9. Сочетания с повторениями. - Ya

ВСЕРОССИЙСКИЙ КОНКУРС НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ
РАБОТ ШКОЛЬНИКОВ «ПОЗНАНИЕ - 2015»
(Секция математика)
Математика – царица всех наук
В ЧЕМ СЕКРЕТ РЕШЕНИЯ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ
НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ?
МОБУ Степановская средняя общеобразовательная школа
Выполнил: Антонов Андрей Владимирович, учащийся 7 класса МОБУ
Степановской сош, Красноярского края, Ирбейского района, п. Степановка
Руководитель: Антонова Светлана Николаевна, учитель математики МОБУ
Степановской сош
Научный руководитель: Ляпин Александр Петрович, кандидат физико –
математических наук, доцент базовой кафедры вычислительных и
информационных технологий Института математики и фундаментальной
информатики Сибирского Федерального университета
п.Степановка,
2015 год
Содержание
Аннотация ............................................................................................................ 3
Введение ............................................................................................................... 4
Глава I. От зерна и священной черепахи .......................................................... 6
1.1 «Родина» шахмат ....................................................................................... 6
1.2 Становление комбинаторики .................................................................... 7
Глава II. Шахматы и математика ....................................................................... 9
2.1 Свойства шахматных фигур...................................................................... 9
2.2 Правила суммы и произведения ............................................................. 10
Заключение ........................................................................................................ 14
Библиографический список ............................................................................. 16
Приложение .................................................................................................................................. 17
Аннотация
Работу
выполнил:
Антонов
Андрей
Владимирович,
пос.
Степановка, МОБУ Степановская сош, 7 класс.
По теме: «В чем секрет решения комбинаторных задач на
шахматной доске?»
Руководитель: Антонова Светлана Николаевна, учитель математики
Научный руководитель: Ляпин Александр Петрович,
к.ф-м.н,
доцент базовой кафедры вычислительных и информационных технологий
Института математики и фундаментальной информатики Сибирского
Федерального университета
Цель исследовательской работы: Классифицировать решения
комбинаторных задач на шахматной доске. В работе рассказывается об
истории возникновения шахмат, о видах шахмат, о становлении
комбинаторики как науки, рассматриваются способы решения задач на
шахматной доске. Предлагается классификация решения комбинаторных
задач на шахматной доске.
3
Введение
Почему шахматы привлекательны для людей разных возрастов и
профессий? Потому что, играя в шахматы, мы приобретаем много
полезных качеств, тренируем память, учимся упорству, находчивости,
развиваем
логику.
Занятие
шахматами
способствует
развитию
математических способностей человека. К шахматам можно относиться и
как к науке со своими законами, принципами. Шахматы содержат в себе
элементы научного исследования – именно такой подход свойственен
многим выдающимся шахматистам. Задачи, связанные с шахматной
теорией, а именно с комбинаторикой, широко применяются в математике.
Цель моей работы: классифицировать решения комбинаторных
задач на шахматной доске.
Задачи:
1. Познакомиться с историей возникновения шахмат и решения
«шахматных» задач, с становлением комбинаторики как науки;
2. Выделить подходы к решению комбинаторных задач на шахматной
доске;
3. Дать характеристику подходов;
4. Описать приемы и методы решения задач;
5. Составить таблицу классификации подходов и методов решения
задач.
Объект исследования: комбинаторные задачи на шахматной доске.
Предмет исследования: методы решения комбинаторных задач на
шахматной доске.
Актуальность данной темы заключается в том, что задачи из
комбинаторики появляются в олимпиадах, но в школьном курсе не
достаточно освещен. Особенностью моей работы является то, что я
попытался не просто решить задачи, а разделил их по типам и для каждого
типа предложил способ решения.
4
Новизна работы
заключается
в
том,
что
для
решения
комбинаторных задач на шахматной доске, необходимы математические
знания, математические приемы для решения каждого типа задач. Тема
математики и шахмат хоть и достаточно освещена в современной
литературе, но в большинстве из них рассматриваются свойства
шахматных фигур, шахматной доски. По этой теме было найдено
небольшое количество книг.
