ТЕМА 8. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 8.1. Свободные гармонические колебания

ТЕМА 8. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
8.1. Свободные гармонические колебания
Механическим колебанием называется движение, которое в той
или иной мере повторяется с течением времени. Тело или совокупность
тел, совершающих колебательное движение, представляет собой
колебательную
систему.
Свободными
называются
колебания,
происходящие под действием внутренних сил колебательной системы.
Если же колебания обусловлены действием периодически изменяющейся
внешней силы, они называются вынужденными.
Механические колебания называются периодическими, если
движение, совершаемое колебательной системой, повторяется через
равные промежутки времени (период колебаний). Следовательно, период
колебаний – это промежуток времени, в течение которого совершается
одно полное колебание; в соответствии с этим единицей измерения периода
в системе СИ является 1 секунда (с). Частотой называется физическая
величина, численно равная количеству колебаний, совершаемых в единицу
времени. Из определения следует, что   1/ T , где  - частота, T - период
колебаний. Легко видеть, что единицей измерения частоты является 1 с -1,
которая называется 1 Герц (Гц). Кроме частоты в физике используется также
циклическая (круговая) частота   2 , численно равная количеству
колебаний в течение 2 секунд. В качестве единицы измерения циклической
частоты используется 1 радиан в секунду (рад/с).
Амплитудой
механических
колебаний
называется
неотрицательная
величина,
численно
равная
максимальному
отклонению колебательной системы от положения устойчивого
равновесия. Если отклонение от положения равновесия меняется с течением
времени по закону синуса или косинуса, колебания называются
гармоническими:
s(t )  A sin( t   0 ) , s(t )  A cos(t   0 ' ) .
Эти равенства представляют собой кинематические уравнения, или закон
колебаний (здесь s - величина отклонения, A - амплитуда,  - циклическая
частота). Выражения в скобках, т.е. аргументы синуса и косинуса,
  t   0 ' . Соответственно
называются фазой колебания:   t   0 ,
значение фазы в момент t  0 называется начальной фазой (  0 или  0 ' ). В
качестве единицы измерения фазы используется 1 радиан (рад).
Гармонические колебания можно изображать с помощью векторных
диаграмм; сущность этого метода иллюстрируется рис. 9.1. В координатной
плоскости XOY из начала координат отложен вектор A , модуль которого
равен амплитуде, а угол  0 - начальной фазе колебаний. Если вектор A
вращается против часовой стрелки относительно точки O с угловой
1
Y
y
A
  0
x
O
X
Рис. 9.1
скоростью  , то  (t )   0  t . В соответствии с этим проекции вектора A на
координатные оси изменяются во времени по гармоническому закону
x(t )  A cos(t   0 ) , y(t )  A sin( t   0 ) , т.е. как бы «совершают гармонические
колебания».
Для того чтобы в колебательной системе были возможны свободные
гармонические колебания, она должна иметь положение устойчивого
равновесия. Кроме того, при увеличении отклонения колебательной системы
из этого положения модуль возвращающей силы также должен
увеличиваться. Нетрудно показать, что эта сила является квазиупругой, т.е.
ее модуль зависит от величины отклонения по линейному закону подобно
силе упругости при деформации тел. Для этого рассмотрим частицу,
совершающую гармонические колебания вдоль оси OX относительно начала
координат в соответствии с кинематическим уравнением
x(t )  A sin( t   0 ) .
(9.1)
По второму закону Ньютона
(9.2)
FX  ma X ,
где FX - проекция силы, действующей на частицу, a X - проекция ее ускорения
на ось OX . Продифференцировав дважды равенство (9.1) по времени, имеем:
dx
 A cos(t   0 ),
dt
d 2x
  2 A sin( t  0 ) .
2
dt
(9.2А)
Вторая производная координаты частицы представляет собой проекцию ее
ускорения на соответствующую координатную ось:
d 2x
aX  2 ;
dt
(9.3)
поэтому FX  m 2  ( A sin( t   0 )) . Легко видеть, что множитель, выделенный
в последнем выражении в смысловые скобки – это координата частицы,
характеризующая ее отклонение от положения равновесия. Следовательно,
(9.4)
FX  m 2 x ,
т.е. проекция силы, действующей на частицу (а также ее модуль),
действительно имеет линейную зависимость от величины отклонения.
Обозначив m 2  k , перепишем (9.4) в виде
(9.5)
FX  kx ,
2
что по форме совпадает с законом Гука для упругой силы.
Для того чтобы составить дифференциальное уравнение колебаний
этой же частицы, сделаем в (9.2) замену (9.3) и (9.4):
m
d 2x
 kx .
dt 2
Разделим последнее равенство на массу частицы и обозначим
k / m  2 .
В результате этого имеем:
d 2x
d 2x
2



