Решение текстовых задач повышенной сложности: подготовка к

Министерство образования и молодежной политики ЧР
Чувашский республиканский институт образования
Кафедра физико-математических дисциплин
ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС
РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
Выполнила: Кузьмина Г.П.
учитель математики
МОУ «Шоршелская СОШ»
Марпосадского района ЧР
Руководитель: Хрисанова З.И.
методист кафедры ФМД ЧРИО
Чебоксары 2007
Пояснительная записка
Анализ результатов проведения ЕГЭ с момента ее существования говорит
о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет в
среднем около 30%. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство
учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач и не
умеют за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания,
которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной
программы. По этой причине возникла необходимость более глубокого
изучения этого традиционного раздела элементарной математики.
Данный элективный курс рассчитан в первую очередь на учащихся,
желающих расширить и углубить свои знания по математике, сделать
правильный выбор профиля обучения в старших классах и качественно
подготовиться к ЕГЭ и конкурсным экзаменам в вузы. Он поможет школьникам
систематизировать полученные на уроках знания по решению текстовых задач
и открыть для себя новые методы их решения, которые не рассматриваются в
рамках школьной программы.
Полный минимум знаний, необходимых для решения всех типов текстовых
задач, формируется в течение первых девяти лет обучения в школе, поэтому
представленный элективный курс «Решение текстовых задач» рекомендуется
вводить с 9-го класса.
Представленный элективный курс содержит 8 тем. Первая тема
«Текстовые задачи и техника их решения» является обзорной. При ее
раскрытии акцент должен быть сделан на выделение основных этапов решения
текстовых задач и их назначение. Следует также обратить внимание учащихся
на важность умелого письменного оформления. Следующие темы - «Задачи на
движение», «Задачи на проценты», «Задачи на смеси, сплавы, растворы»,
«Задачи на работу», «Задачи на прогрессии», - закрепляют и дополняют знания
учащихся, полученные на уроках. Последние две темы - «Нестандартные
способы решения текстовых задач», «Текстовые задачи на конкурсном
экзамене» - выходят за рамки школьной программы и значительно
совершенствуют навыки учащихся в решении текстовых задач.
Всего на проведение занятий отводится 34 часа. Провести занятия можно в
форме обзорных лекций с разбором ключевых задач или в форме семинаров,
нацелив учащихся на предварительную подготовку и самостоятельный поиск
материалов с их последующим обсуждением. В программе предусмотрено
проведение пяти тематических зачетов ( по одному часу каждый ) и два часа на
итоговую самостоятельную работу.
Цели и задачи курса:
определить уровень способностей учащихся и уровень их готовности к
профильному обучению в школе и вузе;
систематизировать ранее полученные знания по решению текстовых задач;
познакомить учащихся с разными типами задач, особенностями методики и
различными способами их решения;
реализовать межпредметные связи.
Ожидаемые результаты:
После изучения курса учащиеся должны:
Уметь определять тип текстовой задачи, знать особенности методики ее
решения, использовать при решении различные способы;
Уметь применять полученные математические знания при решении задач;
Уметь использовать дополнительную математическую литературу.
Содержание курса
Текстовые задачи и техника их решения (2 ч)
Текстовая задача. Виды текстовых задач и их примеры. Решение текстовой
задачи. Этапы решения текстовой задачи. Решение текстовых задач
арифметическими приемами. Решение текстовых задач методом составления
уравнения, неравенства или их систем. Значение правильного письменного
оформления решения текстовых задач. Решение текстовой задачи с помощью
графика. Чертеж к текстовой задаче и его значение для построения
математической модели.
Задачи на движение (4 ч)
Движение тел по течению и против течения. Равномерное и
равноускоренное движение тел по прямой линии в одном направлении и
навстречу друг другу. Движение тел по окружности в одном направлении и
навстречу друг другу. Формулы зависимости расстояния, пройденного телом,
от скорости, ускорения и времени в различных видах движения. Графики
движения в прямоугольной системе координат. Чтение графиков движения и
применение их для решения текстовых задач. Решение текстовых задач с
использованием элементов геометрии. Особенности выбора переменных и
методика решения задач на движение. Составление таблицы данных задачи и ее
значение для составления математической модели. Зачет по теме.
Задачи на проценты (6 ч)
Понятие процента. Нахождение процента от числа, числа по его проценту,
составление процентного отношения. Решение типовых задач на проценты.
Алгоритм решения задач методом составления уравнений. Формула начисления
«сложных процентов», формула простого процентного роста. Решение задач на
применение этих формул. Процентные расчеты в различных сферах
деятельности. Проценты в окружающем мире (распродажи, тарифы, штрафы,
банковские операции и голосование). Зачет по теме.
Задачи на сплавы, смеси, растворы (5 ч)
Формула зависимости массы или объема вещества от концентрации и массы
или объема. Особенности выбора переменных и методика решения задач на
сплавы, смеси, растворы. Составление таблицы данных задачи и ее значение
для составления математической модели. Зачет по теме.
Задачи на работу (4 ч)
Формула зависимости объема выполненной работы от производительности и
времени ее выполнения. Особенности выбора переменных и методика решения
задач на работу. Составление таблицы данных задачи и ее значение для
составления математической модели. Зачет по теме.
Задачи на прогрессии (4ч)
Формула общего члена и суммы первых n членов арифметической и
геометрической прогрессий. Особенности выбора переменных и методика
решения задач на прогрессии. Зачет по теме.
Нестандартные способы решения текстовых задач (5 ч)
Нестандартные способы решения обычных «стандартных» задач и задач
олимпиадной и конкурсной тематики, специальные приемы их решения:
переформулировка задачи, использование «лишних» неизвестных, делимости и
диофантовых уравнений, решение задач в общем виде (когда все или некоторые
значения величин в условии обозначены буквой), метод подобия.
Текстовые задачи на конкурсном экзамене (4 ч)
Текстовые задачи для предварительного отбора. Текстовые задачи для
конкурсного отбора и способы их решения: арифметические способы решения,
применение линейного, квадратного, рационального уравнения или их систем,
а в качестве усложнения каждого из этих приемов применяются «лишние»
неизвестные, чему в большинстве учебников не обучают.
Итоговая самостоятельная работа (2 ч)
Итоговая работа является заключительным отчетом, подтверждающим
усвоение основных идей и владение основными приемами решения текстовых
задач, изложенными в курсе.
Рекомендуемая литература.
1. Булынин В. Применение графических методов при решении текстовых
задач (Математика, 2005, № 14).
2. Шевкин А. Текстовые задачи в школьном курсе математики 5-9 классы
(лекции 1-8). Математика, 2005, № 17- № 24.
3. Элективные курсы для предпрофильной подготовки. Математика, 2007,№
14.
4. Агаков В. Г. и другие. ЕГЭ по математике-2005.
5. Балаян Э. Н. Репетитор по математике для поступающих в вузы.2005.
6. Тестовые задания за 2001-2006 годы.
Дидактические материалы к элективному курсу
Задачи на движение
S
S
,t .
v
t
При этом надо иметь в виду, что указанные величины должны быть в одной системе единиц.
В задачах на движение по реке необходимо помнить формулы:
vпо теч.  vсоб.  vтеч.
При решении задач на движение используются формулы: S  v  t , v 
vпротив теч.  vсоб.  vтеч.
Кроме того, что если два тела начинают движение одновременно, то в случае, если они
встречаются, каждое с момента выхода и до встречи затрачивают одинаковое время. Точно
также обстоит дело в случае, если одно тело догоняет другое. Если же тела выходят в разное
время, то до момента встречи из них затрачивает времени больше то, которое выходит
раньше.
ЗАДАЧА 1. Пешеход, идущий из совхоза на железнодорожную станцию, пройдя за
первый час 3 км, рассчитал, что он опоздает к отходу поезда на 40 мин, если будет идти с той
же скоростью. Поэтому остальной путь он прошел со скоростью 4 км/ч и прибыл на станцию
за 15 мин до отхода поезда. Чему равно расстояние от совхоза до станции и с какой
постоянной скоростью на всем пути пешеход пришел бы на станцию точно к отходу поезда?
РЕШЕНИЕ. Составим таблицу:
Расстояние, км.
Скорость, км/ч.
Время, ч.
Точно
x
X
v
v
С опозданием
x3
X -3
3
3
С опережением
x3
X-3
4
4
1
2
ч, а 40 мин = ч.
4
3
Тогда, уравнивая промежутки времени, записанные в таблице, получим систему уравнений:
2
x x 3

