Тема 5. Числовые функции и некоторые кривые В этой теме Вы продолжите изучение функциональной зависимости. Будут рассмотрены основные способы задания числовых функций: табличный, формульный, графический и некоторые основные классы функций: монотонные, четные, нечетные. §5. Окружность и эллипс 5.1. Несколько раз в качестве примеров мы записывали уравнение njpsfmnqrh в прямоугольной системе координат. Напомним, как это делается. Пример 1. Запишем уравнение окружности с центром F (1 2) и радиусом r 2 . Возьмем на окружности произвольную точку A , и координаты точки A обозначим (a b) (рисунок 1). Применяя формулу расстояния между точками получим AF 2 (a (1))2 (b 2)2 Так как AF r , то (a 1)2 (b 2)2 22 Заменяя букву a на букву x , букву b на букву y , получаем уравнение ( x 1)2 ( y 2))2 22 Решениями этого уравнения являются только такие пары чисел ( x y ) , для которых точка M ( x y ) лежит на окружности с указанными центром и радиусом. Раскрывая скобки, перенося все слагаемые в левую часть и приводя подобные, получим уравнение x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 5.2. Рассмотрим, как получить уравнение окружности в общем случае. Пусть центр окружности F имеет координаты ( x0 y0 ) , а радиус окружности равен r . Возьмем на окружности произвольную точку A( x y ) (рисунок 2). Применяя формулу для вычисления расстояния от точки F до точки A , будем иметь ( x x0 )2 ( y y0 )2 r Возведем обе части этого равенства в квадрат, получим равенство ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 r 2 Обратно, если координаты некоторой точки A( x y ) удовлетворяют этому равенству, то OA ( x x0 )2 ( y y0 )2 r 2 r Следовательно, точка A лежит на данной окружности. Таким образом, мы установили, что равенству ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 r 2 удовлетворяют те и только те точки координатной плоскости, которые лежат на окружности радиуса r с центром в точке ( x0 y0 ) . Поэтому говорят, что уравнение ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 r 2 является уравнением окружности радиуса r с центром в точке ( x0 y0 ) . 5.3.* Любое уравнение вида x 2 y 2 ax by c 0 где a , b , c — фиксированные числа, задает в координатной плоскости либо пустое множество, либо точку, либо окружность. Доказательство этого результата lnfmn получить методом выделения полного квадрата. Пример 2. Рассмотрим уравнение x 2 y 2 6 x 4 y 18 0 Запишем его в виде ( x 2 2 3x 32 ) ( y 2 2 2 y 22 ) 32 22 18 0 ( x 3)2 ( y 2)2 5 0 ( x 3)2 ( y 2)2 5 Это уравнение равносильно начальному. Так как квадрат любого числа неотрицателен, то при любых значениях x и y левая часть последнего уравнения неотрицательна, а значит это уравнение не имеет решений. В данном примере уравнение задает пустое множество. Пример 3. Рассмотрим уравнение 1 x 2 y 2 x y 0 2 Запишем его в виде 2 2 1 1 x y 0 2 2 Из последней записи видно, что равенство возможно только тогда, когда x 12 0 , y 12 0 . В данном примере уравнение задает единственную точку 12 12 . 5.4.** В этом пункте разберем следующую задачу. Пример 4. Даны точки A(1 3) и B(3 1) . Найдем множество всех точек M координатной плоскости таких, что Решение. Пусть точка M имеет координаты ( x y ) . Тогда AM 2 ( x 1)2 ( y 3)2 BM 2 ( x 3)2 ( y 1)2 и AM 2 BM 2 ( x 1)2 ( y 3)2 ( x 3)2 ( y 1)2 2 x 2 4 x 2 y 2 4 y 20 Так как по условию AM 2 BM 2 66 , то получаем уравнение 2 x 2 4 x 2 y 2 4 y 20 66 x 2 2 x y 2 2 y 23 x 2 2 x 1 y 2 2 y 1 25 ( x 1)2 ( y 1)2 52 В результате преобразований получаем уравнение окружности с центром (-1;1) и радиусом 5. 5.5.** Окружность ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 r 2 можно получить из окружности x 2 y 2 r 2 параллельным переносом на вектор n ( x0 y0 ) . Доказательство аналогично тому, которое было приведено для параболы в пункте 2.5. 5.6.