a) Найдем среднее значение потенциальной и кинетической

Лабораторная работа №7.
“Синусоидальная модуляция параметра”
Станкевич Андрей, группа 138.
Краткое теоретическое введение.
Рассмотрим осциллятор. Будем теперь изменять один из его параметров – например момент
инерции. Для этого будем перемещать массивные грузы вдоль легкого стержня, закрепленного
на пружине. При этом при определенных условиях удается наблюдать резонанс, который
называется параметрическим резонансом.
В этой работе все формулы выводятся перед решением соответствующих задач.
Решение задач.
1. Главный резонанс


d
~ sin t ) 2   2     0 ,
(1  m
0
dt
~,
будем решать его приближенно, оставляя лишь члены первой степени от малых параметров m
~
 /  0 и  /  0 , где   2   0 , введем также обозначение    0   / 2 . Тогда
d
(1  2m~ sin 2~t )   2   0   0 (1). Будем
уравнение преобразуется в уравнение
dt
~t  q(t ) sin ~t , считая при этом p и q малыми
искать решение в виде (t )  p(t ) cos 
q соответственно второго порядка. Тогда имеем
параметрами первого, а p и
~
~
~
~
  p cos t  p sin t  q sin t  q~ cos ~t , подставляя в уравнение (1) и учитывая, что
~t sin 
~t  cos 
~t  cos 3
~t и 2 sin 2
~t cos 
~t  sin 
~t  sin 3
~t и что мы опускаем
2 sin 2
Система описывается дифференциальным уравнением
высшие гармоники, имеем:
d
~ p sin ~t  m
~ p~ cos ~t  m
~ q cos ~t 
( p cos ~t  p~ sin ~t  q sin ~t  q~ cos ~t  m
dt
~ q~ sin ~t )   2 p cos ~t   2 sin ~t  2p cos ~t  2p~ sin ~t  2q sin ~t 
m
0
0
~
~
~
~
 2q cos t  p cos t  2 p  sin ~t  p~ 2 cos ~t  q sin ~t  2q~ cos ~t  q~ 2 sin ~t 
~p sin ~t  m
~ p ~ cos ~t  m
~ p ~ cos ~t  m
~ p~ 2 sin ~t  m
~ q cos ~t  m
~ q~ sin ~t 
m
~ q~ sin ~t  m
~ q~ 2 cos ~t   2 p cos ~t   2 sin ~t  2p cos ~t  2p~ sin ~t 
m
0
0
2q sin ~t  2q~ cos ~t  0
Опуская малые высших порядков имеем:
~p~ 2 sin ~t  m
~q~ 2 cos ~t 
 2~p sin ~t  ~ 2 p cos ~t  2~q cos ~t  ~ 2 q sin ~t  m
  2 p cos ~t   2 sin ~t  2p cos ~t  2p~ sin ~t  2q sin ~t  2q~ cos ~t  0
0
0
Приравнивая коэффициенты при синусе и
дифференциальных уравнений первого порядка:
косинусе,
имеем
систему
однородных
~  2 )   q  0
 2~p  2q  (2~  m
0
0
(2)

2
~
~
2p  2q   0 p  (2  m 0 )q  0
~2   2      2 / 4   2    .
Здесь использовалось, что 
0
0
0
0
Ищем решение в виде p  C1 exp(t ); q  D1 exp(t ) , где D1  D1 (C1 ) . Подставляя в (2) и
сокращая на экспоненту, имеем систему характерестических уравнений:
~
~ ~ 2

 2C1  2D1  (2  m 0 )C1   0 D1  0

~
~ ~ 2

2C1  2D1   0 C1  (2  m 0 ) D1  0
~ 2
2~  2~  m
0
Выражаем из первого D1  C1
и подставляем во второе. Имеем, после
2   0 
приведения к общему знаменателю и сокращения на C1 :
~ 2 4  0
(2   0 ) 2  (2~  2~ ) 2  m
0
2
2
2
2
~ 2 4 )  0
(4  4  4  )  (8   4  )  (4 2 2   2 2  4  2  m
0
0
0
0
0
0
0
0
Решая его, находим (опуская члены более, чем первого порядка вне корня и более чем второго
под корнем):