1 ,

v
3
3

 x  x  3 1 1
v
4
4

Сравнивая правые части уравнений системы, имеем
x3
2 x3
1
1 
1
3
3
4
4
или
14
 3,5 (км/ч)
4 x  12  4  3x  9  15, x  14 , тогда v 
4
Ответ: 14 км, 3,5 км/ч.
Заметим, что 15 мин =
ЗАДАЧА 2. Велосипедист и пешеход вышли из пунктов А и В, расстояние между
которыми 12 км, и встретились через 20 мин. Пешеход прибыл в пункт А на 1ч 36 мин
позже, чем велосипедист в пункт В. Найти скорость пешехода.
РЕШЕНИЕ. Обозначим через x км/ч скорость пешехода. Тогда 12 км из В в А пешеход
пройдет за 12/x ч, а велосипедист это же расстояние из А в В на 1ч 36 мин=1,6ч быстрее, т. е.
12 x
3x
 12

 12


за 12 :   1,6  ч со скоростью 12 :   1,6  
км/ч. Велосипедист и
 x

 x
 12  1,6 x 3  0,4 x
1
пешеход, двигаясь навстречу друг другу, расстояние 12 км прошли за 20мин = ч.
3
Составим уравнение:
1
1
3x
x 
 12 или 0,4 x 2  20,4 x  108  0 , x 2  51x  270  0 , откуда x1  6, x2  45 .
3
3 3  0,4 x
Значение x  45 невозможно, так как х – скорость пешехода.
Ответ: 6 км/ч.
ЗАДАЧА 3. Найти длину поезда, зная, что он проходил с постоянной скоростью мимо
неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с на то, чтобы проехать с той же
скоростью вдоль платформы длиной 378 м.
РЕШЕНИЕ. Пусть х – длина поезда, тогда скорость поезда мимо неподвижного
x
x  378
пассажира будет
м/с, а скорость поезда мимо платформы будет
м/с. Согласно
7
25
условию задачи эти скорости равны, т. е. имеем уравнение:
x x  378

или 25x  7 x  378  7 , откуда x  147 . Следовательно, длина поезда 147 м.
7
25
Ответ: 147 м.
ЗАДАЧА 4. Моторная лодка прошла 5 км по течению и 6 км против течения реки,
затратив на весь путь 1ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найти скорость лодки по
течению.
РЕШЕНИЕ. Пусть собственная скорость движения лодки х км/ч, где x  0 . Составим
таблицу.
Скорость, км/ч.
Расстояние, км.
Время, ч.
По течению
х+3
5
5
x3
Против течения
6
x 3
6
x 3
Так как на весь путь моторная лодка затратила 1 ч, то получим уравнение:
5
6

 1,
x 3 x3
5( x  3)  6( x  3)  x 2  9,

 x  3,
5 x  15  6 x  18  x 2  9 или x 2  11x  12  0 , откуда x1  12, x2  1 (не подходит, так как
x  0 ).
Если x  12 , то x  3  15 . Итак, скорость лодки по течению реки 15 км/ч.
Ответ: 15 км/ч.
ЗАДАЧА 5. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились
через 3 ч 20 мин. Сколько времени понадобится каждому из них, чтобы пройти все
расстояние, если первый пришел в то место, из которого вышел второй, на 5 ч позже, чем
второй пришел в то место, откуда вышел первый?
РЕШЕНИЕ. Так как в задаче нет никаких данных о пройденном расстоянии, то все
1
1
расстояние примем за 1. Тогда скорость первого пешехода будет v1  , а второго – v2  ,
x
y
где х часов – время в пути первого пешехода, а у часов – время второго пешехода.
Согласно условию задачи имеем систему уравнений:
1 1
 1 1
1 1 3
3   3   1,
   ,
3 y
или  x y 10
 3 x
x  y  5
 x  y  5.


Решая полученную систему способом подстановки, получим x  10, y  5 .
Ответ: 10 ч, 5 ч.
Задачи для самостоятельной работы
1. Расстояние между городами А и В по шоссе равно 50 км. Из города А в город В
отправился велосипедист, а через 1ч 3 мин вслед за ним отправился мотоциклист, который
обогнал велосипедиста и прибыл в город В на 1ч раньше его. Найти скорость каждого, зная,
что мотоциклист двигался со скоростью в 2,5 раза большей, чем велосипедист.
2. Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит за 1 ч 30 мин. Если его
скорость увеличить на 10 км/ч, то это же расстояние электропоезд пройдет за 1ч 20мин.
Определить расстояние между станциями.
3. Пассажир, ехавший в поезде со скоростью 40 км/ч, заметил, что встречный поезд проехал
мимо за 3с. Определить скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75 км.
4. Переднее колесо повозки на некотором расстоянии сделало на 15 оборотов больше
заднего. Окружность переднего колеса равна 2,5м, а заднего – 4м. Сколько оборотов сделало
каждое колесо и какое расстояние проехала повозка?
5. Из двух городов, расстояние между которыми 650 км, отправляются одновременно
навстречу друг другу два поезда. Через 10 ч после отправления поезда встретятся. Если же
первый поезд отправится на 4ч 20мин раньше второго, то встреча произойдет через 8ч после
отправления второго поезда. Найти скорость каждого поезда.
6. По окружности, длина которой 999м, движутся два тела по одному и тому же
направлению и встречаются через каждые 37 мин. Определить скорость каждого тела, если
известно, что скорость первого в 4 раза больше скорости второго.
7. Лодка против течения прошла 22,5 км и по течению 28,5 км, затратив на весь путь 8ч.
Определить скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2,5 км/ч.
8. Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5ч 20 мин вслед за плотом из того
же пункта вышла моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Найти скорость
плота, если известно, что скорость моторной лодки на 12 км/ч больше скорости плота.
9. Поезд должен был пройти 840 км. В середине пути он был задержан на 30 мин, а потому,
чтобы прибыть вовремя, должен был увеличить скорость на 2 км/ч. Сколько времени поезд
затратил на весь путь?
10. Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов А и В, расстояние между
которыми 28 км, и встретились через час. С какой скоростью двигался каждый велосипедист,
если один прибыл в пункт В на 35 мин позже, чем другой в пункт А?
11. Два поезда выходят одновременно из пунктов М и N, расстояние между которыми 45 км,
и встречаются через 20 мин. Поезд вышедший из М, прибывает на станцию N на 9 мин
раньше, чем другой поезд в М. Какова скорость каждого поезда?
Задачи «на сплавы и смеси»
Задачи этого раздела вызывают наибольшие, затруднения. Речь в этих задачах идет о
составлении смесей, сплавов, растворов и т. д. Решение этих задач связано с понятиями
«концентрация», «процентное содержание», «влажность» и т. д.
ЗАДАЧА 1. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г
15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
РЕШЕНИЕ.
Пусть было взято х граммов 30% -ного раствора, а 10%-ного - у граммов, тогда
x  y  600 . Так как первый раствор 30% -ный, то в х граммах этого раствора содержится 0,3
х грамма кислоты. Аналогично в у граммах 10%-ного раствора содержится 0,1 у грамма
кислоты. В полученной смеси по условию задачи содержится 600  0,15  90 г кислоты,
следовательно, получим уравнение:
0,3x  0,1y  90 или 3x  y  900
Таким образом, имеем систему уравнений
 x  y  600,

