УДК 37:004 ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИИ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ А.П. Худяков, 1 курс Научный руководитель – В.М. Мадорский, к.ф.-м.н., доцент Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина Модификация эрмитовской аппроксимации легко распространяется на случай восстановления функции от двух переменных. Пусть задана прямоугольная область D x, y : a x b; c y d . В этой области определена некоторая неизвестная функция f ( x, y ). Построим в D сетку Dh xk , yl : a x0 x1 ... xn b; c y0 y1 ... ym d . Пусть на сетке заданы значения функции f ( x, y ), которые обозначим через f k ,l f ( xk , yl ). Сплайн g ( x, y ), приближающий функцию f ( x, y ) будем искать в виде: p q g p ,q ( x, y ) g kp,,lq ( x, y ) aik, ,jl ( x xk 1 ) i ( y yl 1 ) j ; (1) i 0 j 0 Т.е. на каждом xk 1 x xk ; прямоугольнике yl 1 y yl . xk 1 x xk ; yl 1 y yl функция f ( x, y ) g ( x, y) степени p q. Таким образом, для каждого полинома необходимо определить ( p 1)( q 1) коэффициентов. А для этого нужно построить ( p 1)( q 1) соотношений. Потребуем, чтобы выполнялось следующее условие: (2) g ( xk , yl ) f k ,l ; k 0, n; l 0, m. Тем самым получим четыре соотношения для каждого полинома, используя угловые точки прямоугольной области: (3) g kp,,lq ( xs , yt ) f s ,t ; s k 1, k ; t l 1, l; k 1, n; l 1, m. Используя (1) получим: g kp,,lq ( xk 1 , yl 1 ) a0k,,0l f k 1,l 1 ; восстанавливается двумерным полиномом k ,l p ,q q g kp ,,lq ( xk 1 , yl ) a0k,,lj ( yl yl 1 ) j f k 1,l ; j 0 p g kp ,,lq ( xk , yl 1 ) aik, 0,l ( xk xk 1 ) i f k ,l 1 ; k 1, n; l 1, m. (4) i 0 p q g kp,,lq ( xk , yl ) aik, ,jl ( xk xk 1 ) i ( yl yl 1 ) j f k ,l ; i 0 j 0 Для полной определенности задачи необходимо построить еще ( p 1)( q 1) 4 соотношений для каждого полинома. Данные соотношения можно получить, если известны значения производных от функции f ( x, y ) в узлах сетки. Однако в данной постановке задачи эти значения неизвестны, но их можно приближенно вычислить, используя метод неопределенных коэффициентов. Опишем процедуру вычисления приближенных значений смешанных производных от функции f ( x, y ). Пусть M – максимальный порядок вычисляемых смешанных производных. Вычислим производные f k(,sl ,t ) f k(,sl ,t ) ( x, y); s 0, M ; t 0, M s; k 0, n; l 0, m. (5) Используя значения функции f ( x, y ), заданные на слоях сетки y y j , ( j 0, m), с помощью метода неопределенных коэффициентов вычислим чистые производные по x: f k(,sl ,0) f k(,sl ,0) ( x, y); s 1, M ; k 0, n; l 0, m. (6) Аналогично, используя значения функции f ( x, y ), заданные на слоях сетки x xi , (i 0, n), вычислим чистые производные по y: (7) f k(,0l ,t ) f k(,0l ,t ) ( x, y); t 1, M ; k 0, n; l 0, m. Далее, используя приближенные значения первой производной по y (7) от функции f ( x, y ), заданные на слоях сетки y y j , ( j 0, m), с помощью метода неопределенных коэффициентов вычислим производные: (8) f k(,sl ,1) f k(,sl ,1) ( x, y); s 1, M 1; k 0, n; l 0, m. Аналогично, используя приближенные значения первой производной по x (6) от функции f ( x, y ), заданные на слоях сетки x xi , (i 0, n), вычислим производные: f k(,1l,t ) f k(,1l,t ) ( x, y); t 2, M 1; k 0, n; l 0, m. Подобным образом вычисляются все остальные производные. Вычислим производную порядка (s,t) от полинома (1): p q i! j! g (ps,,qt ) ( x, y ) g kp,,lq( s ,t ) ( x, y ) aik, ,jl ( x xk 1 ) i s ( y yl 1 ) j t ; ( i s )! ( j t )! i s j t (9) (10) xk 1 x xk ; yl 1 y yl . Потребуем, чтобы в угловых точках каждого частичного прямоугольника [ xk 1 , xk ] [ yl 1 , yl ] производные полинома (10) равнялись вычисленным ранее приближенным значениям производных от функции f ( x, y ) : g kp,,lq( s ,t ) ( xk 1 , yl 1 ) s!t!a sk,,tl f k(s1,t,l)1 ; q s! j! k ,l g kp ,,lq( s ,t ) ( xk 1 , yl ) a s , j ( yl yl 1 ) j f k(s1,t,l) ; ( j t )! j t p t!i! k ,l (11) g kp,,lq( s ,t ) ( xk , yl 1 ) ai ,t ( xk x k 1 ) i f k(,sl,t1) ; ( i s )! is p q i! j! g kp,,lq( s ,t ) ( xk , yl ) aik, ,jl ( x k xk 1 ) i ( yl yl 1 ) j f k(,sl ,t ) ; ( i s )! ( j t )! i s j t r 1, M ; s r ,0 ; t r s; k 1, n; l 1, m. Для полной определенности задачи необходимо построить ( p 1)( q 1) соотношений. Таким образом, необходимо, чтобы выполнялось условие: 2( M 2)( M 1) ( p 1)( q 1), (12) где M – высший порядок вычисляемых смешанных производных, (p,q) – степень полинома (1). Также для того, чтобы задача не стала