ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ И СОЦИАЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ И СОЦИАЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ УТВЕРЖДАЮ _______________________ "_____"__________________2011__ г. Рабочая программа дисциплины (модуля) Численные методы Направление подготовки 230700.62 Прикладная информатика Профиль подготовки Прикладная информатика в экономике Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения Очная Липецк 2011 1. Цели освоения дисциплины Цель курса. Содержание дисциплины направлено на ознакомление студентов с фундаментальными понятиями, основными определениями и методами приближенных численных вычислений, овладение математическим аппаратом, являющимся базовым для дальнейшего обучения. 2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата Б.2 математический и естественнонаучный цикл вариативная часть. Численные методы – научная дисциплина, занимающаяся изучением и количественным описанием реальных процессов и явлений используя математический аппарат. Применение численных методов предполагает: Владение методологией построения математических моделей (дискретных и непрерывных, вероятностных и детерминированных), знание конкретных математических моделей в различных областях; Умение использовать математический аппарат при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений; Владение системой основных математических структур и конкретными численными методами решения задач на ЭВМ. В курсе излагаются основы приближенных численных вычислений, включая интерполяцию и приближения функций, необходимые для приближенных решений уравнений, представления функций, обработки данных, численного дифференцирования и интегрирования, решения алгебраических и трансцендентных уравнений. В результате освоения студенты должны: Знать основные понятия теории и практики численных методов решений алгебраических и трансцендентных уравнений. Знать основные понятия теории и практики в задачах приближения (интерполирование) функций. Знать основные интерполяционные многочлены и оценки погрешности при их использовании. Знать основы теории и практики приближений функций, с помощью критерия наименьших квадратов. Уметь использовать методы приближенных вычислений при решении алгебраических и трансцендентных уравнений и систем уравнений. Знать основные методы при численное диффеpенциpовании и численном интегpиpовании. Весь теоретический материал, перечисленный в программе, излагается на лекциях. Главной задачей практических занятий является формирование и развитие умений и навыков, необходимых для практического применения дисциплины. При построении курса реализуется принцип преемственности обучения он опирается на знания, умения и навыки студентов, приобретенные ими на первом курсе по высшей математике и информатике. 3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля). В результате освоения дисциплины обучающийся должен: Демонстрировать способность и готовность: ОК-4 способен использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования ПК-13 способен использовать в учебно-воспитательной деятельности основные методы научного исследования. 17 34 Итого 57 108 17 34 51 57 108 Прак. /раб. 51 Курс. Лаб. /раб. 1 2 Контр. Лекции 3 Всего Лекции Лаб. / раб. Прак./ раб. 18 СРС всего 3 всего Кол-во нед. Аудиторн ая работа семестр Кол-во часов в неделю Форма контроля 4. Структура и содержание дисциплины (модуля) Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц 216 часов. Объем дисциплины Экзамен Тематический план 2 3 4 5 6 7 Итерационные методы решения нелинейных уравнений Численное решение систем линейных уравнений Приближение функций Численная интерполяция Численное интегрирование Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Итого 3 1 1 4 8 3 2-5 2 6 8 Лабораторна я работа 3 6-8 2 4 8 Лабораторна я работа 3 9-10 1 4 8 3 11-13 1 4 8 Лабораторна я работа 3 14-16 4 6 8 Лабораторна я работа. 