3x  y  900.
Вычитая из II уравнения I, получим 2х = 900 – 600; откуда х = 150, тогда у = 600 – 150 =
450.
Ответ: 150 г, 450г.
ЗАДАЧА 2. Вычислить массу и пробу сплава серебра с медью, зная, что сплавив его с
3кг чистого серебра, получим сплав 900-й пробы (т. е. в сплаве 90% серебра), а сплавив с 2 кг
сплава 900-й пробы, получили сплав 840-й пробы.
РЕШЕНИЕ.
Пусть масса данного сплава х кг, в нем содержится у % серебра: 0,01 ху кг серебра
находится в данном сплаве, (х + 3) кг – масса нового сплава, в нем содержится (0,01 ху + 3) кг
серебра.
Так как новый сплав 900-й пробы, значит, в нем содержится серебра
0,9(х + 3) кг. Следовательно, имеем уравнение 0,01ху + 3 = 0,9(х + 3).
(х + 2) кг – масса III сплава 840-й пробы. В нем содержится 0,84 (х + 2) кг серебра. Но этот
сплав состоит из х кг данного (0,01 ху серебра) и 2 кг 900-й пробы (1,8 кг серебра). Получим
второе уравнение: 0,01 ху + 1,8 = 0,84 (х + 2).
Таким образом, имеем систему уравнений
0,01xy  3  0,9( x  3),

0,01xy  1,8  0,84( x  2) /
Вычитая из I уравнения системы II, получим
3 – 1,8 = 0,9 (х + 3) – 0,84 (х + 2) или, упрощая, находим x  3 . Подставив значение х = 3 в I
уравнение системы, находим у = 80.
Значит, данный сплав массой 3 кг содержит 80% серебра.
Ответ: масса сплава 3 кг 800-й пробы.
ЗАДАЧА 3. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди.
Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав
содержал 40% меди?
РЕШЕНИЕ.
Пусть х кг – масса олова, которую надо добавить к сплаву. Тогда получится сплав
12  x
 40 кг
100
12
 45 кг.
меди. Исходный сплав массой 12кг содержал 45% меди, т. е. меди и нем было
100
массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется
Так как масса меди и в первоначальном, и в новом сплаве одна и та же, то получим
уравнение
12  x
12
 40 
 45 или 8(12  x)  9  12 , откуда находим х = 1,5. Следовательно,
100
100
к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.
Ответ: 1,5 кг.
Задачи «на разбавление»
ЗАДАЧА 1. Из бака, наполненного спиртом, вылили часть спирта и долили водой;
потом из бака вылили столько же литров смеси; после этого в баке осталось 49 л чистого
спирта. Сколько литров спирта вылили в первый раз и сколько во второй, если вместимость
бака 64л?
РЕШЕНИЕ.
Если в первый раз вылили х л спирта, то осталось (64 – х) л спирта. Когда долили бак
водой, получили 64 л смеси спирта и воды, в которой содержится (64 – х) л спирта. Затем х л
спирта смеси вылили, значит, вылили и спирт.
x(64  x)
x(64  x)
л спирта вылили во второй раз, (64  x) 
л осталось в баке.
64
64
Так как в баке осталось 49 л спирта, то можно составить уравнение:
x(64  x)
 49 ,
64
64(64  x)  x(64  x)  64  49 ,
(64  x) 
64(64 – х) – х (64 – х) = 64 ∙ 49,
(64  x) 2  64  49 , или 64 – х = ± 56, откуда x1  8, x2  120 (не удовлетворяет условию
задачи).
Итак, в первый раз вылили 8 л спирта, а во второй
8(64  8) 8  56

 7 (л) спирта.
64
64
Ответ: 8 л; 7 л.
ЗАДАЧА 2. Сосуд емкостью 8 л наполнен воздухом, содержащим 16% кислорода. Из
этого сосуда выпускают некоторое количество воздуха и впускают такое же количество
азота, после чего опять выпускают такое же, как и в первый раз, количество смеси и опять
дополняют таким же количеством азота. В новой смеси оказалось кислорода 9%.
Определить, по сколько литров выпускалось каждый раз из сосуда.
РЕШЕНИЕ.
Пусть из сосуда выпущено х л воздуха и введено такое же количество азота. В
оставшемся количестве (8 – х) л воздуха содержится (8 – х) ∙ 0,16 л кислорода. Это
количество приходится на 8 л смеси, так что на 1 л приходится
0,16(8  x)
л кислорода.
8
Следовательно, когда вторично х л смеси заменяется х л азота, остающееся количество (8 – х)
л смеси содержит
0,16(8  x)
 (8  x)  0,02(8  x) 2 л кислорода. Значит, по отношению к общему
8
количеству смеси (8 л) содержание кислорода составляет
0,02(8  x) 2
(8  x) 2
. Согласно условию, получим уравнение:
 100 
8
4
(8  x) 2
 9 , откуда (8  x) 2  36 , 8  x  6 , то есть x1  2, x2  14 .
4
Очевидно, что 14 л выпустить из сосуда, в котором было 8 л, невозможно.
Значит, каждый раз из сосуда выпускали по 2 л смеси.
Ответ: 2 л.
Задачи на «совместную работу»
Основными компонентами этого типа задач являются:
работа;
время;
производительность труда.
ЗАДАЧА 1. Две бригады должны были закончить уборку урожая за 12 дней. После 8
дней совместной работы I бригада получила другое задание, поэтому II бригада закончила
оставшуюся часть работы за 7 дней. На сколько дней II бригада убрала бы весь урожай
быстрее I, если бы каждая бригада работа отдельно?
РЕШЕНИЕ.
Обозначим весь урожай через 1. Пусть I бригада может убрать весь урожай за х дней, а
II - за у дней.
1
1
Тогда производительность труда I бригады будет – , а II –
это часть урожая,
x
y
которую убирает каждая бригада ежедневно.
Согласно условию задачи имеем систему уравнений
1 1 1
 x  y  12 ,


