Решение неравенств методом интервалов, 9кл

ПРОГРАММА
ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ДЛЯ
9 КЛАССА
«Решение неравенств методом
интервалов»
Содержание
1.
Аннотация …………………………………………………..3
2.
Пояснительная записка……………………………………..4
3.
Учебный план……………………………………………….5
4.
Тематический план………………………………………….6
5.
Содержание программы……………………………………7
6.
Рекомендуемая литература…………………………………9
7.
Приложения.
7.1.
Планы занятий …………………………………………..10
7.2.
Презентация «Графики функций»
2
Аннотация
Программа курса предназначена для учащихся 9 класса. Она будет способствовать повышению математической подготовки учащихся, самоопределению в выборе профиля обучения, выявлению способностей ученика осваивать выбранный элективный курс на повышенном уровне.
Курс адресован преподавателям математики, его материалы могут быть
использованы не только в рамках элективного курса, но и во внеклассной работе, во время проведения предметной недели, в урочной деятельности.
3
Пояснительная записка.
Элективный курс «Решение неравенств методом интервалов» рассчитан
на 15 часов для учащихся 9 класса. Он ориентирован на предпрофильную
подготовку учащихся по математике. Расширяет базовый курс по алгебре,
дает учащимся подробно познакомиться с одним из наиболее эффективных
методов решения неравенств, особенно неравенств, содержащих разные
функции, - методом интервалов. Суть этого метода состоит в том, что числовая ось или иное множество, на котором рассматриваются та или иная
«сложная» задача, разбиваются по некоторому определенному правилу на
«более мелкие» промежутки(интервалы, лучи) так, что на этих промежутках
«сложная» задача упрощается или обладает каким-нибудь определенным
свойством(например, свойством сохранения знака). Так, при решении методом интервалов рациональных неравенств числовая ось разбивается корнями
числителя и знаменателя дроби на промежутки, на каждом из которых рациональная функция сохраняет знак.
При решении методом интервалов уравнений с модулями область определения уравнения разбивается на промежутки, на каждом из которых исходные уравнение сводится к уравнению без модулей. Аналогичным свойством обладают и все непрерывные функции, в частности элементарные
функции.
Все вопросы, входящие в элективный курс не вызовут трудностей у
учащихся, а наоборот, заинтересуют их, повысится интерес к математике, что
способствует развитию логического мышления, вычислительных навыков,
пробудит способность к самообразованию, саморазвитию, самореализацию в
процессе изучения курса.
Традиционные формы организации занятий, как лекция, семинар, практикум, контроль, безусловно будут применяться, но на первое место выйдут
содоклады, рефераты, дополняющие выступление учителя.
4
Учебный план
№
1
.
2
.
3
.
4
.
Количество ча-
Наименование разделов
сов
Решение однотипных уравнений
5
Решение смешанных неравенств
4
Решение неравенств с параметрами
2
Решение неравенств с двумя неизвестными
4
Итого:
15
5
Учебно-тематический план
№
Наименование разделов, тем
Лекция
Семи-
Практи-
Конт-
нар
кум
роль
1. Решение однотипных неравенств
1.1
Решение однотипных неравенств
1.2
Дробно-рациональные неравен-
1
1
ства
Неравенства, содержащие неиз-
1.3
1
вестную величину под знаком модуля
1.4
Показательные неравенства
1.5
Решение задач с помощью нера-
1
0,5
венств. Тест №1
0,5
2. Решение неравенств смешанного типа
Решение неравенств смешанного
2.1
типа
1
Неравенства, содержащие ариф-
2.2
метический квадратный корень и мо-
1
дуль
2.3
Неравенства, содержащий арифметический квадратный корень и пока-
1
зательную функцию
2.4
Решение задач с помощью нера-
0,5
венств. Тест №2
0,5
3. Решение неравенств с параметрами
3.1
Неравенства с параметрами. Подготовка к ЕГЭ
