Государственный университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Коммутативная алгебра» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика»/ подготовки магистра Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет - Высшая школа экономики» Факультет Математики Программа дисциплины Введение в коммутативную алгебру для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра Автор программы:Америк Е.Ю., доцент, к.ф.-м.н. (eamerik@hse.ru), с использованием предыдущей версии доц. к.ф.м.н. С.М. Львовского (lvovski@hse.ru) Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2013 г. Председатель С.М. Хорошкин Утверждена УС факультета математики «___»_____________2013 г. Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________ Москва, 2013 Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы. Государственный университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Коммутативная алгебра» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика»/ подготовки магистра 1 Область применения и нормативные ссылки Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра. Программа разработана в соответствии с: ОС НИУ ВШЭ; Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2010 г. 2 Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины “Коммутативная алгебра” являются: освоение основных понятий и результатов, связанных с коммутативными кольцами, идеалами и модулями, локализацией, тензорным произведением, размерностью Крулля, а также знакомство с их геометрическим смыслом в алгебраической геометрии. 3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины В результате освоения дисциплины студент должен: Знать понятия простого и максимального идеала, нетеровости, колец и модулей частных, тензорного произведения, целой зависимости, размерности Крулля Уметь применять эти понятия к исследованию аффинных алгебраических многообразий и схем. Приобрести опыт работы с коммутативными кольцами и модулями над ними. В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции: Компетенция Код по ФГОС/ НИУ умение воспринимать ПК-5 математические тексты ИК-М2.1 в форме устных (МА) сообщений Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата) Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции Способен воспринимать и интерпретировать математические тексты в форме устных сообщений разного уровня строгости и детализованности, в т.ч. содержащие легко устранимые ошибки Формируется при работе на семинаре в ходе восприятия докладов других студентов и последующего обсуждения этих докладов Государственный университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Коммутативная алгебра» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика»/ подготовки магистра Компетенция Код по ФГОС/ НИУ умение выступать с ПК-6 устными сообщениями ИК-М2.2/ на тему собственных и 3.1/3.2(МА) чужих исследований Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата) Способен выступить с докладом (устным сообщением) с изложением задач и результатов из области специализации студента (в т.ч. собственных) освоение специальной ПК-8 Способен освоить предметной ИК-М2.4.1/ специальную предметную терминологии на 2.4.2 (МА) терминологию на русском и русском и английском английском языках для языках целей профессионального и научного общения Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции Формируется в ходе подготовки доклада, выступления на семинаре и последующего обсуждения Формируется в ходе всей работы по дисциплине — прослушивания и обсуждения (на английском языке) докладов других студентов, подготовки и выступления (на английском языке) с докладом на семинаре Формируется в ходе подготовки доклада, выступления на семинаре и последующего обсуждения умение публично ПК-9 Способен публично описать собственные ИК-М2.5.1/ описать собственные научные результаты и 2.5.2 (МА) научные результаты и результаты других результаты других учёных учёных из области специализации студента умение найти научную ПК-10 Способен находить Формируется в ходе информацию и ИК-М4.1/ необходимую научную подготовки доклада на адаптировать её для 4.2/4.6 (МА) информацию (в т.ч. с семинаре устного изложения в использованием докладе электронных библиотечных ресурсов и баз данных) и адаптировать её для устного изложения в докладе на семинаре 4 Место дисциплины в структуре образовательной программы Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: алгебра, топология Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: понятия коммутативного кольца, идеала, модуля Государственный университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Коммутативная алгебра» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика»/ подготовки магистра основными сведениями о кольцах многочленов. