КОМПЬТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ РЕШЕТОК естественных наук Направление «Математика. Компьютерные науки»

КОМПЬТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ РЕШЕТОК
Кафедра систем телекоммуникаций, факультет физико-математических и
естественных наук
Направление «Математика. Компьютерные науки»
Дисциплина по выбору
Трудоемкость – 3 кредита, 2 часа лекций и 2 час лабораторных занятий в
неделю
Цель курса
Целью курса является введение учащихся в предметную область современного
математического (шире – информационного) моделирования как неизбежной
составляющей научно-технического прогресса.
В процессе преподавания курса решаются следующие задачи:
- изучение сущности методологии математического моделирования,
являющейся интеллектуальным ядром информационных технологий и
всего процесса информатизации общества;
- получение математических моделей на основе фундаментальных законов
природы, вариационных принципов;
- изучение основных методов исследования математических моделей,
вычислительный эксперимент.
Содержание курса
Тема 1. Основные понятия и принципы математического моделирования.
Математика и математическое моделирование. Прямые и обратные задачи
математического моделирования. Универсальность математических моделей.
Принцип аналогий. Иерархия моделей.
Тема 2. Численные методы решения задачи Коши для систем
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод Эйлера, метод Рунге-Кутта, метод Адамса. Семейства численных
методов решения задачи Коши – многошаговые разностные методы и методы
Рунге-Кутта. (2 пары)
Тема 3. Решение граничной задачи для обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка.
Граничные условия первого рода, метод прогонки, граничные условия второго
и третьего рода. (1-2 пары).
Тема 4. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Прямые методы. Метод Гаусса. Расчетные формулы. Метод Гаусса с выбором
главного элемента. Матрицы перестановок. LU-разложение. Метод квадратного
корня. (1-2 пары). Итерационные методы Якоби и Зейделя. Метод верхней
релаксации.
Тема 5. Методы безусловной оптимизации функций многих переменных.
Минимизация негладких функций многих переменных. Метод многогранника.
Минимизация гладких функций многих переменных. Метод Ньютона. Методы
решения задач о наименьших квадратах. Метод Левенберга - Маркардта. (1-2
пары).
Тема 6. Алгебраическая проблема собственных значений.
Метод Якоби для вещественных и для комплексных матриц. Решение
проблемы собственных значений и собственных векторов по методу Якоби с
понижением нормы для комплексных матриц. (1-2 пары).
Тема 7. Регуляризованные методы решения систем линейных и
нелинейных алгебраических уравнений.
Регуляризованные методы решения СЛАУ. Регуляризованные методы решения
СНАУ. Регуляризованные методы решения интегральных уравнений. Методы
дискретизации решения интегральных уравнений.
Тема 8. Решение систем ОДУ с постоянными коэффициентами в области
комплексных чисел.
Метод диагонализации. Функции от матрицы. Нормальные матрицы. Теоремы
об аппроксимации.
Тема 9. Решение систем ОДУ.
Метод рядов Фурье превращения систем ОДУ в системы линейных
алгебраических уравнений (2-3 пары)
Тема 10. Системы ОДУ задачи анализа оптических структур.
Метод спаренных волн решения задач анализа оптических структур.
Тема 11. Заключение
Обзор прикладных задач анализа оптических покрытий и оптических решеток
(1-2 пары)
Лабораторные занятия в дисплейном классе
Результатом лабораторных занятий является создание программы на паскале
(компиляторы Delphi или Lazarus) с использованием графического интерфейса
для вывода результатов расчета.
1. Решение задачи Коши системы линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений.
2. Решение краевой задачи для линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка. Метод прогонки.
3. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод
квадратного корня.
4. Минимизация негладких функций многих переменных. Метод
многогранника.
5. Минимизация гладких функций многих переменных. Метод Ньютона.
6. Решение систем ОДУ с постоянными коэффициентами с использованием
процедур отыскания собственных значений и собственных векторов.
7. Решение систем ОДУ с постоянными комплексными коэффициентами с
использованием процедур отыскания собственных значений и
собственных векторов. Различные собственные значения
8. Решение систем ОДУ с постоянными комплексными коэффициентами с
использованием процедур отыскания собственных значений и
собственных векторов. Кратные собственные значения
Темы контрольных работ
Промежуточный контроль знаний
Контрольная работа № 1.
Теоретические вопросы.
Семейства численных методов решения задачи Коши – многошаговые
разностные методы и методы Рунге-Кутта.
Решение систем линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы
Якоби и Зейделя. Метод верхней релаксации.
Практические задания.
Решение задачи Коши системы линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Решение краевой задачи для линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка. Метод прогонки.
Контрольная работа № 2.
Теоретические вопросы.
Минимизация негладких функций многих переменных. Метод многогранника.
Минимизация гладких функций многих переменных. Метод Ньютона.
Методы решения задач о наименьших квадратах. Метод Левенберга Маркардта.
Практические задания.
Метод деформируемого многогранника.
Метод Ньютона.
Методы решения задач о наименьших квадратах. Метод ЛевенбергаМаркардта.
Замечание. Практическое задание включает в себя написание краткой
теоретической части, описание используемого алгоритма, написание
программы для компьютера на языке высокого уровня с необходимым
интерфейсом – прототипом товарного оформления или в рамках
математического программного пакета, демонстрацию работоспособности
программы.
Итоговый контроль знаний.
Теоретические вопросы.
Регуляризованные методы решения систем линейных алгебраических
уравнений, интегральных уравнений.
Метод рядов Фурье решения систем ОДУ.
Практические задания.
Литература
Обязательная
1. Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А. Математическое моделирование.
Часть 1: Осциллятор. – М.: РУДН – 2007, 64 С.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учебное пособие для
вузов. – М.: Наука-1989, 432 С.
3. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. – М.: МИР 1985, 509 С.
Дополнительная
1. Статьи из «Соросовского образовательного журнала».
2. Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: НАУКА 1969,368 С.
3. Уилкинсон Дж., Райнш К., Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ.
Линейная алгебра. – М.: Машиностроение – 1976, 389 С.
Программу составили
Севастьянов Леонид Антонович,
Доктор физико-математических наук, профессор,
Ловецкий Константин Петрович,
Кандидат физико-математических наук, доцент,
Кафедра систем телекоммуникаций,
Факультет физико-математических и естественных наук.