0,5
0,5
1
4. Решение неравенств с двумя неизвестными
4.1
Неравенства с двумя неизвестными. Подготовка к ЕГЭ
0,5
0,5
1
6
Контрольная работа
1
Итоговое занятие
1
Содержание программы
Тема 1. Решение однотипных неравенств
( 1ч – лекция, 0,5ч – семинар, 3ч – практикум, 0,5ч – контроль)
В данной теме доказывается, что практически любое неравенство можно
решать методом интервалов, хотя не всегда это выгодно. Например, при решении линейного неравенства 2х<3 → х<1,5.
В то же время немало однотипных неравенств(иррациональных, степенных, с модулями), которые выгодно и удобно решать методом интервалов.
Например. Решить неравенство:
а) х  2 - 3  х >1
б) |х2 - х - 2|≥|х2 + х -12|
в) 9х – 2.3х - 3≤0
Тема завершается проведением теста №1
Тема 2. Решение неравенств смешанного типа
(1ч – лекция, 0,5ч – семинар, 2ч – практикум, 0,5ч – контроль)
Метод интервалов ярко проявляется при решении неравенств, содержащих разные функции. Решаются задания типа
4 х  4  17 . 2 х  4
х2 4 х
х  3  х 1
>0 или
2х  5  х  6
≤0.
В конце темы проводится тест №2
Тема 3. Решение неравенств с параметрами
(0,5ч – лекция, 0,5ч – семинар, 1ч – практикум)
7
В последние годы чаще стали встречаться задачи с параметрами на ЕГЭ,
которые у многих вызывают немалые трудности, поэтому нужно подробно
изучить данную тему, выполняя задания подобного типа:
а) для всех значений параметра р решить неравенство
(х – 3 + р)2(х-1+2р)≥0
б) при каких значениях параметра а квадратный трехчлен (1-а)х2 + 3х –
(а+1) всегда положителен.
Тема 4. Решение неравенств с двумя неизвестными
(0,5ч – лекция, 0,5ч – семинар, 1ч – практикум)
Схема исследования неравенств с двумя неизвестными методом областей аналогичная схеме решения неравенств с одной неизвестной методом
интервалов.
8
Рекомендуемая литература.
1. Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др. Алгебра 9 класс – М.: Просвещение 2002 г.
2. А.К.Окунев. Квадратные функции. Уравнения и неравенства. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1972 г.
3. В.В.Мочалов, В.В. Сильвестров. Уравнения и неравенствами с параметрами. Учебное пособие. – Издательство Чувашского университета,
1997г.
4. Ю.Ф.Фоминых. Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов.
Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1999 г.
5. А.А.Мочалин. Сборник задач по математике. Учебное пособие. 911 класс – Саратов: «Лицей», 1998г.
6. В.В.Сильвестров. Обобщенный метод интервалов. Учебное пособие. – Чебоксары: Издательство Чувашского университета, 1998г.
7. Журнал «Математика в школе» №6, 2005 г.
8. Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ по математике. 2004-2006 гг.
9
Занятие 1. Лекция. Решение однотипных неравенств.
Цели занятия. Познакомить учащихся с понятием «однотипные неравенства», решением дробно-рациональных неравенств, неравенств, содержащих
неизвестную величину под знаком модуля, неравенств, содержащие степень,
методом интервалов.
Ход занятия.
I. Оргмомент.
II.Знакомство с учебным планом всего курса.
III. Лекция.
1. Однотипные неравенства:
- иррациональные
- с модулем
- степенные
- логарифмические
- показательные
2. Решение неравенств:
а)
х  2  3  х >1
б) |х2-х-2|≥|х2+х-12|
в) 9х-2.3х-3≤0
3. Вывод: общая схема решения неравенства такова:
ОДЗ→ Корни→ Ось→ Знаки→ Концы→ Ответ.
Домашнее задание. №709(2;4)
№710(2)
Алимов Ш.А.. Алгебра 8кл.
№712(2;4;6)
10
Занятие 2. Практикум. Дробно-рациональные неравенства
Цель занятия: умение решать рациональные неравенства методом интервалов.
Ход занятия.
I. Оргмомент.
II.Проверка домашнего задания
III. Решение неравенств вида:
( х  1)( х 2  4)( х 2  х  6)
а)
0
х 2 ( х 2  1)
Ответ:  2   (-1;0)  (0;1)  0;1  1;2  3;
б)
х  2х 2   
х
2