~ ) 2   2
   1 / 2 (m
0
1  /0
Раскладывая знаменатель в ряд Тейлора и опусаем произведения корня и
 на  /  0 , которые
будут малыми второго порядка, имеем
~ ) 2   2
    1 / 2 (m
0
1.1 Главный резонанс при отсутствии трения
В случае точной настройки в главный резонанс и отсутствии трения имеем
  0 ;   0,
таким образом система (2) упрощается и переменные p и q разделяются. Имеем:
Отсюда
 2 0 p  m 02 p  0

~ 2 q  0
2 0 q  m
0
~
~
p  C exp( m 0 t / 2) , q  D exp( m 0 t / 2) , где C и D - постоянные,
определяемые из начальных условий. Тем самым в первом приближении движение осциллятора
описывается следующим уравнением:
~ t / 2) cos( t )  D exp( m
~ t / 2) sin(  t ) (3)
(t )  C exp( m
0
0
0
0
a)
Из уравнения (3) видно, что амплитуда растет экспонентциально, второе слагаемое при
~ t / 2) .
некоторых начальных условиях (см 1.1 b) ) исчезает и имеем a  C exp( m
0
Скорость роста амплитуды:
~ exp( m
~ t / 2) / 2 линейно зависит от m
~.
a  Cm
0
0
b) Для того, чтобы амплитуда росла необходимо, чтобы не выполнялись условия пункта 1.2 b).
Для того же, чтобы амплитуда по наиболее простому закону, желательно, чтобы второе
слагаемое в формуле (3) обратилось в 0. Выразим C и D через начальные условия:
~
Cm
0
~  t / 2) cos( t )  C exp( m
~  t / 2) sin(  t ) 
exp( m
0
0
0
0
0
2
~
Dm
0
~  t / 2) sin(  t )  D exp( m
~  t / 2) cos( t )

exp( m
0
0
0
0
0
2
Подставляя t  0 , имеем
C   0
 0  C

~
; 
2   0 m

0
~
D

  Cm 0 / 2  D 0 
2 0

~ имеем
При малом начальном угле  0 пренебрегая малой второго порядка  0 m
 
D   /  0 . Отсюда быстрый рост амплитуды с самого начала достигается при начальных
условиях
c)
(0)  0 ;  (0)  0 .
~ t / 2)  K , откуда t  2 ln K /( m
~ )  (ln K / m
~ )T . Подставляя K  5 ;
exp( m
0
0
0
~
m  0.1, имеем t  5.12T , т.е. амплитуда увеличится в 5 раз за приблизительно 5
0
колебаний.
d) Никакой разницы, кроме того, что все графики зеркально отразятся относительно оси
времени не будет.
1.2 Рост амплитуды в главном резонансе при отсутствии трения
~  ln 4 /(12 )  0,036  3,6% .
~  12T / 2)  80 / 20 , откуда m
a) Имеем
exp( m
0
0
Экспериментально за это время амплитуда достигает значения
78 .
~ t )  D 2 exp( m
~ t ) , данная функция имеем
a  C 2 exp( m
0
0
b) Амплитуда равна
единственный
минимум,
что
несложно
показать,
рассмотрев
d 2
~  exp( m
~ t )  D 2 m
~  exp( m
~  t ) , приравнивая к 0 имеем:
a  C 2m
0
0
0
0
dt
ln( D 2 / C 2 )
2
2
~
exp( 2m 0 t min )  D / C ; t min 
. Для того, чтобы амплитуда
~
2m
0
уменьшилась на первом колебании необходимо, чтобы t min  T0 . Имеем:
~  ) 2
(  1 / 2 m
0 0
~;
ln
 4m
2 2
 0 0
~   2
   1 / 2m
0 0
~ ) 2  0

  exp( 2m
 0 0


Рассмотрим случай  0  0 :
  1 / 2m~     exp( 2m~)  1 / 2m~     exp( 2m~)  0
0
0
0
0
0
0
0
0
~ )  1 / 2m
~ 
   0  0 exp( 2m
0 0
Отсюда 
.
~
~




exp(
2

m
)

