Применение гибридных методов к решению

ПРИМЕНЕНИЕ ГИБРИДНЫХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА
Рамиль Мирзоев1, Галина Мехтиева2 , Вагиф Ибрагимов3
1, 2, 3
Бакинский Государственный Университет, Баку, Азербайджан
1
r_mirzoyev@mail.ru ,2,3 ibvag@yahoo.com
Как известно, немалая часть научно-технических задач сводится к решению
интегральных уравнений с переменными границами. Приближенными решениями таких
уравнений ученые занимаются давно. Одна из первых работ в этой области принадлежит
В. Вольтерра, который является основоположником в исследовании и применении
интегральных уравнений с переменной границей, поэтому эти уравнения названы
уравнениями Вольтерра в его честь. При численном решении таких уравнений в
основном используются разные варианты метода квадратур. Здесь, к численному
решению интегральных уравнений Вольтерра применяется конкретный одношаговый
метод типа гибридных.
Введение. Рассмотрим следующее нелинейное интегральное уравнение Вольтерра
второго рода:
x
y ( x)  f ( x)   K ( x, s, y ( s))ds, x [ x0 , X ],
(1)
x0
здесь достаточно гладкие функции f (x) , K ( x, s, y) заданы на отрезке [ x0 , X ] и в области
G  {x0  s  x  X , y  a} , соответственно, которые считаются известными. Предполагаем, что интегральное уравнение (1) имеет единственное непрерывное решение,
определенное на отрезке [ x0 , X ] . Обозначим это решение через функцию y (x) и
рассмотрим нахождение её приближенных значений. С этой целью отрезок [ x0 , X ] с
помощью постоянного шага 0  h разбиваем на N равных частей и точки разбиений
определяем в виде: xm  x0  mh (m  0,1,2,..., N ) . Приближенные значения функции y (x)
в точках xm (m  0,1,2,..., N ) обозначим через y m , а точные через y ( xm ) .
Классическим методом решения интегральных уравнений (1) является метод
квадратур, который в одном варианте можно написать в виде (см. напр. [1], [2]):
n
y n  f n  h ai K ( xn , xi , yi ) (n  0,1,2,..., N ),
(2)
i 0
здесь f n  f ( xn ), ai (i  0,1,..., n) – коэффициенты формулы квадратур. Как следует из (2)
с увеличением значений величины n , соответственно увеличивается число обращений к
вычислению ядра K ( x, s, y(s)) . Для сохранения на каждом шаге количества вычислительных работ, при решении интегральных уравнений (1), в [3 – 4] предложен многошаговый
метод с постоянными коэффициентами, имеющий следующий вид:
k
k
i 0
i 0
k
k
 i yni   i f ni  h i( j ) K ( xn j , xni yni ),
(3)
j 0 i 0
здесь коэффициенты  i , i( j ) (i, j  0,1,2,..., k ) – некоторые действительные числа, причем
 k  0 , которые определяются из однородной системы линейно-алгебраических
уравнений.
Обычно, в теории численных методов исследуются одношаговые и многошаговые
методы, каждый из которых, имеет свои преимущества и недостатки. Учитывая
отмеченное, ученые предложили построить методы на стыке этих направлений, которые
сохраняли бы лучшие свойства одношаговых и многошаговых методов и назвали их
гибридными. Поэтому, здесь попытаемся применить к численному решению уравнения
(1) гибридные методы.
1. Построение гибридного метода для решения интегральных уравнений типа
Вольтерра.
Рассмотрим специальный случай, когда функция K ( x, s, y(s)) независит от
аргумента x и обозначим её через F (s, y)  K ( x, s, y) . Тогда из уравнений (1) можем
написать
y ( x)  f ( x)  F ( x, y ( s )), y ( x0 )  f ( x0 ) .
(1.1)
Существует целый класс гибридных методов для решения задачи (1.1). Один из них
имеет следующий вид (см. напр. [5]):
y n1  y n  f n1  f n  h(3F ( xn  h / 3, y n1 / 3 )  F ( xn  h, y n1 )) / 4,
(1.2)
который является представителем типа одношаговых и имеет степень точности p  3 .
