Решение комбинаторных задач

Тема моей исследовательской работы «Решение комбинаторных задач». Что же такое
комбинаторика? Комбинаторика- это раздел математики, в
котором исследуются и решаются задачи выбора элементов
из исходной комбинации, составляемой по заданным
правилам. Исходное множество обычно считается
конечным, состоящим из n различных элементов. В этой
работе я рассмотрела комбинаторные задачи по геометрии,
решением которых можно заниматься, начиная уже с
седьмого класса.
Работая над этой проблемой, я изучила много литературы,
таких авторов как: Смирнова И.М., Смирнов В.А., Погорелов
А.В., Атанасян Л.С..
Также была и изучена дополнительная информация такая,
как из Интернета.
Задачи по комбинаторике можно найти и в учебниках
геометрии для 7-9 классов, авторами которых являются
Смирнова И.М., Смирнов В.А., Погорелов А.В., Атанасян
Л.С.. Одной из первых аксиом геометрии, с которым мы
начинаем знакомство в седьмом классе, является аксиома о
том, что через любые две точки плоскости проходит
единственная прямая. Возникает вопрос: Сколько прямых
проходит через различные пары из N точек, никакие три из
которых не лежат на одной прямой? Как построить такие
точки? Цель моей работы: научиться решать
комбинаторные задачи по геометрии. Для достижения цели
я ставила перед собой следующие задачи:
1. Рассмотреть задачи, идущие с нарастанием сложности;
2. Провести анализ данных задач;
3. Указать способ решения задач;
Исследование я начала с рассмотрения задач, идущие с
нарастанием сложности. Проанализировав все
рассмотренные задачи, составила модели для исследования.
Затем исследовала полученные модели, через конкретные
задачи получила результаты исследования.
Глава 1
В 7 классе мы начинаем изучать предмет геометрии.
В геометрии изучаются формы, размеры, взаимное
расположение предметов независимо от других свойств:
массы, цвета и т.д.. На уроках геометрии мы познакомились
с некоторыми геометрическими фигурами и имеем
представление, что такое точка, прямая, отрезок, луч, угол,
как они могут быть расположены относительно друг друга.
Геометрия не только дает представление о фигурах,
их свойствах, взаимном расположении, но и учит
рассуждать, ставить перед собой вопросы, анализировать,
делать выводы.
Одной из первых аксиом геометрии, о взаимном
расположении точек и прямых на плоскости, является
аксиома о том, что через две точки плоскости проходит
единственная прямая. Возникает вопрос: Сколько прямых
проходит через различные пары из N точек, никакие три из
которых не лежат на одной прямой?
Для того чтобы ответить на этот вопрос я
рассмотрела
задачи, идущие с нарастанием сложности. Итак, я ставлю
перед собой такую задачу: сколько прямых проходит через
различные пары из трех точек, не лежащих на одной
прямой?
Т.е. при N=3.
Решение: Отметим три произвольные точки, не лежащих
на одной прямой. Проведем каждые пары точек прямые (по
аксиоме 1) Получим ответ, что через различные пары точек,
не
лежащих на одной прямой, проходят три прямые (рис.1).
Теперь рассмотрим задачу для N=4, т.е. ответим на вопрос:
Сколько прямых проходит через различные пары из четырех
точек, никакие четыре из которых не лежат на одной
прямой?
Решение: Возьмем четыре произвольные точки, никакие
четыре, из которых не лежат на одной прямой. Проведем
через различные пары точек прямые. Получим, что проходит
шесть
прямых (рис. 2).
И, наконец, рассмотрим задачу для N=5, т.е. решим задачу:
Сколько прямых проходит через различные пары из пяти
точек, никакие пять из которых не лежат на одной прямой.
Решение: Возьмем пять произвольных точек, никакие пять
из которых не лежат на одной прямой, и построим прямые
через каждые пары точек. Получим ответ: десять прямых
(рис. 3).
Глава 2
Рассмотрев эти задачи, вернемся к поставленной выше
проблеме и решим ее.