1
/
2
m


0
0
0
0

Ясно, что до момента t min амплитуда уменьшается, а затем начинает расти. Интересно
рассмотреть случай  0  0 . В этом случае амплитуда, казалось бы, должна уменьшаться
постоянно. Но из-за того, что решение приблизительно, в некоторый момент амплитуда все
же начнет увеличиваться. Однако оценить этот момент, исходя из первого порядка малых
параметров нельзя.
1.3 Порог для главного резонанса
Попытаемся оценить энергию, передаваемую системе за колебание. Для этого надо найти силу,
которую надо приложить для того, чтобы обеспечить описанное движение грузов вдоль
стержня. Имеем:
~ sin t ,
~ sin t ) ; v(t )  dl / dt  l m
~ cos t ; a (t )  dv / dt   2 l m
l (t )  l0 (1  m
r
0
0
Заметим, что скорость и ускорение описаны отностительно стержня. Силе, которую надо
 l (t ) .
приложить “помогает” также также центростремительное ускорение, равное a c  
2
 (t )l (t ) , где M - масса груза. Нас интересует работа,
Итого имеем: Ma r  F (t )  M
совершаемая этой силой за период колебаний. Имеем:
2
 2 (t )l (t )]v(t )dt
dA  F (t )dl  F (t )v(t )dt  [Ma r (t )  M
Поскольку мы развиваем теорию, в которой мы пренебрегаем степенями малого параметра
выше первой, то, имеем:
~
m
~ 2 sin t cos t   2 (t )l 2m
~ cos t   2l 2 m
~ 2 sin t cos t )dt 
dA  M ( 3l02 m
0
o
~ cos tdt
 M 2 (t )l 2m
0
  2 0 , имеем
 (t )  C0 exp(t ) cos  0 t  C 0 exp(t ) sin  0 t .
(t )  C exp(t ) cos  0 t ,

~
~
Поскольку m мало, а  ~ m , то будем считать, что за один период величина t не успевает
Поскольку мы рассматриваем точную настройку в резонанс, то имеем
сильно изменится. Обозначая
C exp(t )   m , имеем  (t )   m 0 sin  0 t . Отсюда
выразим работу:
~ cos tdt   M 2  3l 2 m
~ cos 2 t sin 2  tdt
dA   M 2 (t )l 02m
m 0 0
0
0
2
2 2~
Интегрируя, имеем A  M  l m .
m
0 0
Заметим, что мы рассматривали силу, действовавшую на один груз. Рассматривая теперь силу,
~ . Учитывая, что
действующую на второй и складывая, имеем E  2 A  2M m 0 l 0 m
2
2 2
полная энергия осциллятора равна его максимальной кинетической энергии, имеем
MV 2
~E , данное условие отвечает следущей
 M 2m 02 l 02 , откуда имеем E  2m
2
~  . Поскольку все
зависимости энергии от времени: E  E0 exp( 2st ) , где 2s  m
0
E2
рассуждения велись относительно периода, то данная формула верна лишь как оценка графика
изменений полной энергии.
Если теперь учесть, что для трения, как было выведено в работе №1, справедлив закон
dE / dt  2E , то складывая, имеем E (t )  E0 (exp( 2st )  exp( 2t )) (4).
a)
Исходя из формулы (4), имеем
имеем
~  0.067  6.7% .
m
b) Исходя из формулы (4), имеем
~  1 / Q . В случае Q  15
~  2 , откуда сразу m
m
0
~.
~  2 , откуда Q  1 / m
m
0
~  1 в пунктах a) и b) имеем установившиеся колебания. При этом
В случае равенства Qm
графики скорости и смещения близки к синусоидам, а фазовая траектория к эллипсу, но они
деформированы вследствие того, что изменения энергии происходят периодически, но не
равномерно.
c) Рассмотрим уравнение колебаний: (t )  p cos(t )  q sin( t ) . Как было показано в
~ ) 2   2 .
    1 / 2 (m
0
Поскольку в случае точной настройки в резонанс имеем   0 , а по условиям
~ , то имеем   0 , откуда уравнение
установившихся колебаний 2  m
0
установившизся колебаний (t )  C cos( 0 t )  D sin(  0 t ) . Поскольку при выводе
   m 0 sin  0 t , то очевидно,
формулы для преобразования энергии полагалось, что 
начале, при этом p  C exp(t ) , q  D exp(t ) , где
C   m
   m cos  0 t , откуда имеем 
. Вспоминая,
D  0
 0   m
чему равны C и D , окончательно имеем 
.
  0
d) Полученное теоретически значение Q весьма точно. Экспереминтально его улучшить не
что для этого необходимо, чтобы
e)
удалось. Это связано вероятно с тем, что именно на порговом значении многие допущенные
в выводе неточности исчезают. (Например предположение exp(t )  const ).
“Равновесие” является неустойчивым, любое изменение параметров приводит к тому, что
колебания либо затухают, либо наступает резонанс.
2. Главный интервал параметрического резонанса.
2.1 Главный интервал параметрического резонанса без трения
a) Как было показано в 1 части, в первом приближении можно считать колебания
псевдогармоническими с амплитудой, изменяющейся по закону a  a0 exp(t ) , где
~ ) 2   2
    (m
0
пороговых условий имеем
. В нашем случае трение отсутствует, значит
  0 . В случае
~   . Отсюда имеем границы интервала
  0 . Значит m
0
параметрического резонанса
~ ) и   (2  m
~ ) , для
 min  2 0    (2  m
0
max
0
периодов соответственно:
~
~ )  T0 1  m 
Tmin  T0 /( 2  m
2
2
~
~ )  T0 1  m 
Tmax  T0 /( 2  m
2
2
~
В частности при m  10%  0.1 имеем Tmin  0.475 , Tmax  0.525 .
b) Имеем   p cos  0 t  q sin  0 t , p  C exp(t ) , q  D exp(t ) . В случае пороговых
условий   0 . Отношение C и D было получено при выводе соответствующей
~ 2
2~  2~  m
0
формулы в части 1: D 
. В нашем случае   0 ,   0 , откуда
2   0 
~
m
0
~ , значит D  C . Полагая t  0 ,
D
C . Для порогового значения   m
0

