Методы аналитической механики

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Теоретическая механика»
МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Методические указания
РПК
«Политехник»
Волгоград 2010
УДК 531.011(075)
Рецензент
канд. техн. наук,
доцент кафедры «Теоретическая механика» А.А. Гончаров
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Методы аналитической механики: метод. указ. / сост. Е.С. Брискин,
И.П. Вершинина, А.Г. Щукина/ ВолгГТУ. – Волгоград, 2010. - 17с
Методические указания содержат 24 варианта примерно одинаковых
по сложности контрольных заданий, приводятся необходимые пояснения
по их выполнению и пример расчета.
Предназначены для текущего и рейтингового контроля знаний
студентов по специальности «Физика».
 Волгоградский государственный
технический университет, 2010
2
Однородная пластина массой m1, геометрические размеры которой
(a, b, R, α) известны, вращается вокруг вертикальной оси Oz с постоянной
угловой скоростью 0 (рис. 3а – 3в). С пластиной жестко связана
спиральная пружина жесткостью с. По каналу АВ пластины из точки А к
точке
В
без
трения
движется
точка
М
массой
m2.
Составить
дифференциальные уравнения движения системы, используя уравнения
Лагранжа второго рода, уравнения Лагранжа первого рода, уравнения
Гамильтона. Необходимые для решения данные приведены в табл. 1.
Указания к решению задачи
1. Уравнения Лагранжа второго рода.
Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему
дифференциальных
уравнений
второго
порядка.
Для
систем
с
голономными связями количество уравнений совпадает с числом степеней
свободы системы. Если ввести функцию Лагранжа L  T  П , то для
системы с s степенями свободы при отсутствии непотенциальных сил
уравнения примут вид:
d  L  L
 0 , (j=1, 2, …, s).


dt  q j  q j
Здесь:
q j – j-я обобщенная координата;
q j – j-я обобщенная скорость;
T  T  q j , q j  – кинетическая энергия системы;
П – потенциальная энергия системы.
2. Уравнения Лагранжа первого рода.
3
Уравнения
Лагранжа
первого
рода
–
это
уравнения
с
неопределенными множителями. Для системы с s степенями свободы,
подчиненной m голономным связям при отсутствии непотенциальных сил
имеем (s+m) уравнений:
m
d  L  L
f
  k k , (j=1, 2, …, s; k=1, 2,…, m).

 
dt  q j  q j k 1 q j
Здесь:
L  T  П – функция Лагранжа;
T  T  q j , q j  – кинетическая энергия системы;
П – потенциальная энергия системы;
q j – j-я обобщенная координата;
q j – j-я обобщенная скорость;
k – k-й неопределенный множитель ( k  1, 2, ..., m );
f k ( q1 , q2 , ..., qs ) –уравнение k-й связи.
3. Канонические уравнения Гамильтона.
Уравнения Гамильтона для системы с s степенями свободы в случае
потенциальных сил имеют вид:
dp j
dt

H dq j H

,
; (j=1, 2, …, s).
q j dt p j
Здесь:
pj 
L
– обобщенный импульс, соответствующий обобщенной
q j
координате q j ;
H  H  t , q j , p j  – функция Гамильтона.
H   p j q j  L t , q j , q j  .
s
j 1
4
В случае стационарных связей функция Гамильтона равна полной
механической энергии:
H T  П .
Пример выполнения задания
Однородная пластина массой m1, геометрические размеры которой
(a, α) известны, вращается вокруг вертикальной оси Oz с постоянной
угловой скоростью 0 (рис. 1) С пластиной жестко связана спиральная
пружина жесткостью с. По каналу АВ пластины из точки А к точке В без
трения движется точка М массой m2. Составить дифференциальные
уравнения движения системы, используя уравнения Лагранжа второго
рода, уравнения Лагранжа первого рода, уравнения Гамильтона.
Решение
1. Уравнения Лагранжа второго рода.
Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных
координат приняты расстояние АМ=r и угол поворота ψ пластины
относительно оси Oz: q1  r , q2   .
Составляем уравнения Лагранжа второго рода, которые в нашем
случае имеют вид:
d  L  L
0,
 
dt  r  r
(1)
d  L
dt  
(2)
 L
    0 .

