otchet_laba_2x

Министерство образования и науки РФ
Высшего профессионального учреждения
Тверской государственный технический университет
Кафедра : «Программное обеспечение»
Лабораторная работа № 2 по курсу «Методы вычислений»
Выполнил: Студент второго курса
Группа ПИН-1106
Кузнецов Д.А..
Проверил: Виноградов С.Ю.
Тверь 2012
1. Напишите программу, реализующую численное интегрирование функции одной переменной
методом (одним из трех - по вариантам) левых прямоугольников, правых прямоугольников,
прямоугольников.
2. Напишите программу, реализующую численное интегрирование функции одной переменной методом
трапеций.
3. Напишите программу, реализующую численное интегрирование функции одной переменной методом
Симпсона.
4. Составьте сравнительную таблицу точности численного интегрирования перечисленными выше
методами в зависимости от шага интегрирования. Сравните результаты интегрирования с точным
значением интеграла. Сделайте выводы.
Вариант - y = 1 / ln( x );
Теория
Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в
замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном
отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом
вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина
которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а
высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0.
Если отрезок
можно найти по
является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла
1. Формуле левых прямоугольников:
2. Формуле правых прямоугольников:
3. Формуле прямоугольников (средних):
Метод трапеций — метод
численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в
замене на каждом элементарном отрезке подинтегральной функции на многочлен первой степени, то
есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется
прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.
Если отрезок
является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение
интеграла можно найти по формуле
Это простое применение формулы для площади трапеции — полусумма оснований, которыми в данном
случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования).
Погрешность аппроксимации можно оценить через максимум второй производной
Метод парабол (метод Симпсона)
Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой.
Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет
очень простой вид
.
Если разбить интервал интегрирования на
где
равных частей, то имеем
.
Реализация.
using
using
using
using
System;
System.Collections.Generic;
System.Linq;
System.Text;
namespace Methods_Lab2
{
public static class tools
{
public static double func(double x)
{
return (double) 1 / Math.Log(x);
}
public static double trapecion(double a, double b, double h)
{
double result = 0;
for (double i = a; i < b; i += h)
result += h * ((func(i) + (func(i) + h)) / 2);
return result;
}
public static double right_pr (double a, double b, double h)
{
double res = 0;
for (double i = a+h; i < b; i += h)
res += func(i) * h;
return res;
}
public static double simpsons(double a, double b, double h)
{
double res=0;
for (double i = a; i < b; i += h)
{
res += (h / 6) * (func(i) + 4 * func((2 * i + h) / 2) + func(i + h));
}
return res;
}
}
}