8 1  1   7  1  1;
  x y 
y
 x  28,

 y  21;
1 1 1
 x  y  12 ,

 8  7  1  1;
12
y
1 1 1
 x  y  12 ,


7  1  1 ;
 y 3
1 1
  ,
 x 28
 y  21;
Итак, I бригада уберет весь урожай за 28 дней, а II – за 21 день, т. е. II бригада весь
урожай уберет на 7 дней быстрее I.
Ответ: 7 дней.
ЗАДАЧА 2. Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 ч.
За сколько часом может наполнить бассейн I труба, если она, действуя одна, наполняет
бассейн на 3ч быстрее, чем II?
РЕШЕНИЕ.
Обозначим через х время наполнения бассейна I трубой. Заметим, что, в каких
единицах измеряется объем бассейна, в задаче не сказано. Следовательно, для решения
задачи это неважно, и мы вместо условных единиц и обозначения V можем принять в
принципе любое число, из которого самое удобное – 1. Составим таблицу.
Процессы заполнения бассейна
Величины
I трубой
II трубой
I и II вместе
V
1
1
1
N, 1/ч
1
x
1
2
t, ч
x?
3
x3
x3
2
N – работа в единицу
времени;
V  N t ;
N совм.  N I  N II ;
t совм.  t I  t II
Составим уравнение:
1
1
1

 , где x  0, x  3 .
x x3 2
Решая уравнение, находим x1  3, x 2  2 (не удовлетворяет условию задачи). Значит,
I труба наполняет бассейн за 3 ч.
Ответ: 3 ч.
ЗАДАЧА 3. Первому трактору на вспашку всего поля требуется на 2 ч меньше, чем
третьему, и на 1 ч больше, чем второму. При совместной работе первого и второго
тракторов поле может быть вспахано за 1 ч 12 мин. Какое время на вспашку поля будет
затрачено при совместной работе всех трех тракторов?
РЕШЕНИЕ.
Пусть х ч – время, необходимое для вспашки поля I трактору, у ч – II трактору и z ч – III
трактору.
Примем площадь всего поля за 1, тогда
1
1
1
– производительность I,
– II,
– III
x
y
z
трактора. Согласно условию задачи имеем
z  x  2 и x  y  1.
Так как 1 ч 12 мин =
6 1 6
6
ч, то за это время I трактор выполнит  
часть работы,
5
5 x 5x
6
6
6 1 6
– часть работы. Следовательно, имеем уравнение

 1 или
 
5 y 5y
5x 5 y
1 1 5
  . Таким образом, задача сводится к решению системы трех уравнений с тремя
x y 6
а II –
неизвестными:

 z  x  2,

 x  y  1,
1 1 5
   ;
 x y 6

 z  x  2,

 y  x  1,
1
1
5
 
 .
 x x 1 6
Решив третье уравнение системы, находим x1  3, x 2  0,4 (не удовлетворяет
условию задачи, так как x  0 ).
Если x  3 , то z  5 и y  2 . Следовательно, при совместной работе трех тракторов
производительность труда составит
тракторами составит
Ответ:
1 1 1 31
   , тогда время на вспашку поля тремя
3 2 5 30
30
ч.
31
30
ч.
31
Задачи «на проценты»
ЗАДАЧА 1. Если из 225 кг руды получается 34,2 кг меди, то каково процентное
содержание меди в руде?
РЕШЕНИЕ.
Если 225 кг руды - 100 %, то
34, 2 кг – х %, откуда
x  34,2 100 : 225 или х = 15,2 %.
Ответ: 15,2%.
ЗАДАЧА 2. Цену товара сперва снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на
15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение ее на 10%. Па сколько процентов
всего снизили первоначальную цену товара?
РЕШЕНИЕ.
Пусть х руб. – первоначальная цена товара, что соответствует 100%. Тогда после I
снижения цена товара будет х – 0,2х = 0,8x (руб.).
После II снижения 0,8x  0,15  0,8x  0,68 x (руб.), а после III снижения
0,68 x  0,68 x  0,1  0,612 x (руб.).
Всего цена товара снизилась на x  0,612 x  0,388 x (руб.).
Итак, х – 100%,
0,388х – у, откуда имеем y  (0,388  100%) : x  38,8% . Таким образом,
первоначальную цену товара снизили всего на 38,8 %.
Ответ: на 38,8 %.
ЗАДАЧА 3. Антикварный магазин, купив два предмета за 225000 руб., продал их,
получив 40% прибыли. Что стоит магазину каждый предмет, если на первом прибыли
получено 25%, а на втором 50%?
РЕШЕНИЕ.
Пусть I предмет куплен за х руб., тогда II куплен за (225000 – х) руб. При продаже I
предмета получено 25% прибыли. Значит, он продан за 1,25x руб.
Второй предмет, на котором получено 50% прибыли, продан за
1,5 ∙ (225000 – х) руб. По условию общий % прибыли (по отношению к покупной цене
225000 руб.) составлял 40%. Значит, общая сумма выручки была 1,40  225000  315000
руб.
Имеем уравнение 1,25x + 1,5 (225000 – х) = 315000. Умножая обе части уравнения на 4,
получим 5х + 6 (225000 – х) = 315000 ∙ 4,
или 6х – 5х = 6 ∙ 225000 – 4 ∙ 315000, откуда
х = = 90 000, тогда 225000 – х = 135000.
Итак, I предмет куплен за 90000 руб., II – за 135000 руб.
Ответ: 90000 руб., 135000 руб.
ЗАДАЧА 4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 3 5 м. Определить
1
катеты, если известно, что после того, как один из них увеличить на 133 %, а другой на
3
2
16 %, сумма их длин сделается равной 14 м.
3
РЕШЕНИЕ.
Пусть длины катетов (в метрах) – х и у. Так как гипотенуза равна 3 5 м, то по теореме
Пифагора получим уравнение x 2  y 2  (3 5 ) 2 или x 2  y 2  45 .
1
1
1
После увеличения на 133 %, т.е. на 133 : 100  1 своей длины, I катет станет
3
3
3
1
2
1
равным 2 x , а II катет после увеличения на 16 % будет равен 1 y . Получим уравнение:
3
3
6
1
1
2 x  1 y  14 .
3
6
В итоге имеем систему уравнений:
 x  y 2  45,

 1
1
2 x  1 y  14;
6
 3
2
 x 2  y 2  45,

7
7
 x  y  14;
6
3
 x 2  y 2  45,

2 x  y  12;
 x 2  (12  2 x) 2  45,

 y  12  2 x;
откуда находим x  3, y  6 .
Ответ: 3 м, 6м.
ЗАДАЧА 5. При выполнении работы по математике 12% учеников класса вовсе не
решили задачи, 32% решили с ошибками, остальные 14 человек решили верно. Сколько
учеников было в классе?
РЕШЕНИЕ.
Верно решившие 14 человек составляют 100% – (12% + 32%) = 56% всех учеников
класса. Тогда общее число учеников класса будет равно 14 ∙ 100 : 56 = = 25 (учеников).
Ответ: 25 учеников.
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Улу-Юльская средняя общеобразовательная школа
РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
Программа элективного курса для учащихся 9 класса
Составитель: Попова Л.А.,
учитель математики
первой квалификационной категории
Улу-Юл 2008
Пояснительная записка
Умение решать задачи является одним из основных критериев уровня
математического развития, глубины освоения учебного материала. Поэтому на
всех экзаменах, как в школе, так и на приемных в вузы и техникумы, в
контрольных измерительных материалах ЕГЭ, в тестах предлагаются задачи.
Довольно часто встречаются случаи, когда ученик показывает хорошие
знания в области теории, но запутывается при решении весьма несложной
задачи, несмотря на то, что каждый в школе решает огромное число задач.
Одна из целей обучения математике – научить учащихся решать задачи.
Одно из средств повышения эффективности обучения математике –
систематическое и целенаправленное формирование умений решать задачи.
Текстовые задачи вызывают трудности у школьников. Причин такого
положения много. Одни ученики вникают в процесс решения задач, стараются
понять, в чем состоят приемы и методы решения, изучают задачи. Другие же не
задумываются над этим и решают задачи зачастую ради получения ответа.
Трудность происходит и от недостаточного внимания, уделяемого решению
задач на совместную работу, на «сложные проценты», на движение и.т. д.
Данным курсом попытаемся восполнить этот пробел. Предлагаемый
элективный курс тесно примыкает к основному школьному курсу, но он
позволит обобщить тему по решению задач разного типа, классифицировать их,
расширить знания по теме.
Задачи можно условно разбить на следующие типы задач:
1. Задачи «на совместную работу»;
2. Задачи «на планирование»;
3. Задачи «на движение»;
4. Задачи «на смеси и разбавление»;
5. Задачи «на проценты»;
6. Задачи «на нахождение экстремума функции»;
7. Задачи с буквенными коэффициентами;
8. Другие виды задач.
Цели курса:
развитие умений и навыков решения текстовых задач;
обобщение теоретических знаний по теме;
развитие математических способностей, логического и
творческого мышления;
приобретение навыков элементов анализа;
повышение интереса к предмету.
Задачи:
расширить знания по школьному курсу математики «Решение
задач»;
приобрести навыки логического мышления, умения
анализировать задачу;
научиться решать задачи разного типа.
Данный курс предназначен для учащихся 9-10 классов. Школьники,
изучившие данный материал, смогут применить его при подготовке к
экзаменам в 9 и 11 классах при решении конкурсных задач.
Форма итогового контроля – контрольная работа или защита
собственного реферата.
Содержание программы
Введение. Основные понятия, необходимые для решения задач: работа,
время, производительность труда. (1 ч.).
Решение задач на вычисление неизвестного времени работы (2 ч.).
Решение задач «бассейн, который наполняется разными трубами» (2 ч.).
Решение задач на путь, пройденный движущимися телами, как совместная
работа (2 ч.).
Итоговый контроль (2 ч.).
№
Учебно-тематический план
Тема
Кол-во
Вид деятельности
часов
1.
Основные понятия,
1ч
необходимые для решения
Лекция. Применение
знаний в решении задач.
задач на совместную работу
2.
Решение задач на вычисление
2ч
неизвестного времени работы
Урок-практикум.
Отработка умений и
навыков
3.
Решение задач на «бассейн,
который наполняется разными
2ч
Урок-практикум.
Отработка умений и
трубами»
4.
5
навыков
Решение задач на путь,
2ч
Урок-практикум.
пройденный движущимися
Исследование задач, пути
телами, как совместная работа
их решения.
Итоговый контроль
2ч
Контрольная работа или
защита реферата.
Итого
9ч
Дидактический материал
2. Задачи на совместную работу.
Некоторые указания к задачам на совместную работу.
1. Основными компонентами этого типа задач являются:
а) работа;
б) время;
в) производительность труда (работа, выполненная в единицу времени).
2. План решения задачи обычно сводится к следующему:
а) Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1, если речь
идет о выполнении некоторой работы, не охарактеризованной в
количественном плане.
б) Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т. е.
1/t, где t – время, за которое указанный рабочий может выполнить всю
работу, работая отдельно.
в) Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий
отдельно, за то время, которое он работал.
г) Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы (т. е. 1) к сумме
слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная
отдельно каждым из рабочих (если в условии сказано, что при совместной
работе всех рабочих выполнен весь объем работы ).
3. Следует заметить, что в указанных задачах не всегда сравнивается
выполненная работа. Основанием для составления уравнения может служить
также указанное в условии соотношение затраченного времени или
производительности труда.
Вычисление неизвестного времени работы.
1. Три трактора вспахивают поле. Чтобы вспахать все поле, первому трактору
требуется времени на 1 ч. больше, чем второму, и на 2 ч. меньше, чем
третьему. Первый и третий тракторы при совместной работе вспашут все
поле за 2 ч 24 мин. Сколько времени уйдет на вспашку поля при совместной
работе трех тракторов?
Решение:
Первый этап. Составление математической модели
Пусть х ч – время, необходимое первому трактору, чтобы вспахать поле в
одиночку;
у ч – время, необходимое второму трактору, чтобы вспахать поле в одиночку;
z ч – время, необходимое третьему трактору, чтобы вспахать поле в одиночку.
Тогда, согласно условиям задачи, х - у = 1, z - х = 2.
Если все поле (т. е. 1 ) первый трактор может вспахать за х ч, то за 1 ч он
вспашет часть поля, выраженную дробью 1/х:
1/х – часть поля, которую вспашет 1-й трактор за 1 ч,
1/у – часть поля, которую вспашет 2-й трактор за 1 ч,
1/ z – часть поля, которую вспашет 3-й трактор за 1 ч.
По условию, работая вместе, 1-й и 3-й тракторы вспахали все поле за 2 ч 24
мин, т. е. за 12/5 ч. Это значит, что
12  1 1 
1 1 5
     1, т.е.  
5 х у
х у 12.

 х  у  1,

 z  х  2,
1 1 5
   .
 х z 12
В итоге получаем систему из трех уравнений с тремя переменными:
Второй этап Работа с составленной моделью
Воспользуемся методом подстановки. Выразим z через х из второго
уравнения системы: z = х +2. Подставим выражение х + 2 вместо z в третье
уравнение системы:
1
1
5

 .
х х  2 12
Решая это уравнение, получаем: 12х + 24 + 12х = 5х2 + 10х;
5х2 - 14х - 24 = 0;
х1 = 4;
х2 = - 6/5.
Оба найденных значения являются корнями рационального уравнения.
Находим значения у и z. Для этого воспользуемся уравнениями х - у = 1,
z - х = 2.
Если х = 4, то из этих уравнений находим у = 3, z = 6;
Если х=-6/5, то из тех же уравнений находим у=-11/5, z=4/5.
Итак, составленная система уравнений имеет два решения: (4; 3; 6) и
(-6/5, -11/5; 4/5).
Третий этап. Ответ на вопрос задачи
Во-первых, по смыслу задачи отрицательные значения переменных нас
не устраивают, следовательно, оставляем только одну тройку значений
(4; 3; 6).
Во-вторых, нас спрашивают, сколько времени уйдет на вспашку поля при
совместной работе трех тракторов? Будем рассуждать так.
За 1 ч первый трактор вспашит 1/4 поля, второй - 1/3, третий - 1/6. Значит
, при совместной работе они вспашут за 1 ч 3/4 поля, а за t ч,
соответственно, 3 t/4. Если они вспашут все поле, то 3 t/4=1, откуда t=4/3.
Осталось лишь уточнить, что 4/3 ч=1 ч 20 мин.
Ответ: 1 ч 20 мин.
2. В 7, 2003 г.
Две бригады закончить уборку урожая за 12дней. После 8 дней
совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому
вторая бригада закончила оставшуюся часть работы за 7 дней. На сколько
дней вторая бригада убрала бы весь урожай быстрее первой, если бы
каждая бригада работала отдельно?
Краткое решение.
Пусть х ч – время, необходимое первой бригаде, чтобы закончить уборку
урожая;
у ч – время, необходимое второй бригаде, чтобы закончить уборку
урожая;
За один день они уберут
1 1 1
 
х у 12
Вместе они проработали 8 дней, а оставшуюся часть убирала вторая
бригада, т. е.8  8  7  1
х
у
у
В итоге получили
1 1 1
 х  у  12 ,


 8  8  7  1; систему:
 х у у
Решив ее, получим: х = 28, у = 21.
Вторая бригада закончила бы работу на 7 дней быстрее. ( 28 - 21 = 7 )
3. В 7, 2003 г.
Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2
часа. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она,
действуя одна, наполняет бассейн на 3 часа быстрее, чем вторая?
Краткое решение:
1 1 1
   ;
х у 2
 у  х  3.