 х _ 2 х2 1
0
Ответ.  ;2   2;    (1;1)  (1;  )
в)
14 х  13
≥1
(3х  1)( х  1)
Ответ. (-1; )  2 
1
3
Вывод. Алгоритм решения:
ОДЗ→ Корни→ Ось→ Знаки→ Концы→ Ответ.
IV. Самостоятельная работа
а) (3-х2)(х2+2х+4)(4х2+х-5)>0
5
Ответ:   3;   1; 3 

4
б) х2-х>2х2-2
Ответ: (-1;1)  2 : 
11
в)
х5
>3х
х 1
2
Ответ:   ;1    1;1

3
V. Анализ самостоятельной работы
VI. Домашняя работа. Алимов Ш.А.. Алгебра 8 кл. №140.
Занятие 3. Практикум. Неравенства, содержащие неизвестную величину под знаком модуля.
Цели. Напомнить определение абсолютной величины и необходимое
условие для решения неравенства с модулем.
Ход занятия.
I. Оргмомент.
II.Проверка домашнего задания
III. Повторение.
а)
х, если х≥0
|х|= -х, если х<0
б) для решения неравенств, содержащих величину х под знаком модуля
необходимо:
- найти значение х, при которых выражение, содержащие под знаком модуля, обращаются в нуль;
- решить неравенства для каждого из промежутков, образованных такими х.
IV. Решить неравенство:
а) х 2  5х  6 >0
Ответ:  ;3   2;1  6;
б) х  1  х  1 <4
Ответ.  2;2
в) х 3  1 >1-х
Ответ.  ;1  0;1  1;
V. Самостоятельная работа.
12
а)
2х  1
х х2
2
>
1
2
Ответ.  4;1  2;5
б)
3
2
>
х  2 2х  1
Ответ.  ;4  1 ;2   2; 
1
 7

Домашнее задание. Реферат «Логарифмические функции»
13
Занятие 4. Практикум. Показательные неравенства.
Цели. Познакомить учащихся с логарифмической функцией, научить
решать показательные неравенства.
Ход занятия.
I. Реферат «Логарифмическая функция»
II.Повторение
- показательная функция
- свойства
- график.
III. Решение неравенств
а) 9х-2.3х-3≤0
Ответ.  ;1
б) 4.9х+2х<18х+4
Ответ.  ;0  2;
1
1
1
г) 9.4 х + 5.6 х ≤4.9 х
1
2
Ответ. (0; ]
Домашнее задание.
Решить неравенство:
а) х-3≤
2
х2
б) (х2-1)( 2  х -х)<0
14
Занятие 5. Решение задач с помощью неравенств. Тест.
Цели. Развивать у учащихся логическое мышление, вычислительные
навыки, воспитывать к ответственности.
Ход занятия.
I. Проверка домашнего задания.
II. Решение задач
Задача. Растительная масса ковыльной степи составляет 24-25т гектар,
при этом надземная часть в 3,5-4 раза меньше зеленой. Оцените массу корней
и массу надземной части.
Решение:
х – масса надземной части
у – масса подземной части.
3,5 х  у  4 х
24  х  у  25
Тогда 
24
=4,8
5
1)
24≤х+у≤х+4х=5х, х≥
2)
25
25≤х+у≤х+3,5х=4,5х, х≤ =5,6
4,5
4,8≤х≤5,6
Аналогично, 18,7≤у≤20
Задача. Из 1ц молока получается 8-9 кг сыра. Сколько сыра можно получить из молока, полученного от 106 коров за месяц, если дневной удой коровы 15-20 кг.
Ответ. 3, 4 – 5,5 т.
Задача. Мама с дочкой 55 мин лепили пельмени. Пока дочь лепила 3
пельмени, мама успевала сделать не меньше 4 штук, но через каждые 15 мин
она отвлекалась на 5 мин, чтобы раскатать тесто. Кто слепил больше пельменей?
15
Ответ. Мама.
Тест.
1.
Решить неравенство:
а) х  2  3  х >1
А 2;3;
б)
х 2  2х  3
х  3  х 1
В 2;3 ;
С  ;2  3;
≥0
А (0;3);
В (-3;3);
С3
в) х  2  х  4  0
А  1;;
г)
В  ;1 ;
С  1;1
3
1
 х
2  2 2 1
х
А(0;1);
В  ;1  (0;1) ;
С 0;1
Домашнее задание. Выступления «Графики функций (степенной, показательной, квадратичной)».
16
Занятие 6. Лекция. Решение неравенств смешанного типа.
Цели. Показать учащимся, что метод интервалов при решении неравенств, содержащих разные функции, проявляется ярче.
Ход занятия.
I. Анализ и результаты тестирования.
Лекция
II.
- неравенства смешанного типа
- арифметический квадратный корень и модуль
х  3  х 1
>0
2х  5  х  6
Ответ.  3;2  1;
- показательная функция, арифметический квадратный корень
4 х 1  17 . 2 х  4
х2 4 х
≤0
Ответ. х=-2
- квадратичная и логарифмическая функции
х 2 4х  3
<0
lg х  2
Ответ.  ;1  1;2  2;3  3;
Выступления. Графики функций (линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической)
Домашнее задание. Решить неравенство:
III.
4
2х