* Мы несколько раз говорили об эллипсе. Например, при изображении множества решений уравнения 3x 2 4 y 2 12 получается эллипс, как на рисунке 3. Эллипс можно определить как множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек A и B равна заданному числу. Точки A и B лежат на большой оси эллипса на равном расстоянии от его центра симметрии. Точки A и B называются фокусами эллипса. Для получения координат точек A и B в нашем примере сначала найдем координаты точек пересечения эллипса 3x 2 4 y 2 12 с осями координат. Подставляя в уравнение эллипса y 0 , получим 3x 2 12 , откуда x1 2 , x2 2 . Следовательно, M ( 2 0) , K (2 0) . Подставляя в уравнение эллипса x 0 , получим 4 y 2 12 , откуда y1 3 ; y2 3 . Следовательно, N (0 3) ; L (0 3) . Пусть точка A имеет координаты ( a 0) . Тогда AB 2a , AM 2 a , BM 2 a , а поэтому AM BM 4 . Следовательно, сумма расстояний от любой точки эллипса до точек A и B должна быть равной 4. В частности AN BN 2 AN 4 , откуда AN 2 . По теореме Пифагора из треугольника AON находим a AN 2 NO2 4 3 1 . Поэтому точки A и B имеют координаты: A(1 0) и B(1 0) . Найденные точки A и B называются фокусами эллипса 3x 2 4 y 2 12 . Убедимся на примерах, что сумма расстояний от любой точки P эллипса 2 3x 4 y 2 12 до ее фокусов A и B равна 4. Например, если P 1 23 , то AP 32 , BP 32 2 22 52 , и AP BP 4 . Если P 3 2 21 4 — другая точка эллипса 3x 2 4 y 2 12 , то 2 2 121 11 3 21 AP 1 0 16 4 2 4 2 2 25 5 3 21 BP 1 16 4 2 4 и 11 5 4 4 4 5.7.** Рассмотрим точки A(a 0) и B(a 0) координатной плоскости, где a 0 , и число m a . Покажем, что множество всех точек M ( x y ) таких, что AM BM 2m , совпадает с множеством решений уравнения x2 y2 1 m2 m2 a 2 Необходимые рассуждения разберем на конкретном примере, когда a 1 , m 2 . Итак, пусть A(1 0) , B (1 0) и M ( x y ) . Запишем расстояния MA и MB : AP BP MA ( x 1) 2 y 2 MB ( x 1) 2 y 2 По условию MA MB 4 , откуда получаем уравнение ( x 1)2 y 2 ( x 1)2 y 2 4 Так как обе части этого уравнения положительны, то можно обе части возвести в квадрат с сохранением равносильности: ( x 2 1) y 2 ( x 1) 2 y 2 2 ( x 1)2 y 2 ( x 1) 2 y 2 16 7 x 2 y 2 ( x 1) 2 y 2 ( x 1) 2 y 2 Отсюда следует, что должно выполняться условие 7 x 2 y 2 0 . Возводя обе части в квадрат, получаем: (7 x2 y 2 )2 (( x 1)2 y 2 )(( x 1)2 y 2 ) Выполним преобразования: (7 x2 y 2 )2 ( x2 y 2 1 2 x)( x 2 y 2 1 2 x) ( x 2 y 2 7)2 ( x 2 y 2 1)2 (2 x)2 ( x 2 y 1)2 ( x 2 y 2 7)2 4 x 2 0 ( x 2 y 1 x 2 y 2 7)( x 2 y 1 x 2 y 2 7) 4 x 2 0 8 (2 x 2 2 y 2 6) 4 x 2 0 4 x 2 4 y 2 12 x 2 0 3x 2 4 y 2 12 x2 y 2 1 4 3 Из последнего уравнения следует, что любое его решение ( x y ) удовлетворяет неравенствам x 2 , y 3 , а поэтому выполняется условие x 2 y 2 7 . Так как с учетом этого условия все проделанные преобразования сохраняли равносильность, то множество решений начального уравнения ( x 1) 2 y 2 ( x 1) 2 y 2 4 совпадает с множеством 2 решений уравнения x4 y3 , что и требовалось доказать. 5.8.* Эллипс можно получить из окружности сжатием. Это можно наблюдать, если на резиновой пластинке нарисовать окружность, а затем сжать пластинку с двух сторон. Правда, из-за сложности физического процесса деформации эллипс может получиться лишь приближенно. Мы рассмотрим идеальную модель сжатия, как преобразование сжатия к оси Ox . Пример 5. Докажем, что при сжатии вдоль оси Oy с коэффициентом k 12 2 окружность x 2 y 2 1 преобразуется в эллипс x 2 4 y 2 1 . Пусть точка M ( x0 y0 ) лежит на окружности x 2 y 2 1 и в результате сжатия переходит в точку M1 (a b) . По определению сжатия имеем равенства a x0 , b 12 y0 , откуда x0 a , y0 2b . Поэтому 1 x02 y02 a 2 (2b) 2 . Следовательно, при сжатии с коэффициентом k 12 каждая точка окружности x 2 y 2 1 переходит в некоторую точку эллипса x 2 4 y 2 1 . Покажем, что в результате рассматриваемого сжатия получаются все точки эллипса 2 x 4 y 2 1 . Пусть K ( m n) — любая точка эллипса x 2 4 y 2 1 , тогда m 2 4n 2 1 . При сжатии в точку K переходит точка M с координатами x0 m , y0 2n , причем x02 y02 m 2 4n 2 1 . Следовательно, найдена точка окружности x 2 y 2 1, которая при сжатии переходит в точку K . Тем самым полностью доказано, что при сжатии с коэффициентом k 12 окружность x 2 y 2 1 переходит в эллипс x 2 4 y 2 1 . 