имеем
C   0
. Отсюда имеем для нижнего порогового значения  0 0   , для

D 0  
верхнего порогового значения
начальная скорость
c)
0 0   . В частности в случае 0  10  0.17rad
  0.17 0 в зависимости от границы (верхняя или нижняя).
Для уточнения границ интервала параметрической неустойчивости постараемся найти более
точное выражение для (t ) . Примем теперь во внимание также малые величины второго
порядка. При этом имеем
~t  q sin 
~t  p cos 3
~t  q sin 3
~t
(t )  p0 cos 
0
1
1
Заметим, что величины p1 и q1 являются малыми первого порядка. Поскольку мы
заинтересованы в нахождении именно границы, то положим все коэффициенты
константами. Тогда имеем
~ sin 
~t  q 
~ cos 
~t  3 p 
~
~
~
~
   p0

0
1 sin 3t  3q1 cos 3t
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение, отвечающее колебаниям:


d
~ sin 2~t ) 2  (t )   2 (t )  0
(1  m
0
dt
Мы положили
  0 , так как рассматриваем случай без трения. Подставляя выражения для
 и  в уравнение, имеем
~ ~ cos 2~t (1  m
~ sin 2~t )(  p ~ sin ~t  q ~ cos ~t  3 p ~ sin 3~t  3q ~ cos 3~) 
4m
0
0
1
1
2
2
2
2
2
~
~
~
~
~
~
~
~
~
(1  m sin 2t ) ( p  cos t  q  sin t  9 p  cos 3t  9q  sin 3~t ) 
0
0
1
1
 p0 cos ~t  q0 02 sin ~t  p1 02 cos 3~t  q1 02 sin 3~  0
2
0
Раскрывая скобки и преобразуя произведения тригонометрических функций в суммы,
имеем:
~2
m
3 ~2 ~2
5 ~2 ~2
~ ~ 2 sin ~t 
 p 0~ 2 cos ~t  p 0
~ 2 cos ~t  p 0 m
 cos 3~t  p 0 m
 cos 5~t  p 0 m
2
4
4
~ ~ 2 sin 3~t  3 p m 2~ 2 cos ~t  9 p ~ 2 cos 3~t  9 p m
~ 2~ 2 cos 3~t 
 3 p0 m
1
1
1
4
2
21 ~ 2 ~ 2
~ ~ 2 sin ~t  15 p m
~ ~2
~ ~ ~2
~
~ ~2
~

