МЕТОД ОЦЕНКИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МА- ТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ С МНОЖЕСТВЕННЫМИ ДЕФЕКТАМИ

МЕТОД ОЦЕНКИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ С МНОЖЕСТВЕННЫМИ ДЕФЕКТАМИ
Пряхина О.Д., Смирнова А.В.
г. Краснодар, Россия
Многие прикладные задачи, в том числе определение критериев оценки прочностных свойств новых конструкционных материалов, приводят к необходимости создания
методов анализа напряжённо–деформированного состояния с позиции механики разрушения с учетом связности механических, электромагнитных и тепловых факторов, а также с
учетом наиболее распространенных видов неоднородностей или дефектов – включений и
трещин, присущих слоистым структурам.
Сложность исследования динамических задач для полуограниченных сред, содержащих совокупность неоднородностей различной природы, обусловлена тем, что вследствие зависимости напряженно-деформированного состояния системы от многих параметров традиционные аналитические и численные методы анализа становятся неэффективными, а с ростом числа дефектов многие из них неприменимы. В связи с этим актуальными становятся как исследования рассматриваемого класса задач в новой постановке,
так и разработка новых численно-аналитических методов их решения. Особенно важным
является создание методов, направленных на изучение резонансных свойств механических систем.
В настоящей работе рассматривается совокупность простейших типов дефектов 
плоских трещин и жестких включений, расположенных в параллельных плоскостях. Основное внимание при этом уделено тому факту, что количество неоднородностей носит
множественный характер.
Исследование динамических процессов в слоистых полуограниченных средах, содержащих в плоскостях раздела слоев дефекты типа плоских трещин, приводит к необходимости решения системы интегральных уравнений I рода, которую можно записать в
операторном виде
KQ (a , b ) =
ò ò K (a , b , w)Q (a , b )e
- i (a x + b y )
d1
d a d b = f (x , y ) ,
(1)
d2
(x , y ) Î Ω .
Матрица-символ K (a , b , w) ядра системы интегральных уравнений (ИУ) является
блочной, ее элементы  матрицы Kij , размерность которых определяется физикомеханическими свойствами среды. Для упругих материалов это матрицы размерности
3 ´ 3 , а в общем случае для термоэлектроупругих сред  5 ´ 5 .
Ключевыми вопросами здесь являются разработка методов построения матрицсимволов Грина и на их основе матриц-символов ядер для систем ИУ большой размерности, аналитическое представление определителей этих матриц, позволяющее эффективно
реализовать алгоритмы численного анализа условий локализации вибрационного процесса
системой дефектов.
Предлагаемый в работе метод построения матриц-символов K (a , b , w) ядер систем
ИУ основан на суперпозиции решений вспомогательных краевых задач. Введение специальных матриц, связанных с типом дефекта и его положением в слоистой среде, позволило преобразовать блочные матрицы-символы ядер систем ИУ большой размерности к
блочным треугольным матрицам. В общем случае термоэлектроупругой среды получено
представление определителя матрицы-символа в виде произведения определителей специальных матриц. Между определенными классами «вирусов» вибропрочности и функция-
1
ми, описывающими особые множества определителей их матриц-символов Грина, установлено взаимнооднозначное соответствие. Для определителей матриц-символов ядер систем ИУ, соответствующих произвольному количеству и различным сочетаниям неоднородностей, расположенных в параллельных плоскостях пакета изотропных слоев на жестком основании, получено представление в виде отношения целых функций. Числителем
является произведение функций, каждая их которых зависит только от геометрических и
механических параметров среды, заключенной между указанными плоскостями. Знаменателем является знаменатель определителя матрицы-символа Грина многослойной среды,
не содержащей неоднородности, связанные с нарушением ее сплошности. Достоинством
такого представления является исключение корневых и полярных множеств определителя,
имеющих пересечения при произвольных значениях параметров механической системы,
на стадии аналитического построения, что является важным при определении условий локализации вибрационного процесса системой дефектов.
1. Изложим метод на примере задачи о гармонических колебаниях пакета N упругих изотропных слоев, занимающего объем ( - ¥ < x, y < + ¥ ; - H £ z £ 0 ), с жестко
защемленной нижней гранью, вызванных вибрацией берегов трещин, расположенных в
N%= N - 1 уровнях по глубине пакета.
Перемещения w = {w1, w2, w3 } точек среды описываются системой дифференциальных уравнений Лямэ в частных производных со следующими граничными условиями
(общий множитель e- i wt опущен)
на верхней грани
t (x, y, z )z = 0 = 0 ,
- ¥ < x, y < + ¥ ;
(2)
в плоскостях расположения трещин
%
ìï tk = tk0 , (x , y ) Î W
k
ïï
,
í
%
ïï D wk = 0, (x , y ) Ï W
k
ïî
z = - zk ,
k = 1, 2, K , N - 1 ;
(3)
на нижней грани пакета
- ¥ < x, y < + ¥
w (x , y, - H ) = 0 ,
Здесь D wk = wk+ - w-k ,
w (x , y , z )z = - z
k
±0
(4)
= wk± ,
t (x , y , z ) z = - z
k
±0
= tk± .
