Контрольная работа по математическому анализу за 2 семестр

1
Контрольная работа по математическому анализу за 2 семестр.
1. Вычислить неопределенные интегралы.
Вариант 1.
Вариант 2.
x
а) 
1  x2
а) 
dx
2
2 x
б)  x  e dx
x
dx
в)  2
x  5x  1
x3
dx
г) 
( x  3)( x 2  2)
б)  x  arctgx dx
x3
dx
в)  2
x  3x  1
x3  2x  4
г) 
( x  1)( x  2)
2
x
dx
4  x2
dx
sin 2 x
dx
д) 
cos6 x
2
3
д)  sin 3x  sin 2 x dx
2. Вычислить, пользуясь таблицей интегралов и их свойствами.
Вариант 1.
Вариант 2.
b
b
а)  e dx .
а)  x m dx
x
a
a
b
b
б)  1 2 dx
1 x
б)  sin( x)dx
a
a
b
в) 
a
1
1 x2
b
в)  12 dx
sin ( x )
dx
a
г)   2х  3 х dx
8
0
2
1
д)   4  x 2 dx
1x

г)  x 2  2x  3dx
2
1
4
1 t
dt
t
1
д) 
3. С помощью формулы интегрирования по частям вычислить
интегралы.
Вариант 1.
Вариант 2.
1
x
а)  xe dx .
0
e
б)  ln( x )dx
1
/2
а)  x cos(x )dx
0
e 1
б)  ln( x  1)dx
0
2
4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
Вариант 1.
Вариант 2.
2
а) y=4-x , y=0.
а) y2=2px, x=h.
б) y=ln(x), x=c, y=0.
б) y=x2, y=2-x2.
5. Найти длину дуги кривой.
Вариант 1.
а) y  x 3 / 2 от х=0 до х=4.
x2 1
б) y   ln( x ) от х=1 до х=e.
4 2
Вариант 2.
а) y  x 2  1 , отсеченный осью Ох.
4
б) y 2  2  x 3 от х=-1 до х=2.
9
6. Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох,
ограниченного линиями.
Вариант 1.
Вариант 2.
а) y  4x  x 2 , у=х.
а) x 2  y 2  9 .
б) y 2  2 x , х=1.
б) y  x 2 , y 2  x .
7. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох.
Вариант 1.
Вариант 2.
а) y  sin x , от х=0 до х=.
а) y  cos x , от х=0 до х=/2.
1
1
б) y  x 3 , от х=-2 до х=2.
б) y  x 3 , от х=-1 до х=1.
6
3

8. Вычислить несобственный интеграл
 f ( x) dx
или установить
a
его расходимость.

Вариант 1.

3

1
x  ln x
7
dx .
Вариант 2.

1
1
x  3x  8
2
9. Исследовать ряд на сходимость.

n 1
Вариант 1. 
n 1 2n  3
Вариант 2.


n 1
1
(2n  1) 2
dx .
3
Методические указания к решению задач.
Неопределенные интегралы.
1.
Функция
F(x)
называется первообразной для функции
f(x),
если
F’(x) = f(x).
Можно показать, что все первообразные для функции f(x) отличаются
друг от друга на постоянное слагаемое, т.е. все первообразные можно
записать в виде F(x) + C, где C – произвольная постоянная. Совокупность
всех
первообразных
для
функции
f(x)
называется
неопределённым
интегралом и обозначается следующим образом:
 f ( x)dx  F ( x)  C .
При этом f(x) называется подынтегральной функцией.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
2)
 f ( x) dx  f ( x) .
d  f ( x) dx  f ( x) dx .
3)
 dF( x)  F ( x) dx .
1)
4)
5)
 a f ( x) dx  a f ( x) dx .
  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
6) Если
 f ( x) dx  F ( x)  C, x  g (t ) ,
 f g (t ) g(t ) dt  F g (t )  C .
то
4
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ.
1)  dx  x  C .
x  1
C,
2)  x dx 
 1

1
xa
3) 
если α ≠ -1. Напомним, что
 xa .
dx
1
 ln ax  b  C .
ax  b a
ax
4)  e dx 
1 аx
e C.
a
ax
C.
5)  a dx 
ln a
x
1
6)  sin ax dx   cosаx  C .
a
7)  cos ax dx 
1
sin аx  C .
a
8)  tgx dx   ln cos x  C .
9)  ctgx dx  ln sin x  C .
10) 
dx
 tgx  C .
cos 2 x
11) 
dx
 ctgx  C .
sin 2 x
12) 
dx
x
 ln tg  C .
sin x
2
13) 
dx
x 
 ln tg     C .
cos x
2 4
14)
x
2
dx
1
x
 arctg  C .
2
a
a
a
n
k
x  x n,
k
5
15)
dx
1
xa

ln
 x 2  a 2 2a x  a  C .
16)

17)

dx
a2  x2
dx
x2  a2
 arcsin
x
 C.
a
 ln x  x 2  a 2  C.
ПРИМЕР 1.

  3x
3
5
dx
 4  cos x   dx  3  x 3 dx  4  dx   cos x dx  5 

x
x
3
 x 4  4 x  sin x  5 ln x  С.
4
.
Здесь мы использовали свойства 4 (постоянный множитель можно
выносить за знак интеграла) и 5 (интеграл от суммы двух функций равен
сумме интегралов от этих функций), а также формулы 1, 2, 3, 7.
ПРИМЕР 2.
4 
2 3
4
x

x
x
x

2
e

dx

x

2
e

arctg
С .



3
3
3
x2  9 
Для
вычисления интеграла от первого слагаемого использовалась формула 2 и то,
что
n
xk  xk / n .
То есть

xdx   x
1/ 2
x11 / 2
2
2 3
dx 
 C  x3 / 2  C 
x C.
3/ 2
3
3
При вычислении интеграла от последнего слагаемого была использована
формула 14, при а = 3.
Одним из основных методов интегрирования является внесение
функции под знак дифференциала. При его применении используется
свойство 6.
6
ПРИМЕР 3. Вычислить
x
x 2  9 dx .


2
Под интегралом стоит функция от x  9 и

 
x
в первой степени. Так

как d x  9  x  9 dx  2 xdx , умножим и разделим выражение под
2
2
2xdx на d x 2  9 . Получим
интегралом на 2 и заменим




1/ 2
1
1 2
2
2
x
x

9
dx

x

9
2 xdx 


2
2
2
 x x  9dx 
 
1/ 2
1 2
x

9
d x2  9

2
Если обозначить
x
2


 9  t , то можно заметить, что получился
табличный интеграл (формула 2). Вычислим его и вернёмся к переменной
x.