3 17 6 6 9 Лабораторна я работа. Экзамен 17 34 57 СРС Теория погрешностей Практические занятия 1 Лекции Тема Неделя семестра № Формы текущего контроля успеваемост и (по неделям семестра) Форма промежуточ ной аттестации (по семестрам) Семестр Виды учебной работы, включая самостоятельн ую работу студентов и трудоемкость (в часах) Ауд. занятия Содержание дисциплины СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ Лекция 1. Тема 1. ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ (2 ч.) Основные понятия и методы: Источники и классификация погрешностей. Типы ошибок. Численные методы и их значение в компьютерных исследованиях. Проблема сходимости. Источники и классификация погрешностей. Типы погрешностей. Причины погрешности. Погрешность численного решения задачи. Условия выбора численного метода. Приближённые значения: по недостатку, по избытку. Формула для оценки погрешностей. Значащие цифры числа. Сложение, вычитание, умножение, деление приближённых чисел. Лекция 2-5. Тема 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (8 ч.) Основные понятия и методы: Общая постановка задачи. Отделение корней. Методы решения уравнений с одной переменной. Метод половинного деления (метод вилки). Метод касательных (метод Ньютона). Правила выбора исходной точки x0. Метод хорд. Комбинированное применение методов хорд и касательных. Понятие о методе Ньютона решения системы нелинейных уравнений. Лекция 6-8. Тема 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (6 ч.) Основные понятия и методы: Постановка задачи. Точные методы. Формулы Крамера. Метод Гаусса: прямой ход метода Гаусса, обратный ход метода Гаусса. Решение систем методом Гаусса с выбором главного элемента. Невязка решения. Итерационные методы. Метод простых итераций. Метод Зейделя. Лекция 9. Тема 5. ЧИСЛЕННАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ (6 ч.) Основные понятия и методы: Интерполирование функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа, лагранжевы коэффициенты. Погрешность интерполяции. Интерполяционная формула Ньютона, конечные разности. Формула Ньютона для интерполирования вперед. Обратное интерполирование. Многочлены Чебышева. Лекция 10-11. Тема 6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ (6 ч.) Основные понятия и методы: Задачи численного интегрирования. Приближенные методы вычислений определенных интегралов. Метод прямоугольников, обобщенная формула прямоугольников, оценка погрешности. Формула трапеций, оценка погрешности. Формула Симпсона (метод парабол), оценка погрешности. Формулы Ньютона-Котеса (квадратурная формула Ньютона-Котеса, коэффициенты Котеса), семейство квадратурных формул. Первый интерполяционный многочлен Ньютона, простейшая квадратурная формула трапеций, простейшая формула Симпсона, Параметры некоторых частных формул Ньютона-Котеса. Квадратурная формула Гаусса. Лекция 12-17. Тема 7. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (18 ч.) Основные понятия и методы: Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка задачи. Типы методов. Одношаговые методы. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов, система дифференциальных уравнений. Метод последовательных приближений, система дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта. Многошаговые методы. Метод Адамса-Башфорта. Метод конечных разностей. О численном решении систем дифференциальных уравнений первого порядка. Выбор алгоритма решения обыкновенных дифференциальных уравнений. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ На практических занятиях по курсу «Численные методы» студентам необходимо закрепить полученные теоретические знания. Для этого им предлагается решить задачи, соответствующие по тематике лекционному материалу. Практическое занятие 1-3. Типовые задачи. Решить уравнение следующими методами: 1)Методом хорд с точностью = 0,001; 2)Методом касательных с = 0,001; 3)Методом половинного деления с = 0,01; 4)Комбинированным методом хорд и касательных с = 0,001. Предварительно отделить корни, уточнить корень на данном отрезке. x4 – 3x2 + 4x – 2 =0 3x4 – 8x3 – 18x2 + 2 =0 Практическое занятие 4-5. Типовые задачи. Решить систему линейных уравнений: а) методом Гаусса с выбором главного элемента с точностью = 0,001, найти невязку решения; б) методом простых итераций с точностью = 0,01. 