2. Расчет спектрального состава тока при кусочно

1
Лекція № 45
Тема лекції: Спектральний склад струму в безінерційному
нелінійному елементі при гармонійному впливі на вході.
1. Основні положення спектрального аналізу
2. Розрахунок спектрального складу струму при кусочно-лінійній
апроксимації.
3. Нелінійні резонансні підсилювачі, принципи множення частоти.
4. Режим множення частоти.
Література: Л1 с. 225-235. Л2 с. 331-341
1. Основные положения спектрального анализа.
Для спектрального анализа тока на
RH
выходе элемента рассмотрим упрощенный
Е
случай нелинейной цепи, предполагая, что
нам известна его ВАХ. Сигнал на входе
характеризуется U 0 (t )  Um cos  0 t , а
также источником постоянного напряжения
U ВХ
1.
2.
U ВЫХ
смещения U 0 . Найдем форму тока в цепи,
используя графическое представление
характеристик входного сигнала и ВАХ
U 0 (U БЕ )
нелинейного элемента.
Экспериментально получим ВАХ нелинейного элемента.
i ВЫХ
i1
i2
i3
U ВХ
U1
U2
U3
…
…
iN
UN
На основании экспериментальных данных подбирается функция тока коллектора от
напряжения смещения U 0 , аппроксимирующая ВАХ. Таким образом, в дальнейшем
будем использовать нелинейную функцию транзистора вида
ВАХ.
i(U C ,U 0 ) . Начертим
2
iK
iK

0
U 3  U 0U ' 0 U БЭ
t
U ВХ (t )  U C (t )
t
t
Графическое построение задачи изменения входного сигнала при прохождении
через нелинейную систему.
Из данного рисунка видно, что правая половина входного гармонического сигнала,
попадая на линейный участок ВАХ, передаются на выход нелинейной системы без
искажений. В данном случае одинаковым приращениям тока соответствуют одинаковые
приращения напряжений. Левая половина передается с искажениями в связи с тем, что
одинаковым приращениям напряжения соответствуют неэквивалентные приращения
тока.
i  S диф U
S диф 
i
U
- дифференциальная крутизна, характеризующая скорость изменения
тока коллектора от напряжения U БЭ .
Таким образом видно, что гармонический сигнал, проходя через нелинейную
систему, претерпевает искажения и на выходе коллектора превращается в
периодическую последовательность импульсов спектральный состав которых намного
богаче, чем спектральный состав на входе.
Предположим, что нам известна нелинейная зависимость тока на выходе системы
от напряжения смещения вида
i(U C ,U 0 ) . Тогда сделаем замену вида.
U C (t )  Um cos( 0 t   )
   0 t    U C (t )  Um cos 
Функция, описывающая нелинейную зависимость, будет в виде.
3
i(U )  i(Um cos  ,U 0 )
Данная функция периодическая с периодом
в виде.

jn
n
n 0
i (U ) 
1
Cn 
2
C
2 , поэтому может быть
представлена
e

 jn
i
(
Um
cos

,
U
)
e
d
0


Считая i (t ) функцией четной, то в ряде Фурье будут присутствовать только
косинусные составляющие.


n 0
n 0
i(t )  I 0   C n cos n  I 0   In cos( n 0 t   n )
Данное выражение указывает на то, что составляющие тока на выходе нелинейной
системы имеет бесконечное число гармонических составляющих с амплитудой
n  1,2,3,...
In
.
Амплитуда данных гармоник зависит от трех параметров.
1. От входного сигнала.
2. От напряжения смещения.
3. От вида нелинейной ВАХ системы.
Расчет спектрального состава тока при степенной аппроксимации.
Пусть в окрестностях рабочей точки известна ВАХ нелинейной системы вида.
i(U )  a 0  a1 (U  U 0 )  a 2 (U  U 0 ) 2  ...
Если
U C (t )  Um cos  0 t , то
i(U )  a 0  a1 (Um cos  0 t  U 0 )  a 2 (Um cos  0 t  U 0 ) 2  ...
1
In 
2
2
 (a
0
 a1 (Um cos  0 t  U 0 )  ...) cos n 0 tdt
0
В общем виде формула расчета гармонических составляющих на выходе.
при
4

In  
(2 K  n)! a K  nUm 2 K  n
2 2 K  n 1 K! ( K  n)!
K 0
2. Расчет спектрального состава тока при кусочно-линейной
аппроксимации
Рассмотрим спектральный состав тока на выходе нелинейной цепи, если
характеристика для аппроксимации ВАХ имела вид.
0
U U3

i(U )  
S (U  U 3 ) U  U 3
На вход подается напряжение
.
U ВХ (t )  U 0  cos  0 t
iK
iK
U3 U0
0
t

U БЭ
U ВХ (t )  U C (t )
t
График тока имеет вид косинусоидныхных
импульсов с углом отсечки

.
U 0  Um cos  0 t  U 3
U3 U0
cos  
Um
5
Рассматривая в интервале
   0t  
можно записать.
i(t )  SUm(cos0t  cos )
1
I

0
Тогда
2
1
In 
2

2
 SUm(cos  0 t  cos )dt 
SUm
0
2
 SUm(cos 
0

(sin    cos  )
t  cos  ) cos n 0 tdt  ... 
0
SUm  sin( n  1) sin( n  1) 2 cos  sin n 




  n 1
n 1
n

Бергом были введены безразмерные коэффициенты  n равные отношению
амплитуды n -ой гармоники к максимальному значению тока на выходе.
n 
I max  UmS(1  cos )
In
I max
Коэффициенты Берга позволили оценить спектр и записать ряд Фурье в виде.
n 
1
 sin( n  1) sin( n  1) 2 cos sin n 