x

2x  0.
2
2
dt
dt
(9.5А)
(9.6)
Последнее равенство, содержащее функцию x  x(t ) и ее производную
второго порядка, представляет собой дифференциальное уравнение
свободных гармонических колебаний частицы вдоль оси OX .
Далее найдем кинетическую энергию колебательного движения
частицы по формуле WK  m 2 / 2 . Заменив здесь согласно (9.6) скорость
первой производной координаты частицы, получим:
WK 
m 2 A 2
m 2 A 2
1  cos(2t  2 0  .
cos 2 (t   0 )  WK 
2
4
(9.6А)
Для того чтобы найти потенциальную энергию, воспользуемся
соотношением (3.14) между энергией и силой, действующей на частицу:
F  WP . Так как колебания происходят вдоль оси OX , это соотношение
упрощается, т.е.
dWP
 dWP   FX dx .
dx
dWP  m 2 xdx . Проинтегрировав последнее
FX  
Поскольку FX  kx , k  m 2 ,
равенство, получим:
m 2 x 2
 dWP  m  xdx  C  WP  2  C .
2
(9.7)
При нулевом смещении частицы из положения равновесия ( x  0) сила,
действующая на нее, равна нулю. Если считать, что потенциальная энергия
частицы при этом также равна нулю, из равенства (9.7) следует, что C  0 .
Заменим в (9.7) координату частицы согласно (9.1) и учтем, что постоянная
интегрирования равна нулю:
WP 
m 2 A 2
m 2 A 2
sin 2 (t   0 )  WP 
(1  cos( 2t  2 0 )) .
2
4
Воспользовавшись
получим:
известной
WP 
формулой
приведения
m 2 A 2
(1  cos( 2t  2 0   )) .
4
cos    cos(   ) ,
(9.8)
3
Таким образом, как кинетическая, так и потенциальная энергия
частицы изменяется во времени с частотой, равной удвоенной частоте
колебаний. Из сопоставления равенств (9.6А) и (9.8) следует, что фаза
потенциальной энергии меньше на  рад фазы кинетической энергии. Иначе
говоря, изменение кинетической и потенциальной энергии происходит в
противофазах: если первая из них максимальна, другая имеет минимальное
значение, и наоборот. Легко видеть, что суммарная энергия частицы в любой
момент времени имеет постоянное значение:
W 
1
m 2 A 2 .
2
(9.8А)
Этот результат понятен, поскольку колебания частицы происходят под
действием квизиупругой силы, которая относится к числу консервативных.
Далее рассмотрим примеры конкретных колебательных систем и
найдем период их свободных гармонических колебаний.
8.2. Пружинный, математический и физический маятник
Пружинный маятник представляет собой тело, прикрепленное к
легкой пружине, подвешенной вертикально или закрепленной одним концом
на гладкой горизонтальной поверхности. Если тело вывести из положения
равновесия, сжав либо растянув пружину, и затем отпустить, в системе
возникнут свободные гармонические колебания.
Рассмотрим пружинный маятник, расположенный горизонтально вдоль
оси OX . Пусть левый конец пружины закреплен неподвижно, правый ее
конец и тело массой m в положении устойчивого равновесия (пружина не
деформирована) имеет координату, равную нулю (рис. 9.2,а). В этом случае
а)
б)