5
z
ω0
B
α
А
M
r m2g
a
Мупр
О
x
y
ψ
Рис. 1
Учитывая, что для точки М, совершающей сложное движение,
v2  r 2  r 2 2 sin 2  , кинетическая энергия системы имеет вид:
1
1
1
1
Т  m  r 2  r 2 2 sin 2    J 2  mr 2   J  mr 2 sin 2   2 . (3)
2
2
2
2
Потенциальная энергия системы складывается из потенциальной
энергии силы тяжести точки М и потенциальной энергии момента
упругости спиральной пружины:
1
П  П1  П2  mgr cos  c 2 .
2
(4)
Тогда функция Лагранжа системы:
1
1
1
L  mr 2   J  mr 2 sin 2   2  mgr cos  c 2 .
2
2
2
6
(5)
Подставляя в уравнение (1)
d  L 
L
L
 mr ,    mr ,
 mr 2 sin 2   mg cos ,
dt  r 
r
r
получаем:
mr  mr 2 sin 2   mg cos  0 ,
или
r  r 2 sin 2   g cos  0 .
(6)
Подставляя в уравнение (2)
L
  J  mr 2 sin 2   ,

d  L
dt  

2
2
2
   J  mr sin    2mrr sin  ,

L
 c ,

получаем:
 J  mr
2
sin 2    2mrr sin 2   c  0 .
(7)
Уравнения (6) и (7) являются дифференциальными уравнениями
движения системы в обобщенных координатах.
2. Уравнения Лагранжа первого рода.
Система состоит из однородной пластины, поворачивающейся
вокруг вертикальной оси и точки М, на которую наложены две
голономные стационарные идеальные связи.
В качестве обобщенных координат примем четыре величины: угол ψ
поворота пластины и сферические координаты точки М r, φ, θ (рис. 2).
В нашем случае r  AM ,   ,    . Благодаря первой связи
f1      0
частица
не
может
выйти
за
пределы
конической
поверхности, образованной вращением канала вокруг оси Оz. Благодаря
второй связи f 2     0 частица не может выйти за пределы плоской
пластины. Выбор этих связей является удобным, так как реакции связей,
7
наложенных на точку, имеют направление внешних нормалей к
поверхностям f1  0 и f 2  0 .
z
M (r, φ, θ)
θ
r
y
φ
x
Рис. 2
Кинетическая энергия системы складывается из кинетической
энергии вращающейся вокруг оси Оz пластины и точки М, совершающей
сложное движение. Так как для точки М v2  r 2  r 2 2 sin 2   r 2 2 , то
кинетическая энергия системы в обобщенных координатах имеет вид:


1
1
Т  m r 2  r 2 2 sin 2   r 2 2  J 2
2
2
(8)
Потенциальная энергия системы складывается из потенциальной
энергии силы тяжести точки М и потенциальной энергии момента
упругости спиральной пружины. Выраженная в обобщенных координатах,
потенциальная энергия системы имеет вид:
1
П  П1  П2  mgr cos  c 2 .
2
(9)
Тогда функция Лагранжа системы имеет вид:


1
1
1
L  Т  П  m r 2  r 2 2 sin 2   r 2 2  J 2  mgr cos  c 2 . (10)
2
2
2
8
Для четырех обобщенных координат составляем четыре уравнения
Лагранжа первого рода:
d  L  L
0;
 
dt  r  r
(11)
d  L  L
 1 ;


dt    
(12)
d  L  L

 2 ;
dt    
(13)
d  L
dt  
(14)
 L
    2

Подставляя в уравнение (11)
d  L 
L
L
 mr ,    mr ,
 m  2 sin 2    2 r  mg cos ,
dt  r 
r
r


получаем:


mr  m  2 sin 2    2 r  mg cos  0 .
Так как в нашем случае     const ,   , то
r  2r sin 2   g cos  0
(15)
Подставляя в уравнение (12)
d  L 
L
2
 mr 2 , 
  2mrr  mr  ,
dt   

L
 mr 2 2 sin  cos  mgr sin  ,

получаем:
2mrr  mr 2  mr 2 2 sin cos  mgr sin  1 .
Так как в нашем случае     const ,   , то
mr sin   r 2 cos   g   1
(16)
Подставляя в уравнение (13)
9
L
 mr 2 sin 2  ,

d  L 
 m  r 2  2sin  cos   2rr sin 2   r 2 sin 2   ,


dt   
L
 c ,

получаем:
m  r 2  2sin  cos   2rr sin 2   r 2 sin 2    c  2 .
Так как в нашем случае     const ,   , то
2mrr sin 2   mr 2 sin 2   c  2
(17)
Подставляя в уравнение (14)
L
d  L
 J , 