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: алгебраическая геометрия теория чисел 5 Тематический план учебной дисциплины № 1 2 3 4 5 6 7 8 6 Всего часов Название раздела Простые идеалы и спектр коммутативного кольца Нетеровы кольца и модули, минимальные простые идеалы и неприводимые компоненты Целая зависимость, кольца частных, теорема Гильберта о нулях Тензорное произведение Ассоциированные простые идеалы и примарное разложение Размерность Крулля; случай конечно порожденных алгебр над полем Теорема Крулля о высоте Многочлен Гильберта и размерность нетеровых локальных колец Итого: Аудиторные часы Самостоятельная работа Практиче ские занятия Лекци и Семин ары 7 4 0 3 7 4 0 3 7 4 0 3 7 7 4 4 0 0 3 3 7 4 0 3 7 7 4 4 0 0 3 3 56 32 0 24 Формы контроля знаний студентов Тип контроля Текущий (неделя) Промежуточный Форма контроля Контрольная работа Зачет 1 год 1 8 2 3 2 год 4 1 2 3 Параметры ** 4 письменная работа 80 минут V Критерии оценки знаний, навыков Студент должен продемонстрировать знание понятий простого и максимального идеала, локализации, тензорного произведения, целой зависимости, размерности Крулля и умение применять эти понятия к исследованию аффинных алгебраических многообразий. Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале. 6.1 Государственный университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Коммутативная алгебра» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика»/ подготовки магистра 7 Содержание дисциплины 1. Простые идеалы и спектр. Основные свойства простых и максимальных идеалов, нильрадикал, радикал Джекобсона, лемма Накаямы. Спектр и топология Зарисского, свойства топологии Зарисского (квазикомпактность, неприводимые множества). Нильрадикал. 2. Нетеровы кольца и модули, нетеровость кольца многочленов. Нетеровы топологические пространства, разложение на неприводимые компоненты. Минимальные простые идеалы. Делители нуля. 3. Гомоморфизмы колец и отображения спектров. Целые расширения колец, сюръективность на спектрах. Целое замыкание. Кольца и модули частных, локализация. Лемма Нетер о нормализации и теорема Гильберта о нулях. Геометрический смысл всего этого. 4. Тензорное произведение модулей над кольцом (определение с помощью универсального свойства), его основные свойства. Замена базы. Тензорное произведение алгебр. Расслоенное произведение аффинных схем. 5. Ассоциированные простые идеалы, их поведение при локализации, примарное разложение модулей, изолированные и вложенные компоненты аффинных схем. 6. Размерность Крулля. Теоремы о подъеме и о спуске, размерность и целые расширения. Случай конечно порожденной области над полем (размерность и степень трансцедентности поля частных). Геометрические иллюстрации. 7. Теорема Крулля о главных идеалах и о высоте. Приложения к теории размерности. Системы параметров. Размерность модулей. Модули конечной длины. 8. Градуированные кольца и модули, фильтрации, лемма Артина-Риса. Многочлен Гильберта и Гильберта-Самюэля. Теорема о размерности локальных нетеровых колец. 8 Образовательные технологии Лекции, решение задач. 9 9.1 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента Вопросы для оценки качества освоения дисциплины 1. Доказать нетеровость кольца формальных степенных рядов над нетеровым кольцом. 2. Доказать, что главные открытые множества в спетре кольца квазикомпактны. 3. Опишите плоские модули над кольцом многочленов от одного переменного. 4. Найти целое замыкание Z в данном поле алгебраических чисел. Государственный университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины «Коммутативная алгебра» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика»/ подготовки магистра 10 Порядок формирования оценок по дисциплине Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным и итоговым контролем – Осам. работа. Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом: Отекущий = 0,5·Ок/р + 0,5·Осам. работа ; Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль в форме зачета выставляется по следующей формуле, где Озачет – оценка за работу непосредственно на зачете: Оитоговый = 0.25·Озачет + 0.5·Отекущий + 0.25·Осам. работа В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине. 11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины 11.1 Базовый учебник М.Атья, И.Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. М.: Мир, 1972. 11.2 Основная литература D. Eisenbud. . Commutative algebra, with a view towards algebraic geometry. Springer, 1004 Ю.И.Манин. Аффинные схемы. М.:МГУ, 1969. H. Matsumura. Commutative ring theory. Cambridge University Press, 1989.