Формально метод (1.2) можно считать двухшаговым, считая, что в нем участвуют три
точки xn , xn  h / 3, x n  h . Поскольку xn  h / 3 не входит во множество точек разбиений,
метод (1.2) можно считать одношаговым. Однако, метод (1.2) можно заменить следующим:
yn1  yn  h(3 f ( xn  h / 3, (4 yn  5 yn1 ) / 9  2hf ( xn  h, yn1 ) / 9)  f ( xn  h, yn1 )) / 4, (1.3)
который является одношаговым методом и имеет степень точности p  3 . Здесь на базе
метода (1.2) построим метод типа (3). Для этого покажем, что применение к нахождению
численного решения уравнение (1) методом (1.2), возможно. С этой целью используем
некоторые значений решения функция y (x) определяемые в следующем виде:
y ( xn 1 )  f n 1 
x n 1
xn
x0
x0
 K ( xn1 , s, y(s))ds , y( xn )  f n   K ( xn , s, y(s))ds .
Рассмотрим разность y ( xn 1 )  y ( xn ) . Тогда имеем:
xn
x n 1
x0
xn
y ( xn 1 )  y ( xn )  f n 1  f n   ( K ( xn 1 , s, y ( s ))  K ( xn , s, y ( s )))ds 
 K (x
n 1
, s, y ( s ))ds. (1.4)
Используя теорему Лагранжа можно написать:
K ( xn 1 , s, y ( s ))  K ( xn , s, y ( s))  hK x ( n , s, y ( s )),
где x n   n  x n 1 .
Следовательно, можем написать:
xn
 (K ( x
x0
xn
n 1
, s, y ( s))  K ( xn , s, y ( s)))ds  h  K x ( n , s, y ( s))ds.
x0
Учитывая условия наложенные на функцию K ( x, s, y(s)) получаем, что
xn
 K  ( x, s, y(s))ds  M .
x
x0
Тогда можем написать
xn
h  K x ( n , s, y ( s ))ds  O(h).
(1.5)
x0
Если учесть полученное в равенстве (1.4), то можно написать следующее:
x n 1
y n 1  y n  f n 1  f n 
 K (x
n 1
, s, y ( s ))ds .
(1.6)
xn
Интеграл, который заменили малой величиной первого порядка по h , можно
заменить малой величиной высокого порядка по h с добавлением промежуточной точки
при исследовании разности функции y (x) , например, в следующей форме:
y ( xn 1 )  2 y ( xn 1 / 2 )  y ( xn ) .
Действительно, в этом случае имеем:
y ( xn 1 )  2 y ( xn 1 / 2 )  y ( xn )  f n 1  2 f n 1 / 2  f n 
xn
 (K (x
n 1
, s, y ( s ))  2 K ( xn 1 / 2 , s, y ( s ))  K ( xn , s, y ( s)))ds 
(1.7)
x0
x n 1
x n 1 / 2
xn
xn
 K ( xn1 , s, y(s))ds  2
 K (x
n 1 / 2
, s, y ( s))ds.
Известно, что
h2
(1.8)
K  ( n , s, y( s)),
4 x
где x n   n  x n 1 . Таким образом, получили, что если при оценке первого интеграла
участвующего в (1.4) применим (1.8) и повторим выше описанное, то интеграл
заменяется величиной второго порядка имеющей следующий вид:
K ( xn1 , s, y ( s))  2 K ( xn1 / 2 , s, y ( s))  K ( xn , s, y( s)) 
xn
 (K ( x
n 1
2
, s, y( s))  2 K ( xn1 / 2 , s, y( s))  K ( xn , s, y( s)))  O(h 2 ).
x0
Отметим, что при аппроксимации дифференциального уравнения y ( x)  f ( x, y ) , в
точке x n , её левую часть, т.е. производные y ( xn ) , можно заменить следующим:
yn1  yn  hyn  O(h 2 ) , а метод для её решения можно построить в следующей форме:
k
y n1  y n  h  i f ( xni , y n i ) .
i 0
С помощью подбора  i (i  0,1,2,...,k ) можно построить метод, который аппроксимирует
уравнение y ( x)  f ( x, y ) с порядком p , где p  2 . Учитывая это обстоятельство и
используя следующую замену интеграла:
xn h
 K (x
n
 h, s, y ( s ))ds  h(3K ( xn  h, xn  h / 3, y ( xn  h / 3))  K ( xn  h, xn  h, y ( xn  h))) / 4
xn
из (1.6) имеем:
y n1  y n  f n1  f n  h(3K ( xn1 , xn1 / 3 , y n1 / 3 )  K ( xn1 , xn1 , y n1 )) / 4.
