Задачи на механический смысл производной232.5 КБ

Задачи на механический смысл производной.
Учитель математики Бобрус В.А.
I. Производная функции имеет большое практическое приложение.
Задачи на механический смысл производной решают многие жизненно важные вопросы. На
решение задач этой темы программой отводится один урок. Однако целесообразно внедрять
задачи на физический смысл производной на других уроках, на факультативных занятиях, т.к. это
способствует формированию представления о науке математики, как основной науке,
проникающей во многие сферы деятельности человека.
II. 1) Мгновенная скорость прямолинейного движения, совершаемого по закону x = f (t), в
момент времени t 0 , равна значению производной функции f (t) при t = t 0 . V (t 0 ) = V м гн = f´ (t 0 ),
где V м гн = lim t1 t 2 V ср = lim t1 t 2
x 2  x1
,
t 2  t1
x 2 - x 1 =∆x – приращение координаты точки,
t 2 - t 1 = ∆t – приращение времени.
С позиции функциональной зависимости в математике производная – это скорость
изменения функции.
2) Скорость изменения скорости в любой момент времени есть ускорение, т.е. V´ (t 0 ) = a
(t 0 ).
III. Задачи, в которых применяется механический смысл производной, можно подразделить
примерно на следующие типы:
1) Скорость и ускорение
2) Задачи на II закон Ньютона
3) Задачи с воинским содержанием
4) Задачи повышенной трудности
Задачи 1 типа могут быть следующего содержания:
а) определение скорости и ускорения движения
б) определение угловой скорости и ускорения при неравномерном вращательном
движении
в) вычисление скорости протекания процессов физического, химического и другого
характера
IV. Задачи.
I тип.
а) Задача 1.
Точка движется так, что путь S в метрах, пройденный его за промежуток времени t в
секундах, выражается формулой S = 4t 2 +3t.
1) Найти скорость точки в любой момент времени.
2) Вычислить скорость точки в момент t = 3с.
Решение.
м
).
с
м
2)S´(3) = 8*3 + 3 = 27( ).
с
м
Ответ: при t = 3с скорость 27 .
с
1)V = S´(t) = 8t + 3(
Задача 2.
Поезд выходит со станции и через t часов находится на расстоянии S = t 3 +2t 2 +3t
километров от станции отправления. Найти величину его ускорения в конце t часов и в конце 2 го
часа.
Решение.
1) V = S´(t)
V(t) = (t 3 +2t 2 +3t)´ = 3t 2 +4t+3
2) a = V´(t)
a(t) = (3t 2 +4t+3)´ = 6t+4
3) a(2) = 6*2 + 14 = 16(
Ответ: а(2) = 16(
км
).
ч2
км
).
ч2
б) Задача 1.
Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за tс поворачивается на угол  = p
+ qt + rt 2 , где p,q,r – положительные постоянные величины. Определите угловую скорость и
ускорение вращения. Через сколько времени колесо остановится?
Решение.
Угловая скорость    ´ t   q  2rt
Угловое ускорение a   ´  q  2rt  ´  2r
Колесо остановится, когда    ´ t   0 .
Получаем уравнение: q – 2rt = 0, t =
Ответ: колесо остановится при t =
q
(с).
2r
q
(с).
2r
в) Задача 1.
При нагревании тела температура его T изменяется в зависимости от времени нагревания t
по закону T = 0,4t 2 , где T – температура в градусах C, t – время в секундах. Найти скорость
изменения температуры тела в момент t = 4с (т.е. в конце 4 ой секунды от начала нагревания).
Решение.
V(t) = T´(t)
T´(t) = (0,4t 2 ) ´ = 0,8t.
T´(4) = 0,8*4 = 3,2(
Ответ: V(4) = 3,2
град
).
с
град
.
с
II тип.
Задача.
Тело массой 2кг движется прямолинейно по закону S(t) = t 2 +t+1, S – в метрах, t – в
секундах. Найти:
1) Действующую на тело силу.
2) Кинетическую энергию E тела через 2с после начала движения.
Решение.
1) V(t) = S´ (t) = 2t +1.
2) a(t) = V´ (t) = 2.
3) F = ma,
F = 2кг * 2
см
кг * см
кг * см
=4
= 0,04
= 0,04H.
2
2
с
с
с2
mV 2
, V (2) = 5.
2
2000 * 25  г * см 2 

 = 25000 эрг  .
E=
2
2
 с

4) E =
Ответ: F = 0,04H; E = 25000(эрг).
III тип.
Задача.
Зенитный снаряд выброшен вертикально вверх с начальной скоростью V 0
м
. На какой
с
высоте x он будет через tc? Определить скорость и время в момент соприкосновения снаряда с
землей.
Решение.
1) x = V 0 t -
gt 2
2
- высота снаряда через tс.
2) Скорость движения снаряда
V(t) = x´(t) = (V 0 t -
gt 2
)´ = V 0 - gt.
2
V(t) = V 0 - gt.
4) В момент соприкосновения снаряда с землей x = 0.
V0t -
2V
gt 2
= 0; t 1 = 0; t 2 = 0 .
g
2
t 1 = 0 – время вылета снаряда
t2 =
2V0
- момент времени соприкосновения снаряда с землей.
g
Скорость движения в момент соприкосновения с землей
V = V 0 - gt, при t =
2v 0
,V=
g
2V0
 м
= -V 0   .
g
с
2V0
м
Ответ: V = -V 0 , t =
c.
с
g
V 0 - g*
IV тип.
Задача.
Лестница длиной 5м, приложенная к вертикальной стене, падает скользя одним концом о
стену, а другим о пол. С какой скоростью опускается верхний конец лестницы в момент, когда
нижний конец, отодвигающийся от стены с постоянной скоростью 3
расстоянии 4м?
Решение.
A
S
A1
B
3t
B1
м
, будет от нее на
с
По условию AB = A 1 B 1 = 5м – длина лестницы.
A 1 B = AB - AA 1 = (5 – S)м.
BB 1 = 3t м (т.к. нижний конец движения равномерно со скоростью 3
м
).
с
Из ∆A 1 BB 1 ( угол A 1 BB 1 равен 90 0 ) имеем A 1 B 2 = A 1 B 12 - BB 12 , (5 – S) 2 = 5 2 - (3t) 2 ;
5–S=
25  9t 2 - закон движения.
Скорость в любой момент времени: V = S´(t) = (5 -
18t
2 25  9t 2
=
9t
25  9t 2
25  9t 2 )´ =
 м
 .
с
По условию надо найти скорость верхнего конца лестницы в тот момент времени, когда
нижний конец находится на расстоянии 4м от стены, когда BB 1 = 4м. Так как нижний конец
движется равномерно со скоростью 3
4
)=
3
м
Ответ: V = 4( ).
с
V = S´(
4
3 = 4( м )
с
25  16
9*
м
4
, то это произойдет в момент t = c.
3
с