 



1/ 2
1
1 1/ 2
2
2
2
x

9
d
x

9

x

9

t


 t dt 
2
2
3
1 t3/ 2
1

C 
x2  9  C
2 3/ 2
3
2
 x x  9dx 
ПРИМЕР 4.




2
2
 x sin 2 x  5 dx  d 2 x  5  4 xdx 








1
sin 2 x 2  5 4 xdx 

4
1
1
1
sin 2 x 2  5 d 2 x 2  5  2 x 2  5  t   sin tdt   cost   C .

4
4
4
1
  cos 2 x 2  5  C
4
ПРИМЕР 5.
7
 
x3
1 4 x 3 dx 1 d ( x 4 )
4
 x 8  4 dx  d x  4 x dx  4  x 8  4  4  4 2  x  t 
x
4
4
3
 
1
dt
11
t
1
x4
  2

arctg  C  arctg
 C.
4 t 4 42
2
8
2
ПРИМЕР 6.
ln 3 x
1
t4
ln 4 x
3
3
 x dx  d (ln x)  x dx   ln xd(ln x)  ln x  t   t dt  4  C  4  C
.
ПРИМЕР 7.

3 x  arcsin 2 x
1  4x

2
3x
dx  
1  4x
2
dx  

 d 1  4 x 2  8 xdx, d arcsin 2 x  

arcsin 2 x
1  4x
2
1  4x
2
2
dx 
dx 


3  8 xdx
1
  arcsin 2 xd arcsin 2 x   1  4 x 2  t , arcsin 2 x  y 

8 1  4x2 2
3 dt 1
3 t 1 / 2 1
y2
3
1
 
  ydy  

 C   1  4 x 2  arcsin 2 2 x  C.
8 t 2
8 1/ 2
22
4
4
ПРИМЕР 8.
 3x
  3 x
3
 6 x  5dx  d 3x  5x  7  6 x  5dx 
 5 x  7  d 3 x  5 x  7  
t
3
 5 x  7  t   t dt 
 C  3 x  5 x  7   C.
7/3
7
2
 3x
2
2
 5x  7
4
4/3
2
2
4/3
ПРИМЕР 9. Вычислить
7/3
 3x
7/3
2
2
При вычислении интегралов
dx
.
 6x  1
dx
 ax 2  bx  c
используется выделение полного квадрата.
и

dx
ax 2  bx  c
8
2

 2
c
b
b2
b2
c
b 
b2
c
 2 b
ax  bx  c  a x  x    a x  2  x 
 2  2    a  x    2  
a
a
2a 4a
a
2a 
a 
4a
4a



2
2
Для квадрата трёхчлена 3 x  6 x  1 получим:

 
 

3x 2  6 x  1  3 x 2  2 x  1 / 3  3 x 2  2  x  1  12  12  1 / 3  3 x  1  4 / 3
2
.
Подставим это выражение в интеграл.
dx
dx
1
dx
1
d x  1



d
(
x

1
)

dx


 3x 2  6 x  1  3 x  12  4 / 3 3  x  12  4 / 3
3  x  12  4 / 3

 x 1  t 

1
dt
1
1
t  2/ 3
1
x 1 2 / 3

ln
C 
ln
 C.
2

3 t  4/3 3 22/ 3 t  2/ 3
4 3 x 1 2 / 3
ПРИМЕР 10.


2 x 2  3x  5  2 x 2  3 / 2  x  5 / 2 




 2 x  3 / 4
dx
2 x  3x  5

dx
2  x  3 / 4  49 / 16
1

2

  2 x 2  2  x  3 / 4  9 / 16  9 / 16  5 / 2  
2
2


d  x  3 / 4
 x  3 / 4
2
 49 / 16
2
 49 / 16
1

2

dx
x  3 / 4
2
 49 / 16
 d  x  3 / 4  dx 
 x  3/ 4  t 
5
7
x
1
dt
1
2 C
4  C  2 ln


ln

2
7
7
7
x 1
2 t  49 / 16
2 2
t
4
4
t
Интегрирование частного от деления многочлена на многочлен, так
называемой рациональной дроби, происходит в несколько этапов. Прежде
всего, нужно сравнить степени числителя и знаменателя. Если степень
числителя меньше степени знаменателя, то дробь называется правильной.
9
Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то дробь
называется неправильной и из неё нужно выделить целую часть. В простых
случаях для этого преобразуют числитель, в более сложных делят “уголком”.
Для этого записывают оба многочлена, начиная со старшей степени, и делят
старшую степень делимого на старшую степень делителя. Процедура
деления проводится в той же последовательности, что и деление чисел.
ПРИМЕР 11. Выделить целую часть рациональной дроби
x 6  5x 2  3
.
x2  2
-
x 6  5x 2  3
x2  2
x 6  2x 4
x 4  2x 2  1
2 x 4  5x 2  3
-
2x 4  4x 2
 x2  3
-
 x2  2
1
4
2
Итак, частное равно x  2 x  1 ,
а остаток равен
1.
Следовательно,
x 6  5x 2  3
1
 x 4  2x 2  1  2
.
То есть мы разложили неправильную
2
x 2
x 2
дробь на сумму целой части x 4  2 x 2  1 и правильной дроби
1
.
x 2
2
При затруднениях в выписывании целой части и правильной дроби,
полезно рассмотреть какой-нибудь числовой пример.
Например,
7
2
 1 ,
5
5
т.к.
-
7
5
.
5 1
2
Посмотрите внимательно, куда записано частное 1, остаток 2 и делитель
5. Здесь неправильная дробь 7/5 разложена на сумму целого числа 1 и
правильной дроби 2/5.
ПРИМЕР 12.
10
Выделить целую часть рациональной дроби
x2
5
3
- 2 x  3x  5
2 x 5  3x 3  5
.
x2
2 x 4  4 x 3  5 x 2  10 x  20
2x5  4x 4
4
3
- 4 x  3x  5
4x 4  8x 3
5x 3  5
-
5 x 3  10 x 2
2
-10 x  5
10 x 2  20 x
20 x  5
-
20 x  40
45
2 x 5  3x 3  5
45
 2 x 4  4 x 3  5 x 2  10 x  20 
.
x2
x2
Таким образом, интеграл от неправильной дроби можно разложить на
сумму интегралов от многочлена и правильной дроби.
Чтобы проинтегрировать правильную дробь её нужно разложить на
сумму элементарных дробей. Элементарными называют дроби следующих
четырёх видов:
1.
2.
3.
A
,
xa
A
Ax  B
x 2  px  q
трёхчлен
4.
(n ≥ 2),
x  a n
p 2  4q < 0,
то есть квадратный
не имеет действительных корней;
Ax  B
x 2  px  q

