Методы решения иррациональных уравнений.

Методы решения иррациональных уравнений.
Урок-семинар по алгебре
и началам анализа.
Из опыта работы учителя математики
Усть-Кутский промышленный техникум
Жижа Кристины Иосифовны
Тема: «Методы решения иррациональных уравнений».
Форма проведения: семинар, работа в группах по 5-6 человек (в каждой группе
обязательно есть сильные ученики).
Цель:
1. 1.Обобщить знания учащихся по данной теме, продемонстрировать различные
методы решения иррациональных уравнений, показать умение учащихся
подходить к решению уравнений с исследовательской позиции.
2. Формирование навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при
выполнении домашнего задания, умения анализировать, сравнивать, обобщать,
делать выводы, развитие логического мышления, алгоритмической культуры.
3. Воспитание самостоятельности учащихся, умения выслушивать других и умения
общаться в группах, повышения интереса к предмету.
Оборудование: мультимедийный проектор,
Наглядность: таблица «Решение иррациональных уравнений», плакат «Математику уже
затем учить следует, что она ум в порядок приводит».
Подготовительная работа:
1. Творческое задание №1. (За три недели до занятия. Работа в парах).
Решить различные иррациональные уравнения, взятые из ЕГЭ ,из сборника заданий для
проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы №5.275.48(стр.135).(Чем больше решенных уравнений, тем лучше).
2. Творческое задание №2. (За одну неделю до занятия. Индивидуальная работа.)
Решить уравнение 2 x  3  4 x  1  4 различными способами. Оценить достоинства и
недостатки каждого способа. Оформить запись выводов в виде таблицы.
3. В течение выполнения творческого задания провести (по необходимости)
консультации для учащихся, у которых возникают вопросы по заданию.
План проведения занятия:
1. Сообщение темы и цели урока.
2. Презентация исследовательской работы ученицы.
3. Анализ методов решения творческого задания № 2.
4. Практическая часть.
5. Самостоятельная работа.
6. Итог занятия
Ход занятия:
1. Сообщение темы и цели урока.
2. Презентация исследовательской работы, проведенной ученицей, на тему «Анализ
методов решения иррациональных уравнений».
3. Анализ методов решения творческого задания.
(Перед началом занятия учащиеся групп №1 и №2 записали на доске предложенные
ими способы решения, учащиеся группы №3 записали на кодопозитиве.)
а) Каждая группа анализирует один из способов решения, оценивает достоинства и
недостатки, делает вывод. Учащиеся других групп делают дополнения, если это
необходимо. Оценивается анализ и вывод, какой группы будет наиболее четким и
полным.
Способ I
Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей
проверкой
2x  3  4x  1  4 ,
возведем обе части уравнения в квадрат
2 x  3  2 2 x  3 4 x  1  4 x  1  42 ,
2 2 x  34 x  1  16  6 x  2,
2 8 x 2  2 x  12 x  3  18  6 x,
8 x 2  10 x  3  9  3x,
возведем обе части уравнения в квадрат.
2
8 x 2  10 x  3  9  3x  ,
8 x 2  10 x  3  81  54 x  9 x 2 ,
x 2  44 x  84  0,
По теореме Виета:
x1  x2  44,
x1  x2  84,
x1  42, x2  2.
Проверка:
1). Если х=42, то
2  42  3  4  42  1  4,
81  169  4,
9  13  4,
22  4, неверно
Значит, число 42 не является корнем уравнения.
2). Если х=2, то
4  3  8  1  4,
1  3  4,
4  4, верно
Значит, число 2 является корнем уравнения.
Ответ: 2
Достоинства
1. Понятно
2. Доступно
Недостатки
1. Словесная запись
2. Громоздкая проверка иногда занимает
много времени и места
Вывод:
При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в
одну и туже степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и
доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает громоздкой и занимает много
времени. Этот метод можно использовать для несложных иррациональных уравнений,
содержащих 1-2 радикала.
Способ II
Метод равносильных преобразований
2x  3  4x 1  4 

