Цель урока: рассмотреть основные свойства точек, прямых и

СТЕРЕОМЕТРИЯ
Введение. (6 уроков)
Урок № 1. Тема: «Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии».
Цель урока: рассмотреть основные свойства точек, прямых и
плоскостей в пространстве.
1.Предмет стереометрии. Геометрические тела. Примеры различных тел
вокруг нас.
СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства
фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов
«стереос» - объёмный, пространственный и «метрио» - измерять.
2.Основные неопределяемые понятия стереометрии: точки, прямые,
плоскости. В «Началах» Евклида даны следующие формулировки:
-Точка есть то, что не имеет частей.
-Линия есть длина без ширины.
-Границы линии суть точки.
-Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
-Границы поверхности суть линии.
Эти определения Евклида являются лишь описаниями геометрических
образов. Для доказательства теорем в «Началах» эти определения не
применялись.
Современное строго дедуктивное изложение геометрии, отражённое,
например, в системе Гильберта не даёт прямого определения основным
объектам геометрии: точке, прямой, плоскости, а также отношениям:
принадлежит, между, конгруэнтный (совместимый при наложении).
Эти объекты не связываются ни с какими представлениями о конкретных
предметах. То, что необходимо знать о них излагается в аксиомах, которые
являются, таким образом, косвенными их определениями.
3.Современные обозначения также введены Гильбертом в «Основаниях
геометрии». Гильберт обозначает точки прописными латинскими буквами
(А, В, С, …), прямые - строчными латинскими буквами (a, b, c, …),
плоскости – малыми или греческими буквами (, , , , …).
Различные случаи комбинации между собой прямых, точек и плоскостей,
их условные изображения и их обозначения показаны на рисунках.
Точки А и В, плоскость , причем точка А лежит в плоскости а точка В не
лежит в плоскости .
Прямые c, k, m расположены по отношению к плоскости следующим
образом:
-прямая c не лежит в плоскости 
-прямая k лежит в плоскости ;
-прямая m пересекает плоскость  в точке А.
Плоскости и пересекаются по прямой а.
Вывод. Различные случаи взаимного расположения прямых, прямых и
плоскостей, плоскостей в пространстве изучает стереометрия.
5. Наряду с этими фигурами рассматриваются геометрические тела и их
поверхности. Примеры простейших геометрических тел: куб, шар, цилиндр,
призма,
конус,
пирамида.
Изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы
получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов и
можем использовать их практической деятельности, в частности: в
строительстве, архитектуре, машиностроении и других.
6. Аксиомы стереометрии.
АКСИОМА – это высказывание, истинность которого принимается без
доказательства (аксиома - греческое
слово, означающее «бесспорное
положение»).
А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит
плоскость, и притом только одна.
Плоскость проходит через точки А, В, и С. Можно сказать, что эти три
точки задают плоскость АВС.
ВОПРОСЫ:
-всегда ли три точки лежат в одной плоскости? (ДА)
-всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости? (Нет)
-всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна? (нет)
-сколько плоскостей можно провести через две точки? (множество)
А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой
прямой лежат в плоскости.
Точки А и В лежат в плоскости , значит и точка С лежит в плоскости 
потому, что она лежит на прямой АВ.
ВОПРОСЫ: верно ли утверждение:
-если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в
этой плоскости? (Нет)
-если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в
этой плоскости? (Да)
-если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в
плоскости данного треугольника? (Да)
-если прямая проходит через одну из вершин треугольника, то она лежит в
плоскости данного треугольника? (Нет)
-если две смежные вершины и точка пересечения
диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости, то и две другие вершины тоже лежат в
этой плоскости? (Да)
-если две противоположные вершины и точка пересечения диагоналей
параллелограмма лежат в плоскости, то и две другие вершины тоже лежат в
этой плоскости? (Нет)
А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят,
что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
ВОПРОСЫ:
могут ли две плоскости иметь:
-только одну общую точку? (Нет)
-только две общие точки? (Нет)
-только одну общую прямую? (Да)
-могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не
принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?
Рассмотрим модель куба АВСDA1B1C1D1.
ВОПРОСЫ:
а) назовите точки, которые лежат в плоскости DCC1, ABC, ADD1;
б) назовите плоскости, которым принадлежат точки М, К, P1, R, S, N;
в) назовите плоскости , в которых расположены прямые KP, C1D1, RP, MK;
г) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DD1C1,
BB1C1 и AA1B1, AA1D1 и A1B1C1;
д) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и KPN, RPK
DСС1, BDС1 и RSP;
е) назовите точки пересечения прямых DS и CC1, AD и PC, MR и AD, KP и
AD, DC1 и RP1;
ж) назовите общие точки плоскостей CDD1 и BCC1, ABC и AA1D1, BDC и
ABB1.
Запишите ответы в тетрадь с помощью символики. Проверьте. Проверьте
выполнение упражнения.
а)  DCC, P  DCC1, S DCC1,
К  ABC, K1 ABC, P  ABC, P1 ABC,
M  ADD1, R  ADD1, K1  ADD1, P1  ADD1;
б) M  ABB1, M  ADD1, K  ABC, K  ABB1, P1  ABC, P1
DCC1, R  ADD1, R  DCC1, S  DCC1, N  A1B1C1, N  BCC1;
в) KP  ABC, C1D1  CDD1, C1D1  A1B1C1, RP  CDD1, MK
AA1B1;
г) ABC ∩ DD1C1=DC, BB1C1 ∩ AA1B1=BB1, AA1D1 ∩
A1B1C1=A1D1;
д) ABC ∩ KPN = KP, RPK ∩ DCC1 = RP, BDC1 ∩ RSP = DC1;
е) DS ∩ CC1=C1, AD ∩ PC=D, MR ∩ AD=P1, KP ∩ AD=K1, DC1∩
RP1=;
ж) C,C1 (CDD1∩BCC1), A1,D1,K1, P1 (ABC∩AA1D1),
A,K,B (BDC∩ABB1).
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: устно п. 1-2, письменно № 1 (перечертить чертеж и
ответ записать с помощью символики), № 11.
Список литературы:
1. Геометрия 10-11.
Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев и др. М.
«Просвещение» 1992
2. Геометрия 7-11. А. В. Погорелов. М. «Просвещение» 1982
3. Стереометрия. Устные задачи 10-11. Б. Г. Зив. СПб «ЧеРО-на-Неве»
2002
4. История математики в школе. IX-X классы. Г. И. Глейзер. М.
«Просвещение» 1983.
5. Детская энциклопедия. Том 3. Академия педагогических наук. М. 1959.
6. Энциклопедия для детей. Том 11.Математика. «Аванта+» М. 1998.