Гипотеза: решения «шахматных» задач имеют общий подход или
делятся на группы.
План исследования:
1. изучение литературы,
2. анализ изученных материалов,
3. подбор задач,
4. решение задач,
5. классификация задач и составление таблицы.
Методы исследования:
поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а
также поиск необходимой информации в сети Интернет;
практический метод решения задач, сюжетом которых являются
шахматная доска или шахматные фигуры;
анализ полученных в ходе исследования данных.
Материалом для написания реферата послужили решение задач о
ходе коня Леонарда Эйлера и о восьми ферзях — другого великого
математика Карла Гаусса, научно-популярная и учебная литература,
освещающая решения комбинаторных задач на шахматной доске.
5
Глава I. От зерна и священной черепахи
В этой главе я рассмотрю вопросы об истории возникновения
шахмат, о видах шахмат, о становлении комбинаторики как науки и об
ученых, стоящих у основания этой науки.
1.1 «Родина» шахмат
«Игра в шахматы существовала еще до появления на Земле человека
и, может быть, даже до сотворения мира. Если мир впадет в хаос, игра в
шахматы останется вне пространства и времени свидетельством вечного
существования идей» – так высоко оценил искусство игры в шахматы
Массимо Бонтемпелли, итальянский писатель.
И действительно, дата возникновения шахмат и имя изобретателя
неизвестны. Полагают, что эта игра появилась в Индии где-то около VI
века
нашей
эры.
[7]
Существует
легенда,
что
шахматы
были
изобретены около 1000 г. до нашей эры, индийским математиком, который
также изобрел математическое действие возведения в степень. Название
берёт из персидского языка. «Шах» означает король, а «мат» - умер.
Согласно одной гипотезе шахматная доска произошли из так
называемых
магических
квадратов.
Магический
квадрат
обладает
следующим свойством: сумма чисел каждой строки, каждого столбца, а
также двух главных диагоналей одна и та же. Для магических квадратов
порядка 8 она равна 260.
Сколько всего существует вариантов шахмат, не сможет сказать
никто – эта игра очень широко распространилась по планете и по мере
распространения, она менялась. И по сей день изобретаются все новые и
новые виды шахмат. Почти во всех видах шахмат, правила не меняются,
меняется только способ расстановки фигур или добавляются новые
фигуры. (Приложение 1 - 8)
6
1.2 Становление комбинаторики
Комбинато́рика —
раздел математики,
изучающий
дискретные
объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения, перечисления
элементов) и отношения на них. [7]
Первое упоминание о вопросах, близких к комбинаторным,
встречаются в китайских рукописях, относящихся к XII – XIII векам до
нашей эры. Точно датировать эти рукописи невозможно, так как в 213 году
до нашей эры они были сожжены и до нас дошли лишь основанные на них
более поздние книги. Историки отмечают также комбинаторные проблемы
в руководствах по игре в Го и другие игры.
По одному преданию, один китайский император Ию, увидел на
берегу реки, на панцире священной черепахи рисунок из белых и черных
кружков.
(Приложение
9)
Если
заменить
каждую
фигуру
соответствующим числом, возникнет таблица изображенная справа. Этот
рисунок назвали «ло-шу» и стали считать его магическим символом и
употреблять при заклинаниях. Большой интерес математиков многих стран
с
древних
времён
неизменно
вызывали «магические»
квадраты.
Определенные представления о комбинаторике были и у греческих
ученых. Еще в VI веке до нашей эры философ Ксенократ, подсчитывал
число слогов. Аристотель при изложении своей логики безошибочно
перечислил все возможные типы трёхчленных силлогизмов. В VIII веке
нашей эры начался расцвет арабской науки. Арабские алгебраисты пришли
к формуле, известной под исторически неверным названием «Бином
Ньютона».
