Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Государственный университет – Высшая школа экономики ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ УТВЕРЖДАЮ: Проректор ___________________С.Ю. Рощин «___» __________________2008 г. Рабочая программа дисциплины «Алгебра» (дополнительные главы) Направление: 010100.62 «Математика» Подготовка: магистр Форма обучения: очная Утверждена УС факультета математики Ученый секретарь доцент Одобрена на заседании кафедры алгебры Зав. кафедрой, д. ф.-м. н., профессор _________________________Ю.М.Бурман «___» ________________________2008 г. _______________________А.Н. Рудаков «___» ______________________2008 г. Москва 2008 Рабочая программа дисциплины «Дополнительные Главы Алгебры» [Текст]/Сост. Рудаков А.Н.; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–5 с. Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100 «Математика». Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100 «Математика». Составитель: д.ф.-м.н., проф. Рудаков А.Н. (rudakov@hse.ru) © © Рудаков А.Н., 2008. Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008. 2 Цели и задачи изучения дисциплины, ее место в учебном процессе 1.1. Цель изучения дисциплины. Курс рассчитан на студентов, собирающихся изучать дисциплины, требующие привлечения более глубоких алгебраических результатов, выходящих за рамки стандартного курса бакалавриата, а также студентов, собирающихся специализироваться в области алгебры, алгебраической геометрии, теории представлений или теории чисел. 1.2. Задачи изучения дисциплины. В курсе рассматриваются более глубокие результаты о многочленах, линейных операторах и матрицах, и других фундаментальных алгебраических систем – групп, порожденных отражениями, систем корней, формальных степенных рядов, представлений симметрических и линейных групп. Курс служит основой для более абстрактных специальных курсов по различным направлениям алгебры. 1.3. Перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной дисциплины: алгебраические курса бакалавриата. Тематический план № 1. 2. 3. 4. 5. 6. Название темы 1 семестр Многочлены и их корни: теоремы Коши, ГауссаЛюка, результант и дискриминант, разделение корней, теоремы Штурма, Сильвестра, многочлены Чебышева. Матричнозначные функции: правила дифференцирования, производная детерминанта, экспоненты, поведение собственных значений. Положительно-определенные матрицы: собственные значения, свойства детерминантов, монотонные матричные функции. Положительные матрицы: теоремы Перрона-Фробениуса. Разложение Жордана-Шевалле: жорданова нормальная форма эндоморфизма, полупростые и унипотентные элементы, разложение Жордана в алгебраических матричных группах, перестановочные эндоморфизмы, диагонализируемые группы, веса и корни. Группы Кокетера: длина и приведенные разложения, системы Коксетера, условие замены, характеризация групп Коксетера, матрицы и графа Коксетера. Группы, порожденные отражениями: камеры и ячейки, отражения, связь с системами Коксетера, теорема о фундаментальной области, строение инвариантов, преобразование Коксетера. 2 семестр Системы корней: веса и корни, камеры и базисы, положительные корни, фундаментальные веса, группа Вейля, инварианты и анти-инварианты, графа 3 Всего часов по дисци плине В том числе аудиторных Самос тоятел ьная работа Всего Лекци и Семи нары 108 72 36 36 36 18 12 6 6 6 18 12 6 6 6 24 16 8 8 8 18 12 6 6 6 30 20 10 10 10 108 72 36 36 36 36 24 12 12 12 № Название темы Всего часов по дисци плине В том числе аудиторных Самос тоятел ьная работа Всего Лекци и Семи нары 24 16 6 6 6 24 16 8 8 8 24 16 8 8 8 216 144 72 72 72 Дынкина, классификация конечных систем корней, обобщенные матрицы Картана и системы корней. 7. 8. 9. Симметрическая группа: симметрические многочлены, базисы в симметрических многочленах, многочлены Шура, таблицы и схемы Юнга, модули Шпехта, кольцо представлений, правило ЛиттлвудаРичардсона. Коинварианты. Представления классических линейных групп: инварианты, первая фундаментальная теорема, тензорные инварианты, приложения фундаментальной теоремы, двойственности Хау. Формальные степенные ряды и производящие функции: кольцо формальных степенных рядов и поле формальных рядов Лорана, описание алгебраического замыкания поля рядов Лорана, дифференцирование и интегрирование производящих функций, решение дифференциальных уравнений, производящие функции известных последовательностей, формальные грамматики – теорема Лагранжа, асимптотика коэффициентов производящего ряда. Итого: 4 Формы текущего контроля: 2 самостоятельные работы. Форма итогового контроля: 1 зачёт (1 семестр), 1 экзамен (2 семестр). Темы самостоятельных работ: Предлагаются индивидуально. Основная литература 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Прасолов В.В. Многочлены.–М.: МЦНМО, 2001. Lax, Peter D. Linear Algebra. .– N-Y.: JohnWiley, 1997. Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли: группы Коксетера и системы Титса; группы, порожденные отражениями; системы корней. – М.:Мир, 1972. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. – М.:Наука, 1980. Фултон У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии.–М.: МЦНМО, 2006. Goodman R., Wallach N.R., Representations and invariants of the classical groups. Cambridge U.Press, 1998. Ландо С.К., Лекции о производящих функциях.–М.: МЦНМО, 2002. Дополнительная литература 8. 9. Кац В., Бесконечномерные алгебры Ли. – М.: Мир, 1993. Макдональд И., Симметрические функции и многочлены Холла. – М.: Мир, 1985. Автор программы: _____________________________ А.Н.Рудаков 5