Пусть А1, А2, Аn - n точек, никакие три из которых не
лежат на одной прямой. Чтоб построить эти точки,
достаточно отметить их на окружности
А2
А1
Аn - 1
Аn
Выясним, сколько прямых проходит через точку А1 и
оставшиеся точки. Число ставшихся точек равно n-1. Через
каждую из них и точку А1 проходит одна прямая, то таких
прямых проходит n-1. Отметим, что рассуждения,
проведенные для точки А1, справедливы для любой точки.
Т.к. всего точек N и через каждую проходит n-1 прямая, то
число подчитанных прямых будет равно n(n-1).
Вернемся к вспомогательным задачам и проверим, является
ли верной формула n(n-1)? Например, при N=3, получаем n(n1)
= 3 (3-1) = 6, а число прямых на самом деле равно 3. Можно
догадаться, что при указанном выше подсчете мы каждую
прямую посчитали дважды, и поэтому число прямых,
проходящих через различные пары из n данных точек, равно
n (n-1). Например, при n= 4 получаем: n(n-1) = 4 (4-1) = 2 3= 6
2
2
2
Рассмотрев эти задачи можно придти к следующему выводу:
Полученная формула имеет большое значение и в
дальнейшем можно эту формулу применить при решении
различных комбинаторных задач. Так как каждая прямая
задается двумя точками, тем самым вычислим, сколько
различных пар можно составить из n элементов, при этом
не имеет значения, какие это элементы. Число таких пар
называется числом сочетаний из n элементов по два и
обозначается С .Например, если в классе 20 учеников, то
число различных пар, которые можно образовать из
учеников этого класса, равно С = 190. Отсюда можно
сформулировать утверждение: две прямые могут иметь не
более одной общей точки.
При решении задач, связанных с числом попарных
пересечений прямых на плоскости следует, что две прямые
могут иметь не более одной общей точки.
Для разрешения данной проблемы, можно рассмотреть
следующие задачи, идущие с нарастанием сложности.
- Какое наибольшее число точек попарных пересечений
могут иметь три прямые, четыре, пять прямых.
Решая эти, задачи можно ответить на вопрос: какое
наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь
n прямых. Действительно, для того чтобы подсчитать
количество точек пересечения, достаточно подсчитать
количество пар прямых, которые можно образовать из
данных n прямых. Как мы знаем, это число равно n (n-1)
2
Проанализировав рассмотренные задачи можно
сформулиро-
вать следующие утверждения:
1. Число прямых, проходящих через различные пары из n
точек, никакие 3 из которых не лежат на одной
прямой, равно n (n-1).
2
Мы видим, что если слово «прямая» в утверждении 1
заменить на слово «точка», слово «точка» - на слово
«прямая», получим утверждение 2:
2. Число точек попарных пересечений n попарно
пересекающихся прямых, никакие 3 из которых не
пересекаются в одной точке, равно n (n-1).
2
Эти утверждения можно применять при решении задач.
Список использованной литературы:
Смирнова И.М., Смирнов В.А., Погорелов А.В.,
Атанасян Л.С..
Оглавление.
Введение.
Глава 1. Геометрия - глазами комбинаторики ;
Глава 2 Точки прямые на плоскости ( от простого к
сложному)Заключение.
Список использованной литературы
Тема: « Решение комбинаторных задач »
Исследователь: Гильмутдинова Диляра Фаритовна, МОУ СОШ с. Манзарас, 8 класс
Руководитель: Ахметшина Миляуша Гаптельбаровна
Актуальность:
Формирование комбинаторных представлений и развитие комбинаторного
школьников является одним из основных целей обучения математике.
мышления
Цель:

Вывести формулу для решения комбинаторных задач по геометрии;
Задачи:
 рассмотреть задачи, идущие с нарастанием сложности;
 провести анализ данных задач;
указать способ решения задач;
Материалы и методика:
Материал о решении комбинаторных задач взят на основе книги авторов И.Смирнова, А.
Смирнов «Комбинаторные задачи по геометрии» Метод элеперический.
Результаты исследований:
При решении комбинаторных задач по геометрии была получена формула, которая в
дальнейшем будет появляться при решении различных комбинаторных задач.
Выводы:
Комбинаторные задачи учат анализировать, рассуждать, сформируют геометрические
представления о фигурах, развивают практические навыки, воспитывают интерес к
геометрии.
Рекомендации:
 Распространять знания о решении комбинаторных задач по геометрии.
 Развивать комбинаторное мышление.