Исаев С.В. Методика оценки линейной модели

На правах рукописи
УДК 621.72.001.5(018)
ИСАЕВ Сергей Вячеславович
МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
РАЗМЕРНОЙ ЦЕПИ ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТИ
ОБЪЕКТОВ ПРОИЗВОДСТВА ПРИ СБОРКЕ
Специальность 05.11.15 – Метрология и метрологическое обеспечение
АВТОРЕФЕРАТ
Диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Москва – 2007
Работа выполнена в Московском
университете имени Н.Э. Баумана.
Научный руководитель:
государственном
техническом
доктор технических наук, профессор
Назаров Николай Григорьевич
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор
Тарасов Владимир Алексеевич
кандидат технических наук, профессор
Марков Борис Николаевич
Ведущее предприятие:
ФГУП Государственный космический научнопроизводственный центр имени М.В. Хруничева
КБ «Салют»
Защита состоится «____»__________ 2007 г. в ____ час. на заседании
диссертационного совета Д 212.141.18 в Московском государственном
техническом университете им. Н.Э. Баумана по адресу: 105005, Москва, 2-ая
Бауманская ул., дом 5.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенный печатью
учреждения, просим направлять по указанному адресу.
Автореферат разослан «___»________________ 2007 г.
Телефон для справок 267-09-63
Ученый секретарь
диссертационного совета
к.т.н., доцент
Подписано к печати _______
Заказ _______
2
Цветков Ю.Б.
Объем 1,0 п. л.
Тираж 100 экз.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
1.1. Актуальность темы
При изготовлении и сборке сложных объектов производства имеет место
проблема исследования влияния погрешностей их входных геометрических
параметров на выходные. От точности выполнения выходных геометрических
параметров зависит качество работы объекта производства.
На точность выходных геометрических параметров объектов производства влияют две группы входных геометрических параметров. Первую группу
составляют геометрические параметры элементов конструкции имеющие связи
внутренние, в пределах объема каждой детали. А вторую - геометрические параметры деталей, имеющие связи внешние (сборка, формирование геометрических параметров сборочной единицы), и входящие в соединения с другими параметрами деталей в машине.
Для назначения допусков на выходные и входные геометрические параметры необходимо решать задачи анализа и синтеза пространственных размерных цепей. При этом используются модели размерных цепей, получаемые на
основании применения аналитического подхода, использующего векторнопроективный или векторно-матричный способ. Наиболее эффективно, с точки
зрения анализа точности, построение модели размерной цепи векторноматричным способом, основанном на представлении относительного положения систем координат и связанных с ними поверхностей элементов конструкции.
Так как положение одной поверхности объекта производства (одна координатная система) относительно другой (другая координатная система) характеризуется тремя расстояниями (координаты центра системы) и тремя углами
поворотов (одной координатной системы относительно другой), то эти шесть
параметров характеризуют звено пространственной размерной цепи. При этом
входные геометрические параметры определяют составляющие звенья размерной цепи и являются составляющими величинами, а выходные геометрические
параметры определяют замыкающее звено и являются замыкающими величинами.
Таким образом, пространственная размерная цепь состоит из составляющих и замыкающего звеньев, каждое из которых определяется радиус-вектором
и матрицей поворотов, параметрами которых являются составляющие величины – для составляющих звеньев и замыкающие величины – для замыкающего
звена.
Поэтому размерная цепь рассматривается как схема, представляющая собой многоугольный векторный замкнутый контур в виде векторной суммы. В
этом замкнутом многоугольнике результирующим вектором является размер
замыкающего звена, а остальные векторы представляют собой размеры деталей
и их соединений, являющихся составляющими звеньями.
3
Такой способ построения размерной цепи позволяет дать точное описание детерминированной связи между составляющими и замыкающими величинами, входящими в пространственную размерную цепь, а недостатком является
то, что уравнения модели размерной цепи являются нелинейными и, как следствие этого, невозможность решения задачи синтеза пространственной размерной цепи.
Для решения этой проблемы необходимо иметь методики построения линейных моделей пространственных размерных цепей. Эти методики создают
базис для решения задач и анализа и синтеза, что позволяет оптимизировать
конструкцию и обеспечить выполнение выходных геометрических параметров
объекта производства заданной точности. Эта задача весьма остро стоит при
сборке летательных аппаратов сложной формы, где отсутствие информации о
коэффициентах влияния в линейных уравнениях размерных цепей, не позволяет назначать оптимальные допуски на геометрические параметры изделия.
Существующие методы теории планирования эксперимента пригодны
для получения линейной модели пространственной размерной цепи, что позволяет решать задачи анализа и синтеза полей допусков замыкающей и составляющих величин. Они имеют потенциальные возможности для сокращения объемов исходных данных при определении коэффициентов. Недостатком этих
методов является отсутствие данных об их эффективности и точности.
Получение оценок линейной модели пространственной размерной цепи
возможно с помощью эксперимента, однако отсутствует методика экспериментальной оценки с требуемой эффективностью.
1.2. Цель работы и задачи исследований
Целью данной научной работы является разработка и исследование методики формирования линейных моделей пространственных размерных цепей
для анализа и синтеза полей допусков величин (параметров), характеризующих
геометрию объекта производства.
Основными задачами исследований являются:
- разработка методики формирования модели пространственной размерной цепи объекта производства с помощью унифицированных геометрических
параметров;
- разработка методики оценки линейной модели пространственной размерной цепи в количественном и качественном отношениях на основе известной модели пространственной размерной цепи;
- разработка программного пакета для моделирования замыкающих величин объекта производства на основе модели пространственной размерной цепи;
- разработка методики экспериментальной оценки линейной модели пространственной размерной цепи в количественном и качественном отношениях;
4
- проведение исследований для оценки эффективности получаемых с помощью программного пакета линейных моделей пространственных размерных
цепей.
1.3. Методы исследования
