Математика, вопрос 9 Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальная

Математика, вопрос 9
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальная
система решений. Метод вариации постоянных для решения неоднородных уравнений.
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений.
 a11  a1n 

  a

 n1  ann 



Опр. Линейное обыкновенное ДУ: x'  Ax  g , где x  x (t ) , g  g , A   
матрица постоянных коэффициентов.

Опр. Матричный степенной ряд: k 0 qk Ak , qk  C , A  ( aij ) -матрица n  n .
Опр. Частичная сумма степенного ряда S n  k 0 qk Ak
n
Опр. Матричный степенной ряд

 qk A k
сходится и его сумма равна матрице S , если
k 0
последовательность частичных сумм {S n } сходится к S по норме: lim n S n  S .

q t
Утв.1 Пусть  - радиус сходимости степенного ряда
i 0
n  n . Тогда матричный ряд

q A
i 0
k
k
i
i
и A   / n , где A - матрица
сходится.

i0 qi
Доказательство: Т.к. A k  n k 1 A , то ряд
k


Ai   qi n i 1 A   qi t i сходится.
i
i 0
i 0
Значит сходится и исходный матричный ряд.

Опр. Экспонента матрицы A : exp( A)  e A  E  
i 0
Ak
k!
Свойства экспоненты:
1. Пусть A  SBS 1 . Тогда e A  Se B S 1 .
 a11

2. Пусть A   0
 0

0

0
 e a11 0
0 
0



A
0 
0  . Тогда e   0 


0 e ann 
an 
 0
3. Пусть AB  BA . Тогда e A  B  e Ae B .
Теорема 1. e At - фундаментальная матрица (система решений) системы x'  Ax .
Доказательство:
Докажем,
что
lim t 0
e A(t  t )  e At
t
e A(t t )  e At  (e At  E )e At .
e
At
существует.
Рассмотрим
Для
правую
этого
часть
рассмотрим
этого
разность
равенства:
E
A
 A 
(t ) k 1 . Ряд в правой части сходится равномерно по t , поэтому
t
k  2 k!

возможен
lim t 0
k
предельный
переход
и
lim t  0
e At  E
 A.
t
Следовательно
(e At  E )e At
e At  E At
 lim t 0
e  Ae t . Но при этом det(e At )  1 , что доказывает,
t 0
t
t
что матрица e At как решение матричного уравнения x'  At , будет фундаментальной
матрицей.
Метод вариации произвольных постоянных для решения неоднородных уравнений.
Выше мы говорили про однородные уравнения. Теперь перейдем к неоднородным, т.е. уравнениям вида:
1
Математика, вопрос 9
x'  A(t ) x  g (t ) ,


где x   n , A  (ai , j ) , g  ( g1 , g n )T , A, g C ((, )) , (t )  (1 ... n ) -фундаментальная матрица
x'  Ax . При этом, если x(t )  (t )  y(t ) , где (t ) -решение x'  A(t ) x  (t ) , а y (t ) -решение x'  Ax , то
x(t ) так же решение системы x'  A(t ) x  g (t ) и наоборот, если x(t ) -решение, то y (t ) -решение
однородной системы. Благодаря этому, множество решений нашей неоднородной системы S  {M  } , где
M - множество решений однородной системы. Можно так же показать, что M - n -мерное ЛП, а S - n мерное аффинное пространство. При этом важен следующий факт: если 1... n - базис M , а  -решение
неоднородной системы, то S  {C11    C n  n  , Ci  C} .
Справедливо следующее утверждение:
ai (t )  C (( ,  )) :   i 1 aii , где  -решение неоднородной
n
системы, а { i }i 1 -ФСР однородного уравнения. Причем в качестве a  (a1...an ) можно брать любую
n
T


первообразную  1 (t ) g (t ), (t )  (1...n ) . Это утверждение называется методом Лагранжа решения
неоднородных ОДУ.
Формула вариации произвольных постоянных базируется на этом подходе и выглядит следующим
образом:
1.
t
x(t )  (t )( x(t 0 )  t  1 () g ()d) - общий случай.
0
A ( t  t0 )
t
( x(t 0 )  t e A(t ) g ()d) -случай матрицы A с постоянными коэффициентами.
2.
x(t )  e
3.
x(t )  e x0  0 e
0
t
At
A(t )
g ()d -для постоянной матрицы A , x(t0 )  x0 , t0  0
При этом матрица (t ) нормированна в точке
t 0 , а именно  (t 0 )  E . Нормировка производится путем
домножения произвольной фундаментальной матрицы справа на  1 (t 0 ) .
Алгоритм такой (типа того, что нам читали):
1. Находим ФСР для однородной системы.
2. Выбираем функции a  (a1....an )T .
3. Подставляем их в наше уравнение.
4. Методом неопределенных коэффициентов находим константы (произвольные
постоянные).
Или, по Чернышеву:
1. Находим ФСР однородной системы.
2. Нормализуем (t ) в точке t 0 .
3. Используем предложенную выше формулу.
Дополнительный полезный материал:

Про вычисление e At . Эту процедуру описывает и обосновывает т.н. теорема
Жордана: Любая матрица A подобна матрице J  diag ( J 1 ...J m ) , где J m   k Erk  Z k . k собственное число матрицы A , Erk - единичная матрица размера rk  rk , а Z k - матрица,
все диагонали которой кроме одной состоят из 0 , а одна диагональ, расположенная
выше главной, состоит из единиц. Проще говоря, A  SJS 1 . Благодаря этой теореме,
e At
e

Jkt
можно
e
 k Er  Z k
k
представить
e
k t
E rk e
Zk t
в
виде:
e At  e SJS
1
 Sdiag(e J1t ,e J mt ) S 1 ,
причем
.
Матричный метод интегрирования системы x'  Ax © Эйлер. Идея: предположить,
что решение этой системы записывается в виде e it Pi (t ) , где Pi (t ) -полином с
векторными коэффициентами по t . Благодаря этому предположению можно
использовать метод неопределенных коэффициентов (векторных), а именно

Pi (t )   cik t k и подставить все это хозяйство в наше уравнение x'  Ax .
k
2
Математика, вопрос 9

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка:
y(n)+p1(x)y(n-1)+p2(x)y(n-2)+…+pn(x)y=f(x), где pi(x) —
Оно эквивалентно записи:
 y1'  y 2

...
 '
 y n 1  y n
 y n'  f  a n y n  ...  a1 y1n
то есть системе из n линейных дифуров первого порядка.
произвольные
функции.
3