Lekciya4

реклама
Лекция 4
Матрицы операторов. Унитарные преобразования базиса. Соотношения коммутации.
Одновременная измеримость физических величин. Соотношение неопределенностей
Гейзенберга
Рассмотрим некоторый линейный оператор Â : Â   . Выберем в рассматриваемом
линейном пространстве дискретный ортонормированный базис. Так как каждому элементу
этого пространства соответствует набор его координат в выбранном базисе, то оператору Â
соответствует закон, связывающий координаты элементов линейного пространства. Можно
доказать, что для любого линейного оператора закон, позволяющий найти координаты элемента
 по координатам элемента  , можно представить в виде произведения некоторой матрицы из
чисел на столбец, составленный из координат  1 ,  2 ,  3 , … элемента 
 a11 a12 ...   1   1 

   
 a21 a22 ...  2     2 
 ... ... ...  ...   ... 

   
(1)
где под умножением матрицы на столбец понимается принятое в линейной алгебре правило
матричного умножения («строка на столбец»):
 i   aij j
(2)
j
Числа aij , которые являются характеристикой оператора, но не зависят от элемента  ,
составляют матрицу оператора Â . Очевидно, размерность матрицы оператора совпадает с
размерностью пространства, в котором оператор действует. В частности, операторам,
действующим в бесконечномерных пространствах отвечают бесконечные матрицы.
Можно доказать, что сумме и произведению операторов отвечает сумма и произведение
их матриц:
ˆ ˆ) mn = g ml hln
( gh
( gˆ  hˆ)mn = gmn  hmn
(3)
l
Матричные элементы матрицы оператора можно связать с результатом его действия на
базисные элементы. Действительно, пусть ei - ортонормированный базис. Разложим элементы
 и  в определении оператора Â   по базису ei :
 e
i i
i
 Aˆ  i ei
(4)
i
1
где i
и  i - координаты элементов  и  . Умножим скалярно равенство (4) на ek и,
пользуясь ортонормированностью базиса, линейностью оператора и скалярного произведения,
получим
ˆ )
 k   (ek , Ae
i
i
(5)
i
Сравнивая (4) с определением матрицы оператора, заключаем, что
ˆ )
aki  (ek , Ae
i
(6)
Из формулы (6) можно получить ряд следствий.
1. Если в качестве базиса выбрать собственные функции оператора, его матрица является
диагональной
ˆ )  (e , a e )  a 
aki  (ek , Ae
i
k
i i
i ki
(7)
причем на диагонали размещаются собственные значения оператора ai .
2. Матрицы сопряженных операторов транспонированы и комплексно сопряжены друг по
отношению к другу:
*
gˆ   ( g  ) mn = g nm
gˆ  g mn
(8)
3. При комплексном сопряжении и транспонировании матрицы эрмитова оператора получается
та же матрица
*
если gˆ = gˆ  то g mn = g nm
(9)
4. При изменении базиса матрица изменяется. Остановимся на этом пункте более подробно.
Пусть выбрано два ортонормированных базиса ek и f k . Каждый базисный элемент ek можно
разложить по базису f :
ek   Sik fi
(10)
i
где Sik - некоторые числа, которые образуют квадратную матрицу (удобнее выполнять
суммирование по первому индексу матрицы Sik - так, как это сделано в (10)). Матрицу Sik
принято называть матрицей перехода от одного базиса к другому. Очевидно, матрица перехода
от одного ортонормированного базиса к другому является унитарной. Действительно, из
ортонормированности обоих базисов имеем


 ij  (ei , e j )    Ski f k ,  Smj f m    Ski* Smj ( f k , f m )   Ski* Smj km   Ski* Skj

k
m

km
Но так как Ski*   S   , из (11) имеем
ik
2
km
k
(11)
S S  I
(12)
где I - единичная матрица, что и означает, что матрица перехода унитарна (равенство (12) есть
определение унитарного оператора).
Чтобы установить связь между матрицами одного и того же оператора при разных
выборах базиса воспользуемся формулой (7) и формулой связи базисов


ˆ )   S f , Aˆ S f   S * f , Af
ˆ S  S   a f S
aije  (ei , Ae
k
j
m
mj
  ki k  mj m   ki k
ik km mj
m
 k
 k
(13)
где aije и akmf - матрицы оператора Â в базисе ek и f k соответственно. С помощью правил
матричного умножения формулу (13) можно записать в виде
a e  S  a f S  S 1a f S
(14)
Из формулы (14), в частности, следует, что шпур матрицы оператора (сумма
диагональных элементов) не зависит от выбора базиса или, как говорят, является инвариантным
относительно выбора базиса (это связано с тем, что если под знак шпура входит произведение
матриц, матрицы в нем можно циклически переставлять). Поэтому при любом выборе базиса
шпур матрицы эрмитового оператора равен сумме его собственных значений. Также
инвариантным является детерминант матрицы оператора.
Исследуем теперь вопрос о существовании общих собственных функций у разных
операторов. Справедлива следующая
теорема:
Для того чтобы два оператора F̂ и Ĝ имели полную систему общих собственных
ˆ ˆ = 0.
функций необходимо и достаточно, чтобы они коммутировали:  FG