Результаты выполненных и представленных в работе исследований получены с использованием методов теоретической метрологии, методов теории
планирования эксперимента, математической статистики, теории вероятностей,
линейной алгебры, аналитической геометрии, теории базирования.
1.4. Научная новизна
Научную новизну работы составляют:
1. Методика формирования пространственной размерной цепи объекта
производства с использованием унифицированных геометрических параметров;
2. Методика оценки линейной модели в количественном и качественном
отношениях на основе системы уравнений пространственной размерной цепи;
3. Методика экспериментальной оценки линейной модели пространственной размерной цепи в количественном и качественном отношениях.
1.5. Практическая ценность работы
Практическая ценность работы состоит в разработке программного пакета моделирования замыкающих величин пространственной размерной цепи и
использовании результатов моделирования для оценки ее линейной модели.
Предложенные методики могут найти применение для предприятий машиностроения, занимающихся выпуском сложных объектов производства.
Созданный в процессе диссертации программный пакет позволяет назначать оптимальные допуски на входные геометрические параметры объектов
производства при заданных ограничениях на выходные.
1.6. Реализация и внедрение результатов работы
Разработанные методики оценки линейной модели пространственной
размерной цепи реализованы в учебном процессе по дисциплине «Планирование и организация эксперимента»:
- в учебной программе дисциплины в разделе «Планирование измерений
при оценке линейной математической модели поверхности отклика»,
- в лабораторной работе «Экспериментальная оценка эквивалентности
линейной модели статической характеристики результата измерения на основе
оптимального плана измерения».
1.7. Апробация работы
Основные положения диссертационной работы были доложены и получили поддержку на научных семинарах кафедр МТ-4 «Метрология и взаимозаменяемость» и РК-6 «Системы автоматизированного проектирования» МГТУ
им. Н.Э. Баумана, на 3,4,5,6 всероссийской научно-технической конференции
«Состояние и проблемы технических измерений», на 2-х всероссийских науч5
но-практических конференциях «Метрологическое обеспечение испытаний и
сертификации», организованных ФГУ РОСТЕСТ-МОСКВА.
1.8. Работы по теме диссертации
Автор имеет четырнадцать опубликованных работ по теме диссертации.
1.9. Структура и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, общих выводов,
списка использованной литературы, и приложений. Содержание изложено на
204 страницах, содержит 29 рисунков и 7 таблиц.
2. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во-введении обосновывается актуальность работы, формируются цели и
задачи исследований, приводятся основные положения работы.
Диссертация посвящена разработке и исследованию методики формирования линейной модели пространственной размерной цепи на основе результатов моделирования замыкающих величин пространственной размерной цепи
объекта производства и на основе эксперимента.
В первой главе приводится обзор разработанных к настоящему времени
методик построения и расчета многомерных размерных цепей.
Вопросы разработки методик расчета многомерных размерных цепей отражены в работах Базрова Б.М., Богуцкого М.Е., Губаря В.А., Дёмина Ф.И.,
Дунаева П.Ф., Карепина П.А., Косова М.Г., Кузьмина В.В., Маврикиди Ф.И.,
Молчанова В.В., Николаева В.А., Полещука, Портмана В.Т., Ташбаева Н.О.,
Тимирязева В.А., Федорченко Г.П., Фридлендера И.Г., Шевелёва А.С., Шустера
В.Г. и других. В этих работах разработаны методики расчета пространственных
размерных цепей, описывающих размерные связи в предположении их случайного характера.
Показано, что построение размерных цепей происходит на основе теории
базирования, в разработку которой большой вклад внес Балакшин Б.С. и под
руководством которого разработан современный подход к базированию.
С момента выхода первой работы по размерным цепям до настоящего
времени полного и универсального математического фундамента теории размерных цепей, включающего одно- и многомерный случай, до сих пор не создано. Методики расчета пространственных размерных цепей, созданные как
отечественными, так и иностранными учеными, предназначены только для решения задач анализа размерных цепей методом на максимум-минимум или
теоретико-вероятностным методом по моделям размерных цепей, получаемым
векторно-проективным или векторно-матричным способом.
Для решения задачи синтеза необходимо знание коэффициентов линейной модели размерной цепи. Для их определения создана методика, которая
основана на стохастическом представлении размерных связей деталей сборочных единиц и заключается в линеаризации функции взаимосвязи звеньев пространственной размерной цепи с помощью формулы Тейлора. Оценка адекват6
ности полученной этим методом линейной модели размерной цепи оценивается с помощью остаточного члена в формуле Тейлора.
Метод линеаризации путем разложения в ряд Тейлора весьма ограничен
по своим возможностям при сложных функциях взаимосвязи, так как имеет
жесткие условия применения, такие как
1. Непрерывная дифференцируемость исходной функции,
2. Недопустимость равенства нулю всех частных производных,
3. Сходимость ряда Тейлора при оценке ошибки линеаризации.
Кроме того, полученные по этой методике линейные модели оцениваются
с помощью остаточного члена в формуле Тейлора, при этом не используется
известная модель размерной цепи, а также не исследована точность оценки коэффициентов в получаемых линейных уравнениях модели.
Применение регрессионного анализа для получения линейной модели
размерной цепи не целесообразно, так как нет возможности оценить ошибку
замены функции взаимосвязи составляющих и замыкающего звеньев пространственной размерной цепи регрессионной зависимостью.
В связи с этим, практически ценной становится задача разработки методики построения и оценки линейной модели пространственной размерной цепи
на основе использования известной модели пространственной размерной цепи
или с помощью эксперимента.
Во второй главе, используя результаты предыдущих работ, с помощью
векторно-матричного метода представлена методика построения модели пространственной размерной цепи, в которой предложено использовать унифицированные геометрические параметры, применяемые в машиностроении.
Такие параметры координируют положение начала отсчета системы координат поверхности в выбранной системе координат модулем радиус-вектора
R и двумя углами  и  , а положение осей тремя углами:  ,  и  .
Если в объекте производства каждая последующую систему координат
элемента конструкции определена относительно предыдущей, то в модели пространственной размерной цепи
k  k i