5,6x1 - 2,3x2 + 3,1x3 = 0,4 2x1 + 0,4x2 - 1,3x3 = 0,7 0,2x + 3x 2,4x = 1,3 1 2 3 x1 + 2,7x2 + 0,5x3 = 0 0,3x - 2x - 5,5x = - 1,1 0,3x - x + 2,1x = 5,1 1 2 3 1 2 3 Практическое занятие 6 Типовые задачи. Функция f(x) задана таблицей. Записать многочлены Лагранжа и Ньютона. Найти значения этой функции при значениях x1 и x2 аргумента x. 3,6 4,6 5,6 6,6 x y 2,625 5,374 8,464 11,244 x1 = 14, x2 = – 36. Практическое занятие 7-9. Типовые задачи. Вычислить интеграл с точностью = 0,01: а) Методом прямоугольников; б) Методом трапеций; в) По формуле Симпсона. x sin 4 x dx 0 Практическое занятие 10-14. (20 часов) Типовые задачи. 1. Найти четыре первых отличных от нуля члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. y – y = xy2; y(1) = 1 2. Методом последовательных приближений (Пикара) найти приближенное решение дифференциального уравнения. y = (x + y)2; y(0) = 1 3. Найти, используя метод Эйлера, значения функции y, определяемой дифференциальным уравнением y = 2x 2 y , при начальных условиях y(1) 2x 3 = 1, принимая h = 0,1. Ограничиться отысканием первых четырех значений y. Практическое занятие 15-17. (14 ч.) Типовые задачи. 1) Методом Рунге-Кутта вычислить на отрезке [0; 0,5] интеграл дифференциального уравнения (найти 4-е значения y0; y1; y2; y3), приняв шаг h = 0,1. 2) Методом Адамса найти на отрезке [0, 1] интеграл предыдущего уравнения. y = 2x 2 y , при начальных условиях y(1) = 1, принимая h = 0,1. 2x 3 Материалы для организации самостоятельной работы Изучение дисциплины предусматривает самостоятельную и индивидуальную работу студентов в форме выполнения рефератов, докладов и домашних заданий. Самостоятельная работа способствует лучшему пониманию практической значимости изучаемых методов исследования и анализа социальноэкономических явлений и процессов. В процессе выполнения самостоятельной работы студенты учатся работать с литературой, обобщать и систематизировать материал, проводить самостоятельные исследования. Темы на самостоятельное изучение 1. Понятие о методе Ньютона решения системы нелинейных уравнений. 2. Метод Зейделя. 3. Многочлены Чебышева. 4. Метод конечных разностей. 5. О численном решении систем дифференциальных уравнений первого порядка. 6. Выбор алгоритма решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Индивидуальные задания. Доклады на темы по вопросам самостоятельного изучения. 5. Образовательные технологии В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки реализация компетентностного подхода предусматривает широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий (компьютерных симуляций, деловых и ролевых игр, разбор конкретных ситуаций, психологические и иные тренинги) в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся. В рамках учебных курсов предусмотрены встречи с представителями российских и зарубежных компаний, государственных и общественных организаций, мастер-классы экспертов и специалистов. Чтение лекций по данной дисциплине проводится с помощью презентаций. Студентам предоставляется возможность для самоподготовки и подготовки к экзамену использовать электронный вариант конспекта лекций, подготовленный преподавателем в соответствие с планом лекций. При работе используется диалоговая форма ведения лекций с постановкой и решением проблемных задач, обсуждением дискуссионных моментов и т.д. При проведении практических занятий создаются условия для максимально самостоятельного выполнения заданий. Поэтому при проведении практического занятия преподавателю рекомендуется: 1. Провести экспресс-опрос (устно или в тестовой форме) по теоретическому материалу, необходимому для выполнения работы (с оценкой). 2. Проверить правильность выполнения заданий, подготовленных студентом дома (с оценкой). Любой практическое занятие включает самостоятельную проработку теоретического материала и изучение методики решения типичных задач. Некоторые задачи содержат элементы научных исследований, которые могут потребовать углубленной самостоятельной проработки теоретического материала. При организации внеаудиторной самостоятельной работы по данной дисциплине преподавателю рекомендуется использовать следующие ее формы: решение студентом самостоятельных задач обычной сложности, направленных на закрепление знаний и умений; выполнение индивидуальных заданий повышенной сложности, направленных на развитие у студентов научного мышления и инициативы. Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, определяется главной целью (миссией) программы, особенностью контингента обучающихся и содержанием конкретных дисциплин, и в целом в учебном процессе они должны составляют 35% аудиторных занятий (определяется требованиями ФГОС с учетом специфики ООП). Занятия лекционного типа для соответствующих групп студентов составляют 37% аудиторных занятий. 6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебнометодическое обеспечение самостоятельной работы студентов Для оценки результатов обучения предлагаются контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины, а также для контроля самостоятельной работы обучающегося по отдельным разделам дисциплины, предлагаются темы эссе, рефератов, курсовых работ и др. Требования к уровню усвоения дисциплины. низкий уровень знание студентом основных характеристик изучаемого объекта, определений основных занятий. умение использовать алгоритм действий. средний уровень знание основных закономерностей и причинно-следственных связей изучаемого объекта умение решений конкретного круга типовых учебно-познавательных задач. высокий уровень знание существенных признаков изучаемого объекта, избирательное применение знаний с опорой на устанавливаемые связи и зависимости между явлениями умения применять соответствующие знания для решения творческих задач в новых ситуациях Критерии оценки знаний студентов: «Отлично» если студент глубоко и прочно усвоил весь программный материал, исчерпывающе, последовательно, грамотно и логически стройно его излагает, тесно увязывает с задачами будущей профессиональной деятельности, не затрудняется с ответом, при видоизменении задания, свободно справляется с задачами и практическими заданиями, правильно обосновывает принятые решения, умеет самостоятельно обобщать и изучать материал, не допуская ошибок. «Хорошо» если студент твердо знает программный материал, грамотно и по существу излагает его, не допуская существенных неточностей в ответе на вопрос, может правильно применять теоретические положения и владеет необходимыми умениями и навыками при выполнении практических заданий. «Удовлетворительно» если студент усвоил только основной материал, но не знает отдельных деталей, допускает неточности, недостаточно правильные формулировки, нарушает последовательность в изложении программного материала и испытывает затруднения в выполнении практических заданий. «Неудовлетворительно» если студент не знает значительной части программного материала, допускает существенные ошибки с большими затруднениями, выполняет практические задания, задачи. Темы контрольных работ При проведении контрольных работ используется сборник [8]. 1. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 2. Решение систем линейных уравнений 3. Интерполирование функций 4. Приближенное вычисление определенного интеграла 5. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений Примерные задания к контрольным работам 1. Решить уравнение следующими методами: 1)Методом хорд с точностью = 0,001; 2)Методом касательных с = 0,001; 3)Методом половинного деления с = 0,01; 4)Комбинированным методом хорд и касательных с = 0,001. Предварительно отделить корни, уточнить корень на данном отрезке. а) 2x4 + x2 – 10 =0 б) 2x4 + 8x3 + 8x2 –1 =0 2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Гаусса с выбором главного элемента с точностью = 0,001, найти невязку решения; б) методом простых итераций с точностью = 0,01. 4,5x1 + 1,5x2 + 2,3x3 = 0,3 0,2x1 - 5x2 + 1,6x3 = 1,4 0,6x - 3,2x + 9,3x = 1,8 1 2 3 3. Функция f(x) задана таблицей. Записать многочлены Лагранжа и Ньютона. Найти значения этой функции при значениях x1 и x2 аргумента x. 8,1 9,6 11,1 x 6,6 y 6,543 8,345 10,643 12,754 x1 = 35, x2 = – 3. 4. Вычислить интеграл с точностью = 0,01: а) Методом прямоугольников; б) Методом трапеций; в) По формуле Симпсона. 