Индийские
математики,
видимо,
первыми
открыли биномиальные коэффициенты и их связь с биномом Ньютона. А в
XII веке индийский математик Бхаскара написал книгу «Лилавати», в
которой среди других вопросов математики изучаются и проблемы
комбинаторики. [2 с 304]
7
Комбинаторика возникла в XVI веке. В те времена большая часть
общества была погружена в азартные игры. Проигрывались дорогие
украшения, золото, породистые кони, имения и даже дворцы. Широко
были распространены всевозможные лотереи. Поэтому первоначально
комбинаторные задачи касались азартных игр. Проблемы азартных игр
стали движущей силой в развитии комбинаторики и теории вероятностей.
Одним из первых вопросами комбинаторики, точнее подсчетом числа
различных комбинаций при игре в кости, занялся итальянский математик
Никколо Тарталья. Теоретическое исследование вопросов комбинаторики
предприняли в XVII веке французские ученые Блез Паскаль и Пьер Ферма.
Исходным пунктом их исследований были опять проблемы азартных игр.
Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Якова Бернулли,
Готфрида Вильгельма Лейбница и Леонарда Эйлера. Однако и у них
основную роль играли приложения к различным играм. [1 с 8] Термин
«комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем,
который
в 1666 году опубликовал
свой
труд
«Рассуждения
о
комбинаторном искусстве». Долгое время казалось, что комбинаторика
лежит вне основного русла развития математики и ее приложений.
Положение дел резко изменилось во второй половине XX века, после
появления электронных вычислительных машин. С этого момента
комбинаторика переживает бурное развитие. Комбинаторные методы
используются для решения транспортных задач, для составления планов
производства и реализации продукции, в теории случайных процессов,
статистике, вычислительной математике, шахматных программах для ЭВМ
и т.д. [2 с 8] Комбинаторными задачами интересовались многие
математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров,
изучением древних письменностей. Теперь комбинаторика находит
приложения во многих областях науки: в биологии, где она применяется
для изучения состава белков и ДНК, в химии, механике сложных
сооружений и т. д.
8
Глава II. Шахматы и математика
Изучив научно-популярную литературу и интернет источники, я
выбрал большое количество задач, в условиях которых говорится о
шахматных фигурах или о шахматной доске. Я не брал задачи, в которых
требовалось разрезать или раскрасить шахматную доску. Изучил основные
формулы комбинаторики. Решая отобранные задачи, я понял, что под
простые правила, такие задачи не подходят. На шахматной доске для
каждой фигуры существуют свои правила. Кроме того есть задачи с
разным количеством фигур. И у меня получилось такое деление: часть
задач решались по «простым» формулам, а к другой части - необходимо
было применить сразу несколько правил.
2.1 Свойства шахматных фигур
Решая комбинаторные задачи, связанные с шахматными фигурами, я
исследовал свойства шахматных фигур.
Ладья ходит по вертикали и горизонтали. Следовательно, под
ударом одновременно, не зависимо на каком поле стоит ладья, находятся
14 полей.
Ферзь ходит по вертикали, горизонтали и диагонали. Количество
полей, находящихся одновременно под боем ферзя, зависит от места его
расположения на шахматной доске. Если ферзь стоит на угловом поле или
на крайних полях, то под боем находится 21 поле, на второй линии от края
– 23 поля, на третьей линии от края – 25 полей, на четвертой линии от края
– 27 полей.
Король ходит на любое соседнее поле. Если король стоит на
угловом поле, то под боем одновременно находятся 3 поля, если на полях
крайней линии, то – 5 полей, на всех остальных – 8 полей.
9
Конь ходит зигзагом, на одно плюс два поля или два плюс одно
поле. Количество полей, находящихся одновременно под боем коня,
зависит от места его расположения на шахматной доске. Если конь стоит
на угловом поле, то под боем находятся 2 поля. На крайних вторых полях –
3 поля, на остальных крайних полях и на угловых полях второй линии от
края – 4 поля. На остальных полях второй линии от края – 6 полей, на
третьей и четвертой линиях от края – по 8 полей одновременно находятся
под боем.
Слон ходит по диагоналям. Количество полей, находящихся
одновременно под боем слона, зависит от места его расположения на
шахматной доске. Если слон стоит на угловом поле или на крайних полях,
то под боем находятся 7 полей, на второй линии от края – 9 полей, на
третьей линии от края – 11 полей, на четвертой линии от края – 13 полей.