R k0     A j   R k i 1 

i 1  j1



k

A  A

 k0 i 1 i
унифицированные геометрические параметры будут однозначно задавать радиус-векторы и матрицы поворотов R 10 , A 10 ; R 21 , A 21 ;...; R k,k-1 , A k,k-1 , R k0 , A k0 ,
определяющие соответственно составляющие и замыкающее звенья пространственной размерной цепи.
Модель пространственной размерной цепи представляет собой систему
нелинейных уравнений, каждое из которых связывает замыкающую величину с
составляющими величинами и имеет следующую запись
7
y  f x 1 ,..., x n  ,
где y - замыкающая величина, x i , i = 1, n - составляющие величины.
Непосредственное использование этого уравнения для согласования полей допусков замыкающей и составляющих величин связано с большими трудностями, особенно в случае синтеза полей допусков аргументов x i , i = 1, n при
заданном поле допуска замыкающей величины y .
Эти трудности существенно снижаются, если нелинейное уравнение для
каждой замыкающей величины заменить на адекватное линейное уравнение.
В третьей главе на основе модели пространственной размерной цепи разработана методика оценки линейной модели. Эта методика обеспечивает, вопервых, определение значений коэффициентов линейной модели на основе ортогональной матрицы плана, и, во-вторых, оценку ее адекватности.
Линейная модель пространственной размерной цепи представляет собой
систему линейных уравнений для замыкающих величин. При построении линейной модели были использованы методы теории планирования эксперимента. Для конкретной замыкающей величины линейная модель имеет следующий
вид
где
n
1


