Задача Имеются три пункта отправления однородного груза и пять пунктов его назначения. На пунктах отправления груз находится в количестве a1, a2, a3, в пункты назначения требуется доставить соответственно b1, b2, b3, b4 ,b5 груза. Известна стоимость перевозки единицы груза из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения (матрица D). Найти такой план перевозок, при котором необходимо вывезти все запасы груза, полностью удовлетворить все потребности и обеспечить при этом минимум общих затрат на перевозку. Задачу решить методом потенциалов. 9 8 3 5 2 а1=60; а2=40; а3=80 D=7 7 8 5 6 b1=50; b2=20; b3=30; 4 2 12 8 11 b4=40; b5=40 Нужно решить задачу как указано в примере. Пример решения задачи. Исходные данные задачи представим в виде следующей таблицы. 𝒃𝟏 𝒃𝟐 6 𝒂𝟏 𝑥11 2 𝑥12 𝑥21 𝑥22 𝑥31 Потребности 7 60 9 3 60 𝑥25 2 6 𝑥34 40 80 𝑥15 2 𝑥33 Запасы 2 𝑥24 1 40 4 4 𝑥23 𝑥32 𝒃𝟓 𝑥14 6 3 𝒂𝟑 𝒃𝟒 𝑥13 3 𝒂𝟐 𝒃𝟑 100 𝑥35 50 50 240 Постановка задачи: 3 xij ai i 1..3 xij b j j 1 i 1 где 5 𝑎𝑖 𝑏𝑗 j 1..5 3 5 cij xij min i 1 j 1 – наличие груза на i-ом пункте отправления – потребность j-го пункта назначения 𝑐𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 – стоимость перевозки из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения – переменная определяющая количество груза для перевозки из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения Необходимое условие число базисных переменных 𝑟 = 3 + 5 − 1 = 7 1. Используя метод северо-западного угла назначаем опорный план. 𝒃𝟏 𝒃𝟐 6 𝒂𝟏 2 40 𝑥12 40 Потребности 7 𝑥13 𝒃𝟓 4 𝑥14 6 Запасы 2 𝑥15 4 9 3 60 𝑥21 𝑥22 20 3 𝒂𝟑 𝒃𝟒 80 𝑥11 3 𝒂𝟐 𝒃𝟑 𝑥23 40 1 𝑥24 𝑥25 2 2 6 100 𝑥31 𝑥32 40 𝑥33 60 𝑥34 40 50 50 𝑥35 50 50 240 Количество базисных переменных опорного плана 6 < 𝑟, следовательно использование данного опорного плана для решения задачи невозможно. Назначаем опорный план методом минимальной стоимости. 𝒃𝟏 𝒃𝟐 6 𝒂𝟏 𝑥11 𝑥12 𝑥21 40 60 Потребности 𝑥31 7 𝑥13 𝑥22 𝑥33 60 40 80 𝑥15 20 9 3 60 𝑥25 2 20 2 𝑥34 40 Запасы 2 𝑥24 1 40 4 4 𝑥23 𝑥32 𝒃𝟓 𝑥14 6 3 𝒂𝟑 𝒃𝟒 2 3 𝒂𝟐 𝒃𝟑 6 50 100 𝑥35 50 10 50 240 Количество базисных переменных опорного плана 7 = 𝑟, следовательно использование данного опорного плана для решения задачи возможно. 