Исходя из полученных данных, задачи можно
разделить по
количеству фигур и по поставленной задаче. Также можно еще
рассмотреть условие: одного цвета фигуры или разного.
2.2 Правила суммы и произведения
Большинство комбинаторных задач решаются с помощью двух
основных правил: суммы и произведения.
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, и если после
каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор
пары (А, В) можно осуществить m • n способами. Это утверждение правило произведения. [5 с 5]
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой
объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно
осуществить m + n способами. В этом случае общее число комбинаций
равно сумме чисел комбинаций во всех классах. Это утверждение
называют правилом суммы. [5 с 6]
10
Пример 1 Сколькими способами можно поставить на шахматную
доску белого и черного королей так, чтобы получилась по правилам игры
комбинация?
Решение:
Зная правила игры в шахматы, не сложно рассмотреть все
расстановки. Во-первых, рассматриваются короли, а мы знаем свойства
этой фигуры. Во-вторых, фигуры разного цвета (белый и черный король).
И, в-третьих, фигуры не бьют друг друга. Из свойств шахматных фигур мы
знаем, сколько и на каком поле находится под боем полей. Если первый
король стоит на угловом поле, то под боем 3 поля, то на всех остальных
полях второй король в «безопасности». И таких полей – 60. А угловых
полей всего четыре (2 черных и 2 белых), Если один король стоит на
любом из крайних полей, то под боем у него 5 полей, значит другой король
на всех остальных 58 полях в «безопасности». А крайних полей всего 24
(12 белых и 12 черных). Ну а если один король стоит на любом другом
поле, то под боем у него 8 полей. И значит другой король на всех
остальных 55 полях в «безопасности». Таких полей 36. Таким образом,
получаем число расстановок: 4(64 - 4) + 24(64 - 6) + 36(64 - 9) = 3612
Ответ: 3612
Если сменить условие.
Пример 2 Сколькими способами можно поставить на шахматную
доску белого и черного королей так, чтобы фигуры били друг друга?
Решение: Тогда на угловых полях по три поля под боем, на крайних – по
пять полей под боем, на остальных - по 8 полей под боем. Считаем число
таких расстановок 4 • 3 + 24 • 5 + 36 • 8 = 420
Ответ: 420
Рассмотрим задачу:
Пример 3 Сколькими способами можно поставить на шахматную
доску двух королей одного цвета так, чтобы фигуры не били друг друга?
Решение: Так как на шахматной доске всего 64 поля. 32 из них белые и 32
черные. Если первый король стоит на угловом поле, то под боем 3 поля, то
на всех остальных полях второй король в «безопасности». И таких полей –
11
60. А угловых полей одного цвета 2 (2 черных или 2 белых), Если один
король стоит на любом из крайних полей, то под боем у него 5 полей,
значит другой король на всех остальных 58 полях в «безопасности». А
крайних полей одного цвета 12 (12 белых или 12 черных). Ну а если один
король стоит на любом другом поле, то под боем у него 8 полей. И значит
другой король на всех остальных 55 полях в «безопасности». Таких полей
18 (одного цвета). Считаем число таких расстановок
2 • 60 + 12 • 58 + 18 • 8 = 1806
Ответ: 1806
Получается, что число способов расставить королей одного цвета,
чтобы они не били друг друга, в два раза меньше, чем число способов
расставить королей разного цвета. Так как число рассматриваемых полей
уменьшилось в двое. Получаем
3612 : 2 = 1806
Пример 4 Сколькими способами можно поставить на шахматную
доску двух королей одного цвета так, чтобы фигуры били друг друга?
Решение: Число способов расстановки фигур также будет в два раза
меньше, чем для королей разного цвета. 420 : 2 = 210
Ответ: 210
А если рассматривать задачу, в которой не говорится о цвете фигур,
то при подсчете числа способов необходимо рассмотреть оба случая, и
когда фигуры разного цвета, и когда фигуры одного цвета.