2 cos x dx 0 5. Найти четыре первых отличных от нуля члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. y + 3y 2 = ; y(1) = 1 x x3 6. Методом последовательных приближений (Пикара) найти приближенное решение дифференциального уравнения. y = –y2 – 2xy – x2; y(0) = 1 7. Найти, используя метод Эйлера, значения функции y, определяемой дифференциальным уравнением y = x sin y y x , при начальных x условиях y(1) = 1, принимая h = 0,1. Ограничиться отысканием первых четырех значений y. 8. Методом Рунге-Кутта вычислить на отрезке [0; 0,5] интеграл дифференциального уравнения (найти 4-е значения y0; y1; y2; y3), приняв шаг h = 0,1. 9. Методом Адамса найти на отрезке [0, 1] интеграл предыдущего уравнения. y 1. а) x sin y y x , при начальных условиях y(1) = 1, принимая h = 0,1. x Примеры тестовых заданий Значащими цифрами числа a называют: (1 уровень сложности) все цифры его записи, начиная с первой цифры слева; б) все цифры его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева; в) последняя цифра его записи; г) все цифры целой части числа. 2. В методе касательных приближённым значением корня считают: (1 уровень сложности) а) абсциссу точки пересечения этой касательной с осью OX; б) ординату точки пересечения этой касательной с осью OX; в) абсциссу точки пересечения этой касательной с осью OУ; г) ординату точки пересечения этой касательной с осью OУ. 3. В методе касательных к правилу выбора исходной точки х 0 относится: (3 уровень сложности) а) за х0 следует выбирать тот конец [a;b], в котором знак функции совпадает со знаком f(x); б) за х0 следует выбирать тот конец [a;b], в котором знак функции совпадает со знаком f'(x); в) за х0 следует выбирать тот конец [a;b], в котором знак функции совпадает со знаком f''(x); 4. Как по другому называют простейший вариант метода Гаусса: (1 уровень сложности) а) метод простых итераций; б) метод хорд; в) отделение корней уравнения; г) схема единственного деления. 5. Какой недостаток у простейшего метода Гаусса: (3 уровень сложности) а) если делить на число, близкое к нулю, то получится большая ошибка округления; б) если делить на число больше единицы, то придётся повторить деление ещё раз; в) если делить на отрицательное число, то на главной диагонали матрицы получатся все нули; г) если делить на число, близкое к нулю, то появится посторонний корень. 6. Число, а называется приближенным значением по недостатку, если: (1 уровень сложности) а) Оно меньше истинного значения некоторой величины; б) Оно равно истинному значению некоторой величины; в) Оно больше истинного значения некоторой величины; г) Оно равно нулю. 7. Число а называется приближенным значением по избытку, если: (1 уровень сложности) а) Оно меньше истинного значения некоторой величины; б) Оно меньше нуля; в) Оно больше истинного значения некоторой величины; г) Оно больше нуля. 8. К методам решения уравнений с одной переменной относятся: (2 уровень сложности) а) Метод Гаусса и метод Ньютона; б) Метод половинного деления и метод Ньютона; в) метод Ньютона и метод Крамера; г) Итерационные методы; 9. К методам решения систем линейных уравнений относятся: (1 уровень сложности) а) Метод хорд и метод касательных; б) Метод касательных и Метод Гаусса; в) Метод Гаусса и метод простых итераций; г) Метод простых итераций и метод хорд. 10.Точные методы – это: (2 уровень сложности) а) Методы, которые приводят к решению за конечное число шагов; б) Методы, которые позволяют вычислять искомый корень с любой заранее заданной точностью; в) Методы, в которых точное решение может быть также получено лишь в результате бесконечного построения единообразных действий; г) Методы последовательного исключения неизвестных. 11.Численные методы – это: (2 уровень сложности) а) методы воспроизведения или имитирования какой-либо существенной системы на специально построенной модели; б) Способы округления полученных результатов; в) Методы решения задач, сводящихся к арифметическим и логическим действиям над ними; г) методы построения моделей экспериментов со случайными исходами. 12.