dt  

L
  J ,   0 ,

получаем:
J  2 .
(18)
Складывая уравнения (17) и (18), получаем:
 J  mr
2
sin 2    2mrr sin 2   c  0 .
(19)
Уравнения (15) и (19) являются дифференциальными уравнениями
движения системы в независимых обобщенных координатах, а уравнения
(16) и (17) дают возможность найти неопределенные множители Лагранжа
и обобщенные реакции связей.
3. Уравнения Гамильтона.
Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных
координат приняты расстояние АМ=r и угол поворота ψ пластины
относительно оси Oz: q1  r , q2   .
Составляем канонические уравнения Гамильтона, которые в нашем
случае примут вид:
10
H
dpr
H dp
,
;



dt
r dt
(20)
dr H d H
,


dt pr dt p
(21)
Определяем обобщенные импульсы. Так как функция Лагранжа
системы в нашем случае:
1
1
1
L  mr 2   J  mr 2 sin 2   2  mgr cos  c 2 ,
2
2
2
то
pr 
L
 mr ;
r
(22)
p 
L
 mr 2 sin 2   J   J  mr 2 sin 2   .

(23)
Тогда
dpr
 mr ,
dt
dp
dt
(24)
 2mrr sin 2    J  mr 2 sin 2   .
(25)
Определяем функцию Гамильтона. В нашем случае:
1
1
1
H  pr r  p  mr 2   J  mr 2 sin 2   2  mgr cos  c 2 .
2
2
2
Подставляя из (22) и (23) зависимости для r  , получаем:
2
p2
p2
pr2
1  pr  1
2
2
H

 m     J  mr sin  

2
2
2
m  J  mr 2 sin 2   2  m  2
 J  mr sin  
2
r
p2
.
1
1p
1
1
 mgr cos   c 2 

 mgr cos   c 2
2
2
2
2 m 2  J  mr sin  
2
Тогда:
p2 mr sin 2 
H

 mg cos    2 mr sin 2   mg cos  ;
2
2
2
r
 J  mr sin  
11
(26)
H
 c .

(27)
Подставляя (24) и (26), а также (25) и (27) в уравнения (20),
получаем:
mr  m 2r sin 2   mg cos
или
r  2r sin 2   g cos  0 ;
(28)
2mrr sin 2    J  mr 2 sin 2    c
или
 J  mr
2
sin 2    2mrr sin 2   c  0 .
(29)
Уравнения (28) и (29) являются дифференциальными уравнениями
движения системы в обобщенных координатах.
Момент инерции пластины определяется согласно таблице 1. В
нашем случае:
m1a 2
.
J
3
12
z
1
2
z
B
B
R
α
2a
2b
A
R
А
О
О
z
3
z
4
A
В
a/4
R
a
a
А
B
a
О
О
z
5
6
z
B
В
a
А
b
А
R
a
О
О
z
z
7
B
8
R
R
b
A
А
b
a
a
О
О
Рис. 3а
13
a
B
z
z
9
10
a/2
a/4
B
B
R
b
А
α
α
a/2
A
a
a/2
О
О
z
11
B
R
z
12
a
a
a
А
А
a
R
B
О
О
z
13
z
14
B
A
B
a
R
a
A
О
О
z
15
z
16
B
R
A
a
a
a
R
A
B
2a
b
О
О
Рис. 3б
.
14
a
z
z
17
18
A
B
a
R
a
a
a
a
R
B
А
О
О
z
19
z
20
b
А
B
B
a
R
A b
a
a
О
О
z
21
z
22
B
b
a
B
b
A
a
A
R
a
z
23
z
24
b/2
А
b
A
B
R
b/2
B
a
a
О
О
Рис. 3в
15
Таблица 1
Основные моменты инерции однородных тел
Jx
Jz
Jy
z
mR 2
2
R
mR 2
4
z
mR 2
4
R
O
x
O
x
z
R
y
m  R2  r 2 
m  R2  r 2 
z
2
4
4
R
m  a 2  b2 
b
O
a
y
x
z
x
m  R2  r 2 
O
r
x
y
y
3
mb 2
3
O
r
z
ma 2
3
b
y
x
b
a
Ob
a
ma 2
3
z
0
ma 2
3
z
y
x
a
Oa
y
y
x
a
O
Евгений Самуилович Брискин
Ирина Петровна Вершинина
Алла Григорьевна Щукина
Методы аналитической механики
Методические указания
Темплан 2010 г., поз. №
Подписано в печать
.
. Формат 60х84 1/16. Бумага газетная.
Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л.
Тираж
экз. Заказ
.
.
Волгоградский государственный технический университет.
400131 Волгоград, пр. им В.И.Ленина, 28.
Отпечатано в типографии ВолгГТУ
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
17