Пример 5
Сколькими способами можно расставить двух короле,
чтобы они не били друг друга?
Решение: Так как число расстановок двух королей разного цвета, которые
не бьют друг друга, равно 3612, я число расстановок двух королей одного
цвета, которые не бьют друг друга, равно 1806. То общее число
расстановок
3612 + 1806 = 5418
Ответ: 5418
Пример 6 Сколькими способами можно расставить двух короле,
чтобы они били друг друга?
Решение: Считаем число таких расстановок 420 + 210 = 630
Ответ: 630
Пример 7 Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12
черных шашек на черных полях шахматной доски?
12
Решение:
•
•
,
•
=
где k = 12, n = 32, m = 20
Ответ:
=
Наряду с правилами
суммы и произведения, для решения
комбинаторных задач на шахматной доске
применяются правила
перестановки, сочетания, размещения.
Пример 8 Сколькими способами можно расставить белые фигуры
(короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии
шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?
Решение:
; где n=1+1+2+2+2=8,
=
k1 = 1, k2 = 1, k3 =2, k4 = 2, k5 = 2
=
=
Ответ: 5040
= 5040
Пример 9 Сколькими способами можно поставить на шахматную
доску 8 ладей?
Решение:
=
=
=
Пример 10
;
где n = 64, k = 8
Ответ: 4 426 165 368
= 4 426 165 368
Сколькими способами можно разместить восемь ладей
на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
Решение: Pk = k!;
где k = 8
Ответ: 40320
P8 = 8! = 1•2•3•4•5•6•7•8 = 40320
У
меня
получилась
следующая
классификация
найденных
комбинаторных задач на шахматную тему: задачи можно разделить по
количеству фигур и по поставленной задаче (бьют друг друга фигуры или
нет). Так же можно еще рассмотреть условие: одного цвета фигуры или
разного. (Приложение 10)
Для
того,
чтобы
облегчить
выбор
формулы
для
решения
комбинаторных задач, я нашел хорошую подсказку на сайте МатБюро.
Предложенную таблицу я немного изменил, и получилась схема для
выбора формул комбинаторики. (Приложение 11)
13
Заключение
Шахматная математика – один из самых популярных жанров
занимательной математики, логических игр и развлечений. Почти в
каждом
сборнике
олимпиадных
математических
задач
или
книге
головоломок и математических досугов можно найти красивые и
остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур. Многие из них
имеют интересную историю. Шахматы в разные времена привлекали к
себе внимание известных ученых. Например, задачей о ходе коня
занимался великий математик Леонард Эйлер, а задачей о восьми ферзях
— другой великий математик Карл Гаусс. С тех пор в течение целого века
крупные
математики
не
занимались
шахматами.
Ситуация
резко
изменилась в середине нынешнего столетия в связи с бурным развитием
кибернетики и вычислительной техники.
В результате исследования были сделаны следующие выводы:
древняя мудрая игра – шахматы развивает память, логическое мышление,
творческие способности человека. «В шахматах,– говорил великий русский
писатель Л. Н. Толстой, – нужно дорожить не выигрышем, а интересными
комбинациями». Наверное, именно этот большой простор для творчества
так привлекает математиков к шахматам. Этим я объясняю свой интерес к
данной теме.
У
меня
получилась
следующая
классификация
найденных
комбинаторных задач на шахматную тему: задачи можно разделить по
количеству фигур и по поставленной задаче (бьют друг друга фигуры или
нет). Так же можно еще рассмотреть условие: одного цвета фигуры или
разного.
В работу я поместил лишь некоторые задачи. Но, по моему мнению,
их достаточно для того, чтобы показать, как определить, к какому типу
относится комбинаторная задача и не только на шахматную тему.
14
Проделанная работа для меня очень полезна, она обогатила мои
знания в математике и в игре в шахматы. Надеюсь, что после тщательного
изучения подобных задач, их решение не будет вызывать у меня особых
затруднений.