 (1  cos )  n  1
n 1
n


i(t )  I max  0 ( )  I max   n ( ) cos n1t
n 0
Использование коэффициентов Берга при расчете спектра весьма удобно, т.к.
данные коэффициенты пропорциональны амплитуде гармоник, зависят только от угла
отсечки

.
3. Нелинейные резонансные усилители, принципы умножения частоты.
Рассмотрим схему резонансного
усилителя на транзисторе с нагрузкой в виде
параллельного колебательного контура. На
вход данного устройства подается
напряжение вида
L
C
U ВХ
 
U 0  U СТ

E ПИТ

U ВЫХ
U ВХ (t )  Um cos  0 t  U 0 .
Колебательный контур настроен на частоту
. Предполагается, что ВАХ
данной нелинейной системы найдена и
6
представлена кусочно-линейной
аппроксимацией. Изобразим графикрешение данной задачи.
iK
0
iK

U БЭ
t
U ВХ (t )  U C (t )
t
В результате прохождения гармонической составляющей через транзистор на
коллекторе образуется периодическая последовательность косинусоидных
видеоимпульсов. Однако ведущую роль в богатом спектре данных видеоимпульсов
играет первая составляющая, которая создает на выходе напряжение
U ВЫХ (t )  I 1 R РЕЗ  S   1 ( )UmRРЕЗ S . Разложение сигнала на выходе в
спектр на основании функций Берга, в зависимости от угла отсечки рассматривалось
выше.
КПД данной системы в приведенном случае расчитывается в виде.
I 1 1  1 ( )
 
I 2 2  2 ( )
Таким образом при малых углах отсечки КПД стремится к единице, тогда как в
линейной системе он не превышает 0.5.
Спектральные составляющие тока на выходе нелинейной системы рассматривались
выше. В нашем случае важно рассмотрение работы усилителя в двух режимах:
1. Умножения частоты.
2. Усиления входного сигнала.
4. Режим умножения частоты.
1. Постановка задачи.
На вход подается сигнал U ВХ (t )  U 0
 Um cos0t .
необходимо получить сигнал частота которого в
сигнала.
n
На выходе системы
раз превышает частоту входного
7
U ВЫХ  U cos n0t
Проанализируем снова спектральные составляющие сигнала на входе и выходе
системы.
U ВХ
iK
I МАХ
U0
  90 
t
t
S ( ) ВЫХ
S ( ) ВХ
1 ( )Um
a0
2
a0
2
 3 ( )Um
При подключении на выход колебательной системы, настроенной на резонансную
частоту  P  n 0 , на выходе колебательной системы будет выделяться
гармонический сигнал с частотой в n раз превышающей частоту входного сигнала (т.к.
на коллекторе содержится бесконечное число гармонических составляющих , в том
числе и необходимую гармонику для решения задачи. А контур выделит ее из всего
множества составляющих.).
Совмещение АЧХ колебательного контура и спектра на выходе коллектора.
Однако полученная на выходе системы
гармоника не идеальная и хотя частота
данного выходного сигнала
i K ; K ( )
1  2
2
4
2
действительно n 0 , но форма
гармонического сигнала искаженна. Данные
искажения являются результатом
суммирования к гармоническому сигналу на

2
частоте
U ВЫХ
U 0 ВЫХ
t
n 0 сигналов с частотами ( n  1) 0
и ( n  1) 0 , которые отфильтровались в
результате неидеальной характеристики
колебательного контура. На данном этапе
будет стоять задача устранить по
возможности искажения данной гармоники.
Данный недостаток возможно убрать
регулируя величину угла отсечки.
Регулируя угол отсечки мы можем добиться
максимального значения коэффициентов
8
Берга именно для той гармоники,
которую необходимо получить на выходе
системы. Оптимальный угол отсечки при
этом составит.
 ОПТ 
где
120
n
n номер выделяемой гармоники.
Угол отсечки регулируется путем изменения напряжения смещения U 0 ,
подаваемого на базу транзистора. Напряжение смещения подбирается из выражения.
U 0  U З  Um cos
Графическое изображение решения данной задачи при оптимальном угле отсечки.
iK
iK
0

U БЭ
U0
U ВХ
t
При установлении оптимального угла
отсечки для получения на выходе сигнала по
n
частоте в
раз большего установим
оптимальным.
U 0  U З  Um cos ОПТ
t
В этом случае коэффициенты Берга для гармоники n 0 будут максимальными.
Спектр видоизменится n-ая гармоника по амплитуде возрастет. В этом случае
колебательному контуру легче настроиться в резонанс и пропорциональное
соотношение выделяемой гармоники и гармоник на частотах ( n  1) 0 и ( n  1) 0 ,
резко изменится в пользу частоты
n 0 .
Однако т. к. Коэффициент передачи
колебательного контура далеко не идеален, то
идеальной гармоники на выходе не получится.
На данной схеме умножения частоты в четыре
9
раза присходит к достаточно
сильным искажениям выходного сигнала.
Умножение в пять и более раз нецелесообразно,
i K ; K ( )
 ЗМАХ ( )
1  2
2
4
2

2
т. к. даже подобрав оптимальное  , резко
изменить соотношение между выделяемой и
выделенными боковыми от нее гармониками не
удается.