При численном решении задач возникают погрешности. Какие? (3 уровень сложности) а) Погрешность задачи и погрешность округления; б) Погрешность ЭВМ и погрешность расчетов; в) Погрешность ЭВМ и погрешность округления; г) Погрешность задачи и погрешность расчетов. 13.Точное значение вычисляемого параметра обозначается: (2 уровень сложности) ~ а) x; ~ б) xh ; в) г) ~ x h ; x*. f ( x n ) (b x n ) : 14.В каком методе используется формула x n1 x n f (b) f ( x n ) (2 уровень сложности) а) Метод половинного деления; б) Метод Зейделя; в) Метод касательных; г) Метод хорд. 15.Какие обозначения использует метод касательных? (2 уровень сложности) а) xn, xn+1, f(xn), f(xn); б) an, bn, cn, f(cn); в) f(xn), f(b), (b – xn), xn, xn+1; г) x*; ~ xh . x h ; ~ x;~ 16.Округлите число до трёх значащих цифр: А = 0,0560989. (1 уровень сложности) а) а = 0,06; б) а = 0,0561; в) а = 0,056; г) а = 0,05609. 17.По какой формуле определяется полная погрешность? (2 уровень сложности) а) | ~ x x*| = 1; б) | ~ x h x*| = 0; ~ в) | xh г) | ~ x h ~ x | = 2; ~ x |= . h 3 18.Округлите число до двух значащих цифр: А = 86,355. (1 уровень сложности) а) а = 86,35; б) а = 86; в) а = 86,36; г) а = 87. 19.Какого типа ошибок приближенных вычислений не существует: (1 уровень сложности) а) Вычислительные ошибки; б) Ошибки округлений; в) Ошибки метода; г) Проблемы устойчивости вычислительной схемы. 20.Приближенное восстановление функции f по формуле f(x) ≈ Ln(x) называется: (1 уровень сложности) а) Интерполяцией функции f; б) Замена функции f; в) Экстраполяцией функции f; г) Ввод новой функции. 21.Интерполяционный многочлен, представленный в виде Ln(x) = n p i 0 ni (x)f i называется: (3 уровень сложности) а) Многочленом Зейделя; б) Многочленом Крамера; в) Интерполяционным многочленом Лагранжа; г) Интерполяционным многочленом Ньютона. 22.Итерационные методы – это: (2 уровень сложности) а) Метод Гаусса и метод Зейделя; б) Метод простых итераций и метод Зейделя; в) Метод хорд и метод касательных; г) Метод простых итераций и метод Гаусса. 23.Методы решения задач, сводящихся к арифметическим и некоторым логическим действиям над ними, т.е. к действиям, которые выполняет ЭВМ называют: (1 уровень сложности) а) математические; б) численные; в) теоретические; г) сложные; 24.В каком методе используется формула |[an, bn]| = | a 0 , b 0 | ? 2n (2 уровень сложности) а) Метод Ньютона; б) Метод хорд; в) Метод касательных; г) Метод вилки. 25.Какой этап решения является общим в методе касательных и методе вилки: (2 уровень сложности) а) Пересчет таблицы; б) Графическое отделение корней; в) Определение количества строк в таблице, т.е. определение n; г) Нахождение производной. ПОРЯДОК СДАЧИ ЭКЗАМЕНА: К экзамену допускаются студенты, которые посещали практические и лекционные занятия, а также не имеющие задолженности по предложенным преподавателем заданиям, сдавшие вовремя индивидуальные расчеты и рефераты. Билет для сдачи экзамена включает два теоретических вопроса и задачу. Отметки «отлично» заслуживает студент, который решил задачу (с объяснением основных этапов) и полно ответил на теоретические вопросы. Если студент правильно решил задачу, но не достаточно полно отвечает на теоретические вопросы, то его знания оцениваются отметкой «хорошо». Если студент не смог правильно решить задачу, но полностью отвечает на теоретические вопросы, то он может получить отметку «удовлетворительно» только после ответа на дополнительный вопрос (по задаче). Если он отвечает только на один теоретический вопрос (при этом задача не решена), то можно сказать, что он не умеет использовать полученные знания (алгоритма решения задач); такие знания оцениваются на «неудовлетворительно». Вопросы к экзамену 1. Типы погрешностей. Некоторые подходы к учету погрешностей действий. 2. Графическое отделение корней уравнения с одной переменной. 3. Метод половинного деления (метод вилки). 4. Метод касательных. 5. Оценка погрешности в решении уравнений с одной переменной. 6. Метод хорд. 7. Комбинированное применение методов хорд и касательных. 8. Классификация методов решения систем линейных уравнений, невязка решения. 9. Метод Крамера. 10. Метод Гаусса (прямой ход). 11. Метод Гаусса (обратный ход). 