ηΔx т , c   c1   c i 1Δx i , x i   x i0  Tx i  , i = 1, n ,
i 1
2


т
Δx  x i ,...,x n  - вектор-строка отклонений составляющих величин,
т
c  c1 ,...,c n 1  - вектор коэффициентов линейной модели,
x i0 , i = 1, n - номинальные значения составляющих величин,
Δx i  x i  x i0 , i = 1, n - отклонение составляющей величины x i от x i0 ,
Tx i , i = 1, n - допуски,
1

,
- поля допусков для составляющих величин.
 x i0  2 Tx i  i = 1, n
Алгоритмы определения коэффициентов c1 ,...,c n 1 сформированы на зна-
чениях известной модели пространственной размерной цепи, определенных на
цепочках аргументов (отклонений составляющих величин), значения которых
лежат на границах их полей допусков.
Формирование цепочек отклонений составляющих величин для определения коэффициентов линейной модели основано на использовании ортогональной матрицы плана двух видов: полной матрицы и дробной реплики.
Элементами матрицы плана являются приведенные (кодированные) значения этих отклонений, которые принимают значения +1 или -1. Если +1, то
значение отклонения соответствующей составляющей величины рассматривается на верхней границе поля допуска, если -1, то на нижней.
Так как в полной матрице плана количество строк определяется, как
N  2 n , где n - количество аргументов в модели пространственной размерной
8
цепи, то при увеличении числа аргументов количество строк резко растет, а,
следовательно, и увеличивается количество исходных данных.
Дробная реплика отличается от полной матрицы плана количеством
строк равным 2 n - r , что позволяет значительно сократить количество исходных
данных. Значение параметра r выбирается из условия 2 n - r  n  1  l . Дробная
реплика при количестве звеньев пространственной размерной цепи большем
пяти может иметь на несколько порядков меньше строк, чем полная матрица
плана.
Для сохранения условия ортогональности матрицы плана и получения
дробных реплик был построен алгоритм, основанный на использовании генерирующих соотношений. Эти соотношения выбираются таким образом, чтобы
система смешивания дробной реплики обеспечивала ее максимальную разрешающую способность. Это достигается, если линейные эффекты смешаны с
эффектами взаимодействия наибольшего возможного порядка.
Например, дробная матрица плана 29 - 5 , полученная по такой методике,
будет иметь вид
y
æ1
æ2
æ3
æ4
æ5
æ6
æ7
æ8
æ9
1
1
1
1
1
1
1
1
1 
y1
1
1
1
-1
-1
1
-1
-1
-1 
y2
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
-1 
y3
1
1
-1
-1
1
-1
-1
1
1 
y4
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
-1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
1 
y14
-1
-1
-1
1
-1
-1
1
1
1 
y15
-1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-1 
y16
При этом используются следующие генерирующие соотношения
æ 5  æ1æ 2 æ 3æ 4 , æ 6  æ1æ 2 æ 3 , æ 7  æ1æ 2 æ 4 ,
æ 8  æ1æ 3æ 4 , æ 9  æ 2 æ 3æ 4 .
Используя модель пространственной размерной цепи, для каждой строки
матрицы плана рассчитывается значение замыкающей величины. Затем, используя свойство ортогональности матрицы плана, определяются коэффициенты линейной модели на основе следующих выражений:
1 N
c1 =
 yk ,
Nk=1
ci

1 N
=
 æ k,i-1y k , i = 2, l ,
Nk=1

c
c i = 2 i , i = 2, l ,
Tx i-1
где æ k,i , k = 1, N , i = 1, n - элементы матрицы плана.
При оценке адекватности линейной модели рассмотрены три способа
решения этой задачи.
9
Первый способ состоит в том, что значения замыкающей величины моделируются на строках матрицы плана и определяются как по известной модели
пространственной размерной цепи, так и по линейной модели пространственной размерной цепи и условие адекватности означает, что отклонения этих
значений по всем строкам находятся в поле допуска, рассчитанном по линейной модели
1
ηΔx kт , c   η , k = 0, N ,
2
где
ΤΔη  γΤη , 0 < γ  1 ,
 n
 c i1 Τx i
 i1
Τη  
n

c i21Τx i2


 i1
.
Второй способ основан на замене совокупности одномерных полей допусков гиперсферой постоянного радиуса и условие адекватности означает, что
вектор отклонений замыкающей величины не выходит за пределы этой гиперсферы
Δηc  
 ΔηΔx
N
k 1
т
k
,c

2

ρN 
ΤΔη  r N  ,
2
где параметр r(N)  ρ(Ν) ΤΔη - радиус адекватности, ρ(N)  λ N , λ  3, 4,...
2
Третий способ использует метод Монте-Карло, при котором по заданным
законам многократно моделируются реализации составляющих величин, а по
модели пространственной размерной цепи определяются значения замыкающей величины. Условие адекватности означает, что частота попадания этих
значений в поле допуска, полученное по линейной модели, должна удовлетворять заданному требованию
1


