физическое моделирование гидравлических явлений

УДК 532.5.0727.12
ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
М.А. Михалев
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет,
Санкт-Петербург, Россия
Физическое моделирование явлений, наряду с математическим, широко
используется в практике современных научных исследований. Оно привлекается для
верификации теоретических положений и идентификации параметров моделей,
выполнить которые на основе натурных исследований практически невозможно из-за
того, что натурные явления часто осложнены другими побочными процессами. Эти
методы позволяют исследовать явления в тех случаях, когда математическая постановка
задачи затруднена или невозможна. Правильная постановка исследований состоит в
разумном сочетании методов математического и физического моделирования [1].
В основе физического моделирования явлений лежат методы теории подобия,
размерностей и соотношения сил Ньютона [1,2,3]. Теории подобия анализирует
дифференциальные уравнения, описывающие явления. Основополагающим понятием
теории подобия является характерная величина, не зависящая от координат и времени.
Отношения соответствующих характерных величин оригинала и модели называются
коэффициентами подобия. Безразмерные отношения величин к своим характерным в
сходственных пространственно-временных точках одинаковы, в том числе и отношения
действующих сил к характерным. Следовательно, если в уравнениях движения перейти с
помощью характерных величин к безразмерным, а затем, выбрав характерную силу,
сделать безразмерными сами уравнения, то такие уравнения будут одинаковыми для
натуры и модели. Одинаковыми будут безразмерные комбинации характерных величин в
них, которые называются числами подобия.
Фундаментальным в теории размерностей является понятие о величинах, имеющих
независимые размерности. Размерность каждой из них не может быть представлена в
виде комбинации размерностей остальных. Уравнения, описывающие явления, здесь
отсутствуют, но известны величины, от которых оно зависит. В основе теории
размерностей лежит принцип гомогенности Фурье, который заключается в утверждении,
что размерности членов физических уравнений должны быть одинаковыми. При
соблюдении этого условия уравнения остаются справедливыми при любой избранной
системе основных единиц измерения. На основе принципа однородности доказывается
 -теорема, позволяющая из n размерных величин, входящих в уравнение связи, которое
отражает объективный физический закон, получить функциональную зависимость между
n  k  безразмерными числами подобия, где k – число величин, имеющих независимые
размерности. Последних столько, сколько существует основных величин в принятой
системе единиц измерения (в СИ их три – это масса, длина и время). Cледовательно, в
общем случае в функциональную зависимость войдет n  3  -чисел. При достаточно
большом числе величин, входящих в уравнение связи, и различных их сочетаний,
имеющих независимые размерности, количество чисел подобия может быть
значительным.
Исторически сложилось так, что в гидравлике в рамках теории подобия обычно в
качестве характерной (нормирующей) силы выбирается конвективная составляющая
силы инерции. Вошедшие в безразмерные уравнения комбинации характерных величин
по сложившейся традиции называются числами Струхала Sh, Фруда Fr, Эйлера Eu и
Рейнольдса Re. Из множества сочетаний величин, имеющих независимые размерности, в
рамках -теоремы используется только одно сочетание, которое дает те же числа
подобия. Назовем эти числа фундаментальными. Другие числа подобия, которые можно
получить из входящих в уравнение связи величин, используя иные сочетания величин с
независимыми размерностями, однозначно связаны с фундаментальными и представляют
собой различные комбинации фундаментальных [3,4].
В практике моделирования находят применение метод размерностей, в основе
которого лежит формула размерностей, и метод линейных пропорциональностей,
обоснованный в конце 60-х годов прошлого столетия зарубежными исследователями [5].
Эти методы используют основные положения  -теоремы и непосредственно связаны с
ней, они особенно эффективны при малом количестве величин, определяющих явление, в
сочетании с методом комбинаций чисел подобия.
В основе комбинирования чисел подобия лежат следующие положения.
1. Фундаментальные числа подобия независимы: ни одно из них нельзя получить из
комбинации остальных чисел.
2. Числа подобия, которые можно получить в рамках -теоремы из величин,