O
F
X
O

x
X
Рис. 9.2
сила упругости отсутствует, сумма силы тяжести и нормальной реакции
поверхности также равна нулю (на рисунке они не показаны). Если же тело
отклонить от положения равновесия, растянув пружину, возникает сила
упругости (рис.9.2,б). Поскольку в этом случае правый конец пружины имеет
координату x , проекция силы упругости на ось OX FX  kx (здесь k коэффициент жесткости пружины), сумма силы тяжести и нормальной
реакции поверхности по-прежнему равна нулю. В соответствии с этим
динамическое уравнение движения тела имеет вид:
4
d 2x
 kx .
dt 2
Разделив его на массу тела и обозначив k / m   2 ,
m
получим уравнение,
совпадающее с (9.6). Следовательно, тело будет совершать свободные
гармонические колебания с циклической частотой

k
.
m
Математический маятник представляет собой частицу массой m ,
подвешенную на невесомой нерастяжимой нити (рис. 9.3,а). В положении
устойчивого равновесия равнодействующая сил тяжести и натяжения равна
нулю. При отклонении нити маятника от вертикали возникает момент силы
тяжести, стремящейся вернуть маятник в положение равновесия. На рис.
9.3,а видно, что модуль момента M  mgd , где d - плечо силы
a)
б)
 O
O

l
l
C
T'
T

d
mg


d
mg
mg
Рис. 9.3
относительно точки подвеса. Поскольку d  l sin  , проекция момента силы
тяжести на ось OZ , проходящую через точку O (на рисунке она не
изображена),
M Z  mgl sin  .
В соответствии с (4.7А) динамическое уравнение вращательного движения
маятника имеет вид:
IZ
d 2
 mgl sin 
dt 2
(9.10)
(здесь I Z - момент инерции маятника относительно оси). Приравняем (9.10) к
нулю и разделим на момент инерции:
d 2 mgl

sin   0 .
IZ
dt 2
(9.11)
Учтем также, что для малых отклонений нити от вертикали sin    , и введем
обозначение
mgl
 2.
IZ
(9.12)
В итоге равенство (9.11) примет вид:
5
d 2
  2  0 .
dt 2
(9.13)
Таким образом, мы получили для математического маятника уравнение,
структура которого соответствует дифференциальному уравнению
свободных гармонических колебаний (см. (9.6)). Следовательно,
циклическую частоту и период колебаний можно найти из условия (9.12):

I
2
mgl
,T
, T  2 Z .

mgl
IZ
(9.14)
Учтем, наконец, что I Z  ml 2 . Подставив это выражение в (9.14), получим:
T  2
l
.
g
Физический маятник
представляет собой протяженное тело,
имеющее ось вращения, проходящую через любую точку тела, за
исключением центра масс (рис. 9.3,б). При отклонении маятника от
положения равновесия на угол  возникает вращающий момент силы
тяжести, стремящейся вернуть тело в исходное состояние. Проекция момента
на ось OZ (на рисунке она не показана) M Z  mgd . Здесь m - масса тела, d плечо силы тяжести. Подставив в это равенство d  l sin  ( l - расстояние от
оси вращения до центра масс), получим:
M Z  mgd sin  .
Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний
физического маятника имеет вид, аналогичный (9.10):
IZ
d 2
d 2 mgl

sin   0


mgl
sin


IZ
dt 2
dt 2
(здесь I Z - момент инерции тела относительно оси). Если ввести обозначение
mgl
  2 и учесть, что при малых углах sin    , уравнение примет вид:
IZ
d 2
  2  0 .
2
dt
Следовательно, для циклической частоты и периода колебаний физического
маятника имеем:

I
mgl
, T  2 Z .
mgl
IZ
(9.15)
Легко видеть, что формулу (9.15) можно представить по-иному:
T  2
l'
.
g
Величина
l' 
IZ
ml
(9.16)
называется приведенной длиной физического маятника; она численно равна
длине математического маятника с таким же периодом колебаний. По
6
I Z  I C  ml 2 (здесь I C - момент инерции тела
теореме Штейнера
относительно оси, проходящей через центр масс). Подставив это выражение
в (9.16), имеем:
I C  ml 2
I
l' 
 l'  C  l ,
ml
ml
т.е. приведенная длина всегда больше l .
8.3. Сложение гармонических колебаний
Под сложением колебаний следует понимать выявление закона
результирующего колебательного движения в том случае, когда тело
участвует одновременно в нескольких колебаниях. При этом необходимо
различать два предельных случая: сложение одинаково направленных и
взаимно перпендикулярных колебаний.
Сложение колебаний одного направления. Пусть частица участвует в
двух колебательных движениях с одинаковой частотой вдоль оси OX :
x1  A1 cos(t   01 ) , x2  A2 cos(t   02 ) . Закон результирующего колебания
представляет собой зависимость от времени координаты частицы; поэтому
x  A1 cos(t   01 )  A2 cos(t   02 ) .
Амплитуду и фазу колебания можно найти, воспользовавшись методом
векторных диаграмм (см. рис. 9.4). Здесь показаны векторы амплитуд A1 и
Y
A
A2
2
O

A1
X
1
Рис. 9.4
когда 1  t   01 ,  2  t   02 . Результирующему
колебанию в этот же момент времени соответствует вектор A  A1  A2 .
Поскольку он вращается относительно начала координат с той же угловой
скоростью, что и складываемые векторы, результирующее колебание также
будет происходить с частотой  . При этом, в соответствии с правилами
векторной алгебры (см. п.1.1),
A 2  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2 .
Здесь x1  A1 cos1 , y1  A1 sin 1 - проекции на оси системы координат вектора
A1 , x2  A2 cos  2 , y2  A2 sin  2 - проекции вектора A2 . Следовательно,
A2 в момент времени t ,
7
A 2  ( A1 cos 1  A2 cos  2 ) 2  ( A1 sin 1  A2 sin 1 ) 2 
A 2  A1  A2  2 A1 A2 cos(1   2 ) .
2
2
(9.17)
Фазу результирующего колебания найдем из условия
tg 
y1  y 2
A sin 1  A2 sin  2
, tg  1
.
A1 cos 1  A2 cos  2
x1  x2
Нетрудно убедиться в том, разность фаз колебаний, входящая в
равенство (9.17), не изменяется с течением времени (такие колебания
называются когерентными). Действительно,
1   2  t   01  ( t   02 )  1   2   01   02  const .
При этом, если 1   2  (2n  1) , n  Z , из (9.17) получается, что
2
2
A 2  A1  2 A1 A2  A2  A  A1  A2 .
Следовательно, если складываемые колебания совершаются в противофазах,
они ослабляют друг друга. В случае, когда A1  A2 , амплитуда
результирующего колебания равна нулю. Если же 1   2  2n , n  Z (фазы
колебаний совпадают), A  A1  A2 , т.е. колебания усиливают друг друга.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Пусть частица
совершает колебания одновременно вдоль оси OX и OY с одинаковой
частотой:
(9.20)
x  A1 cos(t   01 ) , y  A2 cos(t   02 ) .
Система уравнений
(9.20) представляет собой уравнение траектории
движения частицы, заданное в параметрической форме; в качестве параметра
здесь выступает переменная t . Исключив эту переменную из (9.20), можно
получить уравнение траектории в виде y  f (x) . Для этого обозначим фазы
этих колебаний 1 и  2 , и перепишем 9.20:
(9.21)
x  A1 cos 1 , y  A2 cos  2 .
Если выполнить ряд тождественных преобразований, можно получить:
x2
A1
2