где дискриминант
,

n
, где n ≥ 2,
p 2  4q < 0.
Чтобы представить правильную дробь в виде суммы элементарных
дробей, сначала нужно разложить знаменатель на линейные и квадратичные
множители:
11
x  a n x  bk x 2  px  q m x 2  rx  s t 
,
где
квадратные
трёхчлены не имеют действительных корней.
Затем правильную дробь раскладывают на сумму элементарных дробей
с неопределёнными коэффициентами.

x  a  x  b 
n


P( x)
 
m

 x  px  q  x  rx  s 
k
2
2
t

An
Bk
A1
A2
B1
B2










n
2
k
x  a  x  a 2
x

b
x  a 
x  b 
x  b 
K1 x  L1
x 2  px  q


x
M t x  Nt
x
2
 rx  s
K 2 x  L2
2
 px  q


t

2

Здесь каждому сомножителю
x
K m x  Lm
2
 px  q

m

M 1 x  N1
x 2  rx  s

x  a n соответствует n дробей, в
числителях которых стоят неизвестные пока числа A1 , A2 ,  , An , а
степени знаменателей меняют от 1 до n.
Каждому сомножителю
x
2
 px  q

m
в знаменателе
раскладываемой дроби соответствуют m элементарных дробей с
числителями
( K1 x  L1 ), ( K 2 x  L2 ),  ( K m x  Lm ) , а степени
знаменателей меняются от 1 до m.
Чтобы
найти
неопределённые
коэффициенты
A1 , A2 ,...B1 , B2 ,...K1 ,...L1 , приводят элементарные дроби к наименьшему
общему знаменателю и приравнивают полученный числитель к числителю
первоначальной дроби.
ПРИМЕР 13.
Разложить на элементарные дроби
2 x3  x 2  x  2
.
x4  x2
12
2 x 3  x 2  x  2 2 x 3  x 2  x  2 A B Cx  D

  2 2

x x
x4  x2
x2 x2  1
x 1

 



Ax x 2  1  B x 2  1  Cx  D x 2 Ax 3  Ax  Bx2  B  Cx3  Dx2


.
2 2
2 2
x x 1
x x 1




Так как знаменатели первой и последней дробей равны, то должны быть
равны и числители. То есть
2 x 3  x 2  x  2  Ax 3  Ax  Bx 2  B  Cx 3  Dx 2 .
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях
x и решим
полученную систему уравнений.
x3 | A  C  2
x2 | B  D  1
x1 | A  1
x 0 | B  2.
Очевидно, A = -1, B = 2, C = 3, D = -1.
2 x3  x 2  x  2
x4  x2

Тогда
 1 2 3x  1


.
x x2 x2  1
ПРИМЕР 14.
x3  7 x 2  9x  4
x  12 x 2  2 x 
Разложить на элементарные дроби
x3  7 x 2  9x  4
x  12 x 2  2 x 


x3  7 x 2  9x  4
x  12 xx  2

.
A
B
C
D




x  1  x  12 x x  2
A x  1x x  2  Bx x  2  C  x  12  x  2  Dx x  12
x  1 xx  2
2
.
13
x3  7 x 2  9 x  4 
 Ax  1  x  x  2  Bxx  2  C x  12  x  2  Dxx  12
.
Используем метод подстановки для вычисления коэффициентов. Эти
многочлены должны быть равны при всех значениях x . Поэтому при
подстановке любого числа в левую и правую части, должны получаться
верные равенства. В качестве значений
x
удобно брать корни знаменателя и
небольшие целые числа.
x = 1 | 3 = 3B
x = 0 | 4 = 2C
x = -2 | 18 = -18D
x = -1 | 11 = 2A – B + 4C – 4D.
Итак, A = 0, B = 1, C = 2, D = -1,
x3  7 x 2  9x  4

1
x  12 x 2  2 x  x  12

то есть
2
1

.
x x2
Рассмотрим теперь интегрирование основных элементарных дробей.
dx
d x  a 

 ln x  a  C.
xa
xa

dx
d x  a 
x  a  n1
n

  x  a  d x  a  
 C. (n  2)
2. 
n
n

n

1
x  a 
x  a 
1. 
3.
A
Ap

2x  p 
B
Ax  B
2
2
2
dx 
 x 2  px  q dx  d x  px  q  2 x  p dx  
x 2  px  q



A 2 x  p dx 
Ap 
dx

B

 x 2  px  q  t ; (2 x  p)dx  dt




2
2
2 x  px  q 
2  x  px  q
14
x 2  px  q  t ; x 2  px  q   x  p / 2 2  q  p 2 / 4. Заметим, что


 q  p 2 / 4   D / 4  0. Обозначим  x  p / 2  z ,
q  p / 4  a
2
2
, тогда 
x 2  px  q  z 2  a 2 , dz  d  x  p / 2  dx
Ap
2 arctg z  C 
a
a
B

A dt 
Ap 
dz
A
B
 ln t 
 2

2
2 t 
2  z a
2

A
2 B  Ap
x p/2
ln x 2  px  q 
arctg
 C.
2
2 q  p2 / 4
q  p2 / 4
Дроби четвертого типа интегрируются аналогично.
ПРИМЕР 15.
Вычислить интеграл

2 x 5  x 4  11x 3  6 x 2  5 x  10
x 4  5x 2
dx.
Так как дробь неправильная, то начинаем с выделения целой части.
-
2 x 5  x 4  11x 3  6 x 2  5 x  10
x 4  5x 2
2 x 5  10 x 3
 x 4  x 3  6 x 2  5 x  10
2x  1
-
 x 4  5x 2
x 3  x 2  5 x  10.
2 x 5  x 4  11x 3  6 x 2  5 x  10
x 4  5x 2
 2x  1 
x 3  x 2  5 x  10
x 4  5x 2
.
Разложим правильную дробь на сумму элементарных.
x 3  x 2  5 x  10

x2 x2  5


 



A B Cx  D Ax x 2  5  B x 2  5  Cx  D  x 2
  2 2

,
x x
x 5
x2 x2  5
x 3  x 2  5 x  10  Ax 3  5 Ax  Bx 2  5B  Cx 3  Dx 2 .
15
x3 | A  C  1
A 1
x | B  D  1
B2
2

x1 | 5 A  5
C 0
D  3.
x 0 | 5 B  10.
x 3  x 2  5 x  10
То есть

x  5x
4
2
2 x 5  x 4  11x 3  6 x 2  5 x  10
x  5x
4
2

1 2
3
 2 2
.
x x
x 5
dx   2 x  1dx  
Таким образом
dx
2dx
dx
  2  3 2

x
x
x 5
2 3
x

arctg
 C.
x
5
5
ПРИМЕР 16.
x5  x 2  6x
Вычислить интеграл 
dx.
x  12 x 2  x  1
 x 2  x  ln x 


