3x - eSSUIR

УДК 62-52:621
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОЦЕССОВ ХРАНЕНИЯ ИЗДЕЛИЙ, ОВОЩЕЙ И ПРОДУКТОВ
МЕТОДАМИ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ И ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА
В.А.Кравченко,ст.науч.сотр.; И.А.Мартыненко,ст.науч.сотр.; Г.С.Володченко, проф.;
А.И.Новгородцев, канд.техн.наук
Для решения задач автоматического поддержания оптимальных условий хранения изделий, овощей и
продуктов на складах необходима система стабилизации заданных температуры и влажности при изменении
атмосферных влияний. Обеспечение заданных условий хранения возможно при нахождении стратегии
оптимального управления процессом хранения, включающего систему стабилизации.
Основными динамическими характеристиками такой системы являются динамическая матрица
процесса и его матричная параметрическая передаточная функция.
В настоящей статье рассматриваются вопросы определения динамической матрицы процесса
хранения, характеризующей его параметрическое пространство и матричной передаточной функции,
определяющей функциональную структуру процесса хранения.
Пользуясь методом пространства состояний, процесс хранения изделий, согласно работы
изложенной в [1], можно представить системой дифференциальных уравнений в форме Коши:
x 1( t )  x 2 ( t ) ,
x 2 ( t )  a11( t ) x 1( t )  a21( t ) x 2 ( t )  b11( t ) v1( t )  b21( t ) v2 ( t ) ,
x 3 ( t )  x 4 ( t ) ,
x 4 ( t )  a32 ( t ) x 3 ( t )  a42 ( t ) x 4 ( t )  b12 ( t ) v1( t )  b22 ( t ) v2 ( t ) ,
x 5 ( t )  x 6 ( t ) ,
x 6 ( t )  a53 ( t ) x 5 ( t )  a63 ( t ) x 6 ( t )  b13 ( t ) v1( t )  b23 ( t ) v2 ( t ) ,
(1.1)
описывающей структуру процесса хранений изделий в переменных состояния:
Рисунок 1.1
или в более компактной векторно-матричной форме:
X ( t )  A( t ) X ( t )  B( t ) V( t ) ,
(1.2)
Y( t )  H X ( t ) .
(1.3)
Уравнение (1.2) описывает поведение процесса хранения, а уравнение (1.3) - это уравнение измерения
состояния (фазовых координат) процесса, где
X ( t )  [ x1( t ) , . . . , x 6 ( t ) ] T - вектор фазового состояния;
X ( t )  [ x1( t ) , . .. , x 6( t ) ] T - производная вектора фазового состояния;
A(t) - динамическая матрица процесса хранения, характеризующая его параметрическое пространство и
определяемая из системы уравнений (1.1) в виде:




A( t )  




0
1
0
0
0
 a21( t )
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
 a32 ( t )
 a 42 ( t )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
 a53 ( t )
a11( t )


0


0
.
0


1

 a63 ( t ) 
0
B(t) - матрица атмосферных воздействий на хранимые изделия, определяемая из системы уравнений (1.1)
в виде:
 0
b ( t )
 11
 0
B( t )  
b12 ( t )
 0

b13 ( t )

b21( t ) 

0 
.
b22 ( t ) 
0 

b23 ( t ) 
0
V(t) - вектор, характеризующий атмосферные воздействия, определяемый из системы уравнений (1.1) в
виде:
v1( t ) 
V( t )  
.
v2 ( t ) 
Матрица измерений H указывает на то, сколько и какие фазовые координаты измеряются. Так как в
данном случае не всё фазовое пространство измеряемо, то матрица измерений представляет собой
единичную матрицу вида:
1 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 


0 0 1 0 0 0 
H 
,
0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 1 0 


0 0 0 0 0 0 
и соответственно будет иметь место не полный вектор измерений Y  X .
Для нахождения математической модели процесса хранения в классической дифференциальной
форме перейдем к новой независимой переменной Z(t) и обозначим на схеме (рис.1.1) конечные состояния:
x 1( t )  Z1( t ) , x 3 ( t )  Z 2 ( t ) , x 5 ( t )  Z 3 ( t ) .
Учитывая, что процесс дифференцирования есть действие, обратное процессу интегрирования,
схема в переменных состояния процесса хранения будет иметь вид рис.1.2.
Из полученной схемы имеем:
 ( t )  b ( t ) v ( t )  b ( t ) v ( t )  a ( t ) Z ( t )  a ( t ) Z ( t ) ,
Z
1
11
1
21
2
21
1
11
1


Z2( t )  b12( t ) v1( t )  b22( t ) v2( t )  a42( t ) Z2( t )  a32( t ) Z2( t ) ,
Z3 ( t )  b13 ( t ) v1( t )  b23 ( t ) v2 ( t )  a62 ( t ) Z 3 ( t )  a53 ( t ) Z 3 ( t )
или в классической дифференциальной форме:
 ( t )  a ( t ) Z ( t )  a ( t ) Z ( t )  b ( t ) v ( t )  b ( t ) v ( t ) ,
Z
1
21
1
11
1
11
1
21
2


Z2( t )  a42( t ) Z2( t )  a32( t ) Z2( t )  b12( t ) v1( t )  b22( t ) v2( t ) ,
 ( t )  a ( t ) Z ( t )  a ( t ) Z ( t )  b ( t ) v ( t )  b ( t ) v ( t ) .
Z
3
63
3
53
3
13
1
23
2
(1.4)
Рисунок 1.2
Таким
образом,
полученная
система
нестационарных
дифференциальн
ых
уравнений
описывает
процесс хранения
изделий
на
складах
при
воздействии на
них
различных
атмосферных
факторов
и
позволяет найти
параметрическую
передаточную
функцию
процесса
хранения.
SUMMARY
In
this
article the question of determination the dynamic matrix of the storage process which characterized its the parametrical space and matrix
parametrical transmissive function which defines the functional structure of the storage process are studied.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
Володченко Г.С., Новгородцев А.И., Полонский А.Д. Метод оценки параметрического состояния в задачах автоматизации
производственных процессов // Материалы международной научно-методической конференции «Автоматизация проектирования и
производства изделий в машиностроении». - Киев: ИСИ ОУ, 1995. - С.115.
Ту Ю. Современная теория управления. - М.: Машиностроение, 1971. - 471 с.
Дерусо П., Рой Р., Клоузе Ч. Пространство состояний в теории управления. - М.: Наука, 1970. - 620 с.
Володченко Г.С., Новгородцев А.И., Полонский А.Д. Синтез системы оценки переходной матрицы состояний нестационарных
объектов управления // Вестник Сумского университета. - 1996.- №3. - С.33.
Поступила в редколлегию 7 апреля 1998 г.