y2
A2
2

2 xy
 cos(1   2 )  sin 2 (1   2 ) .
A1 A2
(9.22)
Поскольку частоты складываемых колебаний одинаковы, разность 1   2 и,
соответственно, sin 2 (1   2 ) и cos(1   2 ) - это постоянные величины (числа).
В математике доказывается, что равенство вида (9.22) представляет собой
уравнение эллипса, центр симметрии которого совпадает с началом системы
координат (рис.9.6,а). Ориентация эллипса относительно координатных
осей определяется численным значением разности 1   2 .
Таким образом, при сложении двух взаимно перпендикулярных
колебаний одинаковой частоты траектория движения частицы представляет
собой, вообще говоря, эллипс. Рассмотрим далее некоторые частные случаи.
8
Y
a)
Y
б)
A2
A2

 A1
O
A1
O
X
A1
X
 A2
Рис. 9.6
1. Пусть 1   2  0 . В этом случае cos(1   2 )  1 , sin 2 (1   2 ) =0,
уравнение траектории принимает вид:
x2
A1
2

y2
A2
2

2 xy
 0.
A1 A2
(9.23)
Легко видеть, что последнее уравнение эквивалентно уравнению
2
 A2

 A x
1


A
A1
 y   0 , т.е. y  2  x .
A2
A1

Последнее равенство представляет собой уравнение прямой, проходящей
через начало координат (рис. 9.6,б); угол наклона этой прямой относительно
оси абсцисс определяется условием
tg 
A2
.
A1
Поскольку по определению A2 / A1  0 , этот угол всегда острый.
Следовательно, если 1   2  0 , частица совершает колебательное движение с
частотой  вдоль отрезка прямой с амплитудой A  A12  A2 2 .
2. Пусть 1   2   / 2 . В этом случае из равенства (9.22) следует, что
x2
A1
2

y2
A2
2
1,
(9.24)
т.е. уравнение эллипса с осями симметрии, совпадающими с координатным
осям. Если A1  A2  A , из (9.24) получается уравнение окружности
x 2  y 2  A2 .
Таким образом, при условии 1   2   / 2 частица будет двигаться по
эллиптической или круговой траектории с циклической частотой  . Если же
частоты складываемых колебаний не совпадают, причем
1 m

2 n
9
( m и n - целые положительные числа), траектории движения частицы
представляют собой сложные замкнутые линии, которые называются
фигурами Лиссажу.
8.4. Затухающие колебания
Затухание колебаний проявляется в постепенном уменьшении их
амплитуды, обусловленном потерей механической энергии колебательной
системой вследствие наличия сил трения и сопротивления окружающей
среды.
Пусть частица массой m совершает свободные колебания вдоль оси
OX под действием квазиупругой силы FX  kx при наличии сопротивления
среды. Будем считать, что сила сопротивления пропорциональна первой
rстепени скорости частицы:
(здесь
коэффициент
FCX  r X
сопротивления). По второму закону Ньютона maX  kx  r X . Поскольку
aX 
имеем:
m
Введем обозначения
dx
d 2x
, X  ,
2
dt
dt
d 2x
dx
d 2 x r dx k

r


kx

0


 x  0.
dt
dt 2
dt 2 m dt m
r
k
2
 2 ,
 0
m
m
(9.25)
(9.26)
и сделаем в (9.25) замену (9.26):
d 2x
dx
2
 2
 0 x  0 .
2
dt
dt
(9.27)
Полученное равенство представляет собой дифференциальное уравнение
свободных затухающих колебаний; в случае слабого затухания (   0 ) его
решение можно представить в виде
x  A0 e  t sin( t   0 ) .
(9.31А)
Здесь
(9.31Б)
  0 2   2
представляет собой циклическую частоту затухающих колебаний,  коэффициент затухания, A0 и  0 – амплитуда и фаза в момент t  0 ,  0 –
частота незатухающих колебаний. Численные значения A0 и  0 находятся из
значений координаты и скорости частицы в момент начала колебаний (т.н.
начальные условия). Легко видеть, что амплитуда уменьшается с течением
времени по закону
A  A0 e  t ;
(9.31Б)
график функции (9.31А) для  0  0 представлен на рис. 9.7.
Далее рассмотрим основные характеристики затухающих колебаний –
логарифмический декремент затухания, время релаксации и добротность
10
колебательной системы.
Временем релаксации называется промежуток времени, в течение
которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз. По определению
x
O
t
Рис. 9.7
имеем:
A0
1
 A0 e      1    .
e