P Y  c1  Τη   1  ε y , ε y  1 .
2


В четвертой главе дано описание программного пакета, алгоритмы которого изложены в предыдущих двух главах. Программный пакет позволяет оценить линейную модель на основе известной модели пространственной размерной цепи.
Для решения анализа точности в пакете применяется метод стохастического моделирования с использованием модели пространственной размерной
цепи.
Для моделирования случайных значений составляющих величин использовались равновероятный, нормальный и экспоненциальный законы распределения.
Результаты расчетов в программном пакете оформляются следующим образом:
1. В виде интервалов варьирования замыкающих величин,
10
2. В виде таблицы со значениями коэффициентов линейной модели,
3. В виде таблицы с результатами оценок адекватности линейной модели
по каждой замыкающей величине.
В пятой главе диссертации предложена методика формирования оптимального плана измерения для экспериментальной оценки линейной модели
пространственной размерной цепи в количественном и качественном отношениях.
Идея экспериментальной оценки состоит в следующем.
Каждая
строка
матрицы
плана
измерения
воспроизводится
действительными значениями составляющих величин экземпляра объекта
производства. Для определения этих значений используются образцовые
средства измерения. Число строк матрицы плана определяет количество
объектов производства, которые привлекаются для эксперимента. Матрица
плана неортогональна. Каждой ее строке соответствует значение замыкающей
величины пространственной размерной цепи объекта производства
ОП1   x 11
ОП 2   x 21

...  ...

ОП N   x 11
x 12
x 22
...
x N2
... x 1n   y1  СИ  Y1 ( y1 )
... x 2n   y 2  СИ  Y2 ( y 2 )

... ... 
...

... x Nn   y N  СИ  YN ( y N )
Для определения значения замыкающей величины используются средства
измерения, которые должны удовлетворять условию единства измерений
относительно случайной погрешности, которая не должна выходить за
установленные пределы с заданной вероятностью
1 

P E(y k )  Te   1 - ε , ε  1,
2 

где
y k , k  1, N - замыкающая величина k-го объекта производства,
Y(y k )  y k  E(y k ), k  1, N - результат измерения замыкающей величины k-
го объекта производства,
o
E(y k )  mek  E - случайная погрешность результата измерения,
m ek - систематическая погрешность,
o
E - центрированная случайная погрешность с дисперсией D e ,
1
Te - допуск поля допуска 0  Te для случайной погрешности.
2
В работе Назарова Н.Г. показано, что условию единства измерений
относительно случайной погрешности соответствуют эквивалентные ему
условия единства измерений относительно дисперсии и систематической
погрешности. Для однократного измерения эти условия представляются
следующими соотношениями:
11
1. D e  D*e  (σ*e ) 2 
 , где D* , Tm* - const.
e
e

1
*
2. m ek  Tme 

2
Измерения замыкающих величин проводятся одним средством измерения
и являются равноточными по дисперсии и некоррелированными.
В методике рассмотрено планирование измерения для оценки
коэффициентов и планирование измерения для оценки адекватности линейной
модели.
При количественной оценке коэффициентов план измерения включает
два структурных элемента (X, μ) , где X - матрица плана измерения, μ - объем
многократных измерений на каждой строке матрицы X .
Оценка объема многократных измерений производится из условия
ограничения оценки дисперсии линейной модели. Случайная оценка линейной
модели пространственной размерной цепи имеет дисперсию, которая связана с
дисперсией погрешности однократного измерения и объемом многократных
измерений μ на каждой строке матрицы плана следующим соотношением
Dе
ρ(x т ; X) ,
μ
т
т
т
-1
т
ρ(x ; X)   (x )B  (x )  ρ(x1 , ..., x n ; X) ,
x т  (x1 , ..., x n ) - вектор-строка действительных значений составляющих
D η (x т ) 
где
величин,
т
 (x т )  1 (x т ), ...,  l (x т )   (1, x1 , ..., x n ) т - вектор базисных функций,
1


x i   x i0  Tx i  , i = 1, n ,
2


B  Φ zт Φ z ,
Φ z  Φ N , X  - матрица базисных функций размера (N  l),
т
- вектор-столбец, состоящий из единиц.
Φ N  (1,
...,

1)
N
Вводя ограничение на дисперсию случайной оценки линейной модели
D ~
~
D η (x т )  е ρ(x т ; X)  D ηo ,
μ
где ρ(~x т ; X) - функция, определяемая матрицей плана измерения и вектором,
при котором дисперсия линейной модели достигает максимального значения
~т
x  argmax ρ(x т ; X) ,
xт G
получаются условия для определения объема многократных измерений

