование влияния числа Прандтля на локальные
свойства малоинтенсивной конвекции в подогреваемой снизу прямоугольной
области / И. А. Ермолаев, А. И. Жбанов, В. С. Кошелев, С. В. Отпущенников //
Теплофизика высоких температур. 2011. Т. 49. №4. С. 589–593.
9. Ермолаев И. А. Технологическое воздействие локализованных потоков
энергии на материалы электронной техники / И. А. Ермолаев, В. С. Кошелев, А.
В. Козлов, А. С. Шаповалов // Гетеромагнитная микроэлектроника. 2010. № 8.
С. 121–124.
10. Ермолаев И. А. Смешанная конвекция в вертикальном канале с
дискретными источниками тепла на стенке / И. А. Ермолаев, А. И. Жбанов //
Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2009. №4. С. 40–46.
11. Ермолаев И. А. Влияние тепловых граничных условий на локальные
особенности естественной конвекции малой интенсивности в квадратной
области / И. А. Ермолаев, С. В. Отпущенников // Теплофизика высоких
температур. 2009. Т. 47. №6. С. 914–920.
12. Ермолаев И. А. Исследование режимов малоинтенсивной конвекции в
прямоугольной полости с тепловым потоком на границе / И. А. Ермолаев, А. И.
Жбанов, С. В. Отпущенников // Известия РАН. Механика жидкости и газа.
2008. №3. С. 3–11.
13. Ермолаев И. А. Исследование режимов электроконвективного течения
в жидких диэлектриках при униполярной инжекционной проводимости / И. А.
Ермолаев, А. И. Жбанов // Известия вузов. Физика. 2008. Т. 51. № 6. С. 551–556.
14. Ермолаев И. А. Лазерный фототермолиз биотканей с использованием
плазмонно-резонансных наночастиц / И. Л. Максимова, Г. Г. Акчурин, Г. С.
Терентюк, Б. Н. Хлебцов, Г. Г. Акчурин мл., И. А. Ермолаев, А. А. Скапцов, Е.
М. Ревзина, В. В. Тучин, Н. Г. Хлебцов // Квантовая электроника. 2008. Т. 38.
№6. С. 536–547.
15. Ермолаев И. А. Смешанная конвекция при слабом внешнем течении в
вертикальном канале с источником тепла конечных размеров / И. А. Ермолаев,
А. И. Жбанов, В. С. Кошелев // Теплофизика высоких температур. 2008. Т. 46.
№5. С. 717–722.
16. Ermolaev I. A. Near-infrared laser photothermal therapy of cancer by using
gold nanoparticles: Computer simulations and experiment / I. L. Maksimova, G. G.
Akchurin, B. N. Khlebtsov, G. S. Terentyuk, G. G. Akchurin, I. A. Ermolaev, A. A.
Skaptsov, E. P. Soboleva, N. G. Khlebtsov, V. V. Tuchin // Medical Laser
Application. 2007. Vol. 22. Issue 3. 20. P. 199–206.
17. Ермолаев И. А. Температурные волны в горизонтальном слое
жидкости, охлаждаемом сверху / И. А. Ермолаев, А. И. Жбанов // Письма в
ЖТФ. 2003. Т. 29. Вып. 20. С. 21–25.
29
18. Ермолаев И. А. Формирование структур многовихревой естественной
конвекции в горизонтальном слое, подогреваемом снизу / И. А. Ермолаев, А. И.
Жбанов // Теплофизика высоких температур. 2003. Т. 41. №4. С. 561–567.
19. Ермолаев И. А. Смешанная конвекция в горизонтальном канале при
локальном нагреве снизу / И. А. Ермолаев, А. И. Жбанов // Известия РАН.
Механика жидкости и газа. 2003. №1. С. 33–40.
20. Ermolaev I. A. Investigation of the electroconvective flow of a weakly
conducting liquid with unipolar injection conductivity by the finite element method /
I. A. Ermolaev, A. I. Zhbanov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics.
2002. Vol. 75. № 5. P. 1125–1129.
Публикации в других изданиях, сборниках и материалах конференций:
21. Ермолаев И. А. Моделирование конвективно–кондуктивного
теплообмена в системах микроканалов / И. А. Ермолаев, В. С. Кошелев, С. В.
Отпущенников. // Вопросы прикладной физики: межвуз. науч. сб. Саратов:
Изд–во Сарат. ун–та, 2010. Вып. 17. С. 70–71.