2 x  3  2 2 x  3 4 x  1  4 x  1  4 2 ,
2 2 x  34 x  1  16  6 x  2,


 2 x  3  0,
  x  1,5,

4 x  1  0

1

x  
4

2 8 x 2  2 x  12 x  3  18  6 x,
 8 x 2  10 x  3  9  3 x,



 x  1,5
 x  1,5
8 x 2  10 x  3  9  3 x 2 ,
8 x 2  10 x  3  81  54 x  9 x 2 ,
 x 2  44 x  84  0,


  x  1,5,
  x  1,5,


1
,
5

x

3

9  3x  0
x  3


 x  42,

  x  2,
 x  2.
1,5  x  3

x 2  44 x  84  0
По теореме Виета:
x1  x2  44,
x1  x2  84,
x1  42, x2  2.
Ответ: 2.
Достоинства
1. Отсутствие словесного описания
2. Нет проверки
3. Четкая логическая запись
4. Последовательность равносильных
переходов
Недостатки
1. Громоздкая запись
2. Можно ошибиться при комбинации знаков
системы и совокупности и получить
неверный ответ
Вывод:
При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко
знать, когда ставить знак системы, а когда совокупности. Громоздкость записи, различные
комбинации знаков системы и совокупности не редко приводят к ошибкам. Однако,
последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного
описания, не требующая проверки, являются бесспорными плюсами данного способа.
Способ III
Функционально графический метод
2 x  3 + 4 x  1 =4,
2x  3  4  4x  1 .
Рассмотрим функции y  2 x  3 и y  4  4 x  1 .
1). у = 2 x  3 - степенная функция.
Найдем область определения функции D(x).
2 x  3  0  2 x  3  x  1,5.
D(x)  1,5;  .
Составим таблицу значений х и у:
х
1,5
2
6
у
0
1
3
2). у =4 - 4 x  1 - степенная функция.
Найдем область определения функции D(x).
1
4 x  1  0  4 x  1  x   .
4
 1 
D(x)   ;   .
 4 
Составим таблицу значений х и у:
х
-0,25
0
2
6
у
4
3
1
-1
Построим данные графики функции в одной системе координат.
y
0
x
Графики функции пересекаются в точке с абсциссой х=2.
Ответ: 2
Достоинства
1. Наглядность
2. Если ответ точный, то не нужна проверка.
Недостатки
1. Словесная запись
2. Ответ может быть приближенным, не
точным
Вывод:
Функционально графический метод – это наглядный метод, но применять его лучше тогда,
когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный
ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.
Способ IV
Метод введения новых переменных
2 x  3 + 4 x  1 =4.
Введем новые переменные, обозначив 2 x  3  a ,
Получим первое уравнение системы: a+b=4.
4 x 1  b
Составим второе уравнение системы:
2 x  3  a,
a 2  2 x  3,
2a 2  4 x  6,
4 x  1  b,
b  4 x  1,
2
b  4 x  1,
2
a  0,
b  0.
2a 2  b 2  7
Получим систему двух рациональных уравнений, относительно а и b:
b  4  a,
a  b  4,
b  4  a,
b  4  a,
 2
 2
 2
 2
2
2
2
2a  b  7,  2a  4  a   7,  2a  16  8a  a  7  0,  a  8a  9  0, 
a  0, b  0
a  0, b  0
a  0, b  0
a  0, b  0