где f (x, y ) = {t10, t20, K , tN0%}  многомерный вектор, компонентами которого явля% ( k = 1, 2, K , N%);
ются векторы усилий tk0 , заданные на берегах трещин в области W
k
%
%
%
Ω = {W , W , K , W%}; Q = {f , K , f %}  многомерный вектор, имеющий своими компонен1
2
N
1
N
тами трансформанты Фурье скачков перемещений Dwk (x , y ) на берегах трещин. Носителем каждой из вектор-функций Dwk (x , y ) является соответствующая область из Ω .
В силу линейной постановки решение исходной задачи представимо в виде суперпозиции решений вспомогательных задач о колебаниях одной трещины, расположенной
на границе между слоями p и (p + 1) в N -слойном пакете, взятых для p = 1, 2, K , N - 1 .
Для построения решения вспомогательной задачи проведем формальное разделение среды плоскостью z = - z p и для каждой части сформулируем краевые задачи, решения которых строятся методом, предложенным в [1].
2
Трансформанта Фурье вектора перемещений точек верхней отсеченной части среды запишется
W (a , b , z , w) = K-p (a , b , z , w)Tp+ ,
(- z p + 0) £
W (a , b , z , w) = Wp+ = K-p (hp )Tp+ ,
z £ 0,
z = - zp + 0 .
Элементы матрицы K-p (hp ) зависят от частоты колебаний w , параметров преобразования Фурье a , b , а также от геометрических и механических параметров слоев с номерами k = 1, 2, K , p .
Трансформанта Фурье вектора перемещений точек нижней отсеченной части среды
запишется
- H £ z £ (- z p - 0) ,
W (a , b , z , w) = KN - p (a , b , z , w)Tp- ,
W (a , b , z , w) = KN - p (hp + 1 )Tp- ,
z = - zp - 0 .
Элементы матрицы KN - p (h p + 1 ) зависят от частоты колебаний, параметров преобразования Фурье, а также от геометрических и механических параметров слоев с номерами k = p + 1, p + 2, K , N .
Учитывая, что на берегах трещины
Tp+ = Tp- = Tp ,
Wp+ = Wp- + fp ,
получим систему функционально-матричных соотношений
Tp = S-Np1 fp ,
(10)
Wp (- h p ) = K-p S-Np1 fp , Wp + 1 (hp + 1 ) = KN - p S-Np1 fp
(11)
Здесь SNp = K-p - KN - p  матрица, определяемая расположением трещины в слоистой среде.
Напряжения Tk и перемещения Wk точек, принадлежащих плоскостям раздела
слоев для k ¹ p , определяются через скачок вектора перемещений fp из соотношений,
имеющих вид
Tk = Rkp
S-Np1 fp ,
- 1
kp Np p
Tk = R S f ,
k £ p,
(12)
k > p;
- 1
1p Np p
W1 (h1 ) = B- (h1 )R S f ,
k
- 1
kp Np p
Wk (- hk ) = K R S f ,
(13)
k £ p,
Wk (hk ) = KN - k + 1 (hk )R (k - 1)p S-Np1 fk , k ³ p + 1
Матрицы R km и R -km даются формулами
3
R km
R -km
ïìï I, k = m
ï
m+1
= ïí
ïï (- 1)(k - m ) Õ FN- +1 1- i (hi )B+ (- hi ), k ¹ m ,
ïïî
i= k
ïìï I, k = m
ï
= í m
ïï Õ Φ-i 1 (h1, h2, K , hi )B- (hi ), k ¹ m
ïïî i = k + 1
а Fm , Km , Φm , Km-  соответственно соотношениями
F1 (hN ) = B- (- hN ),
Fk + 1 (hN - k ) = B- (- hN - k )- Kk (hN - k + 1 ), k = 1, 2, K , N - 1 ;
Km (hN + 1- m , K , hN ) = B+ (hN + 1- m )- B- (hN + 1- m )Fm- 1B+ (- hN + 1- m ),
Φ1 = 0 , Φm = Km- - 1 (h1, h2, K , hm - 1 )- B+ (hm ), m = 2, 3, K , N ,
K1- (h1 ) = B- (- h1 ), K-m (h1, K , hm ) = B- (- hm ) + B+ (- hm )Φm- 1 (h1, K , hm )B- (hm ) .
Вспомогательные матрицы B ± имеют структуру, приведенную в [1].
