Тема урока: «Площадь криволинейной трапеции и интеграл»

Тема урока: «Вычисление площадей с помощью интегралов»
Цель урока:
воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов
при нахождении площади криволинейной трапеции, используя формулу НьютонаЛейбница, научить находить площади фигур, используя ранее изученную теорию.
Развивать навыки самоконтроля, грамотно выполнять построение чертежей и
использовать их для иллюстрации решения. Обобщить и систематизировать
теоретический материал по теме. Отработать навыки вычисления первообразных
для функций. Отработать навыки вычисления определенного интеграла по
формуле Ньютона–Лейбница.
Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал.
Структура урока:
1. Орг. Момент
2. Проверка домашнего задания. Актуализация опорных знаний и умений
3. Новый материал
4. Закрепление (работа в группах) дифференцированный контроль
5. Дом.зад.(дифференцированное)
Методы: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, практический.
Тип учебного занятия: интегрированный урок
Формы работы: фронтальная, групповая.
Ход урока:
I Орг. Момент
II Проверка дом. зад:. Повторить понятие первообразной, основные формулы. (
теоретич. материал)
Вспомнить алгоритм построения квадратичной функции (фронт.беседа)
Программированный контроль
Задание
Вариант 1
Ответ
Вариант 2
1
2
3
4
Найти общий вид первообразной для функции.
F(х)=
f(х) =
Вычислите:
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
у = х2, у = 0, х = 2
у = х3, у = 0, х = 2
4
8
2
На столах у каждого кадета лежит данная самостоятельная работа, которая дает возможность
проверить выполнение дом. раб. Правильный ответ обводят и сдают на проверку.
III Теоретический материал
Задача 1: Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX,
прямыми x=a, x=b и графиком функции y=f(x)
y(x)=9-x2, x=-1, x=2
Один кадет вызывается к доске и с помощью программы Advanced Grapher строит
криволинейную трапецию и полученный результат выводит на интерактивную
доску. Остальные работают в тетрадях и затем сверяются с доской
На доске заштриховывают криволинейную трапецию, оформляют решение
S=∫(9-x2)dx=24 ед2
Давайте запишем
полученный результат в
общем виде (кадеты
делают вывод самостоятельно, учитель играет только направляющую роль)
S=∫f(x)dx=F(b)-F(a)
Задача 2: Найти Sф ограниченной графиками функций y=f(x), y=g(x) b и осью OX
y(x)=x2, g(x)=2x-x2 (обратить внимание учащихся, что мы находим площадь
фигуры)
Вызывается кадет для работы на доске. Остальные работают на своих местах
и затем сверяются с доской. Кадеты, которые справляются с заданием раньше
остальных, помогают тем, кто еще не справился с заданием.
На доске выводится результат построения:
В ходе фронтальной беседы заштрихуем фигуру, площадь которой нам нужно
найти
Перед кадетами ставится вопрос: «Полученная фигура является криволинейной
трапецией? Как основываясь на ранее полученные знания можно вычислить
площадь данной фигуры?»
Учащиеся делают вывод, что данная фигура состоит из двух криволинейных
трапеций.
Как найти пределы интегрирования для каждой криволинейной трапеции?
Найдем точки пересечения этих двух функций:
x2=2x-x2 (ответ учащихся)
x=0, x=1
2
2
Вывод: Sф=∫x dx + ∫(2x-x )dx=1 (на доске выводится только ответ). Для слабых
работают консультанты.
Дайте запишем полученный результат в общем виде (кадеты делают вывод
самостоятельно, учитель играет только направляющую роль)
 Строим графики функций
 Находим абсциссы точек пересечения графиков функций f(x)=g(x), x1, x2
Sф=∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
Используя этот же чертеж, вычислите площадь заштрихованной
фигуры:
Кадет на доске увеличивает масштаб чертежа для лучшей наглядности.
Как найти площадь данной фигуры?
Учащиеся делают вывод, что данная фигура состоит из двух криволинейных
трапеций.
Sф=S1-S2
S1=∫(2x-x2)dx
S2=∫x2dx
Sф=⅔ ед2
Дайте запишем полученный результат в общем виде (кадеты делают вывод
самостоятельно, учитель играет только направляющую роль)
 Строим графики функций
 Находим абсциссы точек пересечения графиков функций f(x)=g(x), x1, x2
Sф=∫(g(x)-f(x))dx
Замечание:
Кадет, который первый справляется с заданием на интерактивной доске,
строит с помощью Advanced Grapher y(x)=sin(x), x=-3, x=-1.
Как вы думаете (вспомните 1 задачу) как вычислить площадь данной
криволинейной трапеции?
Кадеты делают вывод:
Sф=-∫f(x)dx
IV Закрепление (диф. работа в группах)
1 группа: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
y(x)=x2+2, g(x)=4-x
2 группа: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
y(x)=-x2-4x, g(x)=x+4
3 группа: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
y(x)=4/x2, g(x)=-3x+7
На доске выводится ключ для самопроверки:
I группа
II группа
III группа
4,5
4,5
4,5
Подведение итогов:
 Как вычисляется площадь криволинейной трапеции?
 Какие из заштрихованных фигур (см. чертежи в тетради) являются
криволинейными трапециями?
 Почему другие фигуры нельзя назвать криволинейными трапециями? Как
находится их площадь?
V Диф. дом. Работа
1 группа: № 1013,№ 1015(2), №1018(1)
2 группа: № 1017(2), № 1018 (2), № 1014(4)
3 группа: № 1022(1), №1019(2), №1023(1)