Выделим целую часть неправильной дроби. Для этого в знаменателе
придётся открыть скобки.
-
x5  x 2  6x
x 4  x3  x  1
x5  x 4  x 2  x
x 1
-
 x 4  5x
 x 4  x3  x 1
x 3  6 x  1.
x5  x 2  6x
x  1
2
x
2

 x 1
 x 1
x3  6x  1
x  1
2
x
2

 x 1
.
Разложим правильную дробь на элементарные.
x3  6x  1

A
B
Cx  D

 2

2
x  1  x  1
x  x 1
x  1 x 2  x  1
A x  1x 2  x  1  B x 2  x  1  Cx  D  x  12

.
2 2


x  1 x  x  1
2

 
 
 
16

x3  6x  1  A x3  1  B x 2  x  1  C x3  2x 2  x  D x 2  2x  1 .
x3 | A  C  1
x 2 | B  2C  D  0
x1 |  B  C  2 D  6
x 0 | A  B  D  1.
Решим эту систему методом Гаусса.
1 0

0 1
0 1

1 1
1

0
0

0
~
1

0
~ 
0

0
1 0 | 1

2 1 | 0
1 2 | 6

0 1 | 1 
-1
~
1
1 0

2
0 1
0 1 1

0 1 1
0 | 1

1 2 1 | 0
0 3 3 | 6

0  3 0 | 0 
0
+
-1
1
0 | 1

1 2 1 | 0
0  3 0 | 0

0 3 3 | 6 
0
0 | 1

1 | 0
2 | 6

1 | 0 
1
+
~
1

0
~ 
0

0
0 | 1

1 2 1 | 0
0  3 0 | 0

0 0 3 | 6 
0
1
A = 1, B = -2, C = 0, D = 2.
x3  6x  1
x  12 x 2  x  1

x5  x 2  6x
x  1
2
x
2

 x 1

1
2
2


.
x  1 x  12 x 2  x  1
dx    x  1 dx  
dx
dx
dx
2
2 2

2
x 1
x  x 1
x  1
x2
d  x  1
d x  1/ 2

x
 2  x  1 2 d  x  1  2

2
x 1
x  1/ 22  3 / 4
x2
2
4
x  1/ 2
  x  ln x  1 

arctg
 C.
2
x 1
3
3/2
~
17
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Интегрирование по частям является одним из основных методов
интегрирования.
Если функции u(x) и v(x) являются непрерывно дифференцируемыми в
некотором промежутке, то для всех x из этого промежутка справедлива
формула:
 udv  uv   vdu.
При использовании этой формулы в интегралах типа:
 P ( x) sin kxdx ,
u(x) = Pn(x), dv = sinkx dx,
 P ( x) cos kxdx ,
u(x) = Pn(x), dv = coskx dx,
 P ( x )e
u(x) = Pn(x), dv = enx dx,
n
n
nx
n
 Pn ( x) ln
dx ,
k
( x)dx
u(x) = lnk(x), dv = Pn(x)dx.
ПРИМЕР 17. Вычислить интеграл
Обозначим u(x) = 3x – 4,
 3x  4cos 2x dx .
dv = cos2x dx
и найдём du и v(x).
du = (3x - 4)´dx = 3dx,
v   cos 2 xdx  1 / 2 cos 2 xd (2 x)  1 / 2  sin 2 x .
(Можно показать, что при интегрировании dv произвольную постоянную C
можно взять равной нулю). Подставим v и du в формулу интегрирования
по частям.
18
 3x  4  cos 2 x dx

3x  4  sin 2 x   1
2
2
sin( 2 x) 3 dx 
sin 2 x 3
1
  sin (2 x)   d (2 x) 
2
2
2
3x  4  sin 2 x  3  cos 2 x  C.

2
4
 3 x  4  
ПРИМЕР 18.
 2 x
2
u ( x)  ln 3x, du  (ln 3 x)dx 

 5 ln 3xdx 




1
1
 3dx  dx,
3x
x

2x3
2
2
dv  2 x  5 dx, v   2 x  5 dx 
 5 x.
3
 


1
 ln 3x  2 x3 / 3  5 x   2 x3 / 3  5 x  dx 
x


 2 x3 / 3  5 x  ln 3x  2 x3 / 9  5 x  C.
Определенный интеграл
Определение определенного интеграла
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и а<b. Разобьем этот
отрезок на n произвольных частей точками a=x0<x1<<xi<xn=b. На каждом
из полученных отрезков выберем произвольную точку и составим сумму:
  f (1 )x1  f ( 2 )x2   f ( n )xn , где x i  x i  x i1 . Сумма такого вида
называется интегральной суммой функции f(x) на [a,b]. Обозначим через
  max x i  .
1i  n
Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы при
  0 , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x)
по отрезку [a,b]:
b
n
I   f ( x )dx  lim  f ( i )x i .
a
 0
i 1
Сама функция f(x) на отрезке [a,b] называется интегрируемой
подынтегральной функцией, a – верхний предел интегрирования, b – нижний
предел интегрирования, а х – переменной интегрирования.
Основные свойства определенного интеграла
I. Общие свойства.
1. Определенный интеграл от непрерывной функции не зависит от
выбора первообразной для подынтегральной функции, т.к. определенный
интеграл от суммы является числом.
19
b
b
b
а
а
а
 f (x)dx  f (t)dt  f ()d
b
b
 f ( x )dx 
Следствие.
а
f ( x )dx



.
одна из первообразных a
Данное соотношение устанавливает связь между определенным и
соответствующим неопределенным интегралом.
Формальная разница между определенным и неопределенным
интегралом в том, что определенный интеграл – число, а неопределенный
интеграл – функция.
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования
равен нулю.
а
 f (x)dx 0 .
а
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл
меняет свой знак.
a
b
b
а
 f ( x)dx    f ( x)dx .
(1)
II. Свойство аддитивности
4. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число
частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по всему
промежутку равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его
частичным промежуткам.
Пусть [a,b]= [a,с][с,b], где асb, тогда полагая F( x )  f ( x ) , имеем
b
c
b
a
a
c
 f (x)dx = F(b)  F(a ) = F(c)  F(a) + F(b)  F(c)=  f (x)dx +  f (x)dx .(2)
Замечание. Формула остается верной, если с лежит вне [a,b] и
подинтегральная функция непрерывна на отрезках [a,c] и [c,b].
III. Свойства линейности
5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного
интеграла.
Проиллюстрируем это свойство. Пусть F( x )  f ( x ) на [a,b] и А=const, тогда
AF(x )  AF(x )  Af (x ) .
Тогда
b
 Af (x)dx = AF(x)
a
b
b
a
= AF(b)  AF(a ) = AF(b)  F(a) = A  f ( x )dx .
a
6. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных
интегралов от этих функций.
20
b
b
b
a
a
a
 f (x)  g(x)dx =  f (x)dx   g(x)dx
IV. Свойства монотонности
7. Если подынтегральная функция определенного интеграла
непрерывна, а верхний предел интегрирования больше нижнего или равен
ему, то определенный интеграл также неотрицателен.
8. Неравенство между непрерывными функциями можно интегрировать
почленно, при условии, что верхний предел интегрирования больше
нижнего.
Проиллюстрируем это свойство. Пусть f(x)g(x) при axb, где f(x) и g(x) –
непрерывны на [a,b]. Т.к. g(x)-f(x)0, то при b>a в силу свойств 6 и 7 имеем
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
 g(x)  f (x)dx =  g(x)dx -  f (x)dx 0   g(x)dx   f (x)dx .
Замечание:
1
y=f(x)
0.6
0.2
y( x)
0.2
0.6
a
0
S2