Следовательно, время релаксации численно равно величине, обратной
коэффициенту затухания.
Логарифмическим
декрементом
затухания
называется
натуральный логарифм отношения амплитуды колебаний в моменты
времени t и t  T :
  ln
A(t )
.
A(t  T )
Поскольку A  A0 e  t , имеем:
  ln
A0 e  t
   ln e  T    T .
A0 e   (t T )
Учитывая, что   1 /  , находим соотношение между логарифмическим
декрементом затухания и временем релаксации:   T /  . Отношение  / T дает
количество колебаний, в результате которых амплитуда уменьшается в e раз:
N   / T . Следовательно,   1 / N .
Добротностью колебательной системы называется величина
Q  2 
W (t )
.
W (t )  W (t  T )
Из определения следует, что добротность обратно пропорциональна потерям
механической энергии за один период. Согласно формуле (9.8А) полная
энергия колебательной системы пропорциональна квадрату амплитуды
колебаний. Поэтому
Q  2 
A 2 (t )
.
A 2 (t )  A 2 (t  T )
Сделаем в этом выражении замену (9.31Б) и выполним ряд тождественных
преобразований:
11
Q  2 
A e 
  A e
 t 2
A e
0
 t 2
0

  ( t T ) 2
0
 Q  2 
1
.
1  e  2 T
В математике доказывается, что для малых значений переменной x
e x  1  x . Поэтому в случае
справедливо приближенное равенство
небольшого затухания (малые значения  ) e 2 T  1  2T . Следовательно,
2

.
Q
1  1  2T
T
Поскольку T   , имеем: Q   /  .
Q
В случае значительного затухания (   0 ) движение имеет
апериодический (непериодический) характер: частица, выведенная из
положения устойчивого равновесия, возвращается обратно, не совершая
колебаний. На рис. 9.8 показаны два возможных варианта поведения
x
2
1
t
O
Рис. 9.8
колебательной системы при апериодическом движении. Если, отведя частицу
из положения равновесия, отпустить ее без толка (не сообщая никакой
скорости), движение к равновесному положению будет происходить в
соответствии с кривой 1. Если же выведенной из положения равновесия
частице сообщить определенную скорость, возвратное движение происходит
согласно кривой 2.
8.5. Вынужденные колебания
Вынужденными
называются
механические
колебания,
происходящие под действием периодически изменяющейся внешней силы.
Пусть внешняя сила, действующая на частицу, направлена вдоль оси
внш
 F0 cos t
OX и изменяется по гармоническому закону с частотой  : FX
(здесь F0 - максимальная сила). На частицу действует также квазиупругая
сила FX  kx и сила сопротивления, пропорциональная первой степени
скорости: FCX  r X . Динамическое уравнение движения частицы имеет вид:
d 2x
d 2x
m 2  r X  kx  F0 cos t  m 2  r X  kx  F0 cos t .
dt
dt
12
Разделим это уравнение на массу частицы и заменим  X производной
Обозначив
r
 2 ,
m
d 2 x r dx k