 5. 4 х  4 х 2  9 2 х  1  0
Ответ.
 1

 2
  0;1  3;
17
Занятие 7. Практикум. Неравенства, содержащие арифметический квадратный корень и модуль.
Цели. Умение решать неравенства, содержащие арифметический
квадратный корень и модуль
Ход занятия.
Проверка домашнего задания.
I.
II. Решение неравенств
а)
3  4  х2  х 1
х2  х
0
Ответ.  2    1;0  0;2
б) х  5  1 <|х-2|
Ответ.  ; 5    5;3
в)
2х  7  х  2
0
х  3 1
Ответ.  3,5;2  1;
III. Самостоятельная работа.
1.
Решить неравенство
а) х 2  2 х  4  х  1  1
Ответ.  ;2
б) 5  х  1  2  х
Ответ. 0;4
2.
Решить уравнение
а) 5. 55 х 1  4.5 х 1  0,2
Ответ. 0
б) 4 х  2 17 . 2 х  4  1  0
18
Ответ. х=0, х=4
Домашнее задание. Алимов Ш.А. Алгебра 9 кл. №222
Занятие 8. Практикум. Неравенства, содержащие арифметический квадратный корень и показательную функцию.
Цели. Научить решать неравенства, содержащие арифметический квадратный корень и показательную функцию.
Ход занятия.
I.
Проверка домашнего задания.
II. Решение неравенств
а) 3  2  2 2 х х 2  х  6 4  х  0
Ответ.  ;3  0;2  4 
б) 2  4 . 5 х 5  х х 2  2 х  8 5  х  0
Ответ.  2;4  5 
в)
6х х
0
9 2.3 х  3
х
Ответ.  ;1  2;6
г)
2х  1  х  2
2х
2
2
2
х
0
Ответ.  2;1  1;2
III. Самостоятельная работа.
Решить неравенства:
а) 4  х  х  1  1
Ответ. 0;4
б) |х-3|>|х2-3|
Ответ.  3;0  1;2
в) 4 х  2 х 1  3
Ответ. log 2 3;
19
IV. Домашнее задание. Алимов Ш.А. Алгебра 9 кл. №220,
№221.
Занятие 9. Решение задач с помощью неравенств. Тест.
Цели. Развитие логического мышления учащихся, воспитание ответственного отношения к учебе.
Ход занятия.
I. Проверка домашнего задания.
II. Решение задач
Задача
45°
h
х
l
На рисунке изображен проект теплицы. На ее покрытие имеется 89 м2 полиэтиленовой пленки. Заданы
размеры теплицы: высота h=2м, длина l=5м, наклон
крыши - 45°. Найдите такую ширину х теплицы, чтобы оптимально использовать пленку
Решение. Площадь торцов: 2(hх+
х2
х2
)=4х+ , площадь боковых стен:
4
2
2lh=20, площадь крыши: l 2 х  5 2 х . Откуда