12. Метод Гаусса с выбором главного элемента. 13. Метод простых итераций. 14. Оценка погрешности в методе простых итераций. 15. Приближение функций. 16. Метод наименьших квадратов. 17. Метод Зейделя. 18. Интерполяционные многочлены (общая задача). 19. Интерполяционный многочлен Лагранжа. 20. Интерполяционный многочлен Ньютона. 21. Обратное интерполирование. 22. Численное дифференцирование (простейшие формулы). 23. Численное дифференцирование (применение интерполяционного многочлена Лагранжа). 24. Численное дифференцирование (применение интерполяционных многочленов Ньютона). 25. Задача численного интегрирования. 26. Вычисление определенного интеграла методом прямоугольников. 27. Вычисление определенного интеграла методом трапеций. 28. Вычисление определенного интеграла методом парабол (Симпсона). 29. Постановка задачи Коши и методы решения (понятия). 30. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. 31. Решение дифференциальных уравнений методом последовательных приближений. 32. Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера. 33. Решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта. 34. Решение дифференциальных уравнений методом Адамса. ПРИМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ 1. Решить уравнение следующими методами: 1)Методом хорд с точностью = 0,001; 2)Методом касательных с = 0,001; 3)Методом половинного деления с = 0,01; 4)Комбинированным методом хорд и касательных с = 0,001. Предварительно отделить корни, уточнить корень на данном отрезке. x4 – 18x3 + 6 =0 2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Гаусса с выбором главного элемента с точностью = 0,001, найти невязку решения; б) методом простых итераций с точностью = 0,01. 4 x1 0,5 x2 1,2 x3 1,7 0,1x1 2,4 x2 0,6 x3 0,2 1,3x 1,2 x 6,2 x 6,2 2 3 1 3. Функция f(x) задана таблицей. Записать многочлены Лагранжа и Ньютона. Найти значения этой функции при значениях x1 и x2 аргумента x. 6,5 8,5 10,5 x 4,5 y 3,423 4,041 5,451 6,353 x1 = 4, x2 = – 43. 4. Вычислить интеграл с точностью = 0,01: а) Методом прямоугольников; б) Методом трапеций; в) По формуле Симпсона. 1 ex dx 2 x 0 ,1 5. Дано y = x + y2, y(0) = 0, y(0) = 1. Найти первые четыре отличных от нуля члена разложения в ряд. 6. Проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью метода Рунге-Кутта: y = x y + 0,5y; y(0) = 1 в промежутке [0, 1] с шагом h = 0,1. Вычисления вести с тремя верными знаками. 7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля) Основная литература: 1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. 2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1. – М: Физматгиз, 1962г. 3. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. – М: Физматгиз, 1962. 4. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). – М: Высшая школа, 2000. 5. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). – М: Высшая школа, 2001. 6. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Т.1. – М: Наука, 1976. 7. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Т.2. – М: Наука, 1977. 8. Лабораторные работы по дисциплине «Численные методы» для студентов дневного отделения экономических специальностей. Варианты заданий. Издание второе исправленное и дополненное / Автор И.А. Воробьева. – Липецк: ЛГПУ, 2010. – 40 с. Дополнительная литература: 1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М: Наука, 1970. 2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М: Наука, 1977. 3. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М: Наука, 1987. 4. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – М: Наука, 1978. 8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля) Ноутбук, проектор, интерактивная доска, персональные компьютеры. Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки 230700.62 Прикладная информатика (профили «Прикладная информатика в экономике»). Составитель И.А. Воробьёва Рецензент (ы) Е.Е. Овчинникова Программа одобрена на заседании: -кафедры математических методов в экономике от 25.06.11 года, протокол № 14 Зав. каф. ММЭ С.В. Петренко -Ученого совета факультета от 30.06.11 года, протокол № 6 Председатель ученого совета Ю.В. Шмарион