Используя (10)  (13) для всех p = 1, 2, K , N - 1 , получим систему функциональноматричных соотношений
для напряжений
T = DQ ,
для перемещений
(14)
U = MQ ,
(15)
где T = {T1 , T2 , K TN - 1 }, Q = {f1, f2, K , fN - 1 }, U = {W2 (h2 ), W3 (h3 ), K , WN - 1 (hN - 1 )} 
многомерные векторы, D = Dij
N- 1
, M = Mij
i, j = 1
N- 1
i, j = 1
 блочные матрицы, элементы кото-
рых вычисляются по формулам
ìï S- 1,
i = j,
ïï Ni
ïï - - 1
Dij = í R ij SNj ,
i < j,
ïï
ïï R S- 1,
i > j;
ïî ij Nj
ìï K-i R -ij S-Nj1,
i< j
ï
Mij = ïí
ïï KN - i R ij S-Nj1, i ³ j
ïî
(16)
(17)
Матрицы Dij , Mij в (16), (17) определяют соответственно напряжения и перемещения в плоскости z = - z i , вызванные скачком перемещений на берегах трещины, расположенной в плоскости z = - z j .
Соотношения (14) позволяют выписать матрицу-символ ядра системы ИУ (1) при
произвольном расположении трещин в слоистой среде. Например, если в пакете, состоящем из N = 7 слоев, имеются две трещины, расположенные на границах с номерами 2 и
5, то Q = {0, f2, 0, 0, f5, 0, 0} и
4
T2 = S-721f2 + R -25S-751f5
T5 = R 52S-721f2 + S-751f5
Или T = K (a , b , w)Q ,
K (a , b , w) = Kij
T = {T2 , T5 }, Q = {f2, f5 }
2
i, j = 1
,
Здесь S72 = K-2 (h1, h2 ) - K5 (h3, h4, K , h7 ) , S75 = K-5 (h1, h2, K , h5 ) - K2 (h6, h7 ).
Блочная матрица K (a , b , w) является матрицей-символом системы ИУ относительно скачков векторов перемещений на берегах трещин.
Матрица K (a , b , w) с помощью обобщенного метода Гаусса приводится к треугольному виду и ее определитель равен произведению определителей матриц, расположенных на главной диагонали [2]
N- 1
det K (a , b , w) =
Õ det S
- 1
(N - k + 1)1
.
i= 1
Для приведенного примера det K (a , b , w) = det S-721 det S-531 ,
S53 = K-3 (h3, h4, h5 )- K2 (h6, h7 )
2. Рассмотрим задачу о гармонических колебаниях пакета N упругих слоев с
жестко защемленной нижней гранью, вызванных поверхностными усилиями и вибрацией
границ жестких включений, расположенных в N%= N - 1 уровнях по глубине пакета. В
этом случае перемещения точек среды находятся из решения краевой задачи
Lw = 0 ;
ìï wk = wk0 , (x , y ) Î Wk
ï
,
í
ïï D tk = 0, (x , y ) Ï Wk
ïî
D tk = tk+ - tk- ,
(18)
z = - zk ,
k = 1, 2, K , N - 1 ,
условия на верхней грани (2) и нижней грани пакета (4) не изменяются.
Матрица-символ ядра системы ИУ (1), соответствующей краевой задаче (18), построенная по схеме, описанной в п.1, также приводится к треугольному виду [2].
K (a , b , w) = Kij
N- 1
i, j = 1
,
W = K (a , b , w)Q , W = {W1 , W2 , K WN - 1 },
Q = {η1, η2, K , ηN%},
Wk+ = Wk- = Wk  трансформанты Фурье векторов перемещений, заданных на
верхней (+) и нижней (-) границах включений;
ηk  преобразование Фурье скачков векторов напряжений D tk
Tk+ = Tk- + ηk ,
на границах включений.
N- 1
det K (a , b , w) =
Õ det G
- 1
(N - k + 1)1
,
i= 1
5
- 1
- 1
é
ù .
GNp = éêK-p (h1, h2 , K , hp )ù
ú - êëKN - p (hp + 1, hp + 2, K , hN )û
ú
ë
û
Матрица GNp определяется положением p -го включения в слоистой среде.
Используя полученные представления для определителей матриц-символов ядер
систем ИУ можно путем подбора физико-механических и геометрических характеристик
целенаправленно управлять динамическими, в том числе резонансными, свойствами
сложной механической системы.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (05-01-00811, 06-01-96600,
06-01-96638, 06-01-96639, 06-01-96632, 06-08-00671, 06-01-08017-офи), гранта Президента
РФ (НШ-4839.2006.1).
Литература
1. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999.
2. О. Д. Пряхина., А.В. Смирнова. Построение определителей матирц-символов Грина многослойных сред с
дефектами на основе теории «вирусов» вибропрочности. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. №2. С. 44–53.
6