х2
.
 4  5 2 х  20  89 2
2
х 2  2 4  5 2 х  40  178
х=  4  5 2  4  5 2   138  4  5 2  2  10 2   5 2  2  5,07
2
2
Следовательно, ширина х=5.
Задача. Требуется построить склад объемом 144 м3 с отношением сторон
основания 1:3 и при этом так выбрать его высоту, чтобы расход материала на
стены и потолок был минимальным.
Решение.
20
х – сторона, тогда 2х – другая сторона, (3х2 ) – площадь пола, V=3x2H,
H=
384
V
48
 2 , S – общая площадь стен и потолка S= 3x  8 x . H  3x 2 
2
x
3x
x
при х=3, S=155
x=4, S=144
x=5, S=172
Smin достигается при х=4. При этом H(x)=4 м S(x)=144 м2
III. Тесты.
Решить неравенство:
а)
А
б)
х2  5  1< х  2
 5;3,
В  ; 5    5;3,
3  4  х2  х 1
х2  х
А  1;2,
С  ;3
0
В  1;0  0;2 ,
С  2    1;0  0;2
в) 4 2 х  5. 4 х  4х 2  9 2 х  1  0
В 
А 0;1  3; ,
1
 2
1
С    0;1  3;
  0;1 ,
 2
г) 0,25 х  0,5 х  2 <0
А  1; ,
В  ;1 ,
С (-1;0)
Домашнее задание.
Решите уравнение:
4
х
1
2х
5 2
.
х
1
2х
40
21
Занятие 10. Неравенства с параметрами.
Цели. Отметить важность умения решать неравенства с параметрами;
научить решать неравенства с параметрами методом интервалов.
Ход занятия.
I.
Проверка домашнего задания.
II. Лекция.
Неравенства вида Ах>В, Ах<В, Ах ≤ В, Ах ≥ В, где А, В – выражения, зависящие от параметров, а х-неизвестное, называются линейными
неравенствами с параметрами.
Решить неравенство с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество решений заданного неравенства.
Неравенства вида Ах>В решается по следующей схеме:
1)
если А>0, то х>
В
А
2)
если А<0, то х<
В
А
3)
если А=0, то неравенство имеет вид 0. х>В
При В≥0 неравенство имеет  ; при В<0 – R
а) Для всех значений параметра р решить неравенство
(р-1)х>р2-1
р2 1
1) р-1>0, р>1, х>
, х>р+1
р 1
2) р-1=0, р=1, х  
22
3) р-1<0, р<1, х<
р2 1
р2 1
, х<
, х<р+1
р 1
р 1
Ответ. Если р>1, то х>р+1,
если р<1, то х<р+1,
если р=1, то х 
б) Для всех значений параметра a и b решить неравенство
(а+2)х<b-а
1)
а+2>0, а>-2, х<
ba
ab
2)
а+2<0, а<-2, х>
ba
ab
3)
а+2=0, а=-2, b≤-2, то х 
4)
а+2=0, а=-2, b>2, то х  R
Ответ. Если а>-2, b – любое, х<
если а<-2, b – любое, х>
ba
;
ab
ba
;
ab
если а=-2, b≤-2, то х   ;
если а=-2, b>2, то х R
Неравенства вида Aх 2  Вх  С >0 (≥0 ), Aх 2  Вх  С <0(≤0), где А, В,
С – выражения, зависящие от параметров, А  0, а х – неизвестное - называются квадратными неравенствами с параметрами.
Неравенство Aх 2  Вх  С >0 решается по следующей схеме:
1)
А=0, то Вх+С>0
2)
А  0, Д>0, то А(х-х1 )(х-х2 ) >0
3)
А  0, Д=0, А х  х1 2 >0
4)
А  0, Д<0, то при А>0 - R
при А<0 - 
Для всех значений параметра р решить неравенство:
х 2  2 р  1х  р 2 >0
23
Д= 4 р  12  4 р 2  8 р  4  4(2 р  1)
1)
Д<0, то 2р+1<0, р<-0, 5, т.к. А=1, то х R
2)
Д>0, то 2р+1>0, р>-0,5
х1   р  1  2 р  1, х2   р  1  2 р  1 , причем х1 <х2
3)
х2  х 
Д=0, 2р+1=0, р=-0, 5,
1
>0,
4