переопределенной, необходимо ограничить сверху число уравнений, отбросив лишние уравнения. Объединяя (4) и (11), получим nm СЛАУ порядка ( p 1)( q 1) : s!t!a sk,,tl f k(s1,t,l)1 ; q s! j! k ,l a s , j ( yl yl 1 ) j f k(s1,t,l) ; ( j t )! j t p t!i! k ,l ai ,t ( xk xk 1 ) i f k(,sl,t1) ; i s (i s )! p q i! j! aik, ,jl ( xk xk 1 ) i ( yl yl 1 ) j f k(,sl ,t ) ; i s j t (i s )! ( j t )! r 0, M | 2 M ( M 1) ( p 1)( q 1) 2( M 1)( M 2); s r | 2r (r 1) 4(t 1) ( p 1)( q 1) 2r (r 1) 4(t 1),0; t r s; k 1, n; l 1, m. (13) Решив системы (13), например, методом Гаусса [], получим искомые коэффициенты полинома (1). Отметим, что в случае равномерной сетки по обеим осям матрица для системы (13) одинакова для всех прямоугольников сетки. Это позволяет один раз построить LUразложение для матрицы системы и пользоваться этим разложением при нахождении всех коэффициентов […]. Приведем сравнительную характеристику алгоритмов аппроксимации: бикубического сплайна и модификации эрмитовской аппроксимации функций от двух переменных. В качестве тестовой была выбрана следующая функция: (14) f ( x, y) sin(( x y) 2 ) arctg ( xy) Оценка погрешности осуществлялась по формуле b d 1 R ( f ( x, y) g p ,q ( x, y)) 2 dxdy . (b a)( d c) a c (15) При восстановлении функции на равномерной сетке формула имеет вид: b d 1 ( f ( x, y) g p ,q ( x, y)) 2 dxdy (b a)( d c) a c 1 n m ( f ( xi , y j ) g p ,q ( xi , y j )) 2 , nm i 1 j 1 (16) где ( xi , y j ) – середина частичного прямоугольника [ xi 1 , xi ] [ y j 1 , y j ]. В таблице 1 приводятся результаты численного эксперимента восстановления функции (14) на прямоугольной области [0; 3.14] [0; 3.14] указанными выше алгоритмами. Таблица 1 Точность восстановления функции от двух переменных (14) Число точек разбиения прямоугольной области Алгоритм восстановления 50×50 100×100 250×250 500×500 Бикубический сплайн Модификация эрмитовской аппроксимации 0.03839356 0.00980709 0.00157862 0.00039499 6.384570E-6 1.037862E-7 1.932895E-9 3.60386E-10 Из таблицы 1 видно, что восстановление при помощи модификации эрмитовской аппроксимации намного точнее, чем при использовании бикубических сплайнов. Однако восстановление первым алгоритмом требует значительных временных затрат, а также большого объема памяти для хранения коэффициентов. В то же время восстановление бикубическими сплайнами осуществляется очень быстро и не требует много памяти. Поэтому при решении задач следует выбирать между точностью и скоростью. Список использованных источников 1 Калиткин, Н.Н. Численные методы. М: Наука - 1978. 510 с. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Список использованных источников 1 Бахвалов, Н.С. Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Численные методы. Лаборатория базовых знаний. 2003 . 632 с. 2 Березин, Н.С.; Жидков, Н.П. Методы вычислений в 2 томах. М.: физико-математической литературы; Издание 2-е. 1962. 680 с. 3 Бобков В.В., Крылов В.И., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Дифференциальные уравнения. – Мн.: Наука и техника, 1982. – 286 с. 4 Богачев К.Ю. Практикум на ЭВМ. Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. 1998. 137 с. 5 Ваннер Г., Нерсетт С., Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 512 с. 6 Ваннер Г., Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. Пер. с англ. – М.: Мир, 1999. – 685 с. 7 Жанлав Т., Пузынин И.В. О комбинации метода установления и метода Ньютона для решения нелинейных дифференциальных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 1994. – Т.34, № 2. – С. 175 – 184. 8 Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. Под редакцией Д.К. Фаддеева. – М: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1984. – 192 с. 9 Калиткин, Н.Н. Численные методы. М: Наука - 1978. 510 с. 10 Кацман Ю. Я. Прикладная математика. Численные методы. Учебное пособие. – Томск: Изд. ТПУ, 2000. – 68 с. 11 Копченова Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Лань. 2008. 367 с. 12 Мадорский, В.М. Квазиньютоновские процессы для решения уравнений. Брест УО БрГУ им. А.С. Пушкина. 2005. 186 с. 13 На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач: Пер. с англ. – М.: Мир, 1982 – 296 с. 14 Ортега Дж., Пул. У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Пер. с англ.; Под ред. А.А. Абрамова. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 288 с. 15 Самарский А.А. Введение в численные методы. Лань. 2005. 288 с.