Занятие 2. Интегральное исчисление 1. Неопределенный интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства неопределенного интеграла. 2. Основные методы интегрирования неопределенного интеграла. 3. Определенный интеграл и его геометрический смысл. 4. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла. Зная производную или дифференциал функции, можно найти саму эту функцию (восстановить функцию). Такое действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием. Первообразной функцией по отношению к данной функции y f (x) называется такая функция F (x) , производная от которой равна данной функции, т.е. F ( x) f ( x) Для данной функции y f (x) первообразных функций бесчисленное множество, т.к. любая из функций F ( x) C , также является первообразной для y f (x) . Совокупность всех первообразных F ( x) C для данной функции y f (x) называется ее неопределенным интегралом обозначается символом: f ( x)dx F ( x) C , где f ( x)dx называется подынтегральным выражением, функция f (x) подынтегральной функцией. Геометрический смысл неопределенного интеграла. Геометрически, неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, полученных путем параллельного переноса графика функции y F (x) вдоль оси ординат (рис. 3). Рис. 3 Основные свойства неопределённого интеграла Свойство 1. Производная неопределенного интеграла подынтегральной функции: f ( x)dx f ( x) равна Свойство 2. Дифференциал подынтегральному выражению: d неопределенного интеграла равен f ( x)dx f ( x)dx Свойство 3. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс const: dF ( x) F ( x) C Свойство 4. Линейность интеграла. (k f ( x) k 2 f 2 ( x)) dx k1 f1 ( x)dx k 2 f 2 ( x)dx 1 1 Функция степенная Таблица основных интегралов Интеграл x n 1 C n 1 dx x C n x dx 1 x dx ln x C показательная ax C ln a x x e dx e C тригонометрические sin xdx cos x C x a dx cos xdx sin x C 1 cos 2 x 1 sin обратные тригонометрические 2 x 1 1 x 2 dx tgx C dx ctgx C dx arctgx C 1 1 x2 dxrc sin x C Основные методы интегрирования 1. Непосредственное интегрирование – это метод, основанный на применении тождественных преобразований подынтегральной функции, а также основных свойств неопределенного интеграла и табличных интегралов. Наиболее часто используются следующие преобразования подынтегральной функции: деление числителя на знаменатель почленно; применение формул сокращенного умножения; применение тригонометрических тождеств. 2. Замена переменной (метод подстановки) – это метод, заключающийся во введении новой переменной с целью преобразования данного интеграла в табличный. Чаще всего этот метод используется, если в подынтегральном выражении содержится сложная функция, тогда ее промежуточный аргумент и надо обозначить как новую переменную, например t t (x) . Далее необходимо выполнить следующие действия: найти дифференциал новой переменной dt t ( x)dx ; записать прежний интеграл, используя только переменную t , если подстановка сделана правильно, то полученный интеграл (t)dt должен быть табличным; используя таблицу интегралов, записать решение для подынтегральной функции (t ) ; осуществить обратную подстановку, заменив переменную t . 3. Метод интегрирования по частям – это метод, заключающийся в использовании формулы: u d u du . Этот метод применяется в том случае, если интеграл du является более простым для решения чем u d . Как правило, этим методом решаются интегралы вида P( x) f ( x)dx , где P (x ) - многочлен, а f (x) - одна из следующих функций: sin x , cos x , ln x , a x , e x , arctgx , arcctgx . Рассмотрим некоторую функцию y f (x ) , определённую на промежутке a, b, рис. 4. Выполним 5 операций. 1. Разобьём промежуток a, b точками x 0 a, x1 , x 2 ,..., x n b произвольным образом на n частей. Обозначим x k x k 1 x k , а наибольшую из длин этих частичных участков обозначим через , будем называть рангом дробления. 2. На каждом частичном участке [ x k ; x k 1 ] возьмём произвольную точку k и вычислим в ней значение функции f ( k ) . 3. Составим произведение f ( k ) x k Рис. 4 n 1 4. Составим сумму n f ( k ) x k . Эта сумма называется интегральной k 0 суммой или суммой Римана. 5. Измельчая дробление (за счёт увеличения числа точек дробления n ) и устремляя при этом ранг дробления к нулю ( 0 ) т.е. (увеличивая число точек дробления, мы следим за тем, чтобы уменьшалась и стремилась к нулю длина всех частичных участков x k ), будем находить предел последовательности интегральных сумм J lim n n 0 Если этот предел существует, не зависит от способа дробления и выбора точек k , то он называется определённым интегралом от функции y f ( x ) по b промежутку a, b и обозначается так: J f ( x )dx . a Геометрический смысл определенного интеграла. Допустим, что функция y f (x ) непрерывна и положительна на промежутке a, b. Рассмотрим n 1 криволинейную трапецию ABCD (рис. 4). Интегральная сумма n f ( k ) xk k 0 даёт нам сумму площадей прямоугольников с основаниями xk и высотами f ( k ) . Её можно принять за приближённое значение площади криволинейной трапеции ABCD , т.