Линейные неравенства с одной переменной

У р о к 10 (94).
ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Цели: систематизировать знания учащихся по теме; актуализировать
умения и навыки решения неравенств и систем неравенств с одной
переменной.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Повторение учебного материала.
1. Свойства числовых неравенств.
2. Неравенство первой степени kx + b > 0, где х – переменная, k, b – числа,
k ≠ 0.
3. Решение неравенства с одной переменной, число х0 – такое, что k ·
x0 + b > 0 – верное.
4. Решить неравенство – найти все его решения или доказать, что их нет.
5. Два неравенства называются равносильными, если любое решение
первого неравенства является решением второго и наоборот.
6. Свойства неравенств с одной переменной:
– Члены неравенства можно переносить с противоположными знаками из
одной части неравенства в другую.
– В неравенстве можно приводить подобные члены.
– При умножении (или делении) неравенства на положительное число
знак неравенства сохраняется.
– При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число знак
неравенства меняется на противоположный.
III. Математический диктант.
В а р и а н т 1 [В а р и а н т 2]
1. Запишите числовой промежуток, служащий множеством решений
неравенства х ≤ 3 [у > –8].
2. Запишите неравенство, множеством решений которого служит
промежуток (–3; +∞) [(–∞; 7)].
3. Изобразите на координатной прямой промежуток (–2; 3] [[–1; 4)] и
запишите неравенство, множеством решений которого он служит.
4. Решите неравенство: 2х – 1 ≤ 2 (х – 1) [3(х – 1) ≥ 3х + 1].
5. Решите неравенство: 5у – 10 > 10у – 5 [3x – 6 < 6x – 3].

 3   1

3х  7 1  х  8  у  2   4 у 
 7   2

.
6. Решите неравенство:
О т в е т ы:
В а р и а н т 1 [В а р и а н т 2]
1. (–∞; 3] [(–8; +∞)].
2. х > –3 [x < 7].
3. –2 < х ≤ 3 [–1 ≤ х < 4].
4. Нет решений [х – любое].
5. (–∞; –1) [(–1; +∞)].
6. х – любое [нет решений].
IV. Формирование умений и навыков.
Особое внимание обращаем на верное использование свойств
неравенства, а также на возможность графической интерпретации
полученных решений.
Упражнения:
№ 1000.
Решение
7 < 2,7;
2,2 < 5 < 2,3;
4,8 < 7 + 5 < 5.
а) 2,6 <
5 < 2,3;
–2,3 < – 5 < –2,2;
б) 2,2 <
2,6 < 7 < 2,7;
0,3 < 7 –
7 < 2,7;
2,2 < 5 < 2,3;
5,72 < 35 < 6,21.
в) 2,6 <
№ 1001 (а, в, з).
Решение
а) 0,3 (2т – 3) < 3 (0,6т + 1,3);
0,6т – 0,9 < 1,8т + 3,9;
–1,2т < 4,8;
т > –4.
(–4; +∞).
в) 10 – 5 (0,3а – 0,2) ≥ 5 – 10 (0,1а + 0,2);
10 – 1,5а + 1 ≥ 5 – а – 2;
–0,5а ≥ –8;
а ≤ 16.
5 < 0,5.
(–∞; 16].
з) (1 –3,6а) (0,2а+ 3) + (4+ 0,9а) (0,8а + 10) ≤ 42,2;
0,2а + 3 – 0,72а2 – 10,8а + 3,2а + 40 + 0,72а2 + 9а ≤ 42,2;
1,6а ≤ –0,8;
а ≤ –0,5.
(–∞; –0,5].
О т в е т: а) (–4; +∞); в) (–∞; 16]; з) (–∞; –0,5].
№ 1002 (в, е).
Решение
0,5  5 у 0,6  5 у

6
4
в)
;
2 (0,5 – 5у) ≥ 3 (0,6 – 5у);
1 – 10у ≥ 1,8 – 15у;
5у ≥ 0,8;
у ≥ 0,16.
1,6  0,3 у 4, 4  1,5 у

2
5
е)
< –4,05у;
5 (1,6 – 0,3у) + 2 (4,4 + 1,5у) + 10 · 4,05 · у < 0;
8 – 1,5у + 8,8 + 3у + 40,5у < 0;
42у < –16,8;
у < –0,4.
О т в е т: в) у ≥ 0,16; е) у < –0,4.
№ 1004 (а, в).
Решение
а) (5 – 2х) ( 6 – 3) < 0;
6 < 2,5;
–0,6 < 6 – 3 < –0,5, значит, 6 – 3 < 0.
Разделим обе части неравенства на ( 6 – 3), получим:
2,4 <
5 – 2х > 0; –2х > –5; х < 2,5.
3 2
в) 2  7х < 0;
2 < 1,5;
–1,5< – 2 < 1,4;
1,4 <
3 < 1,8;
0,2 < 3 – 2 < 0,4, значит,
1,7 <
3–
2 > 0.
Разделим обе части неравенства на ( 3 –
нуля, если знаменатель меньше нуля:
2 + 7х < 0;
7х < –2;
1
2 ): 2  7х < 0. Дробь меньше
2
х < –7.
2
О т в е т: а) (–∞; 2,5); в) (–∞; – 7 ).
№ 1005 (в, г).
Решение
12 y  1  3  2 y,

5 y  2  11 y;
14 y  4,

16 y  2;
в)
г)
8 x  1  5 x  1,

9 x  9  8 x  8;
3x  2,

 x  1;
2

у

,

7

у  1;

8
2

х   ,
3

 x  1;
1
у .
8
решений нет.
1
О т в е т: в) (–∞; 8 ); г) нет решений.
№ 1008 (б).
Решение
(5 x  2)2  5 x (5 x  3),

3x (4 x  2)  40  4 x (3x  7)  4;
25 x 2  20 x  4  46  25 x 2  15 x,
 2
2
12 x  6 x  40  12 x  28 x  4;
 x  8,

[2; 8).
 x  2;
5 x  40,

22 x  44;
В этот интервал входят целые числа 2; 3; 4; 5; 6; 7.
О т в е т: 2; 3; 4; 5; 6; 7.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется линейным неравенством с одним неизвестным?
– Какие есть утверждения о равносильности неравенств?
– Каким способом можно решить систему линейных неравенств?
Домашнее задание: № 1001 (б, г, е), № 1003, № 1004 (б), № 1007 (б).