22. Ермолаев И. А. Моделирование конвективного теплообмена при
струйном течении / И. А. Ермолаев, В. С. Кошелев, С. В. Отпущенников. //
Вопросы прикладной физики: межвуз. науч. сб. Саратов: Изд–во Сарат. ун–та,
2008. Вып.14. С. 69.
23. Ermolaev I. A. Application of plasmon resonant nanoshells and nanorods
of gold for IR laser photothermal therapy of cancer in small animal. / Garif G.
Akchurin, Georgy G. Akchurin, Vladimir A. Bogatyrev, Lev A. Dykman, Igor A.
Ermolaev, Irina L. Maksimova, Elena M. Revzina, Alexander A. Scaptsov, Georgy S.
Terentyuk, Boris N. Khelbtsov. // SPIE International Symposium “Photonics West
2008”, Technical program, San Jose, USA, 2008. P. 6845–44.
24. Ермолаев И. А. Численное моделирование температурного поля
низкотемпературной плазменной струи плазматрона / И. А. Ермолаев, А. И.
Жбанов, О. А. Коромыслова // Материалы IX Междунар. науч. конф. им. акад.
М. Кравчука. Киев. 2002. С. 68–69.
25. Ермолаев И. А. Решение двумерной нестационарной задачи тепло– и
массопереноса методом конечных элементов / И. А. Ермолаев, А. И. Жбанов, В.
С. Кошелев // Вопросы прикладной физики: межвуз. науч. сб. Саратов: Изд–во
Сарат. ун–та, 2002. Вып. 8. С. 60.
26. Ермолаев И. А. Моделирование нерегулярных структур естественной
термоконвекции в полостях со сложной геометрией методом конечных
элементов / И. А. Ермолаев, А. И. Жбанов // Прикладные исследования в
радиофизике и электронике. Сб. науч. ст. Саратов. 2001. С. 56–58.
27. Ермолаев И. А. Численное моделирование распределения напыляемых
частиц в плазменной струе при плазменном напылении / И. А. Ермолаев, А. И.
Жбанов, О. А. Коромыслова, В. С. Кошелев // Тезисы докладов 4й
Международной теплофизической школы. 24–28 сент. 2001г "Теплофизические
измерения в начале 21 века". Тамбов. Изд-во ТГТУ. 2001. Ч1. С. 89–92.
28. Ермолаев И. А. Численное исследование влияния внешнего течения на
структуры конвекции Рэлея-Бенара / И. А. Ермолаев, А. И. Жбанов //
30
Прикладные исследования в радиофизике и электронике: Сб. науч. ст. Саратов.
2001. С. 58–60.
29. Ермолаев И. А. Моделирование электроконвективных течений
методом конечных элементов / И. А. Ермолаев, А. И. Жбанов, В. С. Кошелев //
Вопросы прикладной физики: межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та,
2000. Вып.6. С. 98–99.
30. Ермолаев И. А. Численное моделирование распределения напыляемых
частиц в плазменной струе / И. А. Ермолаев, А. И. Жбанов, О. А. Коромыслова,
В. С. Кошелев // Вопросы прикладной физики: межвуз. науч. сб. Саратов: Издво Сарат. ун-та, 2000. Вып.6. С. 104–105.
31. Ермолаев И. А. Исследование устойчивости слабопроводящей
диэлектрической жидкости в плоскопараллельной системе электродов методом
вычислительного эксперимента / И. А. Ермолаев, А. И. Жбанов // Вопросы
прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2000.
Вып.6. С. 103–104.
32. Ермолаев И. А. Моделирование естественной термогравитационной
конвекции в незамкнутой полости методом конечных элементов / И. А.
Ермолаев, А. И. Жбанов, В. С. Кошелев, В. В. Хроменков // ТепломассообменММФ-96, Минск, 3-й Минский Международный форум. 1996. С. 236–240.
Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ:
Свидетельство № 2012611497 от 09.02.2012 о государственной регистрации
программы для ЭВМ EPEMAI_TERMO правообладатель и автор Ермолаев И.А.
Свидетельство № 2012611498 от 09.02.2012 о государственной регистрации
программы для ЭВМ DBKMAI правообладатель и автор Ермолаев И.А.
Свидетельство № 2012611637 от 13.02.2012 о государственной регистрации
программы для ЭВМ EPEMAI_ELECTRO правообладатель и автор Ермолаев
И.А.
Ермолаев Игорь Анатольевич
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
КОНВЕКТИВНЫХ ПОТОКОВ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
В СИСТЕМАХ ОХЛАЖДЕНИЯ УСТРОЙСТВ
РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Автореферат
31