2. Проверяем опорный план методом потенциалов. 2.1. Составляем линейное уравнение относительно потенциалов. Для решения уравнения принимаем 𝜆1 = 0 и находим остальные потенциалы для 𝑥12 для 𝑥15 для 𝑥21 для 𝑥25 для 𝑥33 для 𝑥34 для 𝑥35 𝜆1 + 𝛽2 = 2 𝜆1 + 𝛽5 = 2 𝜆2 + 𝛽1 = 3 𝜆2 + 𝛽5 = 3 𝜆3 + 𝛽3 = 2 𝜆3 + 𝛽4 = 2 𝜆3 + 𝛽5 = 6 2.2. Составляем суммы 𝛽1 =2 𝛽2 = 2 𝛽3 = -2 𝛽4 = -2 𝛽5 =2 𝜆1 = 0 𝜆2 = 1 𝜆3 = 4 потенциалов для свободных переменных сравниваем полученные косвенные тарифы с истинными тарифами. для 𝑥11 для 𝑥13 для 𝑥14 для 𝑥22 для 𝑥23 для 𝑥24 для 𝑥31 для 𝑥32 𝜆1 + 𝛽1 = 0 + 2 = 2 𝜆1 + 𝛽3 = 0 + (−2) = −2 𝜆1 + 𝛽4 = 0 + (−2) = −2 𝜆2 + 𝛽2 = 1 + 2 = 3 𝜆2 + 𝛽3 = 1 + (−2) = −1 𝜆2 + 𝛽4 = 1 + (−2) = −1 𝜆3 + 𝛽1 = 4 + 2 = 6 𝜆3 + 𝛽2 = 4 + 2 = 6 <6 <7 <4 <6 <4 <9 >3 >1 и 2.3. Произведем пересчет плана по циклу на основе переменной 𝒙𝟐𝟐 , в которой косвенный тариф больше истинного, что позволит получить новый план который будет лучше предыдущего. 𝑥32 0 + 10 10 𝑥35 10 – 0 0 𝑥15 20 + 10 10 𝑥12 60 – 50 50 𝑥32 0 + 10 10 2.4. Новый план вносим в таблицу и проверяем методом потенциалов на оптимальность: 𝒃𝟏 𝒃𝟐 6 𝒂𝟏 𝑥11 2 𝑥12 50 3 𝒂𝟐 𝑥21 40 𝑥22 Потребности 𝑥31 10 40 𝒃𝟒 7 𝑥13 𝑥33 60 40 40 𝜆1 + 𝛽2 = 2 𝜆1 + 𝛽5 = 2 𝜆2 + 𝛽1 = 3 𝜆2 + 𝛽5 = 3 𝜆3 + 𝛽2 = 1 𝜆3 + 𝛽3 = 2 𝜆3 + 𝛽4 = 2 для 𝑥11 для 𝑥13 для 𝑥14 для 𝑥22 для 𝑥23 для 𝑥24 для 𝑥31 для 𝑥35 𝜆1 + 𝛽1 = 0 + 2 = 2 𝜆1 + 𝛽3 = 0 + 3 = 3 𝜆1 + 𝛽4 = 0 + 3 = 3 𝜆2 + 𝛽2 = 1 + 2 = 3 𝜆2 + 𝛽3 = 1 + 3 = 4 𝜆2 + 𝛽4 = 1 + 3 = 4 𝜆3 + 𝛽1 = −1 + 2 = 1 𝜆3 + 𝛽5 = −1 + 2 = 1 𝜆1 = 0 𝜆2 = 1 𝜆3 = -1 Для свободных переменных <6 <7 <4 <6 =4 <9 <3 <6 10 9 3 60 𝑥25 20 2 𝑥34 6 50 100 𝑥35 50 50 Для базисных переменных для 𝑥12 для 𝑥15 для 𝑥21 для 𝑥25 для 𝑥32 для 𝑥33 для 𝑥34 80 𝑥15 2 Запасы 2 𝑥24 1 10 4 4 𝑥23 𝑥32 𝒃𝟓 𝑥14 6 3 𝒂𝟑 𝒃𝟑 𝛽1 =2 𝛽2 =2 𝛽3 =3 𝛽4 =3 𝛽5 = 2 240 В анализируемом плане все косвенные тарифы ниже истинных следовательно данный план является оптимальным. Ответ: Оптимальный план перевозки представлен в таблице: 𝒃𝟏 𝒃𝟐 6 𝒂𝟏 2 7 𝒃𝟓 4 Запасы 2 80 10 6 4 9 3 60 20 40 3 𝒂𝟑 Потребности 𝒃𝟒 50 3 𝒂𝟐 𝒃𝟑 1 40 10 40 2 60 2 6 100 50 40 50 50 240 Стоимость перевозки при этом плане: C = 2×50 + 2×10 + 3×40 + 3×20 + 1×10 + 2×40 + 2×50 = 490