b  4  a,

b  4  a,
b  3,
a  1,
 


a  1
a  1.
a  9,
a  0, b  0

a 2  8a  9  0,
по теореме Виета:
a1  a2  8,
a1  a2  9,
a1  9, a2  1.
Вернемся к переменной х:
Ответ: 2.
2 x  3  1  2 x  3  1  2 x  4  x  2.
Достоинства
1. Этот метод для данного уравнения
не рационален.
Недостатки
1.Словесное описание.
2. Громоздкое решение.
Вывод:
Метод введения новых переменных и переход к системе рациональных уравнений для
данного уравнения не рационален. Этот метод лучше применять для иррациональных
уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под
знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаками корня.
Итак, ребята, значит, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать
наиболее рациональный способ решения: понятный, доступный, логически грамотно
оформленный.
Ребята, поднимите руку, кто из вас при решении этого уравнения отдал бы предпочтение:
а) методу возведения обеих частей уравнения в одну и туже степень с проверкой;
б) методу равносильных переходов;
в) функционально графическому методу;
г) методу введения новых переменных?
4. Практическая часть семинара
Работа в группах.
Каждая группа учащихся получает карточку с уравнением, и решают его в тетради.
В это время учащийся из группы № 1 решает на центральной доске с комментарием,
учащийся из группы № 2 решает на боковой доске молча, а затем комментирует решение,
Один из учащихся группы № 3 решает на кодопозитиве, а затем комментирует решение,
спроектированное на экран кодоскопом.
Учащиеся каждой группы решают тот пример, который решает член их группы, следят за
правильностью решения на доске или на кодопозитиве. Если решающий у доски
допускает ошибки, то тот, кто их заметил, поднимает руку и помогает отвечающему
исправить их.
Задание №2 на центральной доске решает учащийся из группы № 2, на боковой доске - из
группы № 3, на кодопозитиве - из группы № 1 и так далее.
В ходе занятия каждый учащийся помимо примеров, решаемых его группой, должен
записать в тетрадь все примеры, предложенные другим группам и дома решить их.
Задание№1.
Рассмотрим и решим иррациональные уравнения, для которых метод введения новой
переменной наиболее рационален:
Группа 1.
-
=3
Группа 2. 2 +3x-5
Группа 3.
= -3
+
=4
.
Задание №2.
Рассмотрим и решим иррациональные уравнения, содержащие модуль:
Группа 1.
= x+4
Группа 2.
= x+6
Группа 3.
-5 = 2x
Задание №3.
Решить уравнения, содержащие несколько радикалов:
Группа 1.
-
=3
Группа 2.
-
=1
Группа 3.
Задание №4.
-
=
Решить уравнения методом расщепления:
Группа 1.
=0
Группа 2.
0
Группа 3.
0
5. Самостоятельная работа
Решить уравнение, содержащее 3 радикала третьей степени, используя тождество
a 3  b3  c3  3abc .
В каждой группе один учащийся решает на кодопленке, чтобы затем проверить решение.
В группах сначала идет обсуждение хода решения, а затем приступают к решению.
Кто решит раньше, тот назначается консультантом и помогает тем, кто затрудняется
решить.
3

3
2х  3 
3
2х  1  3 1  2х  3 2х  3 
 
3
2x  3 
3
 
3
2x  1 
3

3
2х  1  3 1  2х  0 
3
2 x  1  3 3 2х  3 
3
2 х  1  3 2 x  1  2x+3+2x+1+2x-
1=3 3 2 x  32 x  12 x  1  6x+3=3 3 2 x  32 x  12 x  1 
2x+1= 3 2 x  32 x  12 x  1  2 x  1  (2 x  3)( 2 x  1)( 2 x  1) 
3
 (2x+1)( 2 x  1  2 x  3(2 x  1)) =0  2 x  1 4 x 2  4 x  1  4 x 2  2 x  6 x  3  0 
1
 (2x+1)4=0  2x=-1  x  2
1
Ответ:- .
2
2
Проверка решения проводится с помощью кодоскопа. Сначала проверяются
кодопозитивы учащихся, а затем используется презентация.
6. Итог занятия
Решение иррациональных уравнений требует от учащихся хороших теоретических знаний,
умений применять их на практике, требует внимания, трудолюбия, сообразительности.
Литература.
1. Дорофеев Г.В. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена
по математике за курс средней школы. 11 класс. Дрофа. Москва. 2007
2. Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа. 10 класс. Просвещение. Москва. 2008
3. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2009. Вступительные испытания. Под ред.
Ф.Ф.Лысенко. Легион. Ростов-на-Дону. 2008