D

~
μ   е ρ(x т ; X)  .
 D ηo


12
План измерения является оптимальным, так как он обеспечивает выполнение заданного ограничения на дисперсию при минимальном объеме много
кратных измерений равном N̂  N µ .
В методике экспериментальной оценки адекватности линейной модели
пространственной размерной цепи используется план измерения, включающий
три структурных элемента (X, μ, u o ) , где X - матрица плана измерения, μ –
объем многократных измерений на каждой строке матрицы X , u o - параметр
решающей функции.
Гипотезы, на основе которых производится проверка условия адекватности линейной модели, сформированы на основе модуля приведенного вектора
εz
εz  ε z  ε η  εe 
N
 ε 2ηk 
k 1
N
ε ,
k 1
2
ek
т
где ε ηk  η(x k , с) - модуль вектора приведенного отклонения линейной модели,
σe
m
ε ek  ek - модуль вектора систематической погрешности.
σe
В работе рассмотрены два случая: без учета и с учетом систематической
погрешности измерения.
1. Определение плана измерения, когда систематическая погрешность
измерения не учитывается.
В этом случае альтернативные гипотезы формируются на основе модуля
вектора приведенного отклонения линейной модели и радиуса гиперсферы ε *η
εz  εη 
N
ε
k 1
2
ηk

ρ(N)
Tε η  ε *η , где ρ(N)  λ N , λ  3, 4,...
2
Альтернативные гипотезы имеют следующий вид
H o : ε η  ε *η 
,
* 
H1 : ε η  ε η 

где H o - гипотеза, включающая векторы ε η , не выходящие за пределы гипер-
сферы с радиусом ε *η , H 1 - гипотеза, включающая векторы, находящиеся вне
этой гиперсферы. H o является условием адекватности линейной модели.
Выбор гипотез происходит на основе значения решающей функции
0, при u  u o  принимается гипотеза H o ,
ru   
1, при u  u o  принимается гипотеза H1 .
В качестве аргумента решающей функции выбрана случайная величина
Q z , сформированная на основе оценки отклонений линейной модели на матрице плана измерения
13
u  U  Q z  ΔZ т K -z1ΔZ 

De
ΔZ т ΔZ ,
μ

где Z  Φ z C - Z , C  (Φ zт Φ z ) -1 Φ zт Z , K z  D z I N  De I N .
μ
Случайная величина Q z имеет нецентральное χ 2 - распределение с
степенями
свободы
и
параметром
нецентральности
  N(μ - 1)
δ z  με z
εz  εη
 μ ε η . Случайная величина Q z  Q z ( , δ z ) имеет множество воз-
можных значений [0, ) и плотность распределения, зависящую, в том числе, от
величины модуля вектора приведенного отклонения линейной модели ε η .
Решающая функция с аргументом Q z принимает следующий вид
0, при Q z ( , δ z )  u o  принимается гипотеза H o ,
rQ z ( , δ z )  R  
1, при Q z ( , δ z )  u o  принимается гипотеза H1 .
Вероятность попадания случайной величины Q z на интервал 0, u o  как
функции величины ε η определяет оперативную характеристику решающей
функции. Когда систематическая погрешность измерения не учитывается, аргументом оперативной характеристики является модуль вектора приведенного
отклонения линейной модели ε η , при этом оперативная характеристика принимает следующий вид
PQ z ( , δ z )  u o   F(q z ; , δ z )
 με η


 F u o ; , μ ε η  L
X, μ, u o 



qz  uo

δ z  με η


На интервале гипотезы H o вероятность 1 - L με η
 характеризует
X, μ, u o 


случайное событие, состоящее в том, что гипотеза H o ошибочно оценивается
как гипотеза H 1 (ошибка 1-го рода). На интервале гипотезы H 1 оперативная
характеристика определяет вероятность случайного события, состоящего в том,
что гипотеза H 1 ошибочно оценивается как гипотеза H o (ошибка 2-го рода).
Таким образом, значения оперативной характеристики определяют вероятности ошибок 1-го и 2-го рода
 με η

ε


α η   1  L
X, μ, u o 
 Ho 


и
ε η  ε *η
 με η

ε


β η   L
X, μ, u o 
 H1 


ε η  ε *η
Графическое изображение оперативной характеристики приведено на
рис.1 пунктирной линией.
14
1,0
1 - αo
 με η