 x
dt 2 m dt m
k
2
 0 ,
m
F0
cos t .
m
F0
 B0 ,
m
получим
dx
:
dt
неоднородное
дифференциальное уравнение второго порядка, которое представляет собой
уравнение вынужденных колебаний:
d 2x
dx
2
 2
  0 x  B0 cos t .
2
dt
dt
(9.32)
В математике доказывается, что общее решение такого уравнения
представляет собой сумму двух функций:
(9.33)
x  x * (t )  X (t ) .
Первая из них является общим решением соответствующего однородного
уравнения, которое получается из (9.32), если его правую часть положить
равной нулю:
d 2x
dx
2
 2
 0 x  0 .
2
dt
dt
Легко видеть, что в этом случае мы имеем дифференциальное уравнение
свободных затухающих колебаний. Вторая функция в (9.33) представляет
собой любое частное решение неоднородного уравнения (9.32). Из
структуры решения уравнения (9.33) следует, что вынужденные колебания
развиваются в два этапа. На начальной стадии, называемой переходным
режимом, колебания происходят с частотой
затухающих колебаний
   0 2   2 (этой стадии соответствует первое слагаемое в (9.33)). В
течение переходного режима, длительность которого сравнима со временем
релаксации, амплитуда затухающих колебаний уменьшается до нуля и
устанавливаются вынужденные колебания с частотой  , описываемые
вторым слагаемым в (9.33). Кинематическое уравнение установившихся
колебаний частицы имеет вид:
x  A cos( t   ) .
(9.34)
Здесь A – амплитуда установившихся колебаний,   0 – сдвиг фаз между
колебаниями частицы и изменением внешней силы:
A
F0
m ( 0   2 ) 2  4  2  2
2
, tg 
2
0 2   2
.
(9.37)
Из равенств (9.37) следует, что амплитуда и сдвиг фаз вынужденных
колебаний зависят от  . В частности, если   0 , из (9.37) можно найти
статическое смещение частицы, т.е. ее отклонение от положения равновесия
в случае отсутствия колебаний:
A(0) 
F0
m 0
2
.
Если же    , амплитуда колебаний стремится к нулю, т.е. частица не
13
успевает раскачиваться относительно положения равновесия. Для того чтобы
найти частоту, при которой амплитуда колебаний максимальна, необходимо
исследовать подкоренное выражение знаменателя равенства (9.37) на
минимум:


d
2
2
( 0   2 ) 2  4 2  2  0  4( 0   2  2 2 )  0 .
d
Полученное уравнение имеет два корня:   0 и   0 2  2 2 . Первый их
них соответствует случаю отсутствия колебаний; при этом амплитуда
численно равна статическому смещению частицы. Второй корень
представляет собой частоту, при которой амплитуда колебаний максимальна.
Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний в
случае приближения частоты изменения внешней силы к частоте
собственных колебаний называется механическим резонансом. Численное
значение частоты   0 2  2 2 , при которой наступает резонанс, называется
резонансной частотой. Легко видеть, что если   0 , резонансная частота
совпадает с частотой собственных незатухающих колебаний. Графики
зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты (амплитуднорезонансные кривые) для возрастающих значений  приведены на рис. 9.10.
A
1  0
2
3  2
A(0)

0
Рис. 9.10
Здесь видно, что величина максимальной амплитуды и значения резонансной
частоты уменьшаются по мере увеличения коэффициента затухания.
Далее рассмотрим зависимость от частоты сдвига фаз. Из формулы
(9.37) видно, что если   0 (колебаний нет)   0 , если же    , имеет
место неопределенность типа

. Раскроем ее по правилу Лопиталя,

продифференцировав числитель и знаменатель (9.38) по переменной  :
lim tg  lim
 
 
2
 0.
 2
14
Легко видеть, что при    значение tg стремится к нулю, оставаясь
меньше нуля; следовательно,    . В случае резонанса, т.е. если   0 ,
tg   ; поэтому    / 2 . Графики зависимости сдвига фаз от частоты
(фазово-резонансные кривые) для двух значений коэффициента затухания
приведены на рис. 9.11.


1
 2  1
 /2
O
0

Рис. 9.11
15