Решая эту систему, находим: х = 3. Значит, за 3 часа может наполнить
бассейн первая труба.
Решите задачи:
Задача 1.
Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный
участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось
так, что сначала работала только одна первая бригада, а заканчивала
ремонт участка дороги одна вторая бригада, производительность труда
которой более высокая, чем первой бригады. В результате ремонт
заданного участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в
свое рабочее время выполнила 2/3 всей работы. За сколько дней был бы
отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?
18 18
 х  у  1,

 2 х  1 у  40.
 3
3
х = 24 и х = 45; у = 72 и у = 30. Так как производительность второй
бригады выше, чем первой, то условию задачи удовлетворяют х = 45 и у
=30.
Задача 2.
Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке
деталей на 15 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников
отработает 18 ч, выполняя это задание, а потом бригада слесарей
продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то и тогда будет
выполнено только 3/5 всего задания. Сколько времени требуется бригаде
учеников для самостоятельного выполнения данного задания?
 у  х  15,

18 6 3
 у  х  5.

х = 30, у = 45.
Ответ. 45 ч.
Задача 3.
Двое рабочих, из которых второй начал работать полутора днями
позже первого, работая независимо один от другого, оклеили обоями
несколько комнат за 7 дней, считая с момента выхода на работу первого
рабочего. Если бы эта работа была поручена каждому отдельно, то
первому для ее выполнения понадобилось бы тремя днями больше, чем
второму. За сколько дней каждый из них отдельно выполнил бы эту же
работу?
х  у  3

 7 5,5
 х  у  1.

х=14, у=11.
Ответ: За 14 и 11 дней.
Задача 4.
Если две трубы открыть одновременно, то бассейн наполнится за 2
ч 24 мин. В действительности же сначала была открыта только первая
труба в течение одной четверти времени, которое необходимо второй
трубе, чтобы наполнить бассейн, действуя отдельно. Затем действовала
вторая труба также в течение одной четверти времени, которое
необходимо первой, чтобы одной наполнить бассейн, после чего
оказалось, что остается наполнить 11/24 полной вместимости бассейна.
Сколько времени необходимо для наполнения бассейна каждой трубой в
отдельности?
Решение.
1. Пусть первая труба наполняет бассейн за х ч, а вторая – за у ч, тогда
производительность каждой
1 1
и
х у
трубы будет соответственно в
час.
2. Из условия следует, что первая труба наполнила часть бассейна 1  1 у
х 4
, вторая 1  1 х труба наполнила часть бассейна, а вместе они наполнили
у 4
1
11 13 части бассейна. Отсюда,

24 24
1 1
1 1 13
 у  х  .
х 4
4 у 24
3. Так как обе трубы при одновременной работе наполняют весь
бассейн за 2 ч 24 мин, то
1 1 2
    2  1
х у 5
4. Составим систему и решим ее:
 1 1  2
    2  1,
 х у  5

 1  1 у  1 х  1  13 ,
 х 4
4 у 24
х
а
у
х
у
 х  6  у  6  13,


1  1  5 .
 х у 12.
5. Полагая, имеем:
6

6а  а  13,
1 1 5
   ;
 х у 12
6а 2  13а  6  0,

12 у  12 х  5 ху.
а1=3/2, а2=2/3, получим: х=4, у=6 или х=6, у=4.
Результаты однозначны. Будем полагать, что первая труба работала
быстрее.
Ответ: 4 ч; 6 ч.
Задача 5.
Двое рабочих выполнили всю работу за 10 дней, причем
последние два дня первый не работал. За сколько дней первый рабочий
выполнил бы всю работу, если известно, что за первые 7 дней они
вместе выполнили 80% всей работы?
Краткое решение.
1
1
 х  8  у 10  1, 8а  10 у  1,



 1  7  1  7  0,8;7а  7в  0,8;
 х
у
Где а=1/х и в=1/у. Получим, что а=1/14.
Ответ: 14 дней.
Задача 6.
Бак наполняется двумя кранами А и В. Наполнение бака только
через кран А длится на 22 мин дольше, чем наполнение через кран В.
Если же открыть оба крана, то бак наполнится за 1 ч. За какое время
каждый кран в отдельности может наполнить бак?
Краткое решение.
Пусть за х мин наполняет бак кран А, а за у мин – кран В.
Тогда получим систему:
х  у  22, х = 132 и у = 110.
Решив ее, получим:

60 60
Ответ: 132 мин,
 110
 1;мин.
х
у
Задача 7.
В лабораторной установке некоторая жидкость поступает в сосуд
через три входных крана. Если открыть все краны одновременно, то
сосуд наполнится за 6 мин. Если же наполнять сосуд только через
второй кран, то на это потребуется 3/4 того времени, за которое может
наполниться сосуд только через один первый кран. Через один третий
кран этот сосуд наполняется на 10 мин дольше, чем через один второй
кран. На какое время надо открывать каждый кран в отдельности для
наполнения сосуда?
Ответ: 56/3 мин, 14 мин, 24 мин.
Путь,
пройденный
движущимися
телами,
рассматривается
как
совместная работа.
Задача 8.
Два поезда отправляются из пунктов А и В навстречу друг другу,
Они встречаются на половине пути, если поезд из А выйдет на 2 ч
раньше, чем поезд из В. Если же оба поезда выйдут одновременно, то
через 2 ч расстояние между ними составит 1/4 расстояния между
пунктами А и В. За какие промежутки времени каждый поезд проходит
весь путь?
Решение.
1. На первый взгляд эта задача кажется типичной задачей на движение.
Однако следует обратить внимание на то, что в ней нет никаких
данных о пройденном пути. Поэтому будем рассматривать эту задачу
как задачу на совместную работу, где всю работу (пройденный путь)
примем за 1.
2. Полагая, что первый поезд пройдет весь путь за х ч, а второй – за у ч,
и, учитывая, что первый вышел на 2 ч раньше, составим уравнение:
1
1
 х   у  2.
2
2
3. Скорость
каждого
следовательно,
поезда
будет
соответственно
1/х
и
1/у,
1
1
3
2 2  .
х
у
4
4. Составим систему уравнений и решим ее:
1
1
 2 х  2 у  2,
1
 2 1 2  3.
 х
у
4
Получим х = 8, у = 4.
Ответ: 8 ч, 4 ч.
Задача 9.
Два грузовых автомобиля должны были перевезти некоторый груз в
течение 6 ч. Второй автомобиль задержался в гараже, и когда он прибыл на
место погрузки, первый перевез уже 3/5 всего груза; остальную часть груза
перевез второй автомобиль, и весь груз был перевезен, таким образом, за
12 часов. Сколько времени нужно каждому автомобилю в отдельности для
перевозки груза?
Ответ: 10 ч и 15 ч или по12 ч.
Задачи для самостоятельного решения
1. Два печника, работая вместе, могут сложить печь за 12 ч. Если
первый печник будет работать 2 ч, а второй 3 ч, то они выполнят
только 20 % всей работы. За сколько часов может сложить печь
каждый печник, работая отдельно?
2. Две бригады, работая вместе, могут закончить уборку урожая за
8 дней. Если первая бригада будет работать 3 дня, а вторая 12 дней,
то они выполнят 75% всей работы. За сколько дней может закончить
уборку урожая каждая бригада, работая отдельно?
3. Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 ч. Если
первый мастер будет работать 9 ч, а потом его сменит второй, то он
закончит работу через 4 ч. За сколько времени может выполнить
заказ каждый из мастеров, работая отдельно?
4. Две машины, работая вместе, могут расчистить каток за 20 мин. Если
первая машина будет работать 25 мин, а затем ее сменит вторая, то
она закончит расчистку катка через 16 мин. За сколько времени
может расчистить каток каждая машина, работая отдельно?
5. Две трубы при совместном действии могут наполнить бассейн за 4 ч.
Если бы сначала первая труба наполнила половину бассейна, а затем
ее перекрыли и открыли вторую, то наполнение бассейна было бы
закончено за 9 ч. За сколько времени может наполнить этот бассейн
каждая труба в отдельности?
6. Первый рабочий может выполнить задание за 8 ч, а второй за 6 ч.
Они работали вместе 2 ч, а заканчивал задание один второй рабочий.
Сколько времени потребовалось для выполнения второго задания?
7. Двое рабочих, работая одновременно, выполнили задание за 5 дней.
Если бы первый рабочий работал в 2 раза быстрее, а второй в 2 раза
медленнее, то они выполнили бы задание за 4 дня. За сколько дней
выполнил бы задание один первый рабочий?
8. Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала открыли первый
кран на 1/3 часть того времени, за которое наполняет бассейн один
второй кран. Затем был открыт один второй кран на ½ часть того
времени, за которое наполняет бассейн первый кран. После этого
оказалось, что уже заполнено 5/6 объема бассейна. За какое время
наполняет бассейн каждый кран в отдельности, если открытые вместе
они наполняют бассейн за 2,4 ч?
Список литературы
1. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и
начала анализа. – М.: Просвещение, 1990.
2. Кузнецов Л. В., Бунимович Е. А., Пигарев Б. Г., Суворова С. Б. Сборник
заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс
основной школы. 9 класс, 7-ое изд., стереотип. – М.: Просвещение, [200?].
3. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы: в двух
частях. Ч.1 : учеб. для общеобразоват. учреждения, 4-ое изд. – М.:
Мнемозина, 2003.
4. Цыпкин А. Г., Пинский А. И. Справочное пособие по методам решения
задач по математике для средней школы. – М.: Наука, 1983.
Решение текстовых задач повышенной сложности: подготовка к ГИА и ЕГЭ
Переяслова Наталья Владимировна, учитель математики
Статья отнесена к разделу: Преподавание математики
Задача 1: (слайд 2) В кувшин налили 3 литра молока 8 % жирности, некоторое количество
молока 2 % жирности и тщательно перемешали. Определите, сколько литров молока 2 %
жирности было налито в кувшин, если известно, что жирность молока, полученного после
перемешивания, составила 6 %?
Решение: пусть х л молока – 2 % жирности
3 · 0,08 = 0,24 жира в 3 литрах 8 % молока
х · 0,02 – жира в х литрах 2 % молока
0,24 + 0,02х = 0,06(3+ х)
0,24 + 0,02х = 0,18 + 0,06х
х = 1,5 л
Ответ: 1,5 литра.
Задача 2: (слайды 3,4) В городе имеются три завода по выпуску рыбных консервов. Первый
завод может переработать 50 тонн рыбы за трое суток, второй – 45 тонн за двое суток, а
третий – 95 тонн за шесть суток. Определите минимальное время, за которое на этих заводах
можно переработать 110 тонн рыбы.
Решение:
110 : 55 = 2 сут.
Ответ: 2 суток.
Задача 3: (слайд 5) Первый наборщик текста набирает за час 5 страниц текста, второй – 6
страниц, а третий – 7 страниц. Определите, по сколько страниц текста нужно отдать для
набора каждому из них, если требуется, чтобы весь текст, объем которого 216 страниц, был
набран как можно быстрее.
Решение:
5 + 6 + 7 = 18 частей всего
216 : 18 = 12 страниц 1 часть
12 · 5 = 60 стр.
12 · 6 = 72 стр.
12 · 7 = 84 стр.
Ответ: 60, 72, 84 страницы.
Задача 4: (слайд 6,7) Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за
2 часа. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она, действуя одна,
наполняет бассейн на 3 часа быстрее, чем вторая?
Решение:
Ответ: 3 часа.
Задача 5: (слайд 8) Торговец продаёт орехи двух сортов: одни по 90 центов, а другие по 60
центов за килограмм. Он хочет получить 50 кг смеси по 72 цента за килограмм. Сколько для
этого потребуется орехов каждого сорта?
Решение: пусть х кг – орехов первого сорта, y кг - орехов второго сорта
Ответ: 20 кг первого сорта и 30 кг второго сорта.
Задача 6: (слайд 9) В городе имеется два молокозавода. Партию молока поступающего с
близлежащих ферм первый завод может переработать за 6 часов, а второй за 9 часов.
Сколько процентов молока из этой партии должно поступать на первый завод, чтобы вся
партия перерабатывалась за меньшее время?
Решение:
1/6 : 1/9 = 1,5, т.е. скорость работы I завода в 1,5 раза больше II завода
Пусть x % поступило на II завод, тогда на I – 1,5 х
х + 1,5 х = 100
2,5х = 100
х = 40
40 · 1,5 = 60 %
Ответ: 60 %.