  P(Qz ( , δ z )  u o )  F(qz ; , μ , ε η )
L
X, μ, u o 
qz  uo


L ид (ε η )
ε

α η 
 H1 
1
ε

β η 
 H1 
0,5
ε

α η * 
 Ho 
αo
2
ε

β η * 
 H1 
βo
ε ηo
0
εη
ε*η ε η1
H1*
H*o
Ho
H1
Рис. 1. Графическое изображение оперативной характеристики
В малой окрестности точки, являющейся границей гипотез невозможно
одновременно сделать малыми вероятности ошибок 1-го и 2-го рода, так как в
ней сумма вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода равна единице. На рис. 1 жирными прямыми изображена идеальная оперативная характеристика, обеспечивающая нулевые вероятности ошибок 1-го и 2-го рода, реализовать которую
невозможно. Можно лишь приблизить реальную характеристику к идеальной,
заставив ее пройти через точки 1 и 2 с координатами (ε ηo , 1  α o ) - для точки 1,
(ε η1 , β o ) - для точки 2. Такую деформацию оперативной характеристики можно
достичь выбором значений параметров плана измерения: μ и u o . Тогда ограничения на вероятности ошибок 1-го и 2-го рода запишутся в следующем виде

ε

α η *   α o , α o  1
H
o 

,

εη


β
*   β o , β o  1

 H1 

15
где
H*o : ε η  ε ηo  ε *η (1  ξ o ) - наиболее предпочтительная гипотеза,
H1* : ε η  ε η1  ε *η (1  ξ 1 ) - наименее предпочтительная гипотеза,
0  ξ o  1, ξ 1  0 .
Трансформируя ограничения на вероятности ошибок 1-го и 2-го рода в
ограничения на оперативную характеристику, и учитывая то, что оперативная
характеристика является монотонно убывающей функцией, получены уравнения, неизвестными в которых являются параметры плана измерения μ и u o




F u o ; , μ ε ηo  1  α o 
.

F u o ; , μ ε η1  β o


Решение этих уравнений обеспечивает выполнение заданных ограничений на вероятности ошибок 1-го и 2-го рода.
2. Определение плана измерения с учетом систематической погрешности
измерения.
Так как отсутствие систематической погрешности результатов измерения
является событием невозможным, то уравнения, определяющие параметры
плана измерения, необходимо сформировывать на основе оперативной характеристики, являющейся функцией аргумента ε z :
ε z  ε η  ε e  ε *η  γ η ε *η  (1  γ η )ε *η , где γ η 
Tm*e
.
TΔ η
В этом случае уравнения, определяющие оптимальные значения параметров плана измерения с учетом систематической погрешности принимают следующий вид
Fu o ; , μ ε zo (γ η )   1  α o 
.

Fu o ; , μ ε z1 (γ η )   β o


Решение этих уравнений обеспечит прохождение оперативной характеристики через точки с координатами (ε zo (γ η ), 1  α o ) и (ε z1 (γ η ), β o ) , где
ε zo (γ η )  ε*η (1 - ξ o  γ η )  ε ηo  γ ηε*η , ε z1 (γ η )  ε*η (1  ξ o  γ η )  ε η1  γ ηε*η .
Функция нецентрального χ 2 - распределения с  степенями свободы и
параметром нецентральности δ z  με z не имеет удобных для практического
использования табличных представлений, поэтому в работах Назарова Н.Г. показан приближенный метод решения уравнений, определяющих оптимальные
значения параметров плана измерения с учетом систематической погрешности.
Суть этого метода состоит в замене случайной величины Q z  Q z ( , δ z ) случайной величиной aQz ( * ) , где a - детерминированная величина, Qz ( * ) - случайная
величина, имеющая центрированное χ 2 - распределение с  * степенями свободы
16
  2δ 2z , *
  a 1 (  δ 2z ) .
2
  δz
Условием эквивалентности этих случайных величин является равенство
их математических ожиданий и дисперсий. Используя эту замену, из уравнений, определяющих оптимальные значения параметров плана измерения с учетом систематической погрешности, получаются параметры
Q z ( , δ z )  aQ z ( * ) , где a 
μ (γ η )  min μ : λ(μ; , α o , β o , ε zo (γ η ), ε z1 (γ η ))  1, μ  1,2,...