(1.9)
Метод, который построим на основе метода (1.2) следуя по идеи построения k-шагового
метода исследованного в [5] для решения уравнения (1), можно переписать в виде:
yn1  yn  f n1  f n  h( K ( xn1/ 3 , xn1/ 3 , yn1/ 3 )  K ( xn1/ 3 , xn1 , yn1 )  2 K ( xn1 , xn1/ 3 , yn1/ 3 ) 
(1.10)
2 K ( xn1 , xn1 , yn1 )) / 4.
Для вычисления yn1/ 3 предлагается следующая схема:
yn1/ 3  (4 yn  5 yn1 ) / 9  f n1/ 3  (4 f n  9 f n1 ) / 9  2hK ( xn1 , xn1 , yn1 ) / 9.
(1.11)
После учета (1.11) в (1.10) или в (1.9) получаем неявный метод для использования,
которых предлагается метод прогноза коррекции. В одном варианте метод прогноза
коррекции имеет следующий вид:
~
yn1  yn  f n1  f n  hK ( xn1 , xn , yn ),
(1.12)
~
yˆ n1  yn  f n1  f n  h( K ( xn1 , xn , yn )  K ( xn1 , xn1 , yn1 )) / 2,
(1.13)
y n1 / 3  f n1 / 3  (4 f n  9 f n1 ) / 9  (4 y n  5 yˆ n1 ) / 9  2hK ( xn1 , xn1 , yˆ n1 ) / 9,
(1.14)
yn1  yn  f n1  f n  h(3K ( xn1 , xn1 / 3 , yn1 / 3 )  K ( xn1 , xn1 , yˆ n1 )) / 4.
(1.15)
Здесь метод (1.12) является методом Эйлера, а соотношение (1.13) является методом
трапеций и их вместе можно назвать методом Рунге-Кутта второго порядка. Метод (1.14)
построен для вычисления приближенного значения величин y ( xn  h / 3) , который можно
заменить другим методом, при этом нужно учесть точность метода (1.15). Отметим, что
все методы участвующие в составе метода прогноза-коррекции устойчивы и поэтому
сходимость метода (1.12)-(1.15) не вызывает сомнений (см. [6]).
Теперь построим алгоритм для использования представленного метода прогнозакоррекции, отметим, что в следующем алгоритме мы будем означать начальное значение
y ( x0 ) через f 0  f ( x0 ) .
INPUT endpoints x0 , X ; initial value f 0 ; functions f (x) and K ( x, y, z) ; positive integer N .
OUTPUT approximation y n to y ( xn ) at the N values of x .
STEP 1 Set h  ( X  x0 ) / N ;
OUTPUT ( x, y 0 ).
STEP 2 For n  0,1,2,..., N 1 do Steps 3-8
STEP 3 Set xn  x0  nh
STEP 4 Compute ~y n 1 by formula (1.12).
STEP 5 Compute yˆ n 1 by formula (1.13).
STEP 6 Compute y n 1 / 3 by formula (1.14).
STEP 7 Compute y n 1 by formula (1.15).
STEP 8 OUTPUT ( n; yˆ n ; y n ).
STEP 9 STOP.
ЛИТЕРАТУРА
1. A.F. Verlan, V.S. Sizikov. Integral equations: methods, algorithms, programs. (In Russian)
Naukova Dumka, Kiev (1986) 544 p.
2. A.V. Manzhirov, A.D. Polyanin. Reference book on integral equations. Solutions methods.
(Russian) Factorial Press, Moscow (2000) 384 p.
3. M.N. Imanova, V.R. Ibrahimov. On the convergence of numerical method of the solution of
nonlinear Volterra equation of the second kind. Transactions issue mathematics and
mechanics series of physical-technical and mathematical science, No.4, ХХVII, Baku
(2007) 167-176 p.
4. G.Yu. Mehdiyeva, V.R. Ibrahimov, M.N. Imanova. On the modification of the quadrature
methods. News of Baku University, Physico-Mathematical sciences, No.3, Baku (2009)
101-109 pp.
5. V.R. Ibrahimov, One nonlinear method to numerical solving of Cauchy problem for
ordinary differential equations. (In Russian) Differential equations and its applications.
Proceeding of lectures second Intern. Conf., Russo, Bulgaria (1982) 310-319 pp.
6. V.R. Ibrahimov. Convergence of predictor-corrector methods. (In Russian) Godishnik na
Visshite Uchebni Zavegeniya, Prilozhna Mathematika, Sofia (1984) 187-197 pp.