Задача 7: (слайд 10) Один раствор содержит 20 % (по объёму) соляной кислоты, а второй –
70 % кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить
100 л 50 % раствора соляной кислоты?
Решение:
I–хл;
II- y л ;
0,2 х кислоты в I растворе
0,7y кислоты во II растворе
Ответ: 60 и 40 литров.
Задача 8: (слайд 11) Клиент внес 3000 рублей на два вклада, один из которых даёт годовой
доход равный 8 %, а другой – 10 %. Через год на двух счётах у него было 3260 рулей. Какую
сумму клиент внес на каждый вклад?
Решение: пусть первый вклад – х руб., а второй – y рублей. Тогда через год (с доходом)
первый: х + 0,08х, а второй: y + 0,1y
Ответ: 2000 и 1000 рублей.
Задача 9: (слайд 12) Даны два куска с различным содержанием олова. Первый массой 300 г,
содержит 20% олова. Второй массой 200 г, содержит 40 % олова. Сколько процентов олова
будет содержать сплав, полученный из этих кусков?
Решение:
300 · 0,02 = 60 г - олова в первом сплаве
200 · 0,04 = 80 г - олова во втором сплаве
300 + 200 = 500 г - масса сплава
60 + 80 = 140 г - масса олова в сплаве
140: 500 = 0,28 = 28 %
Ответ: 28 %.
Задача 10: (слайд 13) При приготовлении маринада для консервирования смешали 10 % и 25
% растворы соли и получили 3 кг 20 % раствора. Какое количество каждого раствора было
использовано?
Решение: пусть x кг масса первого раствора, а y кг – второго.
Тогда соли в первом 0,1х, во втором – 0,25y
Масса соли в полученном маринаде: 0,2 · 3 = 0,6 кг
Ответ: 2 и 1 кг.
Задача 11: (слайд 14) Соединили два раствора одной и той же кислоты разной концентрации
и получили 10 кг нового раствора данной кислоты. Концентрация первого раствора на 10 %
больше концентрации второго раствора. Определите массу каждого раствора, если в первом
содержалось 0,8 кг кислоты, а во втором – 0,6 кг. Определите процентное содержание
кислоты в каждом растворе.
Решение: пусть x кг – масса первого раствора,
y кг - масса второго раствора. В первом – 80/х % кислоты, а во втором – 60/y % кислоты.
Ответ: 20 % и 10 %
Задача 12: (слайд 15) Имеются смеси апельсинового и ананасового соков. Первая смесь
содержит 40 % апельсинового сока, а вторая – 80 %. Сливаются вместе p л первой смеси и q
л второй смеси, а в результате получается 20 л смеси, содержащей 70 % апельсинового сока.
Определите p и q.
Решение:
Ответ: 5 и 15.
Задача 13: (слайд 16) Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой 65% ,
сплавляют и получают слиток массой 30 г, содержащий 47 % серебра. Какова масса каждого
из этих слитков.
Решение: пусть х г масса первого слитка, а y г – второго слитка.
Ответ: 18 и 12.
Приложение 1
Литература
1.Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова Математика Повторение курса в формате ЕГЭ Рабочая
программа 11 класс Ростов-на-Дону: Легион, 2011
2. Д. А. Мальцев, А.А. Мальцев, Л.И. Мальцева Математика. Всё для ЕГЭ 2011. Часть I,
Ростов-на-Дону: Мальцев Д.А., М.:НИИ школьных технологий, 2010
3.Е.Г. Коннова, А.Г. Дрёмов, Математика. Базовый уровень ЕГЭ 2011. В1 – В6 . Пособие для
“чайников”, Ростов- на – Дону: Легион, 2010
4. Ф.Ф. Лысенко Математика тематические тесты. Геометрия. Тестовые задачи. Подготовка к
ЕГЭ-2010, 10-11 классы. Ростов-на-Дону: Легион – М, 2009.
5. Единый государственный экзамен математика 2007, Сергиев Посад: Фолио, 2007.
6. Д.А. Мальцев Математика 9 класс Итоговая аттестация, Ростов на Дону, Мальцев Д.А.,М.:
Школьные Технологии, 2012
7. Семенов А.В., Трепалин А.С., Ященко И.В., Захаров П.И. ГИА Математика 2012, М.:
Интеллект – центр, 2012
8. Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru/or/ege/Main
9.Диагностические и тренировочные работы ГИА и ЕГЭ. Сайт А. А. Ларина.
омогите решить задачу
Из пункта A в пункт B выехал грузовик со скоростью 40 км/час. Через полчаса из пункта А
выехал легковой автомобиль, который догнал грузовик и уменьшив скорость на 20 км/час,
вернулся в пункт А. Расстояние между пунктами А и B - 84 км. Найдите начальную скорость
легкового автомобиля, если известно, что он вернулся в пункт А в тот же момент времени,
когда грузовик приехал в пункт B.
Ответ: 1). 84 : 40 = 2,1 (ч) = 21/10 время грузовика на весь путь АВ.
2). Грузовик за пол часа проехал 20 км. Пусть скорость автомобиля хкм/ч.
v вдогонку = х - 40
S = 20
t = 20/(х - 40) это время автомобиля до встречи.
3). После встречи грузовик продолжил движение в п. А, а автомобиль поехал обратно со
скоростью х-20.
v в противоп. х - 20 + 40 = упростим = х + 20
S = 84
t = 84/(х + 20).
4). Составим уравнение
20/(х - 40) + 1/2 + 84/(х + 20) = 21/10;
20/(х - 40) + 84/(х + 20) = 21/10 - 1/2; (Вычислим 21/10 - 1/2 = 21/10 - 5/10 = 16/10 = 8/5)
20/(х - 40) + 84/(х + 20) = 8/5;
Решим уравнение методом перехода к целым числам. Для этого умножим обе части на 5(х 40)(х + 20). Получим,
100(х+20) + 420(х-40) = 8(х^2 - 20х - 800);
8х^2 - 680х+ 8400 = 0; поделим обе части на 8
х^2 - 85х + 1050 = 0;
D = 85^2 - 4*1050 = 3025 = 55^2.
x1 = (85 + 55) : 2 = 70,
x1 = (85 - 55) : 2 = 15, не удовлетворяет условию, т.к. скорость автомобиля больше грузовика,
ведь автомобиль догонял грузовик.
Ответ: 75 км/ч скорость автомобиля.
Из пункта А в пункт В вышел пассажирский поезд.Через 3ч за ним из А вышел скорый
поезд.Скорый поезд догнал пассажирский в середине пути из А в В.В момент прибытия
скорого поезда в В пассаж.поезд прошел 13/16 всего пути.Сколько времени требуется
пассаж.поезду на прохождение расстояния от А к В?
Решение.
Пусть S(км) - расстояние между A и B
И пусть x(час) - время, за которое скорый поезд проходит половину пути AB.
Тогда из условия следует, что (x+3) время, за которое пассажирский поезд проходит
половину AB.
При этом скорость Vp пассажирского поезда равна
Vp=(S/2)/(x+3)=S/(2x+6)---------(1)
Из второго условия задачи следует, что [(x+3)+x]=(2x+3) - время, затрачиваемое
пассажирским поездом на преодоление 13/16 пути AB.
Таким образом, скорость пассажирского поезда можно найти и по-другому:
Vp=(13S/16)/(2x+3)=13S/(32x+48)------(2)
Левые части (1) и (2) равны, поэтому равны их правые части:
S/(2x+6)=13S/(32x+48),
сократим на S и перейдем к целому виду
32x+48=13(2x+6)=26x+78, откуда x=30/6= 5 час
И, наконец, поскольку (x+3) - время, за которое пассажирский поезд преодолевает половину
пути, то искомое время на весь путь равно:
2(x+3)=2(5+3)=16 час - потребуется пассажирскому поезду на весь путь!
Из пункта А в пункт В,расстояние между которыми 20,5 км, вышел пешеход со скоростью 3
км\ч. Через 1 ч из пункта В в А вышел второй пешеход со скоростью 4 км\ ч. Через сколько
часов после выхода второго пешехода они встретятся?
Ответ: 1). 3 * 1 = 3 (км) прошел 1-й пешеход за 1 час.
2). 20,5 - 3 = 17,5 (км) расстояние, которое осталось между пешеходами.
3). 3 + 4 = 7 (км/ч) скорость навстречу друг другу.
4). Чтобы найти время встречи надо расстояние 17,5 км разделить на скорость навстречу
друг другу 7 км/ч, получим:
17,5 : 7 = 2,5 (ч) через 2,5 ч после выхода второго пешехода они встретятся
С конечной остановки выезжают два троллейбуса по разным маршрутам. Длительность
маршрута первого троллейбуса 39 мин а другого 1 час 5 мин. Через сколько времени после
выезда троллебусы снова встретятся на конечной остановке?
Ответ: Переведем в минуты 1 час 5 мин = 65 мин.
Найдем НОК (65; 39) наименьшее общее кратное.
Для этого разложим на простые множители оба числа:
65 = 5 * 13
39 = 3 * 13
НОК (65; 39) = 3 * 5 * 13 = 195
Через 195 мин троллейбусы снова встретятся на конечной остановке.