е. n 1 S ABCD f ( k ) x k , k 0 причём, это равенство будет тем точнее, чем мельче дробление, и в пределе при n →+∞ и λ →0 мы получим: b S ABCD f ( x)dx . a В этом и заключается геометрический смысл определённого интеграла. Основные свойства определённого интеграла Свойство 1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю. a f ( x)dx 0 a Свойство 2. При перемене местами пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный. b a a b f ( x)dx f ( x)dx Свойство 3. Линейность интеграла. b b b a a a (k1 f1 k 2 f 2 )( x)dx k1 f1 ( x)dx k 2 f 2 ( x)dx Свойство 4. Каковы бы ни были числа a, b, c , если функция f (x) интегрируема на каждом из промежутков a, c , c, b , a, b (рис. 5), то: b c b a a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx Рис. 5 Теорема. Если функция f (x) непрерывна на промежутке a, b , то определённый интеграл от этой функции по промежутку a, b равен разности значений какой-либо первообразной этой функции на верхнем и на нижнем пределах интегрирования, т.е. b f ( x)dx F ( x) ba F (b) F (a) (Формула Ньютона-Лейбница). a Эта формула сводит нахождение определенных интегралов к нахождению неопределенных интегралов. Разность F (b) F (a) называется приращением b первообразной и обозначается F ( x) a . Рассмотрим основные способы вычисления определённого интеграла: замену переменных (подстановку) и интегрирование по частям. 1. Подстановка (замена переменной) в определённом интеграле необходимо выполнить следующие действия: ввести новую переменную t t (x) ; найти дифференциал новой переменной dt t ( x)dx ; вычислить новые значения пределов интегрирования: t (a) и t (b) ; записать прежний интеграл, используя только переменную t и новые пределы и ; используя таблицу интегралов, записать решение для полученной подынтегральной функции; применив формулу Ньютона-Лейбница, вычислить значение определенного интеграла. Замечание. При вычислении определённых интегралов с помощью подстановки нет необходимости возвращаться к первоначальному аргументу. 2. Интегрирование по частям в определённом интеграле сводится к применению формулы: b b a a b u d (u ) a du . Примеры решения задач Задание 1. Найти неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования. 1. 2 x x dx . Используя свойство неопределенного интеграла, вынесем за знак интеграла постоянный множитель. Затем, выполняя элементарные математические преобразования, приведем подынтегральную функцию к степенному виду: 1 2 3 1 2 3 2 5 x 4 x xdx 2 x x dx 2 x dx 2 3 1 5 x 2 C . 2 Задание 2. Найти неопределенный интеграл, используя метод замены переменной. 1. sin 2 x cos xdx . Сделаем замену переменной t sin x , тогда dt (sin x)dx cos xdx . Исходный интеграл примет вид: sin 2 x cos xdx t sin x dt cos xdx t 2 dt Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная функция. Используя правило нахождения неопределенного интеграла от степенной функции, найдем: t 2 dt 1 21 1 t C t3 C 2 1 3 Сделав обратную замену, получим окончательный ответ: sin 2 1 x cos xdx sin 3 x C 3 Задание 3. Найти неопределенный интеграл, используя метод интегрирования по частям. 1. x cos xdx . Введем следующие обозначения: u x d cos xdx Тогда дифференцируя первое выражение и интегрируя второе, получим: du dx sin x Теперь подставив в формулу метода интегрирования по частям введенные нами обозначения и, получим: u x d cos xdx x cos xdx dudx sin x x sin x sin xdx x sin x cos x C Задание 4. Вычислить определенный интеграл. 4 1. x 2 dx . Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем: 1 4 x3 x dx 1 3 4 2 2. 1 43 13 64 1 21 . 3 3 3 3 2 cos x dx . Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем: 0 2 cos x dx sin x 0 2 sin 0 2 sin 0 1 0 1 . 2x 1 dx . Решение. На основании свойств определенного интеграла и 5 2 x 4 9 3. формулы Ньютона-Лейбница получаем: 2x 1 2x 1 2 x2 dx dx dx 4 5 2 x 4 5 4 2 x 5 2 1 65 1 14. 5 9 9 9 9 9 x 4 4 1 2 9 42 5 Задания для самостоятельного решения 1. Решить неопределенные интегралы: 3 3 x2 2x dx ; 1. x ln ( x 3) 2. dx; x3 3. 4. 5. 6. 7. x3 3x 4 2 dx ; x 2 3cos5 x sin 5 x dx; x ln x dx. ; dx x ln x ; 3 e2 x dx 8. 9. 4 3 5 2 x 3 x dx ; x 1 e 2x 2 . 10. 3x 2 x3 7 dx x3 11. dx ; x 1 ln 2 x 12. ln x dx; x3 3 2 e sin 3 x cos3x dx; 2. Вычислить определенные интегралы: 4 4 x )dx 1. ( 3 x 1 1 3 2. 2 0 xdx 1 x2 9 4 e e ln 2 x dx 3. 1 x 7. 2 cos sin d 3 4. 5. 8. 6 1 dx 4 3x 0 6. 2 9 cos x dx x 2 cos xdx sin 3 x 4 2 9. 2 xdx 2 1) 2 (2 x 1 2 sin ln x dx x 1 4 10. e 6 cos 2 x sin 2 xdx