5.9.** Рассмотрим уравнение вида ax 2 by 2 cx dy e 0 где a , b , c , d , e — фиксированные числа, причем a 0 и b 0 . Любое такое уравнение задает в координатной плоскости либо пустое множество, либо точку, либо окружность, либо эллипс. Как и в пункте 2.3, доказательство этого результата опирается на метод выделения полных квадратов. Пример 6. Рассмотрим уравнение 4 x 2 9 y 2 8 x 36 y 31 0 Запишем его в виде 4( x 2 2 x 1) 4 9( y 2 4 y 4) 36 31 0 4( x 1)2 9( y 2)2 9 Пусть окружность задана уравнением 4 x 2 4 y 2 9 (рисунок 4). Сжатие к оси Ox с коэффициентом k 23 переводит эту окружность в эллипс с уравнением 4 x 2 9 y 2 9 (рисунок 5). Параллельный перенос на вектор n (12) переводит эллипс 4 x 2 9 y 2 9 в эллипс, уравнение которого 4( x 1)2 9( y 2)2 9 . Таким образом, в результате приведенных преобразований плоскости получен эллипс, уравнение которого совпадает с начальным уравнением. Контрольные вопросы 1. Запишите формулу расстояния между точками. 2. Запишите общий вид уравнения окружности. 3. Как по уравнению окружности находить координаты ее центра и радиус? 4. Приведите пример уравнения эллипса. 5.* Определите эллипс как геометрическое место точек. 6.* Что такое фокусы эллипса? 7.* Какое преобразование плоскости называют сжатием к оси Ox ? 8.* Докажите, что при сжатии к оси Ox окружности x 2 y 2 r 2 получается эллипс. Задачи и упражнения 1. Какие из точек (1;2), (3;4), (- 4;3), (0;5), (5;-1) лежат на окружности, заданной уравнением x 2 y 2 25 ? 2. На окружности, заданной уравнением x 2 y 2 169 , найдите точки: а) с абсциссой 5; б) с ординатой -12; в) пересечения с осью абсцисс; г) пересечения с осью ординат; д) пересечения с прямой y x . 3.* Даны точки A(2 0) и B(2 6) . Найдите уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB . 4. Даны точки A(11) и B (4 3) . Составьте уравнение окружности с центром в точке B , проходящей через точку A . 5. Составьте уравнение окружности с центром (-3;4), проходящей через начало системы координат. 6.* Найдите радиус и центр окружности, заданной уравнением x 2 8x y 2 8 y 7 0 . x 2 y 2 6 x 8 y 0 . Найдите точку, диаметрально 7.** На окружности противоположную точке (0;0). 8.* Найдите точки пересечения двух окружностей x 2 y 2 8x 8 y 8 0 x 2 y 2 8 x 8 y 8 0 9.** Составьте уравнение окружности с центром в точке (1;2), касающейся прямой y x. 10.** Найдите уравнения касательных к окружности ( x 1)2 ( y 2)2 1 , проведенных из начала системы координат. 11. Найдите уравнение окружности, в которую перейдет окружность ( x 1)2 ( y 1)2 4 при параллельном переносе на вектор n (1 2) . 12. Найдите вектор n ( a b) , при помощи которого окружность ( x 1)2 ( y 1)2 1 можно совместить с окружностью ( x 2)2 ( y 1)2 1 параллельным переносом. 13.* Найдите уравнение эллипса вида ax 2 by 2 c , проходящего через точки A(2 2) , b(3 1) . 14.* Найдите координаты фокусов эллипса: а) 5x 2 9 y 2 45 ; б) 15 x 2 16 y 2 360 ; в) 4 x 2 y 2 4 ; г) 25x 2 16 y 2 400 . 15.** Найдите уравнение множества всех точек M таких, что MA MB l , если: а) A(3 0) , B (3 0) , l 10 ; б) A(04) , B (0 4) , l 12 . 16.** Найдите уравнение множества всех точек M таких, что расстояние от точки M до точки A(01) в два раза меньше расстояния от точки M до прямой y 4 . 17. Найдите уравнение эллипса, в который преобразуется окружность x 2 y 2 4 при сжатии к оси Ox с коэффициентом k 12 . 18. При каком значении a уравнение 3x 2 5 y 2 6 x 10 y a 0 определяет единственную точку? 19.** Найдите шесть различных решений уравнения x 2 2 y 2 3z 2 в целых числах ( x y z ) , наибольший общий делитель которых равен 1. 20.