входящих в уравнение связи, при выборе других величин с независимыми
размерностями, являются комбинациями фундаментальных.
3. Если в сочетании величин с независимыми размерностями, которые дали
фундаментальные числа подобия, заменить одну величину другой, такой, чтобы новое
сочетание имело независимые размерности, то среди полученных чисел подобия одно
(или несколько) останется фундаментальным, а остальные будут комбинироваться с ним
(или с ними).
4. Любые два числа подобия, полученные в рамках теории размерностей при
выбранной системе величин с независимыми размерностями, можно комбинировать
таким образом, чтобы комбинация не содержала какую-либо характеризующую явление
величину, входящую в оба числа подобия. Тем самым создаются благоприятные
возможности для использования в одном исследовании чисел подобия, полученных при
разном сочетании величин с независимыми размерностями, не выходя, однако, за
пределы всех чисел подобия, которые можно получить в рамках теории размерностей из
уравнения связи.
Комбинация двух чисел подобия может заменить только одно из них, так как
система чисел подобия должна обладать необходимой полнотой – это означает, что любая
система чисел подобия в результате рекомбинаций должна дать систему
фундаментальных чисел подобия. Вопрос о том, какое из комбинированных чисел
остается для участия в дальнейших преобразованиях, определяется постановкой задачи
исследований.
Обычно перед исследователем стоит цель получить критериальное уравнение –
зависимость числа подобия, содержащего искомую величину, от критериев подобия.
Последние отличаются от чисел подобия тем, что они составлены из характерных
величин, которые, исходя из предварительных условий рассматриваемого вопроса,
заранее заданы. Между тем в задачах гидравлики часто критериев подобия недостаточно,
чтобы составить критериальное уравнение, или их вообще нет. В этом случае полезны
комбинации чисел подобия, в которые искомая величина не входит. Например, все
фундаментальные числа подобия содержат скорость течения. Но именно скорость
течения чаще всего по условиям решаемой задачи бывает искомой. Следовательно, среди
чисел подобия нет ни одного критерия. Скорость течения входит в число величин с
независимыми размерностями, которые используются при получении фундаментальных
чисел подобия. Если заменить скорость течения другой величиной, входящей в уравнение
связи, так, чтобы новая система величин имела независимые размерности (например,
ускорением силы тяжести; коэффициентом кинематической, или динамической вязкости
и т.д.), то все вновь полученные числа подобия, представляющие собой комбинации
фундаментальных чисел, кроме одного, станут критериями. Но тогда можно составить
критериальное уравнение.
Следует также иметь в виду основное положение, содержащиеся в доказательстве
 -теоремы: среди величин с независимыми размерностями не должно быть таких,
которые по условию задачи являются искомыми. Конечно, в отдельных случаях можно
сразу получить критериальное уравнение. Правда, с одной оговоркой: все оставшиеся
величины, входящие в связь, по условию задачи являются заданными. Если это условие
не выполняется, тогда необходима комбинация чисел подобия с целью получения
критериев подобия. Кроме того, возникает вопрос, что представляют собой новые числа
подобия, какова их связь с известными числами подобия, названными здесь
фундаментальными? Ответ на него содержится в изложенных выше положениях о
комбинациях чисел подобия и вытекающих из них следствиях. Отсутствие этих
доказательств привело в настоящее время к тому, что в большинстве исследований,
основанных на методах физического моделирования явлений, как правило, не
используется все многообразие чисел подобия, которое можно получить в рамках  теоремы. Зачастую полученные эмпирические зависимости представляются не в
критериальной форме, что создает трудности при их практическом использовании, в том
числе для верификации выводов, получаемых на основе математического моделирования
явлений. Важным представляется формулировка задачи исследований с обязательным
четким представлением о том, что в ней является искомым, а что заданным. От
правильной постановки задачи зависит окончательные результат. Покажем это на
примере равномерного движения воды в трубах круглого поперечного сечения и в
открытом безнапорном русле, используя методы линейных пропорциональностей и
комбинаций чисел подобия.
Прежде всего, составим уравнение связи
f Pl , u, g ,  ,  , i p , , D  0 ,
(1)