2
4

b
6
8
10
S3
S1
Пусть f(x) – знакопеременная на
[a,b] и f ( x )  0 , при a  x   , f ( x )  0 ,
при   x   ; f ( x )  0 ,при   x  b , то
по свойству 4
и
учитывая
геометрический смысл интеграла:
b


b
a
a


 f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx +  f ( x )dx =
1
=  S1  S2  S3 .
Таким образом, определенный интеграл, в общем случае, при а <b
представляет собой алгебраическую сумму площадей соответствующих
криволинейных трапеций. Трапеции выше оси Ох имеют знак «+» (+S2), а те
что ниже Ох знак «-»(-S1, -S3).
x
Правила вычисления определенных интегралов
Формула Ньютона Лейбница.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и функция F(x) является
ее некоторой первообразной на этом отрезке, то имеет место формула
Ньютона – Лейбница:
b
 f (x)dx  F(b)  F(a ) .
a
b
Пример. Вычислить интеграл  sin( x)dx .
a
Решение: Так как для функции f(x)=sin(x) функция F(x)=-cos(х) является
первообразной, то, применяя формулу Ньютона – Лейбница можем
(3)
21
вычислить данный определенный интеграл:
b
 sin( x)dx =  cos( x )
b
a
=  cos(b)  cos(a) = cos(a )  cos( b) .
a
b
Ответ:  sin( x)dx = cos(a )  cos( b) .
a
Интегрирование по частям
Пусть u=u(x) и v=v(x) – непрерывно дифференцируемые (т.е. имеют
непрерывные производные) функции на отрезке [a,b], то
du ( x ) v( x )  u ( x )dv( x )  v( x )du ( x ) ,
(4)
учтем, что du ( x )  u ( x )dx и dv( x )  v( x )dx . Интегрируя (4) в пределах от
a до b находим
b
b
 u(x)dv(x)  u(x)v(x)   v(x)du(x).
a
a
2
Пример. Вычислить интеграл
 x cos(x )dx .
0
ux
2
Решение:  x cos(x )dx =
0
du  dx
dv  cos xdx v   cos xdx  sin x
2
=
= x sin x 0   sin x dx = x sin x 0  cos x 0 = 2  sin 2  0  sin 0 +
2
2
2
0
+ 2  cos2  0  cos0 =0.
Замена переменной
Пусть выполняются следующие условия:
1) функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b];
2) функция х=(х) непрерывна вместе со своей производной ( х ) на
отрезке [, ];
3) a=(), b=();
4) функция f((х)) определена и непрерывна на отрезке [, ],
b

a

тогда  f ( x )dx =  f (( t ))( t )dt .
3
Пример. Вычислить определенный интеграл  x 1  xdx .
0
(5)
22
обозн.
1  x  t,
3
Решение:  x 1  xdx =
0
x  t 2  1,
dx  2tdt,
 t
2
=
2

2
1
если x  0, то t  1,


 1  t  2tdt = 2 t 4  t 2 dt =
1
если x  3, то t  2
2
 t5 t3 
11
= 2   = 7 .
15
 5 3 1
Интегрирование четной и нечетной функции
a
Если f(x) четная функция, т.е. f(-x)=f(x), то
a
 f (x)dx  2 f (x)dx .
a
0
a
Если f(x) нечетная функция, т.е. f(-x)=-f(x), то
 f (x )dx  0 .
a
Приложения определенного интеграла
Формулы площадей плоских фигур
Площадь в прямоугольной системе координат
Задача 1.
Требуется найти площадь фигуры
изображенной на рис. 1. Для этого
воспользуемся геометрическим смыслом
определенного интеграла.
b
S   f ( x )dx ,
(6)
a
Рис.1.
где S – площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции y=f(x),
отрезком [a,b] на оси Ох и прямыми x=a и
x=b, a<b.
На рис.1 изображена криволинейная
трапеция.
Здесь элемент площади в прямоугольной
системе координат dS  ydx .
x 2 y2
Пример. Найти площадь области ограниченной эллипсом 2  2  1 .
a
b
23
Решение:
фигура (рис.2) симметрична, поэтому
1
достаточно найти S . Запишем уравнение эллипса для
4
b 2
первого квадранта: y 
a  x2 .
a
Рис. 2.
x  a sin t
a
dx  a cos tdt b  / 2
1
b 2
2
Тогда
S= 
a  x dx = x  0  t  0 =  a 2  a 2 sin 2 ( t )  a cos(t )dt =
a 0
4
0a

xat
2
/2

= ab  cos2 tdt = ab кв.ед. .
4
0
Ответ: S  ab кв.ед.
Задача
2.
Найти
площадь
фигуры
ограниченной двумя непрерывными линиями
(рис. 3).
b
S   f 2 (x )  f1 (x )dx ,
(7)
a
где S – площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиками функций y=f1(x) и
y=f2(x), прямыми f1(x)f2(x), a<b.
Рис.3.
Пример. Найти площадь фигуры ограниченной линиями y  x 2  1 и
x  y  3.
Решение: На рис. 4 представлена фигура площадь которой требуется найти.
Найдем точки пересечения параболы и прямой
10
для этого решим следующую систему
уравнений:
y ( x)
5
y  x 2  1
y  x 2  1 
y1( x)


y

x

3
x 2  x  2  0

При решении квадратного уравнения системы
4
2
0
2
4
x
x 2  x  2  0 , получаем два корня х1=-2, х2=1.
Дальше систему уравнений можно не решать, т.к. нас
Рис. 4.
интересуют только абсциссы точек
пересечения.
24
f1(x)= x2+1, f2(x)=3-x (т.к. прямая лежит выше параболы в рассматриваемой
области).
Теперь
можно
вычислить
площадь
фигуры:



1


x 2 x3 
1
S   3  x   x 2  1 dx =  2  x  x 2 dx = = 2x 
   4 кв.ед.
2
3  2
2
2
2

1

1
Площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой
задана параметрически

S   ( t )( t )dt ,
(8)

где верхняя граница задана параметрически х=(t), y=(t), t.
Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат
1 2
S    d ,
2
   - кривая, заданная в полярной системе координат, .
Пример. Найти площадь кардиоиды   a 1  cos( )  (см. рис.5).
Решение:
Т.к. кардиоида симметрична, то

1
1
1 2
2
2
S    d = a  1  cos d = 3a 2 (кв.ед.)
2
2
20
0
(9)
S  3a 2 (кв.ед.)
Рис. 5.
Вычисление длин дуг плоских кривых
b
L   1  f 2 ( x )dx ,
(10)
a
где L – длина кривой, заданной уравнением y=f(x), axb.