u o (γ η )  a (μ (γ η ); , ε zo (γ η ))q
где


z, ν * ( μ (γ η ); ν , ε zo (γ η ) ),1 α o
λ(μ; , α o , β o , ε zo (γ η ), ε z1 (γ η )) 
q
-

z,ν* ( μ (γ η );ν ,ε zo (γ η ) ),1 α o
квантиль
 a (μ (γ η ); , ε z1 (γ η ))q
a(μ; , ε z1 (γ η )) q z, ν
a(μ; , ε zo (γ η )) q z, ν
центрального
χ
2
*
*

z, ν * ( μ (γ η ); ν , ε z1 (γ η ) ),β o
( μ; , ε z1 (γ η ) ), β o

,



,
( μ; , ε zo (γ η ) ),1 α o
-
распределения
с

ν * (μ(γ η ); ν, ε zo (γ η )) степенями свободы, соответствующий значению 1  α o ,
q

z, ν* ( μ (γ η );ν ,ε z1 (γ η ) ),β o
-
квантиль
центрального
χ2
-
распределения
с

ν * (μ(γ η ); ν, ε z1 (γ η )) степенями свободы, соответствующий значению β o .


Таким образом, оптимальный план (X, μ (γ η ), u o (γ η )) обеспечивает выполнение ограничений на ошибки 1-го и 2-го рода при минимальном объеме мно
гократных измерений μ (γ η ) .
3. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
1. Уточнена модель пространственной размерной цепи введением унифицированных геометрических параметров.
2. Разработаны две методики оценки линейной модели пространственной
размерной цепи: одна - с использованием модели пространственной размерной
цепи, вторая - с использованием экспериментальных данных, получаемых на
основе оптимального плана измерения.
3. Разработан программный пакет, реализующий первую методику, и с
помощью него проведены оценки линейных моделей для различных пространственных размерных цепей. Проведен сравнительный анализ линейной модели,
коэффициенты уравнений которой рассчитываются с использованием программного пакета, с линейной моделью, полученной методом Тейлора. В результате выяснилось, что все уравнения линейной модели, полученной с помощью программного пакета, удовлетворяют условиям адекватности, что нельзя
сказать об уравнениях линейной модели, полученной методом Тейлора. Это
позволяет сделать вывод, что линейные модели, получаемые с использованием
программного пакета, являются предпочтительными.
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих печатных
работах:
17
1. Исаев С.В. Методика расчета пространственных размерных цепей
// Состояние и проблемы технических измерений: Тез. докл. 3-й Всероссийской
научно-технической конференции. - М., 1997. - С.189-190.
2. Исаев С.В. Методика построения и расчета пространственных размерных цепей // Метрологическое обеспечение испытаний и сертификации: Тез.
докл. Всероссийской научно-практической конференции. - М., 1998. - 115-116.
3. Кашуба Л.А., Исаев С.В. Размерные цепи в CAD-системах // Компьютерная хроника. - 1997. - №10. - С.19-26.
4. Исаев С.В. Метод построения линейной модели пространственной размерной цепи для отклонений // Состояние и проблемы технических измерений:
Тез. докл. 4-й Всероссийской научно-технической конференции. - М., 1997. С.181-182.
5. Исаев С.В. Оценка адекватности линейной математической модели
пространственной размерной цепи // Состояние и проблемы технических измерений: Тез. докл. 5-й Всероссийской научно-технической конференции. - М.,
1998. - С.432-433.
6. Исаев С.В., Кашуба Л.А. Математическая модель пространственной
размерной цепи // Компьютерная хроника. - 1998. - №7. - С.63-74.
7. Исаев С.В. Оценка адекватности линейной математической модели
пространственной размерной цепи // Метрологическое обеспечение испытаний
и сертификации: Тез. докл. Всероссийской научно-практической конференции.
- М., 1999. - С.68-69.
8. Исаев С.В. Способы оценки линейной математической модели пространственной размерной цепи // Состояние и проблемы измерений: Тез. докл.
6-й Всероссийской научно-технической конференции. - М., 1999. - С.46-47.
9. Исаев С.В. Модели геометрии машин в анализе точности // Компьютерная хроника. - 2000. - №8. - С.5-18.
10. Исаев С.В. Формирование геометрической модели для моделирования
погрешностей расположения поверхностей объекта производства // Компьютерная хроника. - 2000. - №8. - С.19-34.
11. Исаев С.В., Назаров Н.Г., Кашуба Л.А. Теория планирования эксперимента в синтезе точности выходных геометрических параметров // Компьютерная хроника. - 2000. - №8. - С.35-56.
12. Исаев С.В., Кашуба Л.А. Моделирование выходных геометрических
параметров // Компьютерная хроника. - 2000. - №8. - С.57-84.
13. Назаров Н.Г., Исаев С.В. Методика экспериментальной оценки линейной модели пространственной размерной цепи // Техника и технология. 2005. - №3. - С.32-39.
14. Исаев С.В. Методика экспериментальной оценки линейной модели
пространственной размерной цепи // Измерительная техника. - 2006. - №11. С.17-20.
18