Думаю, что собранный мною материал могут использовать, как
учащиеся, так и учителя, при подготовке к олимпиадам, на занятиях, как
математического кружка, так и на уроках математики при изучении
комбинаторики. (Приложение 12, 13)
15
Библиографический список
Книга одного автора
1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. / Н.Я.Виленкин – М.: издательство
«Наука», 1969. – 328 с.: ил.
2. Виленкин Н.Я.,
Н.Я.Виленкин,
Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. /
А.Н.Виленкин, П.А.Виленкин – М.: ФИМА, МЦНМО,
2006. – 400 с.: ил.
3. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические
кружки: пособие для внеклассной работы. / С.А.Генкин, И.В.Итенберг,
Д.В.Фомин. – Киров, издательство «АСА», 1994. – 272 с.
4. Гик Е.Я. Шахматы и математика. / Е.Я.Гик. - М.: издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 176 с. –
(Библиотечка «Квант». Вып. 24)
5. Корнилов П.А., Никулин Н.И., Семенова О.Г. Элементы дискретной
математики.
Учебное
пособие.
/П.А.Корнилов,
Н.И.Никулин,
О.Г.Семенова. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2005, - 91 с.
6. Окунев Л.Я. Комбинаторные задачи на шахматной доске. /Л.Я.Окунев. –
М.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. – 89 с.
Источники, представленные в Internet:
7. Википедия. Свободная энциклопедия. (http://ru.wikipedia.org)
8. Лекции по дискретной математике.
(http://www.studfiles.ru/dir/cat14/subj266/file9098.html)
9. Сочетания с повторениями. (www.matburo.ru)
10. Студопедия. Размещения с повторениями и без повторений
(http://studopedia.net/7_15768_razmeshcheniya-s-povtoreniyami-i-bezpovtoreniy.html)
16
Приложение
Приложение 1
Чатуранга
Чатурангой в древней Индии называлось войско, состоявшее из
боевых колесниц (ратха) и слонов (хасти), конницы (ашва) и пеших воинов
(падати). Игра символизировала битву с участием четырёх родов войск,
которыми руководил предводитель (раджа).
В игре для четырёх игроков использовались комплекты фигур
четырёх цветов: чёрные, зелёные, жёлтые и красные. Играли пара на пару.
Каждый комплект содержал восемь фигур: раджу (короля), слона, коня,
колесницу (аналог ладьи) и четыре пешки.
Не было таких понятий, как шах, мат и пат
17
Приложение 2
Шахматы с крепостями
Белые и Черные - союзники, играют против Синих и Зеленых.
Шашечница (см. рис.) ставится так, что у белого справа белая клетка.
Белые и Черные ферзи ставятся на белые клетки, Синие и Зеленые - на
черные. Игроки ходят последовательно белые - зеленые - черные - синие.
У каждого игрока справа есть квадрат 4х4 (крепость), куда ставятся ладья,
конь, слон, которые располагаются кто, где хочет.
18
Приложение 3
Четверные шахматы
Основные правила игры в четверные шахматы - такие же, как в
классических
шахматах.
Отличия
заключатся
в
следующем:
Игра ведется двое на двое. Игроки, сидящие друг против друга - союзники.
Каждый играет только своими фигурами. Ходят поочередно, по часовой
стрелке. Фигуры союзников взаимодействуют. Игрокам разрешается
совещаться только в тот момент, когда одному из них дан мат.
19
Приложение 4
Японские шахматы (Сёги, Shogi)
Играют два игрока, чёрные и белые (сэнтэ и готэ). Доска разделена
на прямоугольные клетки или поля. Клетки никак не обозначены и не
имеют цвета. Каждый игрок имеет набор из двадцати фигур. Фигура
представляет собой плоский брусок дерева в форме обелиска (вытянутый
пятиугольник), на обеих поверхностях которого иероглифами записано
название фигуры. Все фигуры одноцветные, а различаются только по
ориентации на доске
20
Приложение 5
Китайские шахматы (Сянци)
В сянци играют на прямоугольной доске, расчерченной линиями по
вертикали и горизонтали. Размер доски — 9×10 линий, причём фигуры
ставятся в пересечения линий, а не на клетки. Между двумя центральными
горизонталями находится река, которая влияет на движение генералов,
советников (мандаринов) и слонов. Квадраты 3×3, отмеченные двумя
диагональными линиями называются дворцы или крепости. Их не могут
покидать генералы и советники.