L   2 ( t )  2 ( t )dt ,
(11)

где L – длина кривой, заданной параметрическими уравнениями х=(t),
y=(t), t.

L   ()  2 ()d ,
(12)

где L – длина кривой, заданной в полярной системе координат уравнением
=(), .
25
Пример. Найти длину дуги полукубической параболы y  x 3 2 от х=0 до х=5
(рис. 6).
Решение: Кривая симметрична относительно оси
Ох. Найдем длину верхней ветви кривой. Из
3
уравнения y  x 3 2 находим y  x1 2 . Далее,
2
применяя формулу (10) получим
5
L
0
8  9x 
9x
1  dx = 1  
27 
4 
4
3/ 2 5

0
335
(ед.)
27
Рис.6.
Формулы объемов тел вращения
b
V   y 2 ( x )dx ,
(13)
a
где V – объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции
0yf(x), axb вокруг оси Ох. Дифференциал переменного объема
dV  y 2dx .
b
V   x 2 ( y)dy ,
(14)
a
где V – объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции
0x(y), cyd вокруг оси Оy. Дифференциал переменного объема
dV  x 2dy .
x 2 y2
Пример. Найти объем тела, образованного вращением эллипса 2  2  1
a
b
вокруг оси Ох.
Решение: Т.к. эллипс симметричен относительно осей координат, то
достаточно найти половину искомого объема. По формуле (13) имеем
a
a
a
a
x2 
b 2 x 3
1
b 2 a 2
2
2 a
2
2
=
V   y (x )dx =  b 1  2 dx = b  dx  2  x dx = b x 
2
0
2
a
3
a
a
0


0
0
0
0
2
= ab 2 .
3
4
ab 2 .
3
Формулы площадей поверхностей вращения
Следовательно V 
d
S  2 ( y) 1  2 ( y)dy ,
(15)
c
где S – площадь поверхности, образованной вращением кривой, заданной
уравнением x=(y), суd, вокруг оси Оу.
26

S  2  ( t ) 2 ( t )  2 ( t )dt ,
(16)

где S – площадь поверхности, образованной вращением кривой, заданной
параметрическими уравнениями x=(t), y=(t), t.

S  2   sin( ) 2  2 d ,
(17)

где S – площадь поверхности, образованной вращением кривой, заданной
уравнением в полярных координатах    , .
Пример. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды
  a 1  cos( )  (см. рис.5) вокруг полярной оси.

Решение:   a sin  , 2  2  4a 2 cos2    по формуле (17)
2



   
S  4a 2  1  cossin cos d =16a 2  cos4   sin  d =
2
2 2
0
0

       32 2
2
=  32a  cos4  d cos  =
a (ед. кв.)
 2    2  5
0
Несобственные интегралы.
Несобственным интегралом первого рода называется интеграл:

b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx.
b 
a
Если
предел
существует
и
a
конечен,
то
интеграл
называется
сходящимся. Если предел равен бесконечности или не существует, то
интеграл называется расходящимся.

ПРИМЕР 23.
Вычислить несобственный интеграл
установить его расходимость.
arctg 2 x
 1  4 x 2 dx
1/ 2
27

b
arctg 2 x
arctg 2 x
1 b
dx  lim 
dx  lim   arctg 2 xd arctg 2 x  

2
b  1 / 2 1  4 x 2
b  2 1 / 2
1/ 2 1  4 x
1 arctg 2 x 2
 lim  
b  2
2
b
1/ 2





1
1
3 2
2
2
2
2
  lim arctg 2b   arctg1    / 2   / 4  
.
4 b 
4
16
ПРИМЕР 24.
 3x

Вычислить
несобственный
интеграл
2

 5  x3  5 x  4dx
или
0
установить его расходимость.
 3x


 3x
b 
 5  x  5 x  4dx  lim
2
3
0
b
2

 5  x 3  5 x  4dx 
0
 lim
 x
b
b 
0
3
 5x  4
 d x

1/ 2

3/ 2
2 3
x  5x  4
b  3
 lim
b
0
3

 5x  4 


3 / 2 16
2 3
b  5b  4
  
b 3
3
 lim
То есть интеграл расходится.
Числовые ряды
Пусть
{an}
–
а1  а2  ...  аn  ... 
Сумма
Sk 
 an .
n 1
последовательность
чисел.
Выражение
 an называется числовым рядом с общим членом
аn.
n 1
а1  а2  ...  ак первых
k-oй частичной
k
некоторая

суммой
этого
k членов ряда

 an
называется
n 1
ряда
и
обозначается
Sk ,
т.е.
28
Ряд

 an называется сходящимся, если существует конечный предел
n 1
lim S k  S .
k 
Если lim S k   или не существует, то ряд
k 

 an называется расходящимся.
n1
Для определения сходимости ряда существует достаточно много
признаков сходимости. Рассмотрим некоторые из них.
Необходимый признак сходимости.
Если ряд

an сходится, то nlim

n1
an  0.
Для решения примеров этот признак удобнее применять в следующем виде:

 an
Если lim an  0 , то ряд
n 
расходится.
n 1
Заметим, что если lim a n  0 , то ряд может быть как сходящимся, так
n 
и расходящимся и
для
его
исследования нужно применять другие
признаки.
ПРИМЕР 25.
Исследовать на сходимость ряд

2n  3
 3n  4 .
n1
0
2n  3
n( 2  3 / n)
2  3/ n
2
 lim
 lim

0
n 3n  4
n n(3  4 / n)
n  3  4 / n
3
lim a n  lim
n 
0
следовательно, ряд расходится.
Рассмотрим некоторые
положительных рядов.
достаточные
признаки
сходимости
для
29
Признак Даламбера.
Пусть дан ряд

 an
с положительными членами (an>0 для всех n  N ) и
n1
an 1
d.
n   an
lim
Тогда, если d > 1, то ряд расходится,
если d < 1, то ряд сходится,
если d = 1, то ряд может как сходится, так и расходится.
Замечание 1. Признак Даламбера обычно применяется, если аn
содержит факториалы и (или) показательную функцию.
аn+1,
Замечание 2. Чтобы получить
нужно в выражение для аn
вставить (n+1) вместо n.
ПРИМЕР 26.
Исследовать на сходимость ряд

2n  1
n1
n

3
.
an1
2 (n  1)  1 3n
n ( 2  3 / n) 2 1
2n  3
lim
 lim


lim

lim
   1,
n a n
n
2n  1 n (2n  1)  3 n n (2  1 / n)  3 6 3
3n1
следовательно, ряд сходится.