Необходимость: Пусть  ( f , g ) - полная система общих собственных функций. Тогда любую
функцию  можно разложить по  ( f , g ) :   C f , g  ( f , g ) . Подействуем на это равенство
f ,g
коммутатором
ˆ ˆ )
ˆ ˆ
ˆ ˆ  GF
 FG
 ˆ ˆ  C f , g  ( f , g ) = C f , g ( FG
( f , g ) = C f , g ( fg  gf )  ( f , g )  0
   =  FG  
f ,g
где f
(15)
ˆ ˆ
и g собственные значения. Так как  произвольна, то  FG
  = 0.
ˆ ˆ  = 0 . Подействуем на уравнение на собственные функции оператора
Достаточность:  FG

F̂
3
Fˆ  f  f  f
(16)
где f ,  f - собственное значение и собственная функция оператора F̂ , оператором Ĝ
ˆ ˆ   Gf
ˆ 
GF
f
f
(17)
Благодаря коммутации операторов и линейности оператора Ĝ , имеем из (17)

 
Fˆ Gˆ  f  f Gˆ  f

(18)
ˆ
Таким образом, функция G
f также является собственной для оператора F̂ . Если у оператора
F̂ невырожденный спектр, то собственному значению f отвечает единственная собственная
ˆ
функция. Поэтому функция G
f может отличаться от  f некоторым множителем:
Gˆ  f  g  f
(19)
где буквой g обозначен указанный множитель. Уравнение (19) и означает, что функция  f
является собственной и для оператора Ĝ .
Если спектр оператора F̂ вырожден, то есть одному собственному значению отвечают
ˆ
несколько собственных функций, то функция G
f , вообще говоря, не сводится к функции  f .
В этом случае, однако, выбор собственных функций является неоднозначным и можно
построить такие линейные комбинации собственных функций оператора F̂ , которые будут
также и собственными для оператора Ĝ . Теорема доказана.
Так как операторы координаты и импульса не коммутируют, они не имеют полной
системы общих собственных функций. На самом деле у этих двух операторов нет ни одной
общей собственной функции. Поэтому нет состояний, в которых и координата и импульс
одновременно имели бы определенные значения (именно поэтому в квантовой механике нет
понятия траектории). Всегда существует либо разброс координат, либо разброс импульсов, либо
и то и другое. Рассмотрим утверждение, связывающее эти величины и которое является одним
из основополагающим законов квантовой механики.
Соотношение неопределенностей Гейзенберга.
Исходя из коммутатора оператора координаты и импульса
ˆ ˆ  = i
 px
докажем, что
4
(20)
( p ) 2  (  x ) 2 
2
т.е. неопределенности координаты и импульса не могут быть одновременно уменьшены до
сколь угодно малых величин.
Для доказательства рассмотрим произвольное состояние  ( x) . Пусть в этом состоянии:
x = 0 и p = 0 (этого всегда можно добиться выбором системы координат). Тогда:
(x)2 = ( x  x)2 = x 2
(p)2 = ( p  p)2 = p 2
(21)
Рассмотрим некоторый функционал от действительной переменной  :
I ( ) =


( xˆ 
i
2
pˆ ) ( x) dx
(22)

Очевидно, что I ( )  0 , как интеграл от четной неотрицательной функции. Учитывая, что
x-действительная величина и что действие оператора координаты в собственном представлении
сводится просто к умножению на значение координаты x, получим:
i
i



I ( ) =   ( xˆ  pˆ * ) * ( x)  ( xˆ  pˆ ) ( x)  dx =



=

2
x

2
i
i
 dx   ( pˆ * * ) x dx   ( x * ) pˆ dx 
2
1
2
( pˆ 
*
*
)( pˆ )dx =
i
1
ˆ ˆ  xp
ˆˆ ) dx)  2 p 2 =
=  2 x 2    * ( px
ˆ ˆ ]=
[ px
=  2  
1
2
i
p 2  0, 
(23)
Полученное выражение как функция переменной  , представляет собой параболу с
ветвями, направленными вверх. Чтобы выполнялось неравенство (23) при любых 
необходимо, чтобы D  0 . Получим:
1  4 x2  p2
1
2
0
Или
x2  p2 
Поскольку x = 0 и p = 0 , то:
5
2
(24)
( p ) 2  (  x ) 2 
2
Мы получили точную формулировку соотношения неопределенностей Гейзенберга.
Замечание:
1. Если бы операторы x̂ и p̂ коммутировали, то мы не смогли бы получить этого
соотношения.
2. Состояние, которое «минимизирует» соотношение неопределенностей:
 ( x) =
1
4
i
 2
e
p0 x ( x  x0 )2

2 2
Это состояние представляет собой гауссовский волновой пакет. В нем:
x = x0 , p = p0 , (x) =
2
6
2
2
, (p) =
2
2
2 2
Скачать