21
Приложение 6
Русские шахматы
разновидность шахмат, основанная на древнерусской игре таврели
Игра ведётся на обычной шахматной доске 8x8. Название фигур
(таврелей) в русских шахматах отличается от принятых в международных
шахматах названий, однако состав фигур и правила их передвижения
практически полностью одинаковы.
Хелги — особая фигура в русских шахматах. В Хелги превращается
ратник, стоявший в начале партии перед волхвом и достигший в ходе игры
последней горизонтали противника. Хелги объединяет в себе свойства
Князя и Всадника. Это самая сильная таврель в русских шахматах.
22
Приложение 7
Шведские шахматы
В Шведские шахматы играют две команды. Каждая команда состоит
из двух игроков, играющих на двух отдельных досках, белыми на одной
доске и черными на другой.
Партия
состоит
из
двух
игр,
одновременно
играемых
на
соответствующих досках.
Обе доски расположены друг около друга, а часы на внешних
сторонах так, чтобы каждый игрок мог видеть время на обоих часах.
23
Приложение 8
Гексагональные шахматы Глинского
Комплекты фигур соответствуют обычным шахматам, только каждой
стороне добавляется ещё один слон и одна пешка. Правила движения
фигур похожи на классические шахматы, если считать, что роль
горизонталей выполняют косые линии полей, параллельные одной из
невертикальных сторон доски, а роль диагоналей — линии полей одного
цвета.
24
Приложение 9
Рис 1. Рисунок на панцире священной черепахи
25
Приложение 10
Классификация комбинаторных задач на шахматной доске
Количество
фигур
Задачи с
ограничениями
Задачи без
ограничений
Порядок
важен
Выбирать все
элементы
Выбирать не
все элементы
Одного
цвета
Порядок не
важен
Повторений
нет
Повторения
есть
Бьют друг
друга
Не бьют
друг друга
Разного
цвета
Бьют друг
друга
Не бьют
друг друга
26
Приложение 11
Выбор формул для решения комбинаторных задач
Определить n (общее количество объектов)
и r (сколько объектов выбирали)
Порядок важен?
Нет
Да
Повторения есть?
Нужно выбрать
все n элементов
Да
Нет
Сочетания без
повторений
=
Сочетания с
повторениями
=
Да
Нет
Повторения
есть?
=
Нет
Размещения без
повторений
=
Повторения
есть?
Да
Размещения с
повторениями
= nr
Нет
Перестановки без
повторений
Pn = n!
Да
Перестановки с
повторениями
=
27
Приложение 12
Примеры решения комбинаторных задач на шахматной доске
Задачи с ограничениями
Фигуры разного цвета. Не бьют друг друга
Пример 1 Сколькими способами можно поставить на шахматную
Если рассматривать шахматную доску m × n, то число способов
выражается формулой
8mn – 12m – 12n + 16
доску белого и черного королей так, чтобы получилась по
Фигуры одного цвета. Не бьют друг друга
правилам игры комбинация?
Решение: Зная правила игры в шахматы, не сложно рассмотреть
Пример 4
все расстановки. Таким образом, получаем число расстановок:
доску двух коней одного цвета так, чтобы они не били друг друга?
Ответ: 3612
4(64 - 4) + 24(64 - 6) + 36(64 - 9) = 36
Пример 2 Сколькими способами можно поставить на шахматную
Сколькими способами можно поставить на шахматную
Решение: Так как фигуры рассматриваются одного цвета, то
2(64 – 3) + 4(64 – 4) + 10(64 – 5) + 8(64 – 7) + 8(64 – 9) = 1848
Ответ: 1848
доску белого и черного коней так, чтобы они не били друг друга?
Решение: Решение этой задачи осложняется тем, что на разных
Если рассматривать шахматную доску m × n, то число способов
полях доски конь имеет различное число ходов.