(2n  1) !
n1
3n 2  1

ПРИМЕР 27 .Исследовать на сходимость ряд
.
a n 1
(2(n  1)  1)! 3n 2  1
(2n  1)!
3n 2  1
lim
 lim

 lim


n   an
n   3( n  1) 2  1 ( 2n  1)! n   3n 2  6n  4 ( 2n  1)!
1 

n2 3  2 
(2n  1)! 2n  (2n  1)
n   lim 2n (2n  1)  1    1 ,

lim

n
6 4  n
(2n  1)!

n2 3   2 
n n 

т.е. ряд расходится.
ПРИМЕР 28. Исследовать на сходимость

3n  n!
n1
n

n
.
30
a n 1
3n 1 (n  1)! n n
3n 1 n ! (n  1)
nn
lim
 lim
 n
 lim



n   ( n  1) n 1
n !
3  n! n   3n
(n  1) n (n  1)
n   an
 lim 3 
n 
nn
(n  1)
n
 3  lim
n 
1
 n  1


 n 
n
 3  lim
n
1
(1  1 / n)
n

3
 1,
e
т. е. ряд расходится.
n
 1
Напомним, что lim 1    e  2,71 - второй замечательный предел.
n  
n
Радикальный признак Коши.
Пусть дан ряд

 an с положительными членами (an > 0 для всех n  N) и
n1
lim
n
n
an  k.
Тогда,
если k > 1, то ряд расходится,
если k < 1, то ряд сходится,
если k = 1, то этот признак не работает.
Замечание. Обычно этот признак применяется, если аn имеет вид
2
( f (n)) 2n или ( f (n)) n и т. д. При этом показатель корня в признаке Коши
всегда n , независимо от показателя в an.
ПРИМЕР 29.
Исследовать на сходимость ряд
lim
n
n
an  lim
n 
n
 3n  4 


 2n  3 
3n


 3n  4 
  2n  3 

n1
3n
.
Напомним, что при извлечении корня
показатели делятся, т.е.

x   x  /
31
3n
4 n
 3n 

 lim 
n   2 n  3 
3
3
 3n  4 
27
3
  lim   
 1, следовательно, ряд
 lim 
n  2 
8
n   2 n  3 
расходится.
ПРИМЕР 30.
Исследовать на сходимость ряд


n 1
lim
n
n
an  lim
n
n
n2
2
 2n


 3n  1 
n2
2
 2n


 3n  1 
.
n
2
n
2
 n (2)
 2n

 
 lim 

lim



n


3
n

1
n
(
3

1
/
n
)


n


 2    
     0  1, т.е. ряд сходится.
 3  
Здесь использовано свойство показательной функции
y(x) = ах
.
  , если а  1 
lim a x  

x  
 0, если 0  a  1
a>1
0<a<1
 0, если a  1 
lim a x  

x 
 , если 0  a  1
Интегральный признак Коши
Пусть члены ряда

 an
положительны и не возрастают,
nk
а функция f (x) на [k,  ]: 1) непрерывна;
2) положительна;
3) не возрастает;
4) f (n) = a n.
32
Тогда
ряд


 an
и
несобственный
интеграл
n k
f
( x ) dx
являются
k
равносходящимися, то есть сходятся или расходятся одновременно.
ПРИМЕР 31.
Исследовать на сходимость ряд


n 2
n ln n возрастает при n   , то
Так как знаменатель дроби
Кроме того, при n > 1
1
.
n ln n
1
убывает.
n ln n
n ln n > 0.
Заменяя n на x, получим функцию f ( x) 
1
,
x ln x
удовлетворяющую
всем условиям теоремы. Пределы интегрирования соответствуют пределам
изменения n для ряда. Итак,

1
dx
 n ln n ~  x ln x .
n2
2


b
dx
dx
 lim 
Напомним, что 
.
b x ln x
x
ln
x
2
2
Если предел существует и конечен, то интеграл (а, следовательно, и ряд)
сходится. Если же предел равен  ,
то интеграл (а, следовательно, и ряд)
расходится.
ln x  t
dx
b
ln b
 dt
dx
dt
ln b
 
 ln t ln 2  ln ln b  ln ln 2
x
 x ln x 
x  2  t  ln 2 ln 2 t
2
x  b  t  ln b

b
dx
dx
 lim (ln ln b  ln ln 2)  [ln ln   ln ln 2] 
 x ln x  blim

  x ln x b  
2
2
 [ln   ln ln 2]  [  ln ln 2]  
33
То есть и интеграл, и ряд расходятся.
ПРИМЕР 32. Исследовать на сходимость ряд

1

n3 n ln n ln


n 3

1
n ln n ln 3 (ln n)

~
3
dx
x ln x ln 3 (ln x)
b
3
.
(ln n)
dx

b   x ln x ln 3 (ln x )
 lim
3
=
ln x  t
dx
ln b
 dt
dt
=

 lim 
x
3
x  3  t  ln 3 b   ln 3 t ln t
x  b  t  ln b
z 2
3
 lim  z dz  lim
b  
b    2
ln ln 3
ln ln b
1
)  [
b  
2 ln 2 ln b
dt
ln ln b
 dz
dz
 lim  3 
t
b
ln ln 3 z
t  ln 3  z  ln ln 3
t  ln b  z  ln ln b
ln ln b
 lim (
ln t  z

 lim 
ln ln 3
1
2 ln 2 ln 3
b
1
2z 2
ln ln b

ln ln 3
1
1
1
.

