8.3. Методы Рунге-Кутты Метод Эйлера и метод Эйлера-Коши относятся к семейству методов Рунге-Кутты. Рассмотрим схемы Рунге-Кутты. q y( x h) y ( x) pi ki (h) z (h) Положим (1) i 1 Где коэффициенты k вычисляются последовательно по схеме: k1 (h) h f ( x, y ), k2 (h) h f ( x 2 h, y 21k1 (h)), kq (h) h f ( x q h, y q1k1 (h) ... qq1kq1 (h)) Рассмотрим вопрос о выборе параметров i , pi , ij : 2 ,..., q ; p1 ,..., pq ; ij ,0 j i q Обозначим (h) y( x h) z(h). Предположим, что (0) (0) ... ( s ) (0) 0 при любых функциях f ( x, y) , а ( s1) (0) 0 для некоторой функции f ( x, y) . По формуле Тэйлора справедливо равенство (где 0 1 ) s ( h) i 0 Величина (i ) (0) i! (h) h i ( s1) ( h) ( s 1)! называется h s 1 , погрешностью (2) метода на шаге, а s –порядком погрешности метода. ----------------------------------------------------------------------------------------------------При q 1 будем иметь: (h) y ( x h) y ( x) p1 h f ( x, y ), (0) 0, (0) ( y( x h) p1 f ( x, y )) |h0 f ( x, y )(1 p1 ), (h) y( x h). Равенство (0) 0 выполняется для любых функций f ( x, y) лишь при условии, что p1 1. При этом p1 из (1) получается yk hf ( xk , yk ), yk 1 yk yk , k 0,1, 2,... . т.е. . метод Эйлера Для погрешности этого метода на шаге согласно (2) будем иметь: ( h) ( x h) h2 2 . ---------------------------------------------------------------------------------------------------Рассмотрим случай q 2 , тогда (h) y ( x h) y (h) p1hf ( x, y ) p2 hf ( x , y ) , где x x 2 h, y y 21hf ( x, y ) . Согласно исходному дифференциальному уравнению y f , y f x f y f , y f xx 2 f xy f f yy f 2 f y y . Здесь для краткости через y и f обозначены Вычисляя производные функции y( x) и f ( x, y) (3) соответственно. (h) и подставляя в выражения для (h), (h) и (h) значение h 0 , получим (с учетом соотношений (3) ): (0) 0, (0) (1 p1 p2 ) f , . (0) (1 2 p2 2 ) f x (1 2 p2 21 ) f y f Требование (0) (0) (0) 0 будет выполняться для всех f ( x, y) лишь в том случае, если одновременно будут справедливы следующие три равенства относительно четырех параметров: 1 p1 p2 0, 1 2 p2 2 0, (4) 1 2 p2 21 0. Задавая значение одного из параметров и определяя значения остальных из системы (4) , мы будем получать различные методы Рунге-Кутты с порядком погрешности s 2 . Например при p1 1 1 из (4) получаем: p , 2 1, 21 1. 2 2 f ( xi , yi ) f ( xi1 , y i1 ) . yi1 yi h 2 Формула (4) примет вид: Здесь yi 1 выражение записано вместо y ( x h), yi - вместо y( x) , а через y i 1 обозначено yi h f ( xi , yi ). Таким образом, в рассматриваемом случае мы приходим к формулам, соответствующим методу Эйлера-Коши. y i 1 yi h f ( xi , yi ), f ( xi , yi ) f ( xi 1 , y i 1 ) , yi 1 yi h 2 Из (2) следует, что главная часть погрешности на шаге равна (0) 6 h3 , т.е. пропорциональна третьей степени шага h . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- В вычислительной практике наиболее часто используется метод Рунге-Кутты четвертого порядка с q 4 и s 4 . Один из вариантов соответствующих расчетных формул (без вывода): k1 h f ( x, y ), k h k2 h f ( x , y 1 ), 2 2 k h k3 h f ( x , y 2 ), 2 2 k4 h f ( x h, y k3 ), (5) 1 y z (h) y ( x) (k1 2k2 2k3 k4 ). 6 Отметим, что в этом случае погрешность на шаге пропорциональна 5 пятой степени шага (h ) . Отсюда, в частности, следует, что при достаточно малом h и малых погрешностях вычислений решение уравнения y f ( x, y) , полученное методом Рунге-Куттыпо формулам (5) , будет близким к точному. Геометрический смысл использования метода Рунге-Кутты 4-го порядка с расчетными формулами Из точки которого натами (5) состоит в следующем. ( xi , yi ) сдвигаются в направлении, определяемом углом 1 , для tg 1 f ( xi , yi ) . На этом направлении выбирается точка с коорди- k h ( xi , yi 1 ) . 2 2 Затем из точки ( xi , yi ) сдвигаются в направлении, определяемом углом k h tg 2 f ( xi , y1 1 ) , и на этом направлении 2 2 k h выбирается точка с координатами ( xi , yi 2 ) . 2 2 2 , для которого Наконец, из точки ( xi , yi ) сдвигаются в направлении, определяемом k h tg 3 f ( xi , yi 2 ) и на этом направлении 2 2 выбирается точка с координатами ( xi h, yi k3 ) . Этим задается еще одно углом 3 ,для которого направление, определяемое углом 4 , для которого tg 4 f ( xi h, yi k3 ) . Четыре полученные последней из формул очередная точка направления усредняются в соответствии с (5) . На этом окончательном направлении и выбирается ( xi 1 , yi 1 ) ( xi h, yi y ) .