где Pl – перепад давления на отрезке трубы, длина которого l; u – скорость течения
воды в трубе, имеющей постоянное сечение с диаметром D; g – ускорение силы тяжести;
v и  – соответственно кинематическая вязкость и плотность жидкости;  – высота
выступов шероховатости внутренней поверхности трубы; iр – пьезометрический уклон. В
процессе анализа будем использовать следующие зависимости, известные из курса
гидравлики
(2)
Pl    u 2 l 2 D , hl  Pl  g   u 2 l 2 g D, i p  hl l ,
где  – коэффициент гидравлического трения, hl – перепад пьезометрических высот на
участке трубы длиной l.
Составим из (1) линейные пропорциональности, не учитывая величин безразмерных,
с линейными размерностями, а также плотность (с нею пропорциональности не
образуются, чтобы избежать повторов, но в получении линейных пропорциональностей
из комбинаций других членов там, где это необходимо, плотность будет использоваться).
Итак, нужно составить сочетания из четырех оставшихся величин, комбинируя их по два,
в результате получим
  u

Pl
 u
u2   2 3
f 
,
,
,
,
,
, i p , , D   0.
(3)
1
3
 P

g
Pl
g
u
g
l


Видим, что первая и третья пропорциональности совпадают, так что в уравнении
можно оставить только одну из них. Перейдем в (3) к числам подобия, используя
обычную процедуру метода размерностей
  u

Pl
u2

2 3

F
,
,
,
,
,
, i p   0.
(4)
1
3
 P D

gD gD uD g D D
 l

Уравнение (4) содержит избыточную информацию; чтобы освободить его от лишних
членов, будем производить комбинации чисел подобия. Разделим второе число на третье,
получим Pl  u 2 , заменим им второе число. Умножим полученное число на первое,
получим  u D , но такое число подобия имеется в уравнении (4), поэтому первое можно
опустить и в дальнейшем не рассматривать. Если из третьего числа извлечь кубический
корень, а четвертое число вначале возвести в квадрат, а потом тоже извлечь кубический
корень, после чего полученные результаты перемножить один на другой, то получим
пятое число. Следовательно, третье и четвертое числа подобия дублируют пятое, поэтому
его можно опустить, но если в нем возникнет необходимость, то его можно получить,
комбинируя третье и четвертое числа подобия. После этих преобразований вместо
уравнения (4) можно получить следующее
 Pl

u2



  0.

,
,
,
,
i
(5)
p
2

g
D
u
D
D

u


Первую задачу исследований сформулируем так: расход воды в трубе задан,
искомым является перепад давления. В таком случае скорость течения задана, поэтому
второе и третье числа подобия в (5) являются критериями. Первое число подобия в (5)
напоминает число Эйлера, но таковым не является, так как в число Эйлера должен
входить характерный перепад давления. Примем характерный перепад на длине трубы,
равной ее гидравлическому радиусу R. Тогда связь между нехарактерным Pl и
характерным PR перепадами найдем из формулы: Pl  PR l R . Подставляя этот
результат в первую формулу в системе (2), получим  8  PR  u 2  Eu, то есть роль
числа Эйлера играет одна восьмая коэффициента гидравлического трения. Одновременно
из той же формулы (Дарси-Вейсбаха) получим
 ip g R
1
(6)