** Найдите координаты фокусов эллипса: а) 25 x 2 16 y 2 50 x 96 y 231 0 ; б) 4 x 2 y 2 4 x 4 y 1 0 . 21. ** Докажите, что эллипсы x 2 2 y 2 3 и ( x 1)2 2( y 2)2 4 подобны. 22.** Определим касательную к эллипсу как прямую, имеющую с эллипсом единственную общую точку. Найдите уравнения касательных к эллипсу 3( x 5)2 4( y 2)2 , проведенных из начала системы координат. Ответы и указания Задача 5 . Даны точки A(2 0) и B(2 6) . Найдите уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB . Указание. Центром O окружности является середина отрезка AB . Поэтому по формулам координат середины отрезка получаем O (0 3) . Радиус окружности можно вычислить как длину отрезка AO . В результате r 22 32 13 , и уравнение окружности имеет вид x 2 ( y 3)2 13 . Задача 7 . На окружности x 2 y 2 6 x 8 y 0 найдите точку, диаметрально противоположную точке (0 0) . Указание. Воспользоваться тем, что центр окружности является серединой диаметра. Ответ: (6 8) . Задача 9 . Составьте уравнение окружности с центром в точке (1 2) , касающейся прямой y x . Указание. Первый способ. Касательная к окружности определяется как прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Поэтому окружность с уравнением ( x 1)2 ( y 2)2 r 2 касается прямой y x тогда и только тогда, когда уравнение ( x 1)2 ( y 2)2 r 2 имеет единственное решение, что соответствует тому, что дискриминант равен нулю. Второй способ. Окружность с центром O и радиусом r касается прямой l тогда и только тогда, когда расстояние от точки O до прямой l равно r . Поэтому в заданной задаче r 1 2 12 12 1 2 , и окружность имеет уравнение 2( x 1)2 2( y 2)2 1 . Задача 13 . Найдите уравнение эллипса вида ax 2 by 2 c , проходящего через точки A(2 2) , B (3 1) . Указание. При подстановке координат заданных точек в уравнение эллипса получаем систему из двух линейных уравнений 4a 4b c и 9a b c с тремя неизвестными. Выражая a и b через c , получаем a 323 c , b 325 c . В итоге при c 32 получаем уравнение искомого эллипса: 3x 2 5 y 2 32 . Задача 14 . Найдите координаты фокусов эллипса: а) 5x 2 9 y 2 45 ; б) 15 x 2 16 y 2 360 ; в) 4 x 2 y 2 4 ; г) 25x 2 16 y 2 400 . Указание. Прочитайте п. 5.6 . В пункте показано, что по уравнению эллипса с осями, расположенными на осях координат, можно найти точки M и K пересечения с осью Ox и точки N и L пересечения с осью Oy . При условии MK NL фокусы A и B можно искать как точки с координатами ( a 0) и (a 0) , используя равенство MA MB LA LB . При условии MK NL фокусы A и B следует искать как точки с координатами (0 b) и (0 b) , также используя равенство MA MB LA LB . Задача 16 . Найдите уравнение множества всех точек M таких, что расстояние от точки M до точки A(01) в два раза меньше расстояния от точки M до прямой y 4 . Указание. Пусть точка M имеет координаты ( x0 y0 ) . Тогда условие задачи эквивалентно равенству y0 4 2 x02 ( y0 1)2 . Задача 19 . Найдите шесть различных решений в целых числах уравнения x 2 2 y 2 3z 2 , наибольший общий делитель которых равен 1. Указание. Уравнение можно привести к виду u 2 2v 2 3 , где u xz , v yz . Рациональное решение u 1 , v 1 нового уравнения находится без труда. Все остальные рациональные решения (u v) можно искать как точки пересечения прямых вида v 1 mn (u 1) с эллипсом u 2 2v 2 3 , где m и n — целые числа. В итоге получаем бесконечное 2 2 2 2 m2 множество рациональных решений вида u 2 mn242mnm2 n , v n n22 mn . Полагая 2 m2 x 2m2 4mn n 2 , y n2 2mn 2m2 , z n 2 2m 2 , при целых m и n получаем бесконечное множество целочисленных решений заданного уравнения, из которых нетрудно подобрать шесть, с наибольшим общим делителем, равным 1. Задача 21 . Докажите, что эллипсы x 2 2 y 2 3 и ( x 1)2 2( y 2)2 4 подобны. Указание. Гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом k 23 переводит эллипс с уравнением x 2 2 y 2 3 в эллипс с уравнением x 2 2 y 2 4 , который равен второму заданному эллипсу.