]

 2 ln 2 ln 3 2 ln 2 ln 3
Интеграл и ряд сходятся.
Предельный признак сравнения.
Пусть
существует

 an
и

 bn
–
ряды с положительными членами и
n1
n 1
предел lim
an
 P ( 0,  ) . Тогда эти ряды сходятся или
bn
n 
расходятся одновременно.
Замечание.
Предельный признак сравнения применяется обычно,
если an является частным двух многочленов. Чтобы подобрать ряд

 bn ,
n 1
оставляют
только старшие степени переменной и в числителе и
знаменателе. При этом получают «эталонный» ряд


1

n 1 n
.
34


1
n 1 n
сходится при   1,

расходится при   1 .
ПРИМЕР 33. Исследовать на сходимость ряд
an 
Ряд
n 2  4n  3
~
n  2n  1
3


1
n 1 n

=
n2
n
1

n 2  4n  3
3
n 1 n  2n  1
.
1
 bn
n

3

расходится (  =1).
1
n1 n
4 3
4 3
 2 )n
1  2
a
n  4n  3 n
n n
n n
lim n  lim 3
  lim
 lim
 1 ( 0,  ) ,
2
1
2
1
n   bn
n   n  2n  1 1
n  3
n 
n (1  2  3 )
1 2  3
n
n
n
n
n 2 (1 
2
следовательно,

1  n 2  4n  3
n ~  3
n1
n1 n  2n  1
и исследуемый ряд также расходится.
ПРИМЕР 34. Исследовать на сходимость ряд


n 1
an 

2n  1
3
n  3n  4
7

 bn  
n1
n1 n
1
4/3
~
n
3
n
7

n1
n
7/3
n
сходится ( 
Покажем, что ряды

 an
n 1
и
1

4/3
2n  1
3
n 7  3n  4
.
 bn
4
 1) .
3

 bn
n 1
an
2n  1
n4 / 3
lim
 lim


n   bn
n   3 n 7  3n  4
1
являются равносходящимися.
35
1

n7 / 3  2  
n ( 2  1 / n) n
n

 lim
 2 ( 0,  ) ;
n


3
4
3
4
n 7 (1  6  7 )
n7 / 3  3 1  6  7
n
n
n
n
4/3
 lim
n 


n 1
3

2n  1
3
n  3n  4
7
~
1

4/3
n 1 n
Замечание.


, следовательно, ряд
n 1
2n  1
3
n  3n  4
7
сходится.
Из следствий из замечательных пределов получают
цепочку эквивалентных бесконечно малых, которая часто используется при
применении предельного признака:
x ~ sin x ~ tg x ~ arcsin x ~ arctgx ~ ln(1  x) ~ e x  1 .
при x  0
ПРИМЕР 35. Исследовать на сходимость ряд

1 

n ln 1  2  .
 n 

n1
1
При n  
ln(1 
lim
n
ряд

1
n
)~
1
n
2
an  n ln (1 
,

1
n1
n1
3
n2
bn  


n
3
n2

n ln(1 
n1
1
n
1
n ln(1 
an
 lim
bn n  
 an 
n1
2
является бесконечно малой величиной.
n2
)
2
2
n2
n
n
2

1
n
3/ 2
 bn
1
n 2  1 ( 0,  ) .
3
 lim
n 
n2
сходится ( 
1
n
)~
3
 1) , следовательно, ряд
2
также сходится.
)
ПРИМЕР 36. Исследовать на сходимость ряд

 n 2 arctg
n1
a n  n 2 arctg
4
n
2
~ n2 
4
n
2
 4  bn
1
n2
.
36
a
lim n  lim
n   bn
n 


n 1
n 1
 bn   4
ряд
n 2 arctg
2
n 2  lim n  4  1 ( 0,  ).
n  4  n 2
4
расходится, так как его сумма равна бесконечности, следовательно,

 n 2 arctg
n1
4
1
также расходится.
n2
Признак сравнения.
Пусть

 an
n 1
и

 bn
– ряды с положительными членами. Если,
n 1
начиная с некоторого номера n0 выполняется неравенство a n  bn , то из
сходимости ряда
ряда


n 1
n 1
 an следует сходимость ряда  bn , а

 bn следует
расходимость ряда
из расходимости

 an .
n 1
n 1
Замечание. Признак сравнения приходится применять, если общий член
ряда
a n содержит
[ln ] и при этом применение интегрального признака
Коши приводит к трудно вычисляемому интегралу.
При этом используются следующие неравенства:
1  x  ln x для всех x  3
и более «тонкое»:
1  ln x  x (для   0 и x  x( ) , то есть x(  ), начиная с которого
ln x  x , зависит от
 ).
ПРИМЕР 37. Исследовать на сходимость ряд


n 2
1
.
ln n
Воспользуемся неравенством 1  ln n  n . При переходе к обратным
величинам знаки неравенства меняются, то есть 1 
1
1
 .
ln n n
Ряд

1
n 2
37
расходится, так как lim an  lim 1  1  0 (необходимый признак), то есть
n
n
его сумма равна   , но исследуемый ряд


n 2
1
состоит из меньших
ln n
членов, следовательно, его сумма может быть как числом, так и   .


n 2
n 2
Рассмотрим ряд из меньших членов
 bn = 
1
- это «эталонный» ряд
n
с   1 , то есть расходящийся ряд.
Так как


n 2
1
1

ln n n
и ряд


n2
1
расходится, то по признаку сравнения
n
1
так же расходится.
ln n
ПРИМЕР 38. Исследовать на сходимость ряд


ln 2 (n 2  1)
n
n 1
3
.
Воспользуемся неравенством 1  ln x  x , 1  ln (n 2  1)  n 2  1 . Все
части неравенства положительны, поэтому их можно возвести в квадрат, и
знаки неравенства не изменятся.
1  ln 2 (n 2  1)  (n 2  1) 2 . Разделим все члены неравенства на n 3 . Так как
n 3 > 0, то знаки неравенства не меняются.
1
n3

ln 2 (n 2  1)
n3

(n 2  1)
n3
2
.
Ряд с меньшими членами


1
n 1 n
3
сходится (  1) . Из этого сделать
вывод о сходимости или расходимости ряда с большими членами


n 1
ln 2 (n 2  1)
n3
Ряд
с
нельзя.
большими
членами


n 1
(n 2  1) 2
n3

~

n4
n 1 n
3



1
n 1 n
расходится. Это так же не позволяет сделать определенный вывод о
38
сходимости исследуемого ряда.
Воспользуемся неравенством
ln x  x  , где   0
ln( n 2  1)  (n 2  1)
ln( n 2  1)  (n 2  1) 2
ln 2 (n 2  1)

n3
(n 2  1) 2
(n 2  1) 2
При n  
Ряд

n3
n3
n 1 n
n 4
~
n3

1
n 34
1
сходится при 3  4  1 , то есть при 2  4 ,   . Числа
2
1

.
34
 , удовлетворяющие условию 0   
Итак, ln x 
1
x3
ln (n  1)  (n
2
1
 1) 3
ln (n  1)  (n
2
2
 1) 3
2
2
ln (n  1)
2
2
n3


n1

(n 2  1) 2 / 3
n3
1
1
существуют, например,   .
3
2
(n
2
2
 1) 3
n3
~

n4/3
n1
n3



ряд с меньшими членами
1
5/ 2
n1 n


n 1
,
а этот ряд сходится. Следовательно, и
ln 2 (n 2  1)
n
3
сходится.