,
8
Frp
u2
где Frp – модифицированное число Фруда, в котором ускорение силы тяжести
заменено произведением ip, g. Зависимость (6) представляет собой формулу Шези,
записанную в безразмерном виде. Она позволяет из уравнения связи (5) исключить
второй и пятый члены, и, опуская постоянные и заменяя диаметр трубопровода
гидравлическим радиусом, прийти к известному критериальному уравнению

uR

    Re,
Re 
.
(7)
;
R


Вторую задачу исследований сформулируем так: при заданном перепаде давлений
найти расход и скорость течения воды в трубе. В этом случае второе и третье числа в (5)
не являются критериями. Для получения критерия подобия составим комбинацию из
второго и третьего членов уравнения (5), возведя третье в квадрат и умножив его на
второе, получим:  2 g D3 (обратная величина g D3  2  Ga называется критерием
Галилея). Заменим им третье число, а затем, используя условие (6), придем к следующему
критериальному уравнению

g D3

(8)
    Ga,
;
Ga

.

R
2

В настоящее время получены графики, соответствующие уравнению (8). По ним в
зависимости от области сопротивления можно найти коэффициент гидравлического
трения, после этого при заданном перепаде давления найти скорость течения по формуле
Дарси-Вейсбаха. Заметим, что вторая задача может быть решена с помощью уравнения
(7) методом последовательных приближений.
Обратимся далее к безнапорному потоку. Как известно, давление на свободной
поверхности безнапорного открытого потока одинаково – оно равно атмосферному. А.П.
Зегжда предложил перепад уровней воды h у на участке водотока длиной l определять
по следующей зависимости, которая является аналогом второй формулы в системе (2)
u2 l
h у  0
,
(9)
2gR
в которой 0 – коэффициент гидравлического трения безнапорного потока. Если далее
ввести уклон свободной поверхности водотока i  h у l , то можно из (9) получить
формулу Шези для такого потока в безразмерном виде по аналогии с зависимостью (6)
0 i g R
1
 2 
,
(10)
2
Fri
u
в котором Fri  u 2 i g R – также является модифицированным числом Фруда. В нем
произведение i g имеет ясный физический смысл – оно пропорционально проекции силы
тяжести на ось водотока (активной, «движущей силы»). Отсюда можно сказать, что
предложение Зегжды позволило для безнапорного потока ввести аналог числа Эйлера,
роль которого играет параметр 0 2 . При прочих равных условиях выполняется условие
  4 0 .
Далее остается выполнить анализ, который был проведен выше при получении
критериальных уравнений (7) и (8). В результате его найдем для безнапорного потока в
зависимости от постановки задачи исследований следующие критериальные уравнения.

uR

0    Re,
Re 
;
(11)
;
R



g R3

(12)
Ga  2 .
;
R


В практических расчетах зависимости (11) и (12) равнозначны, так как задача не
имеет единственного решения. Как можно видеть из формулы (10), даже при равенстве
коэффициента гидравлического трения существует множество уклонов, глубин и
скоростей течения, при которых левая часть этой формулы будет равна правой.
Положение не меняется и в том случае, если уклон водотока задан. В этом случае,
варьируя глубинами наполнения и скоростями течения, можно добиться упомянутого
выше равенства. Конечно, при таких расчетах коэффициент гидравлического трения
будет каждый раз меняться, но не на столько, чтобы решение сделать единственным. Оно
принимается из множества возможных решений, исходя из иных (не гидравлических)
условий.
Здесь изложен один из возможных путей решения проблемы сопротивлений при
движении воды в водоводах с использованием метода линейных пропорциональностей.
Ее можно было рассматривать также в рамках теории подобия и  -теоремы в сочетании с
методом комбинаций чисел подобия. При этом путь к конечному результату был бы
короче.
0    Ga,
Библиографический список
1. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977. С.1–32.
2. Леви И.И. Моделирование гидравлических явлений. Л.: Энергия, 1967. С.235.
3. Михалев М.А. Теория подобия и размерностей. Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ,
2001. 68 с.
4. Михалев М.А. Поиск критериальных уравнений при физическом моделировании
гидравлических явлений // Гидротехническое строительство, 1998. № 11. С. 48-53.
5. Шарп Дж. Гидравлическое моделирование. /Пер.с англ. М.: Мир. 1984. 280 с.