х 

2
1
1  1


 >0, х    ;     ; 
2  2
2


Ответ. Если р<-0, 5, то х R;
если р≥-0, 5, то х  ; р  1  2 р  1   р  1  2 р  1;
Домашняя задание. Принести сборники заданий по математике для 9 кл.
под редакцией Кузнецовой Л.В.
24
Задание 11. Практикум. Неравенства с параметрами. Подготовка
к ЕГЭ.
Цели. Расширить знания и умения учащихся по теме «Неравенства с параметрами»
Ход занятия.
I.
Решение неравенств.
Для всех значений параметра а решить неравенства:
а)
ха2
0
х2  х  6
Ответ. Если а<0, то х   ; а  2   2;3 ;
если а=0, то х   ;2   2;3 ;
если а=5, то х   ;2
если а>5, то х   ;2  3; а  2
если 0<а<5, то х   ;2  а  2;3
б) х  2ах  а  3 ≤0
Ответ. Если а<1, то х  2а;3  а
если а=1, то х=2
если а>1, то х  3  а;2а
в)
х  1  2х  1
х  а 1
Ответ. Если а>2, то х   1;0
если 1<а≤2, то х  1  а;0
если а=1, то х  ;
25
если а<1, то х  0;1  а 
II. Работа со сборникам (с.108-118)
а) При каких значениях параметра а число корней уравнения
х 2  2 х  7  а в четыре раза больше а?
б) При каких значениях а число корней уравнения х 2  8 х  7  а равно а?
Домашнее задание. Алимов Ш.А. Алгебра 9 кл. №34*, №35*, №36*
26
Занятие 12. Лекция. Неравенства с двумя неизвестными.
Цели. Познакомить учащихся с решением неравенств с двумя неизвестными.
Ход занятия.
I.
Проверка домашнего задания.
II. Лекция.
Метод интервалов без существенных изменений переносится с числовой
очи на координатную плоскость, а также на пространство трех и более измерений. При этом роль критических точек на координатной плоскости играют
критические линии, а роль промежутков – области, эти линии делят область
определения функции двух переменных на «более мелкие» области, в каждой
из которых непрерывная функция сохраняет знак. Для нахождения этого знака достаточно взять в рассматриваемой области какую-нибудь отдельную
«удобную» точку и найти знак функции в выбранной точке, который сохраняется во всей области. При переходе через критические линии знак функции, как правило, меняется. Случаи, когда знак не меняется, аналогичны случаям критических точек четной кратности.
Схема исследования неравенств с двумя неизвестными методом областей аналогична схеме решения неравенств с одной неизвестной методом интервалов.
Пример 1. На координатной плоскости изобразить множество точек
(х;у), координаты которых удовлетворяют неравенству |2х+у|<|х-2у|
Решение:
27
1

2 х  у  х  2 у  у  
|2х+у|<|х-2у|  

3
2 х  у  2 у  х  у  3 х

При х=1, у=0 |2х+у|-|х-2у|<0…
Пример 2. На координатной плоскости изобразить множество точек
(х;у), координаты которых удовлетворяют неравенству
у  х  2  х 1  3  0
Решение.
6 при х  2
у=- х  2  х  1  3  у  2  2 х при  2  х  1
0 при х  1

Ответ. х  1 , у=0, заштрихованная область.
Пример 3.
у  х 1
2  ху
0
Решение. ОДЗ: у≥0 и ху  2
у  х  1  0  у  х  1 , х  1
2
2  ху  0,  у 
2
х
28
Ответ. Заштрихованная область.
Подведение итогов.
29
Занятие 13. Подготовка к ЕГЭ.
30
31
32
33
34
Занятие 14. Контрольная работа.
Цели. Проверить знания учащихся по теме «Решения неравенств методом интервалов»
1.
а)
Решить неравенство
х  3( х 2  1)
х  3х  2
>0
б) 2х  13  9  4х
в)
6х х
0
9  2.3 х  3
х
2. Для всех значений параметра а решить неравенство
г)
х3
0
( х  1)( х  2а  1)
3. На координатной плоскости изобразить множество точек (х;у), координаты которых удовлетворяют неравенству:
у х
ху 2  1
0
35
Занятие 15. Итоговое занятие. Презентация «Графики функции(логарифмической, показательной, степенной)»
Цели. Обобщить и систематизировать знания учащихся по всему пройденному материалу.
Ход занятия.
I.
Анализ контрольной работы.
II. Повторение
- однотипные неравенства
- смешанные неравенства
- неравенства с параметрами
- неравенства с двумя неизвестными
- графики
- квадратичной
- степенной
- показательной
- логарифмической
III. Подведение итогов.
36