выражается формулой
(m2n2 – 9mn + 12m + 12n – 16) : 2
4(64 – 3) + 8(64 – 4) + 20(64 – 5) + 16(64 – 7) + 16(64 – 9) = 3696
Фигуры одного цвета. Бьют друг друга
Ответ: 3696
Если рассматривать шахматную доску m × n, то число способов
Пример 5
выражается формулой
доску двух коней одного цвета так, чтобы они били друг друга?
m2n2 – 9mn + 12m + 12n – 16
Сколькими способами можно поставить на шахматную
Решение: Так как фигуры рассматриваются одного цвета, то
2 • 2 + 4 • 3 + 10 • 4 + 8 • 6 + 8 • 8 = 168
Фигуры разного цвета. Бьют друг друга
Ответ: 168
Пример 3 Сколькими способами можно поставить на шахматную
Если рассматривать шахматную доску m × n, то число способов
доску белого и черного коней так, чтобы они били друг друга?
выражается формулой
Решение:
(8mn – 12m – 12n + 16) : 2
Так как фигуры бьют друг друга, то
4 • 2 + 8 • 3 + 20 • 4 + 16 • 6 + 16 • 8 = 336
Ответ: 336
28
Задачи без ограничений
Порядок важен. Выбирать все элементы.
Порядок не важен. Повторений нет.
Пример 6 Сколькими способами можно разместить восемь ладей
на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
Пример 9
Решение: Pk = k!;
доску 8 ладей?
где k = 8
Ответ: 40320
P8 = 8! = 1•2•3•4•5•6•7•8 = 40320
Решение:
Сколькими способами можно поставить на шахматную
;
=
где n = 64, k = 8
Примечание Для решения задачи с k ладьями, которые не бьют
друг
друга,
для
доски
k! =
m
×
существует
n,
формула
.
=
=
= 4 426 165 368
Ответ: 4 426 165 368
Пример 7 Сколькими способами можно разместить три ладьи на
шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
Решение: k = 3, m = 8, n = 8
Пример 8
= 18816
Ответ: 18816
Сколькими способами можно расставить белые
фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на
первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные
правила)?
Решение:
=
;
где n=1+1+2+2+2=8, k1 = 1, k2 = 1, k3 =2, k4 = 2, k5 = 2
=
=
= 5040
Ответ: 5040
29
Приложение 13
Комбинаторные задачи на шахматной доске
1. Сколько существует способов разместить две ладьи на
10. а) Сколькими способами можно поставите 20 белых шашек на
шахматной доске, так, чтобы они не смогли сбить друг друга?
шахматной доске так, чтобы расположение не менялось при
2. Две ладьи находятся на шахматной доске так, что каждая из них
повороте доски на 90 градусов?
может сбить другую. Сколько таких размещений?
б) Сколькими способами можно поставить 20 белых шашек на
3. Сколькими способами можно разместить восемь ладей
на
крайние линии шахматной доски так, чтобы это расположение не
шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
менялось при повороте доски на 90 градусов?
4. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля,
11. а) Сколькими способами можно расставить 20 белых шашек на
ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии
шахматной доске так, чтобы это расположение было симметрично
шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?
относительно горизонтальной линии, делящей доску пополам?
5. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8
б) То же самое при условии, что шашки ставятся на черные поля.
ладей?
в) Решите те же задачи при условии, что расположение должно быть
6. Сколько существует способов расположить 8 ладей, чтобы они
симметричным относительно центральной точки доски.
были симметричны относительно центра доски.
12. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску
7. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8
белого и черного коней так, чтобы они не били друг друга?
ладей так, чтобы при повороте доски на 900 они не меняли своего
13. Сколькими способами можно разместить три ладьи на
расположения.
шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
8. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску
14. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску
белого и черного королей так, чтобы получилась по правилам игры
двух коней одного цвета так, чтобы они били друг друга?
комбинация?
15. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску
9. Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных
двух коней одного цвета так, чтобы они не били друг друга?
шашек на черных полях шахматной доски?
30