p1 m  cos 7~  p1 m
1  sin 5t  m cos t  3m cos 3t 
4
21 ~ 2 ~ 2
~ ~ 2 sin ~t  15 p m
~ ~2
~ ~ ~2
~
 q 0~ 2 sin ~t   p1 m
 cos 7~  p1 m
1  sin 5t  m cos t 
4
~2
m
3 ~2 ~2
5 ~2 ~2
2
2
~
~
~
~
~
 3m cos 3t  q 0 sin t  q 0
~ 2 sin ~t  q 0 m
 sin 3~t  q0 m
 sin 5~t 
2
4
4
~ ~ 2 cos ~t  15q m
~ ~2
~ 3q m
~ 2~ 2 sin ~t  9q ~ 2 sin 3~t  9 q m
~ 2~ 2 sin 3~t 
 3q1 m
1  cos 5t 
1
1
1
4
2
21 ~ 2 ~ 2
 q1 m
 sin 7~t  p 0 02 cos ~t  q 0 02 sin ~t  p1 02 cos 3~t  q1 02 sin 3~t  0
4
Пренебрегая слагаемыми высоких гармоник, а также слагаемыми, имеющими высокий
~     / 2 , а  мало), получаем
порядок малости (учитываем, что 
0
1 ~2 ~2

~ ~ 2 q  3m
~ ~ 2 q  
cos ~t  ( 02  ~ 2  m
 ) p0  m
0
1
2


1 ~2 ~2
 ~ ~2
~ ~ 2 p  
sin ~t  m
 p 0  ( 02  ~ 2  m
 )q 0  3m
1
2


2
2
2
~
~
~
cos 3t 3m q  (  9 ) p 

~
sin 3~t  3m
0
0
2
0
0
1


p 0  ( 02  9~ 2 )q1  0
Таким образом имеем для
 2 ~2 1 ~2 ~2
 0    m 
2


m~ 2


0

~ 2
 3m
0

p 0 , q 0 , p1 и q1 систему уравнений:
m~ 2
1
2
~ 2~ 2
 02  ~ 2  m
0
~ 2
3m
0
~ ~ 2
3m
 2  9~ 2
0
0
0
~ ~ 2 
 3m
 p0   0 
   
 q 0   0 
0
 p    0  (5)
 1   
0
 q1   0 
 02  9~ 2 
Как известно, для того, чтобы однородная система имела нетривиальные решения,
~:
необходимо, чтобы определитель ее матрицы был равен 0. Из этого условия получаем 
~  9m
~ 2  256  64m
~  1012m
~ 2  1332m
~ 3  81m
~4
20  2m
~
36  36m
~
Всего 8 значений  . Оставляя только положительные и раскладывая их в ряд Тейлора по
~ до второго порядка включительно, имеем:
степеням малого параметра m
~   0
1
3
27 ~ 2
m ) / для
16
1 ~ 11 ~ 2
~   0 (1  m
 m )
2
16
~   0 ( 
двух
вариантов /
Первое значение нас не интересует, а второе дает более точное значение для границ
параметрической неустойчивости. Выражая отсюда T имеем
T
T0
1 ~ 7 ~2
(1  m
 m ).
2
2
16
Ясно, что на ширину интервала величины второго порядка не влияют, так как разность
~ / 2 , они лишь
границ осталось как и в случае расчетов для первого порядка T  T0 m
сдвигают область резонанса в сторону меньшего периода.
2.3 Начальные условия для установившихся колебаний
a), b) Для теоретического определения начальной скорости используем следующие
соображения: Рассмотрим систему (5). Поскольку на границе интервала нестабильности ее
определитель равен 0, то одно уравнение исчезнет. Добавим теперь в систему уравнение
p0  p1  0 , которое следует из начальных условий. Отсюда находим p 0 , q 0 , p1 и q1
и начальную скорость по формуле   (q0  3q1 ) 0 .
~  10%
m
Ttheory
T practice
 theory
 practice
0
min
10
0,473
0,473
0,154
0,159
max
10
0,523
0,523
-0,201
-0,190
Что касается особенностей фазовой траектории и графиков, то они отличаются от
синусоиды тем, что ближе к прямоугольникам, это следствие того, что вблизи начала
~t  3
~t  3sin 
~t , а на графике скорости коэффициент еще и
колебаний sin 3
умножается на 3. Внизу приведены фазовые траектории свободных колебаний осциллятора
и вынужденных установившихся колебаний: